量子力学 态和力学量的表象
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量子力学课件：4.1 态的表象
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系摘要体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。
态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。
微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。
常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。
关键词态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。
ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是式中 是动量的本征函数，dxx t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ⎰=⎰=ψψψ/2/1)2(1)(ipx p ex -=πψ称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。
由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。
将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成dx t x dx t x w 2),(),(ψ=dpt p c dp t p w 2),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp pp p p/''')()()(),(),(-**⎰=ψ⎰=ψψψ/')'(t iEp e p p --=δ)()(),(x u t a t x n nn ∑=ψ上式两边乘 ，再对x 变化整个空间积分 即其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q 具有确定值Qn 的几率为可以用一组数代替ψ(x,t)描写该状态。
态和力学量的表象
动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中， 在动量表象中，动量算符就是动量自身 是势能算符， 是势能算符，即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中： 在 F 表象中：基矢为 表象中： 在 F' 表象中：基矢为
，算符 的矩阵元为 ，算符 的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变， 谐振子能量以 为单位改变，将这个 看作一个粒子 即粒子数减一， 使体系由 态变到 态，即粒子数减一，称湮灭算符 即粒子数加一， 使体系由 态变到 态，即粒子数加一，称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件，例如： 容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单， 某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
量子力学 态和力学量表象
1 *( x, t)( x.t)dx
[ am (t)um ( x)]* an(t)un( x)dx
m
n
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) um * ( x)un ( x)dx
mn
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)dpdp ( p p)
C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在
?F
bn (t )
Fnm am (t )
m
F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元
n 1,2,
简写成
写成矩阵形式
b1(t) F11 F12 F1m a1m a2(t)
bn(t)
Fn1
Fn2
Fnm
２ 算符的矩阵表示
（1）力学量算符的矩阵表示 （2）Q 表象中力学量算符F的性质 （3）Q 有连续本征值的情况
（1）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
Q表象：
假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ按{un(x)}展开：
态的表象
2 态的表象
本章目的： 本章目的：
给出用各种方式平行描述体系状态、 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等的方 案 表象； 表象； 找出不同表象之间的相互关系和变换规则 么正 变换； 变换； 建立一套用态矢量描述量子态的方案 Dirac算符 引入产生、 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子。 湮灭算符重新讨论简谐振子。 研究表象的意义： 研究表象的意义： 根据不同问题选择不同表象， 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。 还可以进行表象变换。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 这一章我们讨论其他表象， 这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克 符号。 符号。
2 ′ p E p′ = 2µ − iE p ′ t h
= ∫ψ p * ( x )ψ p′ ( x )e
p
∫
−
iE p ′t h
=e
−
iE p ′t h
∫ψ
dx
p
* ( x )ψ p′ ( x )dx
=e
− iE p ′t / h
δ ( p − p′)
α 12 − ) e 谐振子基点： 谐振子基点： ψ ( x ) = ( π
动量表象波函数 c(p, t) ψ p (x) = 动量本征函数： 动量本征函数：
|c(p, t)| 2dp : 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 所描写的状态中，测量粒子的动 量所得结果在 p → p+dp 范围内的几率。 范围内的几率。 Ψ(x, t)与 c(p, t)一 一 对应， 对应，描述同一状态。 描述同一状态。 Ψ(x, t)是该状态在坐标表象中的波函数； 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 c(p, t)|就是该状态在动量表象中的波函数 动量表象中的波函数。 就是该状态在动量表象中的波函数。
本章目的： 本章目的：
给出用各种方式平行描述体系状态、 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等的方 案 表象； 表象； 找出不同表象之间的相互关系和变换规则 么正 变换； 变换； 建立一套用态矢量描述量子态的方案 Dirac算符 引入产生、 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子。 湮灭算符重新讨论简谐振子。 研究表象的意义： 研究表象的意义： 根据不同问题选择不同表象， 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。 还可以进行表象变换。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 这一章我们讨论其他表象， 这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克 符号。 符号。
2 ′ p E p′ = 2µ − iE p ′ t h
= ∫ψ p * ( x )ψ p′ ( x )e
p
∫
−
iE p ′t h
=e
−
iE p ′t h
∫ψ
dx
p
* ( x )ψ p′ ( x )dx
=e
− iE p ′t / h
δ ( p − p′)
α 12 − ) e 谐振子基点： 谐振子基点： ψ ( x ) = ( π
动量表象波函数 c(p, t) ψ p (x) = 动量本征函数： 动量本征函数：
|c(p, t)| 2dp : 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 所描写的状态中，测量粒子的动 量所得结果在 p → p+dp 范围内的几率。 范围内的几率。 Ψ(x, t)与 c(p, t)一 一 对应， 对应，描述同一状态。 描述同一状态。 Ψ(x, t)是该状态在坐标表象中的波函数； 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 c(p, t)|就是该状态在动量表象中的波函数 动量表象中的波函数。 就是该状态在动量表象中的波函数。
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换称为幺正变换。在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，如 (x) Sn n (x)
n
中，以 Sn 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。设态 在 A，B 表象中的矩阵表示分别为 a，
b，S 为两表象之间的幺正变换，则态在两表象之间的变换为
b S 1a ，算符在两表象之间的变换为 F ' S 1FS 。
1
(2) 2
动量本征函数，则
C( p,t) 即为该态在动量表象中的波函数。 C( p,t) 的物理意义为： C( p.t) 2 dp 表示在该态
中，测量粒子的动量所得结果在 p 到 p+dp 范围内的几率。
二、幺正变换
1．变换矩阵
满足 S S 1 的矩阵称为幺正矩阵，幺正矩阵不是厄米矩阵。由幺正矩阵所表示的变
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a1
(t
)
a2 (t) 函数，则 (x,t) 在力学量 Q 表象中矩阵表示可写为： 。
a
n (t
)
aq (t)
3．算符 F 在 Q 表象中的矩阵表示．
算符 F 在 Q 表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元是 Fnm un* Fumdx ，平均值公式是
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
（2）哈密顿量本征方程
H
p ( x)
1
i px
1e
(2 ) 2
本征方程
p p'
p ' p'
C( p,t) ( p' p) p ( p p' ) p' ( p p' )
5．一个典型的例子分析
n
中，以 Sn 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。设态 在 A，B 表象中的矩阵表示分别为 a，
b，S 为两表象之间的幺正变换，则态在两表象之间的变换为
b S 1a ，算符在两表象之间的变换为 F ' S 1FS 。
1
(2) 2
动量本征函数，则
C( p,t) 即为该态在动量表象中的波函数。 C( p,t) 的物理意义为： C( p.t) 2 dp 表示在该态
中，测量粒子的动量所得结果在 p 到 p+dp 范围内的几率。
二、幺正变换
1．变换矩阵
满足 S S 1 的矩阵称为幺正矩阵，幺正矩阵不是厄米矩阵。由幺正矩阵所表示的变
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a1
(t
)
a2 (t) 函数，则 (x,t) 在力学量 Q 表象中矩阵表示可写为： 。
a
n (t
)
aq (t)
3．算符 F 在 Q 表象中的矩阵表示．
算符 F 在 Q 表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元是 Fnm un* Fumdx ，平均值公式是
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
（2）哈密顿量本征方程
H
p ( x)
1
i px
1e
(2 ) 2
本征方程
p p'
p ' p'
C( p,t) ( p' p) p ( p p' ) p' ( p p' )
5．一个典型的例子分析
量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习
![量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/42eaca7d8e9951e79b8927a1.png)
第四章态和力学量的表象第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数，力学量本征函数的集合具有正交性和完备性，微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。
前面所用的波函数ψ(x，t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。
反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。
从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。
我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄米矩阵。
不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为幺正矩阵。
我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。
利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。
本章的主要知识点有1．微观状态的表象(1)离散谱情况设力学量Q的本征方程为 (x)=qn un(x)，n∈Z，任意波函数ψ(x，t)取值qn 的概率幅为cn(t)=∫un*(x)ψ((x，t)dx，概率幅的全体可以用一个列向量ψ=(…，c(t)，c1(t)，c2(t)，…)T，简写为ψ=({cn(t)}) (4-1)来表示，称为状态ψ((x，t)在Q表象下的形式，简称状态ψ((x，t)的Q表象。
在离散谱的Q表象中，状态的归一化条件为(3)典型表象典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。
(3)混合谱情况有时候，力学量Q的本征值既有离散谱，又有连续谱。
这时Q表象下的波函数为归一化条件为力学量为具有分块矩阵形式．力学量对状态的作用为3．量子力学的抽象理论采用具体表象后，量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式，历史上称之为矩阵力学。
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果在 x x dx 范围内的几率。 在 x, t 所描写的态中测量粒子动量所得结 | c p, t |2 dp ： 果在 p p dp 范围内的几率。 可以看出：当 x, t 已知，就可完全确定 c p, t 。 反之， 当 c p, t 已知，就可完全确定 x, t 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
这样，归一化条件记为：
Y † Y =| an |2 = 1。
ˆ 的本征值既有分立谱又有连续谱 （2） Q ˆ 具有分立的本征值 设Q
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示
x, t 和 c p, t 描写同一状态。 x, t ：坐标表象中的波函数， c p, t ：动量表象中的波函数。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的矩阵元 坐标表象中 F
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fmn um* ( x) F n x ˆ x, ih ( x x)dx Fxx ( x x) F x ˆ x, ih ( x x) 。 F x ˆ 的矩阵元为， 在动量表象中 F ˆ x, ih ( x)dx 。 Fp p p* ( x) F p x
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.4、 希尔伯特空间
Q.M. 态 ，态矢量 力学量表象，如 Q 表象 基 矢 组成正交归一完备系 波函数 矢量
几何
坐标系，如直角坐标系 单位矢量，
Ax , Ay , Az 为
沿
是 在 Q 表象中沿 各个基 的分量， 矢方向的分量，
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
。
i E p t h
dx
。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示
动量表象中：具有确定动量 p 的粒子的波函数是以动量 p 为变量的 函数。
ˆ （2）坐标 x
同样，x 在坐标表象中的对应于确定值 x 的本征函数是
( x x) ，这可由下列本征值方程看出，
第四章 态和力学量的表象
第四章 态和力学量的表象
第四章 态和力学量的表象 引言
引言 量子力学：态和力学量的具体表示方式称为表象。 如：前面所采用的坐标表象， ， 。
这种表示方法在量子力学中并不是唯一的，正如几何 学中选用坐标系不是唯一的一样。这一章我们将讨论其他 的表象。并介绍常用的狄拉克符号。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.4、 希尔伯特空间
* an (t ) ( x, t )un ( x)dx
无限维函数空间 希尔伯特 三维空间 空间
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4.2、 算符的矩阵表示 4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的本征值只有分立值的情况 （1） Q
ˆ x, ih ( x, t ) ( x, t ) 在坐标表象中： F x
现在来看这个方程在 Q 表象中的表达式。
(*) 。
ˆ 具有分立的本征值 设Q
，对应的本征函
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
数是
，本征方程，
将 ( x, t ), ( x, t ) 代入，
* * u ( x ) F x , i h m an (t )un ( x)dx um ( x) bn (t )un ( x)dx x n n
* a ( t ) u ( x ) F x , i h u ( x ) dx bn (t ) um* ( x)un ( x)dx n n m x n n bm
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的本征值有连续值的情况 （2） Q
ˆ 在 Q 表象中仍然是一个矩 上面的讨论依然适用， 算符 F
阵，矩阵元为，
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fq q uq* ( x) F q x
只是这个矩阵的行列不再可数，而用连续的下表来表示。 例：
是 ，那么， ， 对应的本征函数
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
( x, t ) an (t )un ( x) aq (t )uq ( x)dx ，
n
* * ( x)dx ； aq ( x, t )uq ( x)dx 。 式中， an ( x, t )un
仍有归一化条件， † 1。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.4、 希尔伯特空间
4.1.4、 希尔伯特空间 从上面的讨论中，同一个态可以在不同的表象中用波 函数来描写，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但 它们描写同一个态。类比几何空间的矢量表示，可以得到 量子力学中的态在无限维函数空间中的表示，这个空间是 希尔伯特空间，其中描写量子态的矢量为态矢量。
ˆ 来表示： Q 表象。 态函数以及力学量都用任意力学量 Q
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
下面分析 Q 表象中 ( x, t ) 所描写的量子态如何表示。
ˆ 具有分立的本征值 （1） Q ˆ 具有分立的本征值 设Q
数是 ，对应的本征函
ˆ ( x, h )u ( x) Q u ( x) ，即： Q n n n i x
*
( x, t ) bn (t )un ( x),
n
。
an , bn 分别为 ( x, t ), ( x, t ) 在 Q 表象中的表示。
对（*）左乘 um* ( x) ，在对全空间做积分，
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
* * u ( x ) F x , i h ( x, t )dx um ( x)( x, t )dx m x
令，
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fmn um* ( x) F n x
则在 Q 表象中，
bm (t ) an (t ) Fmn ，
n
上式便是（*）式在 Q 表象中的表示，表示为矩阵，
q q dq 之间的几率。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
因此， 在 Q 表象中，( x, t ) 所描写的态仍可以用矩阵表示，
a1 (t ) a (t ) 2 M † * * * * ， (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L aq (t )) 。 an (t ) M a (t ) q
设 x, t 是归一化的波函数，则由归一化条件，很容易证 明，
| ( x, t ) |
2
dx | c p, t |2 dp 1，
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.1、 坐标表象与动量表象
其中，
| ( x, t ) |2 dx ： 在 x, t 所描写的态中测量粒子位置所得结
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.1、 坐标表象与动量表象
p ( x) 组成完全系，任意波函数 ( x, t ) 可以按 p ( x) 展开，
x, t c p, t p x dp ，
系数 c p, t 由下式给出，
c( p, t ) p* ( x)( x, t )dx 。
若 ( x, t ) 是归一化的，则，
å| a (t ) | + ò | a (t ) |
2 n q n
2
dq = 1
ˆ 所得结果为 Q 的几率， | an |2 ：在 ( x, t ) 态中测量力学量 Q n ˆ 所得结果在 | aq (t ) |2 dq ： 在 ( x, t ) 态 中 测 量 力 学 量 Q
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
这样，归一化条件记为：
Y † Y =| an |2 = 1。
ˆ 的本征值既有分立谱又有连续谱 （2） Q ˆ 具有分立的本征值 设Q
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示
x, t 和 c p, t 描写同一状态。 x, t ：坐标表象中的波函数， c p, t ：动量表象中的波函数。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的矩阵元 坐标表象中 F
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fmn um* ( x) F n x ˆ x, ih ( x x)dx Fxx ( x x) F x ˆ x, ih ( x x) 。 F x ˆ 的矩阵元为， 在动量表象中 F ˆ x, ih ( x)dx 。 Fp p p* ( x) F p x
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.4、 希尔伯特空间
Q.M. 态 ，态矢量 力学量表象，如 Q 表象 基 矢 组成正交归一完备系 波函数 矢量
几何
坐标系，如直角坐标系 单位矢量，
Ax , Ay , Az 为
沿
是 在 Q 表象中沿 各个基 的分量， 矢方向的分量，
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
。
i E p t h
dx
。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示
动量表象中：具有确定动量 p 的粒子的波函数是以动量 p 为变量的 函数。
ˆ （2）坐标 x
同样，x 在坐标表象中的对应于确定值 x 的本征函数是
( x x) ，这可由下列本征值方程看出，
第四章 态和力学量的表象
第四章 态和力学量的表象
第四章 态和力学量的表象 引言
引言 量子力学：态和力学量的具体表示方式称为表象。 如：前面所采用的坐标表象， ， 。
这种表示方法在量子力学中并不是唯一的，正如几何 学中选用坐标系不是唯一的一样。这一章我们将讨论其他 的表象。并介绍常用的狄拉克符号。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.4、 希尔伯特空间
* an (t ) ( x, t )un ( x)dx
无限维函数空间 希尔伯特 三维空间 空间
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4.2、 算符的矩阵表示 4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的本征值只有分立值的情况 （1） Q
ˆ x, ih ( x, t ) ( x, t ) 在坐标表象中： F x
现在来看这个方程在 Q 表象中的表达式。
(*) 。
ˆ 具有分立的本征值 设Q
，对应的本征函
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
数是
，本征方程，
将 ( x, t ), ( x, t ) 代入，
* * u ( x ) F x , i h m an (t )un ( x)dx um ( x) bn (t )un ( x)dx x n n
* a ( t ) u ( x ) F x , i h u ( x ) dx bn (t ) um* ( x)un ( x)dx n n m x n n bm
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的本征值有连续值的情况 （2） Q
ˆ 在 Q 表象中仍然是一个矩 上面的讨论依然适用， 算符 F
阵，矩阵元为，
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fq q uq* ( x) F q x
只是这个矩阵的行列不再可数，而用连续的下表来表示。 例：
是 ，那么， ， 对应的本征函数
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
( x, t ) an (t )un ( x) aq (t )uq ( x)dx ，
n
* * ( x)dx ； aq ( x, t )uq ( x)dx 。 式中， an ( x, t )un
仍有归一化条件， † 1。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.4、 希尔伯特空间
4.1.4、 希尔伯特空间 从上面的讨论中，同一个态可以在不同的表象中用波 函数来描写，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但 它们描写同一个态。类比几何空间的矢量表示，可以得到 量子力学中的态在无限维函数空间中的表示，这个空间是 希尔伯特空间，其中描写量子态的矢量为态矢量。
ˆ 来表示： Q 表象。 态函数以及力学量都用任意力学量 Q
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
下面分析 Q 表象中 ( x, t ) 所描写的量子态如何表示。
ˆ 具有分立的本征值 （1） Q ˆ 具有分立的本征值 设Q
数是 ，对应的本征函
ˆ ( x, h )u ( x) Q u ( x) ，即： Q n n n i x
*
( x, t ) bn (t )un ( x),
n
。
an , bn 分别为 ( x, t ), ( x, t ) 在 Q 表象中的表示。
对（*）左乘 um* ( x) ，在对全空间做积分，
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
* * u ( x ) F x , i h ( x, t )dx um ( x)( x, t )dx m x
令，
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fmn um* ( x) F n x
则在 Q 表象中，
bm (t ) an (t ) Fmn ，
n
上式便是（*）式在 Q 表象中的表示，表示为矩阵，
q q dq 之间的几率。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
因此， 在 Q 表象中，( x, t ) 所描写的态仍可以用矩阵表示，
a1 (t ) a (t ) 2 M † * * * * ， (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L aq (t )) 。 an (t ) M a (t ) q
设 x, t 是归一化的波函数，则由归一化条件，很容易证 明，
| ( x, t ) |
2
dx | c p, t |2 dp 1，
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.1、 坐标表象与动量表象
其中，
| ( x, t ) |2 dx ： 在 x, t 所描写的态中测量粒子位置所得结
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.1、 坐标表象与动量表象
p ( x) 组成完全系，任意波函数 ( x, t ) 可以按 p ( x) 展开，
x, t c p, t p x dp ，
系数 c p, t 由下式给出，
c( p, t ) p* ( x)( x, t )dx 。
若 ( x, t ) 是归一化的，则，
å| a (t ) | + ò | a (t ) |
2 n q n
2
dq = 1
ˆ 所得结果为 Q 的几率， | an |2 ：在 ( x, t ) 态中测量力学量 Q n ˆ 所得结果在 | aq (t ) |2 dq ： 在 ( x, t ) 态 中 测 量 力 学 量 Q