2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点2：函数导数

（新沂市第一中学2011届高三数学）6．二次函数2()f x ax bx c =--（a 、b 、c R ∈），若a 、b 、c 成等比数列且(0)1f =，则函数()f x 的最大值为 ▲ . 54（新沂市第一中学2011届高三数学）10．若函数f （x ）对于任意的x 都有f （x ＋2）＝f （x ＋1）－f （x ）且f （1）＝lg3－lg2，f （2）＝lg3＋lg5，则f （2010）＝ ▲ ．－1（新沂市第一中学2011届高三数学）20. （本小题满分16分）已知函数2()f x x =，()2ln (0)g x e x x =>（e 为自然对数的底数），它们的导数分别为()f x '、()g x '.（1）当0x >时，求证：()()f x g x ''+≥（2）求()()()(0)F x f x g x x =->的单调区间及最小值；（3）试探究是否存在一次函数(,)y kx b k b R =+∈，使得()f x kx b ≥+且()g x kx b ≤+对一切0x >恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由.2()2,()efx x g x ''==∴≥…………………4分）， 令当…………………………8分20F e e ==-=.∴()F x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为， 最小值为0. …………………10分（3）由（2）知，()f x 与()g x 的图象有且仅有一个公共点)e ，∴猜想：一次函数的图像就是()f x与()g x的图象在点)e处的公切线，其方程为y e=-. ………………………………………………………12分下面证明：当0x>时，()f xe≥-，且()g x e≤-恒成立.又∵2())(f x e x--=≥，∴()f x e≥-对0x>恒成立.又令()(22l nG x e x e g e x e e x=----，∴2()eG x ex'==0x<<()0G x'<，()G x在上单调递减；当x>()0G x'>，()G x在)+∞上单调递增.∴当x=()Gx有极小值，也是最小值，即min()220G x G e e e==--=，∴()G x≥，即g.故()f x x e≥-，且()g x x e≤-恒成立16分13.已知函数()||,()f x x x px q x R=++∈，)(xf的图象关于点(0,)q对称；③当0p=时，19．.(本小题16分)(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.19．（1）当2-=a时，xxxf ln2)(2-=，当),1(+∞∈x，0)1(2)(2>-='xxxf，故函数)(xf在),1(+∞上是增函数．…………………………4分（2）)0(2)(2>+='xxaxxf，当],1[ex∈，]2,2[222eaaax++∈+．若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ……………6分若222-<<-a e ，当2a x -=时，0)(='x f ；当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；当e x a ≤<-2时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(a f -ln(2a =若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ）函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．………………8分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f 的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，（∵0ln >-x x ，12分令，………14分当故……………16分20、已知定理：“若,a b 为常数，()g x 满足．设函数1()x a f x a x+-=-，定义域为A ．（1）试证明()y f x =的图象关于点(,1)a -成中心对称； （2）当[2,1]x a a ∈--时，求证：1()[,0]2f x ∈-；（3）对于给定的1x A ∈，设计构造过程：21(),x f x =32()x f x =，…，1()n n x f x +=．如果(2,3,4...)i x A i ∈=，构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止．若对任意1x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a 的值． 20、解（1）∵1()1f x a x=-+-，∴11()()(1)(1)2f a x f a x x x++-=-++-+=--． 由已知定理，得()y f x =的图象关于点(,1)a -成中心对称．（2）先证明()f x 在[2,1]a a --上是增函数，只要证明()f x 在(,)a -∞上是增函数． 设12x x a -∞<<<，则1212121211()()0()()x x f x f x a x a x a x a x --=-=<----，∴()f x 在(,)a -∞上是增函数． 再由()f x 在[2,1]a a --上是增函数，得当[2,1]x a a ∈--时，()[(2),(1)]fx f a f a ∈--（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴1()x a f x a x+-=≠-1a -无解或有唯一解x a =．1-．，则1f -()与1f ()的大小关系为+ ∞）上既是奇函数，又是增函数，则g (16、设函数).(cos sin 32cos 2)(2R x m x x x x f ∈++= （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）若].27,21[)(],2,0[的值域恰为的值使函数求x f m x π∈17、设)(x f 是定义在()+∞,0上的单调递增函数，满足1)3(),()()(=+=f y f x f xy f ，求：（Ⅰ） ()1f ；（Ⅱ）若()()28≤-+x f x f ，求x 的取值范围13、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-)0()01)(sin()(12x e x x x f x π。

若2)()1(=+a f f ，则a 的值为 2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题2011.114、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则201|. . f …………（2分） 当当内单调递增； ∴ …………（6分）（2）①当x e ≥时，2()ln f x x a x a =+-，()2af x x x'=+()x e ≥ 0a >，()0f x '∴>恒成立，()f x ∴在[),e +∞上增函数。

故当x e =时，2min ()y f e e ==。

…………（8分）②当1x e ≤<时，2()ln f x x a x a =-+，2()2(a f x x x x x x '=-=+(1)x e≤< 1≤，即02a <≤时，()f x '在(1,)x e ∈时为正数，所以()f x 在区间[1,)e 上为增函数。

故当1x =时，min 1y a =+，且此时(1)()f f e < …………（10分）（Ⅱ）当1e <<，即222a e <<时，()fx '在x ∈时为负数，在)x ∈时为正数，所以()f x 在区间)上为减函数，在)e上为增函数。

故当x ln 22a a，且此时()f f e <。

…………（12分）()f x 在区间[1,]e 上为减函数，故当x …………（14分）22e <。

22a e <≤；或222e a a e ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，此时无解。

…………（16分）(压题卷)1．已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为2． 2．已知函数)(log 2x ax y a -=在区间[2，4]上是增函数，则实数a 的取值范围是),1(+∞．四、导数题1． 汶川大地震后，为了消除某堰塞湖可能造成的危险，救授指挥部商定，给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽（如图所示）进行引流，已知等腰梯形的下底与腰的长度都为a ，且水槽的单位时间内的最大流量与横载面的面积为正比，比例系数0k >． (1)试将水槽的最大流量表示成关于θ的函数()f θ；(2)为确保人民的生命财产安全，请你设计一个方案，使单位时间内水槽的流量最大（即当θ为多大时，单位时间内水槽的流量最大）． 解：(1)设水槽的横截面面积为s ，则21[(2cos )]sin sin (1cos ).2s a a a a a θθθθ=++⋅=+所以2()sin (1cos ),(0,).2f ks a k πθθθθ==+∈(2)因为22()(2cos cos 1)f a k θθθ'=+-，令()0f θ'=，则2由当当22m ． 边的夹角为(0)2πθθ<<，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．解：(1)根据图得22(),(0,).sin cos 2l BP AP πθθθθ=+=+∈(2)解法1：铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：22()()()sin cos l θθθ'''=+ 220sin 2cos 0cos 2sin sin cos θθθθθθ⋅-⋅⋅+⋅=+22222(sin cos ).sin cos θθθθ-=令()0l θ'=得，4πθ=．当04πθ<<时，()0,()l l θθ'<为减函数； 当42ππθ<<时，()0,()l l θθ'>为增函数；所以当4πθ=时，()l θ有最小值因为5>，所以铁棒能水平通过该直角走廊．解法2：铁棒能水平通过该直角走廊，理由如下：[l =21)4-， 2sin 2θ有最小值2．3 解：(1)当18a =时2()416ln (0)f x x x x x =-->，162(2)(4)()24.x x f x x x x+-'∴=--= 由()0f x '>，解得4x >或20.x -<<注意到0x >，所以函数()f x 的单调递增区间是(4,).+∞由()0f x '<，解得04x <<或2x <-，注意到0x >，所以函数()f x 的单调递减区间是(0,4).综上所述，函数()f x 的单调递增区间是(4,)+∞，单调递减区间是(0,4). (2)当2[e,e ]x ∈时，2()4(2)ln ,f x x x a x =-+-22242()24a x x af x x x x--+-'=-+=，设2()242g x x x a =-+-，当0a <时，有1642(2)80a a ∆=-⨯-=<，此时()0g x >恒成立， 所以()0,()f x f x '>在2[e,e ]上单调递增，所以2min ()(e)e 4e 2.f x f a ==-+- 当0a >时，1642(2)80a a ∆=-⨯-=>，令1<令[e,1上单调递减，在区间；[来源:Z,xx,]③当1e +≤，即202(e 1)a <≤-时，()f x 在区间2[e ,e ]上单调递增，所以2m i n()(e )e4e 2.f x f a ==-+-综上所述，当222(e 1)a ≥-时，42min ()e 4e 42f x a =-+-；当2222(e 1)2(e 1)a -<<-时，min ()3(2)ln(12a f x a =-+-； 当0a <或202(e 1)a <≤-时，2min ()e 4e 2.f x a =-+- 4．函数3()3f x x x =-． (1)求函数()f x 的极值；(2)已知()f x 在[,2]t t +上是增函数，求t 的取值范围；的最小值． 令当当11t -<≤-时，(2)m f t =+，2M =，32()69g t t t t =-+-，当11t -<≤-，2m =-，()M f t =，3()32g t t t =-+，当11t -<≤时，2m =-，(2)M f t =+，32()694g t t t t =+++， 当1t >时，()m f t =，(2)M f t =+，2()6122g t t t =++．233233226122(3),32(3169(11),()32(113694(11),6122(1),t t t t t t t t t t g t t t t t t t t t t t ⎧++≤-⎪⎪-++-<≤-⎪⎪⎪----<≤-⎪⎪∴=⎨⎪-+-<≤-+⎪⎪⎪+++-<≤⎪⎪++>⎪⎩ ()g t最小值为(1(12g g -=-=+．3a 无关，求a 的取值范围； x 的方程()f x m =的解集．时，1,x a f ≥ ，即2xa =②，1,0a >∴由①②知函数()f x 的值域为(2)()()2,[2,)x x g x f x a a x =-=+∈-+∞， ①0x ≥，1,1,()3,()3x x a a g x a g x >∴≥=∴≥， ②20x -≤<时，211,1,()2x x x a a g x a a a->≤<=+，令x t a =，则()2g x t t =+，记()2.h t t t =+2(1)t a ≤<，1()2h t t t =+≥12t t =，2t =时等号成立，(i)21a ≤a ≥min ()g x =a 无关；(ii)21a >1a <<421()220h t a t '=-≥->， ()h t ∴在21[,1)a 上是增函数，2min min 2212()()()3g x h t h a a ===+<，结合①知2min 22()g x a a=+与a 有关；综上，若()g x 的最小值与a 无关，则实数a(3)①3m <≤时，关于x 的方程()f x m =的解集为x ⎧⎪⎨⎪⎩；②a 或3log a x m ⎫=⎬⎭．41()(1)(0)2g g f --=．a 的取值范围； A ；解3-,∴方程()()f x g x =，即23a x x --=-，可化为133a x x --=-，令1x t -=，则由题意可得，33a t t =-在(0,)+∞上有唯一解．令3()3(0)h t t t t =->，由2()330h t t '=-=，可得1t =，当01t <<时，由()0h t '>，可知()h t 是增函数；当1t >时，由()0h t '<，可知()h t 是减函数，故当1t =时，()h t 取极大值2；由函数()h t 的图象可在，当2a =或0a ≤时，方程()()f x g x =有且仅有一个正实数解． 故所求a 的取值范围为{2a a =或}0a ≤． (3)由1,10b b c =--=，可得0c =，{|()()A x f x g x =>且}1()0|3g x x ax x ⎧<=->⎨⎩且}{20|310x x ax x <=--<且}0x <,当0a >时，A =; 当0a =时，1(,0)3A =-；当9a <-时，(940),(,0)a A ∆=+<=-∞;当当 ．5的结论求g (x )的最大值和最小值．设cos ,),2παβαβ==<<sin sin αβ==,则()),f x βα=-当αβ=时，222[0,1]A x A B =∈+，此时()f x 又cos()βα-在222[0,]A A B +递增，在222[,1]A A B +递减， ()f x ∴的最小值是(0)f 与(1)f 的较小者，即A 与B 的较小者． (3)设111()x t n m m =-+，11[,],[0,1],x t m n∴∈∴∈则()()g x k t ==,由(2)知g (x )=,．6点(,)N x ny 在函数()n y g x =的}R a ∈;)x b ≤≤的值域为1,3,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()n ny g x =⎩22log n n x ．(2)方程12(2)()g x g x a +=+x a =+,∴求集合A x a =+有实根时a 的范围．而2199)244a x ==-+≤,94a ∴≤时原方程总有实根，9,4A ⎛⎤=-∞ ⎥⎦⎝, (3)2log 2111()()()log ,(0)2n x n n H x F x x a x b x x ==∴=-<≤≤,又'211()0,()ln 2F x F x x x =--<∴在[],a b 上递减, ()31()2F a F b =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩ ,即2213log 11log 2a a b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①, 由1y t x =+与2log y x =的图象只有唯一交点知：方程21log t x x+=只有唯一解， 经检验122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩是方程组①的唯一解，故得证．七、理科附加题1e.!n x x n -> ， (0,1)1 (1,)+∞－ 0 + ()f x极小值极大值极小值∴函数()y f x =的增区间为(2,0)-和(1,)+∞，减区间为(,2)-∞-和(0,1)． (2)当[1,2]x ∈-时，212(1)0,e 3f -=-<(2)4(e )0,()3f f x =->极小值(1)(1),()3f f f x ==->-极大值(0)0f ==．所以()f x 在[1,2]-上的最小值为212.e 3-(3)设1()e!n x n x g x n -=-，当1n =时，只需证明11()e 0x g x x -=->，当(1,)x ∈+∞时，11()e 10x g x -'=->，所以11()e x g x x -=-在(1,)+∞上是增函数，011()(1)e 10g x g ∴>=-=，即1e x x ->；当(1,)x ∈+∞时，假设n k =时不等式成立，即1()e 0!kx k x g x k -=->， 当1n k =+时， 因为111(1)()ee 0(1)!!k k x x k k x x g x k k --++'=-=->+，所以1()k g x +在(1,)+∞上也是增函数．x 0, 使得f (x 0)是f (x )的最大值, g (x 0)是g (x )20))，B (n , f (n ))． (1)(2)f (x )的表达式；(3)若0<a <b ,函数f (x )在x =m 和x =n 处取得极值,且a +b ≤2 3.问：是否存在常数a 、b ,使得→OA·→OB =0? 若存在,求出a ,b 的值；若不存在,请说明理由．20.（1）322()2f x x ax a x =-+ 令22()340f x x ax a '=-+=， 得：13ax =，2x a =．…2分 1当0a >时， 12x x <（表可删）∴所求单调增区间是(,)3a -∞，(,)a +∞， 单调减区间是（3a，a ）2当0a <时，所求单调增区间是(,)a -∞，(,)3a+∞， 单调减区间是（a ，3a ）3当0a =时，2()3f x x '=≥0 所求单调增区间是(,)-∞+∞．……………………………5分（2）()()32f x x a b x abx =-++ ()()232,f x x a b x ab '∴=-++当[]1,1x ∈-时，恒有()32f x '≤ ()()()3333331,1,0,222222f f f '''∴-≤≤-≤-≤-≤≤……………………………8分即()()3332,223332,2233,22a b ab a b ab ab ⎧-≤-++≤⎪⎪⎪-≤+++≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩得3,20,ab a b ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ 此时，满足当[1,1]x ∈-时|()|f x '≤3恒成立．()332f x x x ∴=-．……………………10分（若∴)b =- ○1[来源:学科网]3ab= ○2…………………12分 ○2ab ≥12，…………14分 a b +≤2又2ab =，∴…………………………………………………………16分江苏省淮州中学2010—2011学年度第一学期中考试高三数学试卷7．已知函数23()log log 2f x a x b x =-+，若1()42009f =，则(2009)f 的值为 ▲ ． 答案：013．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩，关于原点的中心对称点的组数为 ▲ ． 答案：2 二、解答题18．（本小题满分15分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行s 是多少？21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s 时，w 取得最大值． ． ⎭⎝43ss ． 又令0='v ，得20=s ．5325322)8000(1000100081000s s s s v -=⨯+-='当20<s 时，0>'v ；当20>s 时，0<'v ，所以20=s 时，v 取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格20=s (元／吨)时，获最大净收入． 20．（本小题满分16分）已知函数1()log 1amxf x x -=-(0,1,1)a a m >≠≠是奇函数. （1）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值； （2）令函数()()()2815f x g x ax x a=-+--，8a ≥时，存在最大实数t ，使得(1,]x t ∈ ()55g x -≤≤恒成立，请写出t 与a 的关系式．解：（1）由已知条件得()()0f x f x -+=对定义域中的x 均成立.∴11log log 011aa mx mxx x +-+=---. 即11111mx mxx x +-⋅=--- ∴22211m x x -=-对定义域中的x 均成立.1m =-.则1log 1121an n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当12n a ≤<-时有3a >. ∴()f x 在(,2)n a -为减函数,要使()f x 的值域为(1,)+∞, 则11log 13a n a a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩， ∴2a =1n =.（2）()()()22241681583()3f x g x ax x aax x a x a a=-+--=-++=--++，则函数()y g x =的对称轴4x a=，8a ≥∴410,2x a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦. ∴函数()y g x =在(]1,x t ∈上单调减.则1x t <≤，有()()(1)g t g x g ≤<.(1)11,g a =-又8a ≥，∴(1)1135g a =-≤<.∴0x y +=平行，若()f x 在区间的取值范围是 ▲ ．2201122011x x x x ++++-+-++-()x ∈R ，且f答案：6. 二、解答题17.（本小题满分14分）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (0)k >．现已知相距18km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为,a b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC x =（km ）． （1）试将y 表示为x 的函数；（2）若1a =，且6x =时，y 取得最小值，试求b 的值． 解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为2kax，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，其中k 为比例系数，且0k >． ……………………4分从而点C 处受污染程度22(18)ka kby x x =+-．……6分 （2）因为1a =，所以，22(18)k kb y x x =+-，…8分 '3322[](18)b y k x x -=+-，令'y =，得x =，…………12分 又此时6x =，解得8b =，经验证符合题意． 所以，污染源B 的污染强度b 的值为8． ……14分 20.(本小题满分16分)已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演算步骤．．．．．．．．）． 解：（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=， 有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <. ……………………4分 （2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤. …………………………………8分（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分① 当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[-上递减，在[1,]2a--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)h a h a -=+=+， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.③ 当10,0a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[3a +，2()124a a h a -=++， .()x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减， (2)30a =+≥，. 上递减，在[1,2]上递增， 3+；分江苏省南通中学2010—2011学年度高三第一学期中考试数学新课标第一网系列资料 7．已知函数23()log log 2f x a x b x =-+，若1()42009f =，则(2009)f 的值为 ▲ ． 答案：013．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩，关于原点的中心对称点的组数为 ▲ . 答案： 218．（本小题满分15分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（（（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行s 是多少？21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s 时，w 取得最大值． ． ………………7分 (2)设甲方净收入为v 元，则2002.0t st v -=．将21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 代入上式，得：432100021000s s v ⨯-=． 5325322)8000(1000100081000s s s s v -=⨯+-='又令0='v ，得20=s ．当20<s 时，0>'v ；当20>s 时，0<'v ，所以20=s 时，v 取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格20=s (元／吨)时，获最大净收入．………………15分20．（本小题满分16分）已知函数1()log 1amxf x x -=-(0,1,1)a a m >≠≠是奇函数. （1）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值； （2）令函数()()()2815f x g x ax x a=-+--，8a ≥时，存在最大实数t ，使得(1,]x t ∈ ()55g x -≤≤恒成立，请写出t 与a 的关系式．.x 均成立. 1m =-. 函数∴①当21n a <-≤-时有01a <<. ∴()f x 在(,2)n a -为增函数， 要使值域为(1,)+∞，则1log 1121an n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当12n a ≤<-时有3a >. ∴()f x 在(,2)n a -为减函数,要使()f x 的值域为(1,)+∞, 则11log 13a n a a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩，∴2a =1n =.分（2）()()()2281583(f x g x ax x aax x a x =-+--=-++=- 则函数()y g x =的对称轴4x a=，8a ≥∴40,2x a ⎛=∈ ⎥⎝⎦∴函数()y g x =在(]1,x t ∈上单调减.则1x t <≤，有()()(1)g t g x g ≤<.(1)11,g a =-又8a ≥，∴(1)1135g a =-≤<.t 是最大实数使得(]1,x t ∈恒有5()5g x -≤≤成立，∴2835at t -++=-即2880at t --=．……………………………………………16分2011届江苏高考数学权威预测题9、已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲ .答案：(0,)+∞11、设定义在R 上的函数()f x 满足对,x t R ∀∈，且0t ≠，都有(()())0t f x t f x +->，则{}{}(,)|()(,)|x y y f x x y y a==的元素个数为 ▲ ．答案：０或１ 二、解答题20、（16分）对于正整数,a b ，存在唯一一对整数q r 和，使得,0a bq r r q =+≤<.特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1,2,3,,23}A =.（1）存在q A ∈，使得201191(091)q r r =+≤<，试求,q r 的值；（2）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（3）若,()12(()B A card B card B ⊆=指集合B 中元素的个数），且存在,,,|a b B b a b a ∈<，则称B 为“和谐集”.求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由. （1）解：因为201191229=⨯+，所以22,9q r ==. ……………3分（2）证明：假设存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠.设(1),{1,2,3},(2),{1,2,3}f a a f b b =∈=∈，由已知a b ≠.由于|31|2,|32|1-=-=，所以(3)(1),(3)(2)f f f f ≠≠. ……………6分 不妨令(3),{1,2,3}f c c =∈，这里,c a ≠且c b ≠， 同理，(4),(4)f b f c ≠≠且, 因为{1,2,3}只有三个元素，所以(4)f a =. 即(1)(4)f f =，但|41|3-=，与已知矛盾.因此，假设不成立，即不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠. ……………9分（3）解：当8m =时，记{7|1,2,,16},{2(7)|1,2,3,4}M i i N i i =+==+=，记M P N =ð，则()12card P =，显然对任意116i j ≤<≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立.故P 是非 “和谐集”，此时，{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}P =.同理，当9,10,11,12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 因此7m ≤. ……………12分下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 设1211{,,,,7}B a a a =.若1，14，21都不属于集合B ，构造集合123{2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20}B B B ===，/45{9,18},{11,22},{13,15,17,19,23}B B B ===.以上12345,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑/B B ⊆的情况，也即/B 中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从12345,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7. ……16分江苏省2011届高三上学期苏北大联考（数学）数学Ⅰ试题423-，则(2)f -= ★ ； 15)的最小正周期；c ， 若分 （Ⅰ）π4=T ……………………6分 （Ⅱ）由()C b B c a cos cos 2=-，利用三角形中的正弦定理知：1cos 2=B∵π<<B 0，∴3π=B ……………………9分()142sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，∵320π<<A ，127424πππ<+<A∴142sin 22≤⎪⎭⎫⎝⎛+<πA ，……………………12分 ∴()122+≤<A f ……………………14分20、（本小题共16分）已知函数ax x x f 3)(3-=（a ∈R ）,x x g ln )(=. （Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在区间[－2, 2]上的最小值；（Ⅱ）若在区间[1, 2]上)(x f 的图象恒在)(x g 图象的上方，求a 的取值范围； （Ⅲ）设|)(|)(x f x h =, x ∈[－1, 1]，求)(x h 的最大值)(a F 的解析式. 分列表得…………………………………………5分 Ⅱ）在区间上恒成立…………7分321x -≥分∴ （3）因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3--==ax x fx x g 最大值①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)('x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在.31)1()(a f a F -==②当0>a 时，),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-=（ⅰ）当1,1≥≥a a 即13)1()(,]1,0[)(),(|)(|)(-=-=--==a f a F x f x f x f x g 此时上单调递增在 （ⅱ）当10,10<<<<a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增；1°当131,031)1(<≤≤-=a a f 即时， ,]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --== a a a f a F 2)()(=-=； 2°当310,031)1(<<>-=a a f 即 （ⅰ）当a F a a f a f (,410,31)1()(≤<-=≤-时即 （ⅱ）当F a a f a f (,3141,31)1()(<<-=>-时即综上⎪⎪⎪⎨⎧<<≤-=)141(,2)41(,31)(a a a a a x F ………………16分6)，以年初为起点，根据历年数据，某水库的-1＜t ≤i 表示第i 月份(i =1，2，…12)，问一)=240(-t 2-15t +51＞0， 解得 t ＞15+21 2 或 t ＜15-212 ，从而 0＜t ＜15-212≈5.2。