自动控制原理第二章01ppt

第二章 控制系统的数学描述方法
问题的提出
以物理学系统 为研究对象 物理学系统需要 一个数学模型
微分方程是描运动 规律的数学模型
微分方程描述 运动规律
第二章 控制系统的数学描述方法
问题的提出
求解微分方程以得 到系统的运动规律
线性微分方程可以采 用拉氏变换来求解 非线性微分方程进行 线性化－－拉氏变化 解析法
dx dt
kx Fi
机械平移系统的运动方程也是二阶微分方程。
机械旋转运动 例2－4 已知机械旋转系统如图所示，试列出 系统运动方程。
解 由角加速度方程
其中 J：转动惯量：角加速度 得到：
J d dt f M f
∑M
d dt
：合外力矩
J
f M f
如果以角度θ为输出，由于
线性方程 非线性方程(连续、可导)
y=kx
y=f(x)
非本质非线性
应用小偏差理论实现非线性方程的线性化

具有连续变化的非线性函数
y = f (x)
为预定工作点，则该非线性函 数可以线性化的条件是：变量X 偏离预 定工作点很小。
泰勒级数：
y( x) y( x0 ) d dt [ y ( x )] ( x x0 ) x x0 1 d 2 ! dt
y k 0 x
y k0 x
例2－7 已知单摆系统的运动如图2－11所示。 （1）写出运动方程（2）求取线性化方程。 解（1）列写运动方程 摆球质量为 m 摆长为l；摆角为 ， 运动弧长为 l· ， 摆球运动阻力为h， 很小时，由牛顿定律可以写出
d
2
m( l
dt
2
) mg sin h
忽略2次以上高次项，有 = 得到线性化方程为 2 d
ml dt
2
l
d dt
mg 0
注意： （1）本质非线性系统不可以作线性化。
本质非线性系统不连续性、不可导性使得其 泰勒级数展开式在工作点邻域的切线近似不 成立。
（2）不同的工作点，不同的线性化系数，
有不同的线性化方程
（3）工作点邻域的线性化方程是增量方程
电学系统
i 元件约束：线性元件的V－I关系
ii
网络约束 基尔霍夫的两个定律
节点电流定律
回路电压定律
在这两个网络基本方程的约束下，可以确 定电网络中独立变量的个数，并写出电网 络的微分方程。
例2－1考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波 电路，写出以ui为输入，uo为输出的 微分方程。 R 解 由回路电压定律
ui C uo
RC
duC (t ) dt
uC (t ) ui (t )
时间常数T=RC，得到一阶微分方程
例2－2考虑两级RC网络的滤波电路，写出以 ui为输入，uo为输出的微分方程。
解 对于回路L1有 对于回路L2有 元件约束为
综合上述方程组，消去中间变量 i1，i2，uc1， 得到以ui为输入，uo为输出的微分方程
媒质阻力h的大小与运动速度成正比
得到单摆系统的运动方程
ml d
2
dt
2
l
d dt

mg sin 0
为2阶非线性方程。
ml l mg sin 0

给定初值： 和 运动 由方程唯一确定。
（2）求取单摆系统的线性化方程 由于 在=0邻域展开泰勒级数为
得到：
J d
2
dt
2
f
d dt
Mf
复合系统： 电动机——机电复合系统 例2－5 已知直流电动机，定子与转子的电磁 关系与机电系统原理如图所示，试写 出其运动方程电磁物理结构图
定子
转子
机电系统原理图
1、电网络平衡方程 2、电动势平衡方程 3、转矩平衡方程 4、电磁力矩方程
4方程联立，消去中间变量Ia，Ea，Ma，忽略 空载阻力矩ML，得到电枢电压Ui——旋转角 速度ω的2阶运动方程
2 2
[ y ( x )]
( x x 0 ) x x0
2
略去二阶以上高次项
y( x) y( x0 ) d dt [ y( x )]
x x0
( x x0 )
写出增量式 则 在x0邻域，斜率为 得到增量方程
k0 d dt
[ y ( x )]
x x0
写为普通变量，得到线性化方程
微分方程如 何人得到？
实验法
第二章 控制系统的数学描述方法 1、线性常系数微分方程 （时间域描述） 2、传递函数（Transfor function） （算子域描述） 3、结构图 （图形化描述）
2.1
控制系统微分方程的建立
解析法：（基础方法） 根据物理系统的运动定律列写方程。 实验法：（工程方法） 根据实验数据确定系统的运动规律。 主要以解析法列写方程： 电学系统 力学系统
R1C1 R2 C2 d uo dt
2 2
( R1C1 R2 C2 R1C2 )
duo dt
u
或
T1T2
d uo dt

2
2
(T1 T2 T3 )
duo dt

uo ui
T1T2 uo (T1 T2 T3 ) uo uo ui
( n 1)
(t ) a1 y (t ) a0 y (t )
( m)

nm
bmu
y
(i )
(t ) bm 1u
( m 1)
(t ) b1 u (t ) b0u (t )

式中
(t ), i 0,1,2,, n
为输出信号的各阶导数，
为常系数
ai , i 0,1,2, , n
运动规律为牛顿定律 机械平移运动 例2－3 设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示， 试列出以力Fi为输入，以质量单元的位 移x为输出的运动方程。 解 由加速度定律
Fi m f x k k－弹性系数 f －阻尼系数 m－物体质量
力学系统
合力为
外力 弹性阻力 粘滞阻力 代入方程有
m
d x dt
2
2
f
为输出信号的各阶导数，
为常系数
2、线性定常系统的基本性质（迭加原理） 如果有 输入 x1(t) 输入 x2(t) 输出 y1(t) 输出 y2(t)
则系统的输入为
输出保持线性可加为
3、非线性方程
本质非线性 非本质非线性 非线性微分 方程线性化 小偏差法或 者增量法
2.2 非线性微分方程的线性化
J a La d
2
kc
dt
2

J a Ra d kc dt
k e U i
由于电枢电感很小，略去La，得1阶方程
J a Ra d kc dt k e U i
总结复合系统 建立系统微分 方程的规律
控制系统的微分方程总结
1、线性常系数微分方程
y
(n)
(t ) an 1 y
（小范围工作）。 （4）多变量情况时，其线性化方法相似。 如双变量时，函数关系为f(x,y)。