第6章 假设检验与方差分析

t
X 0
S
2
~ t ( n 1)
n
若自由度(n-1)≥30，该t统计量近似服从标准正态分
布。
（四）总体分布未知，总体方差未知，大样本 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，如果总体偏斜适度， 且样本足够大，近似地有检验统计量
Z
X - m0
S
2
~ N (0,1)
n
例6-4
某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重
量服从正态分布，每包标准重量为1000克，某日随 机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准 差是24克。试问在α=0.05的显著性水平上，能否认 为这天自动包装机工作正常？ 解：
第一步：确定原假设与备择假设。
（二）临界值规则 假设检验中，还有另外一种做出结论的方法：根据 所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线的尾 部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，称作 临界值，直接用检验统计量的观测值与临界值作比 较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒绝 域）内，便拒绝原假设；观测值落在临界值所划定 的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，则认 为拒绝原假设的证据不足。这种做出检验结论的方 法，我们称之为临界值规则。
五 双侧检验和单侧检验 六 假设检验的两类错误 七 关于假设检验结论的理解
引例
袋装咖啡的平均重量是否符合要求 某品牌的咖啡厂商声称其生产的袋装咖啡每袋的平 均重量是150克。现从市场上抽取简单随机样本 n=100袋，测得其平均重量为 149.8克，样本标准差 s=0.872克。试问该厂商的装袋咖啡重量的期望值是 真如厂商所宣称的是150克。 要解决这一问题，就 要用到本章所介绍的假设检验的思想与方法。
第六章 假设检验与方差分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 假设检验的基本原理 总体均值的假设检验 总体比例的假设检验 单因子方差分析 双因子方差分析 Excel在假设检验与方差 分析中的应用
第一节 假设检验的基本原理
一 什么是假设检验
二 原假设与备择假设
三 检验统计量 四 显著性水平、P-值与临界值
/2

H 0 : θ＝ θ0
H 0 : θ≥θ 0 H 0 : θ≤θ 0
H 1 : θ≠θ 0
H 1 : θ <θ 0 H 1 : θ >θ 0
六、假设检验的两类错误
显著性检验中的第一类错误是指：原假设事实上正
确，可是检验统计量的观测值却落入拒绝域，因而 否定了本来正确的假设。这是弃真的错误。发生第 一类错误的概率在双侧检验时是两个尾部的拒绝 域面积之和；在单侧检验时是单侧拒绝域的面积。 显著性检验中的第二类错误是指：原假设事实上不 正确，而检验统计量的观测值却落入了不能拒绝域， 因而没有否定本来不正确的原假设，这是取伪的错 误。发生第二类错误的概率是把来自θ=θ1(θ1≠θ0)的 总体的样本值代入检验统计量所得结果落入接受域 的概率。
三、检验统计量
所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计算的用
于检验原假设是否成立的随机变量。 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数，以便 在“总体参数等于某数值”的假定下研究样本统计 量的观测结果。 检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有已知的 分布，从而便于计算出现某种特定的观测结果的概 率。
一、什么是假设检验
所谓假设检验，就是事先对总体的参数或总体分布
形式做出一个假设，然后利用抽取的样本信息来判 断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真 实情况与原假设是否存在显著的系统性差异，所以 假设检验又被称为显著性检验。 一个完整的假设检验过程，包括以下几个步骤：
（1）提出假设； （2）构造适当的检验统计量，并根据样本计 算统计量的 具体数值； （3）规定显著性水平，建立检验规则； （4）做出判断。
四、显著性水平、P-值与临界值
小概率事件在单独一次的试验中基本上不会发生，
可以不予考虑。 在假设检验中，我们做出判断时所依据的逻辑是： 如果在原假设正确的前提下，检验统计量的样本观 测值的出现属于小概率事件，那么可以认为原假设 不可信，从而否定它，转而接受备择假设。 至于小概率的标准是多大？这要根据实际问题而定。 假设检验中，称这一标准为显著性水平，用来表示 ，在应用中，通常取 =0.01， =0.05。一般来说， 犯第一类错误可能造成的损失越大， 的取值应当 越小。 对假设检验问题做出判断可依据两种规则：一是P值规则；二是临界值规则。
H0: = 1000， H1: 1000 第二步：构造出检验统计量，计算检验统计量的观测值。 由于总体标准差未知，用样本标准差代替，相应检验统 计量是t-统计量。 X 986 1000 0 t 1.75 s n 24 9
第三步：确定显著性水平，确定拒绝域
=0.05，查t-分布表(自由度n-1=8),得临界值是
在样本容量n不变的条件下，犯两类错误的概率常
常呈现反向的变化，要使和都同时减小，除非增 加样本的容量。为此，统计学家奈曼与皮尔逊提出 了一个原则，即在控制犯第一类错误的概率情况 下，尽量使犯第二类错误的概率小。在实际问题 中，我们往往把要否定的陈述作为原假设，而把拟 采纳的陈述本身作为备择假设，只对犯第一类错误 的概率加以限制，而不考虑犯第二类错误的概率 。
由第五章可知， E ( X ) 。由于原假设是 =150， 在原假设为真时，上式可以写作
Z X 150 V (X ) ~ N (0 , 1)
仍然由第五章可知， V ( X )
2
/ n ，以及
t
X 150 S2 n
~ t (n 1)
是式中的 t 就是本例所要构造的检验统计量。 由于 t 分布在自由度 30情形下可用标准正态分布 来近似，而本例中 n=100，自由度 n-1 远大于 30， 故上近似服从标准正态分布。根据样本数据计算 149.8 150 z 2.29 0.8722 100
1
2
并且，两样本独立。
为检验两个总体均值是否相等，我们提出原假设
H0:1 = 2 。可以证明，在原假设成立的条件下， 以下检验统计量服从自由度为n1+n2-2的t-分布。即
t
n1 1 S
n2 1 S n1 n2 2
2 1
X1 X 2
2 2
1 1 n1 n2
五、双侧检验和单侧检验
/2
–Z /2
1–
(a)双侧检验 Z / 2
/2


– Z
0 (b)左侧检验
0 Z (c)右侧检验
图6-1 双侧、单侧检验的拒绝域分配
表6-1 拒绝域的单、双侧与备择假设之间的对应关系
拒绝域 位置 双侧
左单侧 右单侧
P-值检验的显著 性水平判断标准
原假设
备择假设
例6-1
构： H 0 : 150， H 1 : 150 。
由于咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分 布，所以其简单随机样本的均值 X 也服从正态分布。 我们把 X 标准化成为标准正态变量
Z X E( X ) V (X ) ~ N (0 , 1)
二、原假设与备择假设
原假设一般用H0表示，通常是设定总体参数等于某
值，或服从某个分布函数等；备择假设是与原假设 互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成 立。所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否正 确，若拒绝原假设H0 ，则意味着接受备择假设H1 。 如在引例中，我们可以提出两个假设：假设平均袋 装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异，记为 H0: = 150；假设平均袋装咖啡重量与所要控制的 标准有显著差异，记为H1: 150。
Z
X 0

2
~ N (0,1)
n
（二）总体分布未知，总体方差已知，大样本 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，如果样本足够大 （n≥30），近似地有检验统计量
Z
X 0

2
~ N (0,1)
n
（三）总体为正态分布，总体方差未知 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，有检验统计量
（一）P-值规则 所谓P-值，实际上是检验统计量超过(大于或小于) 具体样本观测值的概率。如果P-值小于所给定的显 著性水平，则认为原假设不太可能成立；如果P-值 大于所给定的标准，则认为没有充分的证据否定原 假设。
例6-2
假定 =0.05，根据例6-1的结果，计算该问题的P-
值，并做出判断。 解：查标准正态概率表，当z=2.29时，阴影面积为 0.9890，尾部面积为1–0.9890=0.011，由对称性可知， 当z= –2.29时，左侧面积为0.011。 0.011≤/2=0.025 0.011这个数字意味着，假若我们反复抽取n=100的 样本，在100个样本中仅有可能出现一个使检验统 计量等于或小于–2.29的样本。该事件发生的概率小 于给定的显著性水平，所以，可以判断μ=150的假 定是错误的，也就是说，根据观测的样本，有理由 表明总体的与150克的差异是显著存在的。
判断。 解：查表得到，临界值z0.025= –1.96。由于 z= –2.29< –1.96，即，检验统计量的观测值落在临 界值所划定的左侧（即落在拒绝域），因而拒绝 μ=150克的原假设。上面的检验结果意味着，由样 本数据得到的观测值的差异提醒我们：装袋生产线 的生产过程已经偏离了控制状态，正在向装袋重量 低于技术标准的状态倾斜。
七、关于假设检验结论的理解
这就是说，在假设检验中，相对而言，当原假设被
拒绝时，我们能够以较大的把握肯定备择假设的成 立。而当原假设未被拒绝时，我们并不能认为原假 设确实成立。