3平面机构的运动分析
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机械原理第三章 运动分析
例3-4 含三副构件的六杆机构运动分析
例3-5 已知图示机构各构件的尺寸及原动件1的角速度1，求 C点的速度vc及构件2和构件3的角速度2及 3；求E点的速度 vE 加速度aE 。 解： 1) 列矢量方程，分析 各矢量大小和方向。 2) 定比例尺，作矢量 图。 3) 量取图示尺寸，求 解未知量。 2 C
vB 3 vB 2 vB 3B 2
⊥BC ⊥AB ？ lAB1
v ？
m/s mm
1
A
1
B
2
方向： 大小： 定比例尺 作矢量图.
∥BC
？
3 C 4
vB3B 2 v b2b3
p b3 b2
vB 3 v pb3 3 lBC lBC
顺时针方向
2) 求构件3的角加速度3 列方程：
机械原理 第三章 平面机构的运动分析
§3-1 概述
§3-2 速度瞬心及其在平面机构速度分析中的应用 §3-3 平面机构运动分析的矢量方程图解法 §3-4 平面机构运动分析的复数矢量法 §3-5 平面机构运动分析的杆组法
§3-1 概述
1.机构运动分析的内容 机构尺寸和原动件运动规律已知时，求转动构件上某点 或移动构件的位移、速度、加速度及转动构件的角位移、 角速度、角加速度。 2.机构运动分析的目的
绝对速度相等的重合点。用Pij表示。
若该点绝对速度为零——绝对瞬心。 若该点绝对速度不为零——相对瞬心。 二、瞬心的数目 设N 为组成机构的构件数（含机架），K为瞬心数，则
2 K CN =N ( N 1) / 2
三、瞬心的位置 1.两构件组成转动副 P12
1 2
以转动副相联，瞬心在其中心处。
P12、P13 的位置（绝对瞬心），P23
平面机构的运动分析
2
极点
c'
n ''
vB
p'
aB
b'
aE a p ' e '
n
e'
n'
加速度多边形
★加速度多边形的特性
2
极点
c'
n ''
p'
vB
aB
注意：速度影像和加速度影像只适用于 同一构件上的各点。
b'
n
e'
n'
加速度多边形
①由极点 p’ 向外放射的矢量代表构件相应点的绝对加速度；
2）确定直接联接构件的瞬心位置
3）用三心定理求非直接联接构件的瞬心位置 枚举法用于构件数较少的机构，构件较多用点元法求解。
《机械原理》
第三章 平面机构运动分析 ——利用瞬心法进行机构速度分析
例1：图示五杆机构，标出全部瞬心。
1、瞬心数目：
N n(n 1) 2
5 (5 1) 2
10
A1 (A2)
2
P12
② 已知任意两点A、B的相对速 度方向，求瞬心点位置
（ 二）速度瞬心的分类
◆ 绝对瞬心（ absolute instant centre）: 该点的绝对速度为零。 ◆ 相对瞬心（ relative instant centre）: 该点的绝对速度不为零。
1 2
P12
1 2
P12
P23
相联
瞬
心
P12
2
位
3
4
P34
置
的
确
1
定
两构 件非 运动
N n(n 1) 4 (4 1) 6
第3章平面机构的运动分析
一、基本原理和方法
1.矢量方程图解法
设有矢量方程： D＝ A + B + C
因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据已 知条件的不同，上述方程有以下四种情况：
D＝ A + B + C 大小：？ √ √ √ 方向：？ √ √ √
D＝ A + B + C 大小：√ ？ ？ √
方向：√ √ √ √
B
A
D
C
②联接任意两点的向量代表该两点 在机构图中同名点的相对速度， 指向与速度的下标相反。如bc代 表VCB而不是VBC ，常用相对速 度来求构件的角速度。
P
C
A 作者：潘存云教授
B
D
a
③∵△abc∽△ABC，称abc为ABC的速 度影象，两者相似且字母顺序一致。
作者：潘存云教授
c
p
前者沿ω 方向转过90°。称△abc为
3.求传动比 定义：两构件角速度之比传动比。
ω 3 /ω 2 ＝ P12P23 / P13P23 推广到一般：
2
P ω2 12
1
ω i /ω j ＝P1jPij / P1iPij
P ω 233
3
P13
结论:
①两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对
瞬心的距离之反比。
②角速度的方向为：
相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧时，两构件转向相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心之间时，两构件转向相反。
B A
DC
D＝ A + B + C 大小：√ √ √ √ 方向：√ √ ？ ？
D＝ A + B + C 大小：√ ？ √ √ 方向：√ √ ？ √
B
A
机械原理-第3章 平面机构的运动分析和力分析
a
大小:2w1×vB2B1=2w1vB2B1sin90°=2w1vB2B1; k B 2 B1 方向:将vB2B1的方向沿w1转过90°。
vB1B2 1
2 B
(B1B2)
vB1B2 1
2 B
(B1B2)
ω1
a
k B 2 B1
ω1
a
k B 2 B1
(3)注意事项
B (B1B2)
1
2
vB1 = vB2，aB1 = aB2，
目的： 了解现有机构的运动性能，为受力 分析奠定基础。 方法：1)瞬心法（求速度和角速度）; 2)矢量方程图解法; 3)解析法（上机计算）。
3.1
速度瞬心
(Instant center of velocity )
3.1.1 速度瞬心
两个互作平行平面运动的构件 定义：
上绝对速度相等、相对速度为
零的瞬时重合点称为这两个构 件的速度瞬心, 简称瞬心。瞬 心用符号Pij表示。
图(b) 2
(B1B2B3)
扩大刚体(扩大构件3)，看B点。
B 1 A
b2
C
vB3 = vB2 + vB3B2
方向：⊥BD ⊥AB 大小： ？ lAB w1 ∥CD ?
3
w1
D
4
p
选 v ，找 p 点 。
v
v B 3 pb3 μv ω3 （逆 ） l BD l BD
b3
(b)
例4:已知机构位臵、尺寸，w1为常数，求w2、a2。
C B
n t n t aC aC a B aCB aCB
2
1
E
方向:C→D ⊥CD B→A C→B ⊥CB 大小:lCD w32 ? lABw12 lCB w22 ?
第三章平面机构的运动分析
A。以转动副直接相联的---------在转动副中心 B。以移动副直接相联的---------在垂直于移动方向的无穷远处 C。以高副直接相联的：纯滚动----- --在接触点 非纯滚动-----在接触点的公法线上
•不以运动副直接相联的构件
三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件共有
三个瞬心，且必在同一直线上。 例1：求图3-3所示机构的瞬心 N=n（n-1）/2 =4（4-1）/2 =6
上例中：构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 速度关系如下： VD5 = VD4+ VD5D4 大小 ？ √ ？ 方向 ⊥DF √ ∥移动方向
ω5= VD5/LDF
构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 加速度关系如下：
aD5 = aD5n + a D5t =aD4 + aD5D4k （哥氏加速度） + aD5D4r 大小 ω52* LDF ？ √ 2ω4* VD5D4 ？ 方向 D→F ⊥DF √ VD5D4方向沿ω4转过900 ∥移动方向 构件4、5形成移动副，两构件间无相对转动， 则： ω5= ω4
3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构 进行速度分析
例3-2,求图示齿轮--连杆组合机构中构件6的角速度。 解：
K点为构件2、4的瞬心，VK= ω2*LOK E点为构件1、4的瞬心，VE=0 构件4上已知两点K、E的速度，第三点B的速度可用影象法求 用矢量方程VC = VB + VCB可求出VC，则ω6=VC/LCD
例2:求图3-4中从动件3的移动速度。
解:
1 .先求出构件2、3的瞬心 2.V3=VP23= ω2*P12P23 P13∞
例3：求图示机构中构件6的移动速度。 解：V6=VP26= ω2*P12P26
•不以运动副直接相联的构件
三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件共有
三个瞬心，且必在同一直线上。 例1：求图3-3所示机构的瞬心 N=n（n-1）/2 =4（4-1）/2 =6
上例中：构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 速度关系如下： VD5 = VD4+ VD5D4 大小 ？ √ ？ 方向 ⊥DF √ ∥移动方向
ω5= VD5/LDF
构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 加速度关系如下：
aD5 = aD5n + a D5t =aD4 + aD5D4k （哥氏加速度） + aD5D4r 大小 ω52* LDF ？ √ 2ω4* VD5D4 ？ 方向 D→F ⊥DF √ VD5D4方向沿ω4转过900 ∥移动方向 构件4、5形成移动副，两构件间无相对转动， 则： ω5= ω4
3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构 进行速度分析
例3-2,求图示齿轮--连杆组合机构中构件6的角速度。 解：
K点为构件2、4的瞬心，VK= ω2*LOK E点为构件1、4的瞬心，VE=0 构件4上已知两点K、E的速度，第三点B的速度可用影象法求 用矢量方程VC = VB + VCB可求出VC，则ω6=VC/LCD
例2:求图3-4中从动件3的移动速度。
解:
1 .先求出构件2、3的瞬心 2.V3=VP23= ω2*P12P23 P13∞
例3：求图示机构中构件6的移动速度。 解：V6=VP26= ω2*P12P26
机械原理平面机构的运动分析
机械原理平面机构的运动分析机械原理是研究机械结构的运动、力学性能和设计规律的一门学科。
而平面机构是机械原理中的一个重要概念，指的是在同一平面内运动的机构。
平面机构广泛应用于工程领域，例如各种机床、汽车、船舶等。
对平面机构的运动分析，可以帮助我们理解机构的运动性能以及设计出更加高效的机构。
平面机构的运动分析通常包括以下几个方面：1.机构的自由度和约束度分析：机构的自由度指的是机构在运动中能够独立自由变动的数量，约束度指的是机构在运动中受限制的数量。
自由度和约束度的分析可以帮助我们确定机构的运动特性和受力情况，从而进行更加准确的运动分析。
2.运动学分析：运动学分析是研究机构在运动中各个点的速度和加速度分布的过程。
通过运动学分析，可以确定机构在运动中的速度和加速度的大小和方向，进而计算出关键部位的动力学参数，如惯性力、跟随误差等。
3.强度和刚度分析：机构在运动过程中会受到一定的力学载荷，为了确保机构的正常工作和安全性，需要对机构的强度和刚度进行分析。
强度分析可以帮助我们确定机构的承载能力和应力状态，而刚度分析可以帮助我们确定机构的变形情况和运动精度。
4.动力学分析：动力学分析是研究机构在运动中产生的动力学特性的过程。
通过动力学分析，可以确定机构在运动中的力学响应和响应频率，进而验证机构的设计是否符合运动要求和预期的性能。
对于平面机构的运动分析，需要掌握以下基本方法和步骤：1.给定机构的几何结构和运动要求，确定机构的自由度和约束度。
2.建立机构的运动学模型，包括机构的运动副和约束副。
3.分析机构的运动学闭链，通过运动副和约束副的条件，建立运动学方程组，进而求解各个点的速度和加速度。
4.根据机构的几何结构和质量分布，建立机构的动力学模型，包括质点的质量和惯量矩阵。
5.根据运动学方程组和动力学模型，得到机构的动力学方程组，进而求解力学响应和响应频率。
6.对机构的强度和刚度进行分析，确定机构的设计是否满足要求。
机械原理第3章平面机构的运动分析
（不包括机架）， 所以有 N=n+1 。
机构中构件 3 4 5 ……
总数
瞬心数 3 6 10 ……
p12 p13 p23
p12 p13 p14 p23 p24 p34
p12 p13 p14 p15 p23 p24 p25 p34 p35 p45
4
机械原理
§3-2 用速度瞬心法作机构的速度分析 3. 瞬心位置的确定
∴ω4
= ω2
P12 P24 P14 P24
两方构向件？的若角相速对度瞬与心其P绝24对在瞬两心绝对瞬心P12 、P14 至相对瞬的心延的长距线离上成，反比ω2、ω4 同向；若P24
在P12 、15P14之间，则ω2、ω4 反向。
机械原理
（2）求角速度 高副机构
已知构件2的转速ω2，求构件3的角速度ω3
θ3 = arctan a ± a2 +b2 −c2
(3)
2
b+c
* 正负号对应于机构的两个安装 模式，应根据所采用的模式确定 一个解。
此处取“+”
21
机械原理
22
机械原理
⎧⎨⎩ll22
cosθ2 sin θ 2
= =
l3 l3
cosθ3 − l1 cosθ1 + xD − xA sinθ3 − l1 sinθ1 + yD − yA
2 建立速度、加速度关系式 为线性, 不难求解。
3 上机计算, 绘制位移、速度、加速度线图. * 位移、速度、加速度线图是根据机构位移、速度、加速度
对时间或原动件位移的关系式绘出的关系曲线. ** 建立位移关系式是关键，速度、加速度关系式的建立只是求
导过程。
19
机械原理
机构中构件 3 4 5 ……
总数
瞬心数 3 6 10 ……
p12 p13 p23
p12 p13 p14 p23 p24 p34
p12 p13 p14 p15 p23 p24 p25 p34 p35 p45
4
机械原理
§3-2 用速度瞬心法作机构的速度分析 3. 瞬心位置的确定
∴ω4
= ω2
P12 P24 P14 P24
两方构向件？的若角相速对度瞬与心其P绝24对在瞬两心绝对瞬心P12 、P14 至相对瞬的心延的长距线离上成，反比ω2、ω4 同向；若P24
在P12 、15P14之间，则ω2、ω4 反向。
机械原理
（2）求角速度 高副机构
已知构件2的转速ω2，求构件3的角速度ω3
θ3 = arctan a ± a2 +b2 −c2
(3)
2
b+c
* 正负号对应于机构的两个安装 模式，应根据所采用的模式确定 一个解。
此处取“+”
21
机械原理
22
机械原理
⎧⎨⎩ll22
cosθ2 sin θ 2
= =
l3 l3
cosθ3 − l1 cosθ1 + xD − xA sinθ3 − l1 sinθ1 + yD − yA
2 建立速度、加速度关系式 为线性, 不难求解。
3 上机计算, 绘制位移、速度、加速度线图. * 位移、速度、加速度线图是根据机构位移、速度、加速度
对时间或原动件位移的关系式绘出的关系曲线. ** 建立位移关系式是关键，速度、加速度关系式的建立只是求
导过程。
19
机械原理
平面机构的运动分析
2.第二种情况——不同构件重合点
A
1 ω1
C
2
B1 （B2 B3 ）
VB2 = VB1 VB3 = VB2 + VB3B2 大小： ? ω1LAB ？ 方向：⊥BD ⊥AB ∥导路
3
p
D
4
b2 b1 b3
§3-3 用相对运动图解法对机构进行运动分析
anB3 + aτB3 = aB2 + akB3B2 + aτB3B2 大小： ω32 LBD ? ω12 LAB 2 ω2vB3B2 ？
1.同一构件上两点间的速度和加速度关系
构件上C点或B点的运动，可以看
作随其上任一点（基点）A 的牵连运 A
动和绕基点A 的相对转动。
C B
§3-3 用相对运动图解法对机构进行运动分析
2.两构件上重合点间的速度和加速度关系
构件2的运动可以看作是构件2跟 着构件1的牵连运动和构件2相对构件 1的相对运动的合成运动。构件3的运 动可以看作是构件3跟着构件2的牵连 运动和构件3相对构件2的相对运动的 合成运动。
确定瞬心位置分为如下两种情况
1）通过运动副直接相联的两构件的瞬心
两构件组成移动副:
两构件组成转动副：
P12在垂直于导路的无穷远处
P12在转动副的中心
§3-2 用瞬心法对机构进行速度分析
两构件组成纯滚动高副： 纯滚动接触点的相对速度为零，接触点为速度瞬心。
两构件组成滑动兼滚动高副： 瞬心应在过接触点的公法线nn上， 具体位置由其它条件共同来确定。
图环的解速法度的分学析习，要工作求量非常大。
根据运动合成原理能 正确地列出机构的速度和加速度矢量方程 准确地绘出速度和加速度矢量图 根据矢量图解出待求量
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V3 VP13 lP13 P14 1
2
VP13
P13
1
VB l AB 1 lBp24 2
P34 P34 P23
P34
P12
B
2
l AB 1 2 l Bp 24
P14
A
ω1 VC＝ V3
C 3 4
(VC V3 lCp 24 2 )
例6 机构如图所示.已知各构件长度 l AB 50mm, l BC 75mm, lCD 50mm 构件1以等角速度 1
N—构件数（含机架）
瞬心的位臵
1）转动副 转动副的瞬心就在转动副中心。
P12
1 2 P∞
1 A VB 2 VA
2)移动副 移动副的瞬心在垂直于导路方向的无穷远处。 n 滚动副 3)平面高副 滚滑副 1 纯滚动副 P 2 2 滚滑副 1ω 12
B
V12
P∞
n
瞬心位臵小结
转动副的瞬心就在转动副中心。 移动副的瞬心在垂直于导路方向的无穷远处。
C lCP 24 2
D lDP 2
24
B
C
2
52.5 7.2 0.38 143.64mm / s
76 7.2 0.38
1
D
207.93mm / s
例8 求出图示为摩擦轮行星传动机构，求构件3 的 角速度ω3。 P24
VP12
2
21
VB
b
ε1 ω1
b
求VD 、ω2 。
VCB
VD VB VDB VD VC VDC
？ ？ ⊥AB ⊥DB ？？ 水平 ⊥DC
pc
Vc
VCB
Vc pc V
VCB bc V
pd
bc
VB VDB VC VDC
⊥DB ⊥DC
p
d
b
c
VD
VD pd V
连接速度图上b、c、d三点， ∠bcd 与构件2上的∠BCD 相似，且字母绕向顺序一致
40rad / s 转动.试用瞬心法求构件2上 E 点的速度和构件3的角速度 1 。
P34
解：1 取速度比例尺做机构图。 mm l 2 mm 2 找瞬心 P （如图示）。 13 , P 24 C 3 求速度、角速度 2 （1）求VE E B1 lAB 1 B 2 l AB 2
水平
B→A
a
t A CB
ε1 ω1
aCB
C 3
⊥AB
C→B
⊥CB
p
n aB
aC
aB
c
实际加速度（ m / s 2） a 图示加速度（ mm）
p c
aCB
aCB
b
b
a B
aCB 2 lCB
ac
ac pc a
c
n aCB
注意：图示矢量 bc 与 aCB 下标字母顺序相反
ω1 、角加速度ε1 ，求VD、ω2 、 ε2 。 解：1. 取长度比例尺作机构图
B 1 2
D
机构实际长度m l 机构图示长度mm
或
A
ε1 ω1
C 3
机构实际长度 mm l 机构图示长度 mm
VD VB VDB 不可解
？ ？
⊥AB
⊥DB ？
VB l AB 1 选B 为基点
P12 K
3
P23
应用举例 例1 已知机构的尺寸，原动件2的角速度ω2 ，试求在图示位臵 时从动件4的角速度ω4 。 解：1 求出所有的瞬心 求P13、P24的步骤： 杆件分组 P13 P24 P24 P13
P34 P23
1、2、3 ① 1、4、3
P13
P13
②
2、1、4 2、3、4
2 速度分析 首先假想将构件2、4扩大。
∞ P13 ∞ P13
1 3 n ω2
V P 12 P 23 2 l
P13
∞
P12
V 2 P23 n
∞ P13
应用瞬心法应注意的问题
1.当机构的运动位臵改变时，瞬心位臵随之改变 2. 瞬心法只能用来作瞬时速度分析，不能用来做 加速度分析。
3.当瞬心不在构件上时，应假想将构件扩大至包含 瞬心点。
V3 lP14 P13 1
P13 1、2、3 1、4、3 P24
1
P12∞ P34∞ VP13 P34 ∞ P 12∞
P12∞ P13 4 P34∞
例5 求出图示机构的全部瞬心，假设各部尺寸和ω1为已知， 求滑块的速度V3及杆件2的角速度。 解：1 求全部瞬心 P13 1、2、3 P24 2、3、4 2、1、4 1、4、3 2 求滑块3的速度 P24 P24是绝对瞬心 3 求杆件2的角速度
纯滚动副的瞬心就在其接触点上 滚滑副的瞬心在其过接触点所作的公法线上
三心定理
因为：
VK 1 VK 2
P13
1
K
所以 K 不是瞬心 P12
ω1
VK 1 VK 2
ω2
3
2
P23
K点就是构件1和构件2的瞬心P12 三心定理 三个构件有三个瞬心，且 这三个瞬心在一条直线上
1
VK1 V K2
2
P13
３．极点
p是机构中所有构件上速度为零的影像点；
bc 与其相对矢量表达
４．速度图中代表相对速度的矢量 式V
CB
的下标字母顺序相反。
3. 加 速度分析
n 2 aB l AB 1
B
a B l AB 1
n B t B
选 B 为基点
n CB
n aB
1
a B
2
n aCB
aC a a a
B 1 2
D
p
d
c
A
ε1 ω1
C 3
b
速度影像定理―
同一构件上各点速度向量终点 所形成的多边形，相似于构件上相 应点所形成的多边形，且二者字母 顺序的绕行方向相同。
∠bcd 与∠BCD互为影像
∠bcd 与∠BCD垂直
速度多边形方法小结
本节作业：3-8 、3-11、3-12
1.绝对速度向量均由极点引出，相对速度向量均不由极点引出． 否则相似性原理将被破坏； 2. 同一构件上各点的位臵多边形相似于这些点速度向 量终点所构成的多边形，且二者字母绕向顺序相同；
P23
P 13
E
2
1 2
B
E lAE 2 AE l 2 P24
19 2 40 1520mm / s
P 14
P24
P 12
A 1 1
B
（2）求 3
P13 l Ap13 1 lDP13 3
l AP13 1 55.90 40 3 50 lDP13
解题技巧：不能直接求D 点的 速度（引入的未知量太多）， 应先求铰链点C 的速度
2. 速度分析
？
VC VB VCB
水平 ⊥AB ⊥CB
可解 ？
VC VB VCB
水平 ⊥AB ⊥CB
取速度比例尺作速度图
VCB 2 lBC
A
B 1
VB
D 2 C 3 c
VB (m / s ) V pb(mm) p VC c
b
a B
aB
a DB
aDB aCB
b
bd c 与 BDC 互为影像
d
n aDB
加速度影像定理―
同一构件上各点加速度向量终点所形成的多边形， 相似于构件上相应点所形成的多边形，且二者字母顺 序的绕行方向相同。 加速度多边形方法小结 1.绝对加速度向量均由极点引出，相对加速度向量均不由极点引 出．否则相似性原理将被破坏；
运动分析的方法：
图解法
解析法
§3―2 速度瞬心法
几种典型的运动形式
A C
平动 定轴转动 平面复杂运动
VA
B VB
VC
VA VB VC
o
平动和定轴转动是
平面复杂运动的特例
P瞬心的定义 点为绝对瞬心时，两构件在P点 P P2 P 1 的绝对速度相等且均为零，相对 ▲两相互作平面运动的构件上瞬时相对速度为零的重合点。 速度也为零。即： ▲该瞬时构件2相对于构件1的运动（反之亦然） V V V 0 P 2 P 1 P 相当于绕瞬心P 的定轴转动 瞬心分为 VP 2 P1 VP1P 2 0 相对瞬心 B2 ——绝对速度不为零的重合点 A2 绝对瞬心 ω21 ——绝对速度为零的重合点 P点为相对瞬心时，两构件在P点 绝对速度相等但均不为零，相对 VP=0 P 1 速度为零。即： 2
例3 求下列机构的所有瞬心
P12 P24
1 P14
1 2
2
P23 4
3
P13 P34 n
P34∞ P34∞ P13 P34∞ P34∞ 4 3 P14
C VM M B
4
3
P13 P24
1、2、3
1、4、3 2、3、4 2、1、4
P23 P24 2 P12 n
1
1
P13 P24 P14
1 2 1 2
P13∞
P23∞ P12 P23∞ P23∞
P24 2
A B
P23 3 P34 4
C
1
P12
P13∞
P14∞ P14∞
4
3
P13
1、2、3
P34
1、4、3 P24 2、3、4
2、1、4
5
P45
4
E
6
D F 2 3