7—7 分子平均碰撞频率和平均自由程

分子平均自由程和碰撞次数

9
1
B
A

平均速率 (路程/时间)
分子自由程(free path):
气体分子在连续两次碰撞之间自由通过的路程。
碰撞频率(collision frequency):
在单位时间内分子与其他分子碰撞的平均次数。
大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出在一秒钟内一个分子与其他分子碰撞的平均次数和分子自由程的平均值。平均自由程（mean free path) 平均自由程的大小是一定的
23
273
10
1.41 3.14 ( 3.5 10
) 1.01 10
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6.9 10 m
8
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下的平均速率
v
v
8 RT

448m / s
z

448 6.9 10
8
6.5 10 s
d v n
2
z d v n
2
z d v n
2
一切分子都在运动
z
2d v n
2
一秒钟内分子A经过路程为 v
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 z
平均自由程

v z

1 2d n
2
平均自由程与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
P nkT

kT 2d P
2
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体
(m )
d (m )
氢
1.13 10

《物理学教学课件》7-5碰撞频率和平均自由程

平均自由程
在气体分子运动论中，平均自由程表示气体分子在连续两次碰撞之间所经过的平均距离。通过研究平均自由程，可以深入理解气体分子的扩散和输运过程。
热力学第二定律
热传导
在热力学第二定律中，热传导是热量自发地从高温物体传递到低温物体的过程。通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程，可以深入理解热传导的微观机制和热能传递的规律。
应用
在计算气体分子的平均速度、扩散系数等物理量时，需要用到平均自由程。
平均自由程的影响因素
分子间的相互作用力
分子间的相互作用力决定了碰撞频率，进而影响平均自由程的大小。
分子质量
较轻的分子具有较长的平均自由程，因为它们受到的空气阻力较小。
气体温度
气体温度越高，分子热运动越剧烈，碰撞频率越高，平均自由程越短。
、压力等实验条件的关系。
实验结果与数据分析
实验结果
通过实验，获得气体分子的碰撞频率和平均自由程数据。
数据分析
分析碰撞频率和平均自由程与温度、压力等实验条件的关系，得出气体分子运动和相互作用的规律。
结果讨论
根据实验结果，讨论碰撞频率和平均自由程在气体分子扩散、传递过程中的作用，以及在实际应用中的意义。
粘性流动
粘性流动是气体在流动过程中由于分子间的内摩擦力而产生的阻力。通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程，可以进一步了解粘性流动的微观机制和气体流动的规律。
Part
05
实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握碰撞频率和平均自由程的概念，理解气体分子碰撞和扩散的基本原理。
实验原理
气体分子在容器内不断进行碰撞，其碰撞频率与气体分子的密度、温度和分子间的相互作用力有关。分子在两次碰撞之间的平均距离称为平均自由程。通过测量容器内气体分子的碰撞频率和平均自由程，可以深入了解气体分子运动和相互作用的规律。

§1.7 分子的碰撞频率与平均自由程

1 vx va 2
8kT 已知 va m
则
分子与器壁的碰撞频率为
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
8
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
已知
''
pV NkT
或
p n kT
p z 2 mkT
p z L 2 MRT
9
z ''
分子的隙流气体分子通过小孔向外流出称为隙流隙流速度为
kT RT p v n n 2 m 2 M 2 mkT
'
v MB MA v
10
' A ' B
ห้องสมุดไป่ตู้
0
m m 2 vx dvx vx exp 2 kT 2kT m m 2 vx dvx exp 2 kT 2kT
1 2
1 2

0
7
vx
v dn dn
0 x 0

vx

vx
2kT m
z d
2 AB
8RT

nA nB
6
分子与器壁的碰撞频率
速率在 vx vx dvx 的分子数
已知
vx
dn(vx ) nf (vx )dvx m m 2 f (vx ) exp vx 2 kT 2 kT vx dnvx
0

0
dnvx

分子的运动方向相反，其相对速度为分子以90°角碰撞

麦克斯韦速率分布律

一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z
平均自由程
v 1
Z
2 d 2n
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT
kT 2d 2 p
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体氢
氮
氧
空气
(m) 1.13 107 0.599107 0.647 107 7.0108
d (m) 2.301010 3.101010 2.901010 3.701010
例计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。
解：已知 T 273K , p 1.0atm 1.013105 Pa, d 3.51010 m
本次课内容
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律 §7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
课本 pp241—262；练习册第十七单元
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、分布函数及其意义 3、麦克斯韦速率分布函数 4、速率分布函数的应用
vx vy
dN N

(
m
2kT
)3
2
e

m 2kT
(vx2
v
2 y
vz
2
)dv
xdv
y
dvz
dN F(v)
Ndvxdv ydvz
速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数）

(完整版)大学物理学(课后答案)第7章

第七章课后习题解答一、选择题7-1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们[ ](A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强分析：理想气体分子的平均平动动能32k kT ε=，仅与温度有关，因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同。

又由理想气体的压强公式p nkT =，当两者分子数密度相同时，它们压强也相同。

故选（C ）。

7-2 理想气体处于平衡状态，设温度为T ，气体分子的自由度为i ，则每个气体分子所具有的[ ](A) 动能为2i kT (B) 动能为2iRT(C) 平均动能为2i kT (D) 平均平动动能为2iRT分析：由理想气体分子的的平均平动动能32k kT ε=和理想气体分子的的平均动能2ikT ε=，故选择（C ）。

7-3 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为()()()1/21/21/222::2A B Cv v v =1:2:4，则其压强之比为A B C p :p :p[ ](A) 1:2:4 (B) 1:4:8 (C) 1:4:16 (D) 4:2:1=，又由物态方程p nkT =，所以当三容器中得分子数密度相同时，得123123::::1:4:16p p p T T T ==。

故选择（C ）。

7-4 图7-4中两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线。

如果()2p O v 和()2p H v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则[ ](A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =(B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(C) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(D) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =分析：在温度相同的情况下，由最概然速率公式p ν=质量22H O M M <，可知氢气的最概然速率大于氧气的最概然速率，故曲线a 对应于氧分子的速率分布曲线。

分子的平均碰撞频率和平均自由程

第21讲分子的平均碰撞频率和平均自由程习题课教学要求理解气体分子的平均碰撞次数及平均自由程。

重点与难点重点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。

难点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。

7.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子无规则热运动，频繁碰撞。

每个分子在两次碰撞之间自由行进多长的路径和用多长时间完全是偶然的、不确定的(如图7-10)。

但对大量分子，从统计的角度看，每个分子在单位时间内与其它分子平均碰撞多少次和平均自由行进多少路径却是有规律的。

7.7.1 平均碰撞频率z平均碰撞频率z 就是对于处于平衡状态下的大量气体分子组成的系统，一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。

根据简化的气体分子模型，同种气体分子中每个分子都是直径为d 的刚性球，设想跟踪一个气体分子A ，为简化计算起见，首先假定其它分子不动，A 分子以平均相对速率u 接近其它分子，那么1秒内有哪些分子能与A 分子相碰呢?在A 分子运动过程中，它的质心轨迹是一条折线abce , 凡是其它分子的质心离开此折线的距离小于或等于分子有效直径d 的，都将与A 分子相碰（图7-11）。

如果以1秒内A 分子质心运动轨迹为轴，以分子有效直径d 为半径作一圆柱体（该圆柱体体积为2πd u ）。

质心在该圆柱体内的分子都将与A 分子相碰。

设n 为分子数密度,则该圆柱体内的分子数为2πn d u ，亦即1秒内A 分子与其它分图7-10气体分子的碰撞e子发生碰撞的平均次数。

所以平均碰撞频率2πZ n d u =式中，，2πd σ=称为分子的碰撞截面。

考虑所有分子同时以平均速率υ运动，分子间平均相对运动速率为υ2=u ，故2Z d n υ=(7-23)上式表明，分子热运动平均碰撞频率与分子数密度n 、分子平均速率υ成正比，也与分子碰撞截面σ或分子有效直径d 的平方成正比。

7.7.2 平均自由程 λ平均自由程 λ 就是在平衡状态下，一个分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值。

理想气体的平均自由程和碰撞频率

思考题
1、容器内储有一定量的气体，保持容积不变，使气体温度升高，则分子的平均碰撞频率和平均自由程各怎样变化？
2、理想气体定压膨胀时，分子的平均自由程和平均碰撞频率与温度的关系如何？
分子的碰撞截面 =3.85 ×10-15 cm2 ，求在标准状态下，
空气分子的平均自由程和平均碰撞频率。
解：标准状态下 T 273K p 1.013105 Pa kT kT 6.83108 m 2 d 2 p 2 p
v 8RT 446m s1
M
Zv
446 6.83108
6.53109 s1
t
考虑其它分子的运动，由统计理论可知： u 2 v
Z 2 d 2nv
vZ
一秒钟内分子走过的平均路程为 v
一秒钟内与其它分子发生碰撞的平均次数为 Z
平均自由程 v
Z
1 2 d 2n
p nkT
kT
2 d 2 p
——平均自由程与压强的关系
例题：已知空气的摩尔质量为 M= 29 ×10-3 kg·mol-1
2、只有一个分子A 在运动，其它分子都认为是静
止不动的，且A 运动的相对速率为 u 。
t 时间内A分子走过的路程为： s ut
V d2 u t
在体积V 内的所有其它分子在t 时间内都与A 碰撞设分子数密度为n
A 分子在t 时间内与其它分子碰撞的次数： n d 2u t
分子平均碰撞频率
Z n d 2ut n d 2u
❖平均自由程 mean free path ：
分子在连续两次碰撞之间所经过的自由程的平均值。
❖平均碰撞频率 mean collision frequency Z ：单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数。

分子运动的平均自由程

分子运动的平均自由程分子运动的平均自由程是指分子在气体、液体或固体中在碰撞之间所能运动的平均距离。

它是一个重要的物理参数，可以帮助我们理解分子在不同状态下的运动行为。

为了理解分子运动的平均自由程，我们首先需要了解分子运动的特点。

在气体中，分子具有高度自由的运动，不受相互作用力的限制。

在液体中，分子之间存在较强的相互作用力，但仍然能够以较高的速度运动。

在固体中，分子的运动受到最强的相互作用力的限制，只能在一个非常狭小的区域内振动。

分子运动的平均自由程与分子的平均自由时间密切相关。

平均自由时间是指分子在两次相互碰撞之间的平均时间间隔。

它可以通过分子的平均速度和分子之间的碰撞频率来计算。

分子的平均速度可以根据其运动能量和质量来计算，而分子之间的碰撞频率可以通过理想气体动力学理论中的碰撞模型来估算。

在气体中，分子的平均自由程可以用碰撞截面积与密度的比值来计算。

碰撞截面积是指分子在碰撞中所占据的面积，它可以通过假设分子为刚球模型，并通过计算分子之间的碰撞几率来估算。

密度是指单位体积内分子的数量，可以通过气体状态方程和理想气体动力学理论来计算。

在液体中，分子的平均自由程要考虑分子之间的相互作用力。

通常情况下，液体分子的运动路径受到相互作用力的限制，平均自由程较短。

然而，液体中存在一些自由的分子，可以运动一段距离而不受相互作用力的束缚，从而形成分子的平均自由程。

这可以通过在分子之间引入排斥作用力和引力作用力来计算。

在固体中，分子的平均自由程非常短。

由于固体分子之间的相互作用力非常强大，分子只能在一个非常小的区域内振动，不具备自由运动的能力。

因此，固体分子的平均自由程通常可以认为是分子的尺寸。

总结起来，分子运动的平均自由程是分子在气体、液体或固体中在碰撞之间所能运动的平均距离。

它与分子的平均自由时间、碰撞截面积、密度和相互作用力等因素有关。

对于不同状态的物质，平均自由程的计算方法也不同。

大学物理学(课后答案)第7章

第七章课后习题解答一、选择题7-1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们[ ](A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强分析：理想气体分子的平均平动动能32k kT ε=，仅与温度有关，因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同。

又由理想气体的压强公式p nkT =，当两者分子数密度相同时，它们压强也相同。

故选（C ）。

7-2 理想气体处于平衡状态，设温度为T ，气体分子的自由度为i ，则每个气体分子所具有的[ ](A) 动能为2i kT (B) 动能为2iRT(C) 平均动能为2i kT (D) 平均平动动能为2iRT分析：由理想气体分子的的平均平动动能32k kT ε=和理想气体分子的的平均动能2ikT ε=，故选择（C ）。

7-3 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为()()()1/21/21/222::2A B Cv v v =1:2:4，则其压强之比为A B C p :p :p[ ](A) 1:2:4 (B) 1:4:8 (C) 1:4:16 (D) 4:2:1=，又由物态方程p nkT =，所以当三容器中得分子数密度相同时，得123123::::1:4:16p p p T T T ==。

故选择（C ）。

7-4 图7-4中两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线。

如果()2p O v 和()2p H v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则[ ](A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =(B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(C) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(D) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =分析：在温度相同的情况下，由最概然速率公式p ν=质量22H O M M <，可知氢气的最概然速率大于氧气的最概然速率，故曲线a 对应于氧分子的速率分布曲线。

气体分子碰撞频率和平均自由程的推导

气体分子碰撞频率和平均自由程的推导气体与固体、液体的不同之处在于，气体由的离散的分子构成，分子之间受到引力作用，在温度和压力相同时，分子们构成的气体能量总是不断变化，分子之间就会发生碰撞，产生热能。

这里以布朗分子模型(Brownian molecular model)为基准，来分析气体分子的碰撞频率及平均自由程。

首先，假设一定的温度和压强条件下，气体分子的碰撞频率是不变的。

在这样的条件下，分子能量总是在不同程度的变化，每次碰撞之后都会有能量的转换。

根据热力学定律，每次碰撞都要转换掉热能或动能到等价物，所以，当分子碰撞频率较高时，分子获取的能量也会增加。

而在温度和压强条件下，分子碰撞频率是不变的。

因此，任何一个分子都会有不同的碰撞频率，而这个频率可以用卡尔曼方程(KM equation)来描述，其表达式为：KM = (u/6)*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2其中u表示分子的总能量；ai表示分子碰撞的概率。

根据KM方程，可以得出碰撞频率的计算公式：f=1/u*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2其中，f表示分子的碰撞频率，u表示总能量，ai表示分子碰撞的概率。

由此可知，气体分子碰撞频率与能量有关，碰撞次数越多，气体分子的能量就越多。

接着，我们来探讨气体分子的平均自由程p。

由热力学可知，当一个分子受到外力作用时，就会发生力学变化，平均自由程就会发生变化。

因此，在温度和压强相同的情况下，气体分子的碰撞频率越高，此时分子的平均自由程p就会越大，公式为：p=f/u其中，f表示气体分子的碰撞频率，u表示能量总和。

由此可知，气体分子的平均自由程p也与能量有关，越大的能量，分子越可能进行更远的碰撞，所以平均自由程就会越大。

据以上分析，得出气体分子的碰撞频率和平均自由程的推导公式如下：气体分子的碰撞频率：KM = (u/6)*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2平均自由程：p=f/u最后，还要注意的是，由于温度和压强的变化，气体的分子的碰撞频率和平均自由程也会发生变化。