高中数学 第三章 不等式的性质和一元二次不等式的解法知识梳理素材 北师大版必修5
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对 其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等 式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个 系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不 等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论．
集
(x1，x2) ∅
∅
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)①通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项 系数大于零；②计算出相应一元二次方程的判别式；③求出相应 一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；④根据③画出相 应二次函数的图像写出解集． (2)会用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的求解的算法过程．
4．若1ax2＋bx＋a>0 的解集是{x|2<x<8}，则 a＝ ________________________________________________________ ________________.
b＝________.
解析： 由题意知 a<0，且方程1ax2＋bx＋a＝0 的两根分别为
[思路点拨] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 向推出 a、b、c 应满足的关系，进而求解不等式．一元二次不等 式解集的两个端点值是一元二次方程的两根．
解析： ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
由韦达定理得－－33×＋44＝＝ac－，ba，
答案： ＞ 两 －5,1 (－∞，－5)∪(1，＋∞) (－5,1)
4．解下列不等式： (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)
3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得： ，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ， 解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0） 函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口 向上 ； 当a<0时图象开口 向下 ； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ； 对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图 像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0， 不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的概念及其解法同步
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解析：(1)错误．当 m＝0 时，是一元一次不等式；当 m≠0 时，它是一元二次不等式．(2)错误．因为 a＞0，所 以不等式 ax2＋1＞0 恒成立，即原不等式的解集为 R.(3) 错误．当 a＞0 时，ax2＋bx＋c＜0 的解集为{x|x1＜x＜x2}， 否则不成立．(4)正确．因为 Δ＝(－2)2－12＜0，所以不 等式 x2－2x＋3＞0 的解集为 R.
等式的解集
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2.一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的
关系 设 f(x)＝ax2＋bx＋c，方程 ax2＋bx＋c＝0
的判别式 Δ＝b2－4ac(a＞0)
判别式
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
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解不等式 f(x)＞0 或 f(x)＜0 的
步骤
有两个不 有两个相 (1)求方程 f(x)
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因为 Δ＝(－6)2－40＝－4＜0， 所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根， 又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为∅. (6)原不等式可化为 2x2－3x＋2＞0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
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[变式训练] (1)解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0. (2)解关于 x 的不等式：ax2－(a＋1)x＋1>0. 解：(1)方程 x2－ax－2a2＝0 的判别式 Δ＝a2＋8a2＝ 9a2≥0， 得方程两根 x1＝2a，x2＝－a， ①若 a>0，则－a<x<2a， 此时不等式的解集为{x|－a<x<2a}； ②若 a<0，则 2a<x<－a， 此时不等式的解集为{x|2a<x<－a}； ③若 a＝0，则原不等式即为 x2<0，此时解集为∅.
北师大版2017高考数学总复习7-1不等式的性质与一元二次不等式课件PPT
5．(必修 5P83 练习 1 改编)若关于 x 的一元二次方程 x2－(m＋1)x－ m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是________． 解析 由题意知 Δ＝[(m＋1)]2＋4m＞0.即 m2＋6m＋1＞0， 解得 m＞－3＋2 2或 m＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－2 2)∪(－3＋2 2，＋∞)
基础诊断 考点突破
(
)
解析
(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a
2
1 2 3 －a＋1＝a－2 ＋4>0，
∴b>a，∴c≥b>a. (2)法一 1 1 因为a＜b＜0，故可取 a＝－1，b＝－2.
基础诊断
考点突破
知 识 梳 理 1．两个实数比较大小的方法 a－b＞0⇔a ＞ b， (1)作差法a－b＝0⇔a＝b， a－b＜0⇔a ＜ b； a ＞1⇔a ＞ ba∈R，b＞0， b a (2)作商法b＝1⇔a＝ba∈R，b＞0， a ＜ ba∈R，b＞0. ＜ 1 ⇔ a b
基础诊断 考点突破
3．(2017· 咸阳调研)设集合 M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}， 则 M∩N 等于 A．(0,4] B．[0,4) C．[－1,0) D．(－1,0] ( )
解析 ∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}， ∴M∩N＝[0,4)． 答案 B
有两相等实 根 x1＝x2＝ b －2a
b x|x≠－ 2a
没有实数根
R
∅
∅
基础诊断
高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二
2．2 一元二次不等式的应用知识点一 简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一 根的分布问题【例1】 已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】 本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图． 若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0， 即27－m <0，解得m >27.规律方法 一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二 高次不等式的解法【例2】 解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】 解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号． 在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四 一元二次不等式的应用【例4】 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】 利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法 此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围． 解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】 有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】 如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】 设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法 对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】 原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】 错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】 原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0， 即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0， 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0， 解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)． 解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。
高中数学 第一部分 第三章 §2 2.1 第一课时 一元二次不等式及其解法课件 北师大版必修5
没有实数根
ax2＋bx＋c
＞0 (a＞0) 的解集 {x|x＜x1或x＞x2}
R
Δ＝b2－ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
Δ＞0
Δ＝0 ∅
Δ＜0 ∅
{x|x1＜x＜x2}
1．从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋
c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图 像在x轴下方的点的横坐标x的集合． 2．解一元二次不等式，要先把二次项系数化为正 数，再根据判别式的符号确定相应的方程有无实根，最
(3)原不等式可化为x(x－7)＜0， 方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，
x2＝7，
函数y＝x(x－7)的图像是开口向 上的抛物线，与x轴有两个交点(0,0)， (7,0)(如图(3))． 观察图像可得，不等式的解集为
{x|0＜x＜7}．
(4)原不等式可化为 9x2－13＞0， 13 x － ＞0， 9
1 b 法二：由已知得 a＜0 且(－ )＋2＝－a， 3 1 c (－ )×2＝a，所以 c＞ 3 (3 分)
设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝c ， (4 分)
b －a a 1 b 其中 c＝ ，－c ＝－ c 1 － × 2 a 3 1 － ＋ 2 3 1 1 ＝ ＝ ＋ ， 1 1 2 － × 2 － 3 3 1 1 所以 x1＝ ＝－3，x2＝ . 1 2 － 3 1 所以不等式 cx2＋bx＋a＜0 的解集为{x|－3＜x＜ }． 2
1 1 1 1 解：由 ax ＋2x＋c＞0 的解集为(－ ， )知 a＜0，－ ， 3 2 3 2
高考数学复习考点知识讲解课件3 不等式性质 一元二次函数 方程和不等式
＋c(a>0)的
图象
ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的
根
有两个不相 等的实数根 x1，x2(x1<x2)
有两个相等 的实数根 x1 ＝x2＝－2ba
没有实数根
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判别式 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的
解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0)的
解集
Δ>0 {x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2}
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基础知识夯实
01
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知识梳理 1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法：aa－－bb>＝00⇔⇔aa_____>＝_____bb，， a－b<0⇔a___<__b.
aba>∈1Ra∈，Rb>，0b，>0⇔a___>___b (2)作商法ab＝1⇔a__＝____ba，b≠0，
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诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab>1，则 a>b.( × ) (2)若 ab>0，则 a>b⇔1a<1b.( √ ) (3)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的 两个根是 x1 和 x2.( √ ) (4) 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ ＝ b2 － 4ac≤0.( √ )
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
高中数学第三章不等式2、1一元二次不等式的解法2、2一元二次不等式的应用基础训练北师大版必修5
一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用基础过关练题组一一元二次不等式的解法1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.函数y=√x2+x-12的定义域是()A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x≤-4或x≥3}D.{x|-4≤x≤3}3.(2020山东菏泽二十三校高一上期末联考)已知集合M={x|-3≤x<4},N={x|x2-2x-8≤0},则()A.M∪N=RB.M∪N={x|-3≤x<4}C.M∩N={x|-2≤x≤4}D.M∩N={x|-2≤x<4}4.设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中元素的个数是()A.4B.5C.6D.75.已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|x-a>0},A∩B=⌀,则a的取值范围是()A.a=3B.a≥3C.a<3D.a≤36.解下列不等式:(1)x2-2x+3>0;(2)2+3x-2x2>0;(3)x(3-x)≤x(x+2)-1;(4)-1<x2+2x-1≤2.题组二含有参数的一元二次不等式7.若0<t<1,则不等式(x-t)(x-1x)<0的解集是()A.{x|1x <x<x} B.{x|x>1x或x<x}C.{x|x<1x 或x>x} D.{x|x<x<1x}8.若函数f(x)=√2xx的定义域为R,则常数k的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4]9.不等式x2-ax-12a2<0(其中a<0)的解集为()A.(3a,-4a)B.(4a,-3a)C.(-3a,a)D.(6a,2a)10.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.题组三三个“二次”之间的关系11.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为()A.3B.1C.-3D.-112.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,应有()A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)D.f(2)<f(-1)<f(5)13.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为()A.1B.-1C.-3D.314.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(a+b)x+b<0.题组四 简单的分式不等式或高次不等式 15.(2020山东潍坊诸城高二上期中)不等式x -2x +3<0的解集为 ( )A.{x |-2<x <3}B.{x |x <-3}C.{x |-3<x <2}D.{x |x >2} 16.不等式x +24x +1≥13的解集为 ( )A.{x |-14≤x ≤5} B.{x |x ≤-14或x >5}C.{x |x <-14或x >5}D.{x |-14<x ≤5}17.若集合A ={x |xx -1≤0},B ={x |x 2<2x },则A ∩B =( )A.{x |0<x <1}B.{x |0≤x <1}C.{x |0<x ≤1}D.{x |0≤x ≤1} 18.不等式-1<1x <1的解集为 ( )A.{x |x <-1或x >1}B.{x |-1<x <0或0<x <1}C.{x |x <0或x >1}D.{x |x >1}19.不等式x -1x 2-4>0的解集是 ( )A.(-2,1)B.(2,+∞)C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)20.不等式x2-2x-2x2+x+1<2的解集为()A.{x|x≠-2}B.RC.⌀D.{x|x<-2或x>2}题组五一元二次不等式的实际应用21.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,求x的最小值.22.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.(1)当该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1300元?(2)当该厂的月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?能力提升练一、选择题1.(2021山西运城高一上联考,)设集合A={x|x-1x-3<0},B={x|2x-3>0},则A∪B=()A.{x|-3<x<32} B.{x|x<-3或x>32}C.{x|1<x<32} D.{x|x>1}2.()在R 上定义运算☉:a ☉b =ab +2a +b ,则满足x ☉(x -2)<0的实数x 的取值范围为 ( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2) 3.()二次函数f (x )的图像如图所示,则f (x -1)>0的解集为 ( )A.(-2,1)B.(0,3)C.(1,2]D.(-∞,0)∪(3,+∞) 4.()若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-2,2]B.[-2,2]C.(2,+∞)D.(-∞,2] 5.(2019山东菏泽高二期末,)已知关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),则关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0的解集是 ( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(2,+∞) 6.()设函数g (x )=x 2-2(x ∈R),f (x )={x (x )+x +4,x <x (x ),x (x )-x ,x ≥x (x ),则f (x )的值域是( )A.[-94,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[-94,+∞)D.[-94,0]∪(2,+∞) 二、填空题 7.()若关于x 的不等式x -xx +1>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a = . 8.()已知集合A ={x |3x -2-x 2<0},B ={x |x -a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为 . 9.()若不等式a ·4x -2x+1>0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 .10.()若函数y =√xx 2-6xx +(x +8)(k 为常数)的定义域为R,则k 的取值范围是 . 11.()已知0<b <1+a ,若关于x 的不等式(x -b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个,则a 的取值范围为 . 三、解答题12.(2021湖南长沙一中高一上段考,)已知不等式mx 2+3x -2>0的解集为{x |n <x <2}.(1)求m ,n 的值,并求不等式nx 2+mx +2>0的解集; (2)解关于x 的不等式ax 2-(n +a )x -m >0(a ∈R,且a <1).13.(2019北京西城高二期末,)已知函数f(x)=x2-2ax,a∈R.(1)当a=1时,求满足f(x)<0的x的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)<3a2;(3)若对于任意的x∈(2,+∞),f(x)>0均成立,求a的取值范围.答案全解全析§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用基础过关练1.A 不等式-x 2-5x +6≥0可化为x 2+5x -6≤0,即(x +6)(x -1)≤0, 解得-6≤x ≤1,∴不等式的解集为{x |-6≤x ≤1}. 故选A.2.C 由x 2+x -12≥0得(x +4)(x -3)≥0,解不等式得x ≤-4或x ≥3,所以函数的定义域是{x |x ≤-4或x ≥3},故选C .3.D ∵集合M ={x |-3≤x <4},N ={x |x 2-2x -8≤0}={x |-2≤x ≤4},∴M ∪N ={x |-3≤x ≤4},M ∩N ={x |-2≤x <4}. 4.C 由(x -1)2<3x +7,得x 2-5x -6<0,解不等式得-1<x <6,∴集合A ={x |-1<x <6}, ∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5,共6个.5.B 由x 2-x -6≤0得(x -3)(x +2)≤0,解不等式得-2≤x ≤3, 所以A ={x |-2≤x ≤3}. 由已知可得B ={x |x >a }, 因为A ∩B =⌀,所以a ≥3,故选B .6.解析 (1)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以原不等式的解集是R .(2)原不等式可化为2x 2-3x -2<0,即(2x +1)(x -2)<0,故原不等式的解集是{x |-12<x <2}.(3)原不等式可化为2x 2-x -1≥0,即(2x +1)(x -1)≥0,故原不等式的解集是{x |x ≤-12或x ≥1}.(4)原不等式等价于{x 2+2x -1>-1,x 2+2x -1≤2,即{x 2+2x >0①,x 2+2x -3≤0②.由①得x (x +2)>0,所以x <-2或x >0; 由②得(x +3)(x -1)≤0,所以-3≤x ≤1.所以原不等式的解集是{x |-3≤x <-2或0<x ≤1}. 7.D 方程(x -t )(x -1x )=0的两根为x 1=t ,x 2=1x .因为0<t <1,所以1x >1>t ,所以(x -t )(x -1x )<0的解集是{x |x <x <1x }. 8.C ∵函数f (x )=√2xx 的定义域为R,∴kx 2+kx +1>0对x ∈R 恒成立.当k >0时,Δ=k 2-4k <0,解得0<k <4;当k =0时,kx 2+kx +1=1>0恒成立;当k <0时,不符合条件.故0≤k <4.故选C .9.B ∵x 2-ax -12a 2=(x -4a )(x +3a ),其中a <0,∴-3a >4a ,∴不等式的解集为(4a ,-3a ).10.解析 方程x 2+(1-a )x -a =0的两根为x 1=-1,x 2=a. ∵函数y =x 2+(1-a )x -a 的图像是开口向上的抛物线, ∴当a <-1时,原不等式的解集为{x |a <x <-1}; 当a =-1时,原不等式的解集为⌀; 当a >-1时,原不等式的解集为{x |-1<x <a }.11.A 不等式(x -a )(x -b )<0可化为x 2-(a +b )x +ab <0,由其解集为{x |1<x <2},可得x 1=1,x 2=2是方程x 2-(a +b )x +ab =0的两根,所以x 1+x 2=3=a +b ,即a +b =3,故选A .12.D 由不等式的解集为{x |x <-2或x >4},得x 1=-2,x 2=4是函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与x 轴交点的横坐标,故f (x )的图像的对称轴为直线x =-2+42=1,且其图像开口向上.结合图像(图略)可得f (2)<f (-1)<f (5).13.C 令f (x )=x 2-4x -m ,则f (x )在(0,1]上是减函数,所以f (x )min =f (1)=-3-m ,所以-3-m ≥0,即m ≤-3. 故m 的最大值为-3.14.解析 (1)由题意得x 1=1,x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两根,且a >0,则{1+x =3x ,1·x =2x ,解得{x =1,x =2.(2)由a =1,b =2得所求不等式为x 2-3x +2<0,即(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2. 故所求不等式的解集为(1,2). 15.Cx -2x +3<0等价于(x -2)(x +3)<0,解得-3<x <2,故不等式的解集为{x |-3<x <2}.16.D 由x +24x +1≥13得x +24x +1-13≥0, 则-x +53(4x +1)≥0,即x -53(4x +1)≤0,可转化为{3(x -5)(4x +1)≤0,4x +1≠0,解得-14<x ≤5.所以原不等式的解集为{x |-14<x ≤5}.17.A 由集合A 可得{x (x -1)≤0,x -1≠0,解得0≤x <1,所以A ={x |0≤x <1}.由集合B 可得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以B ={x |0<x <2}.所以A ∩B ={x |0<x <1}.18.A -1<1x <1⇔{1x >-1,1x <1⇔{x +1x>0,1-x x <0⇔{x (x +1)>0,x (x -1)>0,解得{x <-1或x >0,x <0或x >1,∴x <-1或x >1. 19.Cx -1x 2-4>0⇔(x -1)(x 2-4)>0⇔(x -1)(x -2)(x +2)>0,设f (x )=(x -1)(x -2)(x +2),则f (x )的三个零点是-2,1,2.结合图形(如图),可得原不等式的解集为{x |-2<x <1或x >2}.故选C . 20.A 易知x 2+x +1>0恒成立,∴原不等式⇔x 2-2x -2<2x 2+2x +2⇔x 2+4x +4>0⇔(x +2)2>0,解得x ≠-2,∴原不等式的解集为{x |x ≠-2}. 21.解析 由题意,得3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x ≥20,故x 的最小值是20.22.解析 (1)设该厂月获利为y 元,依题意得y =(160-2x )x -(500+30x )=-2x 2+130x -500, 由y ≥1300知-2x 2+130x -500≥1300, ∴x 2-65x +900≤0,解得20≤x ≤45.∴当月产量在20件至45件之间(含20件和45件)时,月获利不少于1300元. (2)由(1)知y =-2x 2+130x -500=-2·(x -652)2+1612.5. ∵x 为正整数,∴当x 的值为32或33时,y 取得最大值,最大值为1612,∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,最大利润是1612元.能力提升练一、选择题1.D A ={x |x -1x -3<0}={x |1<x <3},B ={x |2x -3>0}={x |x >32},故A ∪B ={x |x >1}.2.B 由a ☉b =ab +2a +b ,得x ☉(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2=(x +2)(x -1)<0,所以-2<x <1.3.B 由题图知f (x )>0的解集为(-1,2).把f (x )的图像向右平移1个单位长度即得f (x -1)的图像,所以f (x -1)>0的解集为(0,3).4.A 当a -2=0,即a =2时,符合题意;当a -2≠0,即a ≠2时,需满足a -2<0且Δ=4(a -2)2+4·(a -2)·4<0,解得-2<a <2.综上可得,-2<a ≤2.故选A .5.A ∵关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),∴{x <0,-x x=-1,∴b =a <0,∴关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0可化为(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2, ∴不等式的解集是(1,2).故选A .6.D 由x <g (x ),得x <x 2-2,解不等式得x <-1或x >2;同理,由x ≥g (x ),得-1≤x ≤2. 所以f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2-x -2,-1≤x ≤2,即f (x )={(x +12)2+74,x <-1或x >2,(x -12)2-94,-1≤x ≤2.因为当x <-1时,f (x )>2;当x >2时,f (x )>8,所以当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f (x )的值域为(2,+∞).又因为当-1≤x ≤2时,-94≤f (x )≤0,所以当x ∈[-1,2]时,函数f (x )的值域为[-94,0]. 综上可知,函数f (x )的值域是-94,0∪(2,+∞). 二、填空题 7.答案 4 解析 不等式x -xx +1>0等价于{x +1≠0,(x -x )(x +1)>0,又不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),所以当x =4时,(x -a )(x +1)=0,解得a =4. 8.答案 (-∞,1]解析 A ={x |3x -2-x 2<0}={x |x 2-3x +2>0}={x |x <1或x >2},B ={x |x -a <0}={x |x <a }.若B ⊆A ,则a ≤1. 9.答案 (14,+∞)解析 原不等式可变形为a >2x -14x=(12)x -(14)x ,设y =(12)x -(14)x ,令(12)x =t ,则t >0,所以y =(12)x -(14)x=t -t 2=-(x -12)2+14,因此当t =12时,y 取得最大值14,故实数a 的取值范围是(14,+∞). 10.答案 [0,1]解析 函数y =√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R,即kx 2-6kx +(k +8)≥0对一切x ∈R 恒成立.当k =0时,显然8>0恒成立;当k ≠0时,k 需满足{x >0,x =36x 2-4x (x +8)≤0,解得0<k ≤1.综上可得,k 的取值范围是[0,1]. 11.答案 (1,3)解析 原不等式可转化为[(1-a )x -b ]·[(1+a )x -b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集形式知,不符合题意;②当a >1时,x 1-x <x <x x +1,由题意知0<x x +1<1,所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需-3≤x1-x <-2,整理得2a -2<b ≤3a -3.结合已知b <1+a ,可得2a -2<1+a ,所以a <3,从而有1<a <3.综上可得,a ∈(1,3). 三、解答题12.解析 (1)由题意知m <0,x 1=n ,x 2=2是方程mx 2+3x -2=0的实数根,11 故由根与系数的关系得{x +2=-3x ,2x =-2x ,解得{x =-1,x =1.则nx 2+mx +2=x 2-x +2=(x -12)2+74>0,即nx 2+mx +2>0的解集为R .(2)由(1)得ax 2-(1+a )x +1=(ax -1)(x -1)>0.当a <0时,原不等式等价于(-ax +1)(x -1)<0,解得1x <x <1;当a =0时,原不等式等价于-(x -1)>0,解得x <1;当0<a <1时,1x >1,解得x <1或x >1x .综上所述,当a <0时,不等式的解集为{x |1x <x <1};当a =0时,不等式的解集为{x |x <1};当0<a <1时,不等式的解集为{x |x <1或x >1x }.13.解析 (1)根据题意,当a =1时,f (x )=x 2-2x.由f (x )<0,得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以f (x )<0的解集为(0,2).(2)由f (x )<3a 2,得x 2-2ax -3a 2<0,所以(x -3a )(x +a )<0.当a >0时,解集为(-a ,3a );当a =0时,解集为⌀;当a <0时,解集为(3a ,-a ).(3)由f (x )=x 2-2ax >0,可得2ax <x 2,又x ∈(2,+∞),∴a <x 2在x ∈(2,+∞)上恒成立.令g (x )=x 2(x >2),∵g (x )在(2,+∞)上单调递增,∴g (x )>1,∴a ≤1,即a 的取值范围是(-∞,1].。
北师大版142一元二次不等式及其解法一元二次不等式的应用课件(54张)
{ 原不等式的解集为
xx≤3－3
3，或x≥3＋3
3 .
(3)方程4x2－12x＋9＝0中，因为Δ＝0，所以方程4x2－12x＋9＝0有两个相等的实数
根，解得x1＝x2＝
3 2
，作出函数y＝4x2－12x＋9的图象，如图3，结合图象可得原不等式的
{ 解集为 xx≠32.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，在方程x2－6x＋10＝0中，因为Δ<0，所以方程x2－
所以不等式cx2＋bx＋a<0变为－23ax2＋－35ax＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又因为a<0，所以2x2＋5x－3<0.
{ 所求不等式的解集为 x－3<x<12.
研习3 解含参数的一元二次不等式 角度1 对“Δ”进行讨论 [典例3] 解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.
解：由题意知，Δ＝4a2－8， 当Δ<0，即－ 2 <a< 2 时，原不等式对应的方程无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 当Δ＝0，即a＝± 2时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 当a＝ 2时，原不等式的解集为{x|x＝ 2}； 当a＝－ 2时，原不等式的解集为{x|x＝－ 2}．
[练习2](1)一元二次不等式解集与一元二次方程之间有何关系？ (2)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}与不等式ax2＋bx＋c≤0的解集 为{x|－3≤x≤4}中，引起解集不同的原因是什么？
{ (3)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是 x－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
角度2 对“解的大小”进行讨论 [典例4] 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a. ①当a>0时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； ②当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解； ③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}； 当a＝0时，原不等式的解集为∅； 当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}．
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不等式的性质和一元二次不等式的解法【知识精讲】
（1）理解不等式的性质及其证明
（2）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式
（3）掌握简单不等式的解法
【基础梳理】
1.不等式的基本概念
不等（等）号的定义：
2.不等式的基本性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（加法单调性）
（4）（同向不等式相加）
（5）（异向不等式相减）
（6）
（7）（乘法单调性）
（8）（同向不等式相乘）
（异向不等式相除）
（倒数关系）
（11）（平方法则）
（12）（开方法则）
二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
常用不等式的放缩法：①
②
（2）柯西不等式：
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
○1
○2○3
（4）.指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
○1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；
○3应用化归思想等价转化
中国书法艺术说课教案
今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：
使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：
（一）教学重点
了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：
如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：
粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时
二、教学方法：
要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：
（一）组织教学
让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，
通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！
（三）讲授新课
1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！
A书法文字发展简史：
①古文字系统
甲古文——钟鼎文——篆书
早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。
（请学生讨论这几种字体的特点？）古文字是一种以象形为主的字体。
②今文字系统
隶书——草书——行书——楷书
到了秦末、汉初这一时期，各地交流日见繁多而小篆书写较慢，不能满足需要，隶书便在这种情况下产生了，隶书另一层意思是平民使用，同时还出现了一种草写的章草（独草），这时笔墨纸都已出现，对书法的独立创作起到了积极的推动作用。
狂草在魏晋出现，唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰；行书出现于晋，是一种介于楷、行之间的字体；楷书也是魏晋出现，唐朝达到顶峰，著名的书法家有欧阳询、颜真卿、柳公权。
（请学生谈一下对今文字是怎样理解的？），教师进行归纳：它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。
B主要书体的形式特征
①古文字：甲骨文，由于它处于文明的萌芽时期，故字形错落有致辞，纯古可爱，目前发现的总共有3000多字，可认识的约1800字。
金文，处在文明的发展初期，线条朴实质感饱满而丰腴，因它多附在金属器皿上，所以保存完整。
石鼓文是战国时期秦的文字，记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年，秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体，艺术价值很小。
②今文字：隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体，课本图例《张迁碑》结构方正，四周平稳，刚劲沉着，是汉碑方笔的典范，章草是在隶书基础上更艺术化，实用化的字体，索靖《急就章》便是这种字体的代表作，字字独立，高古凝重，楷书有两大部分构成：魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。
《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表，前者气势纵横，雄浑深厚，劲健绝逸是圆笔的典型；唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强，浑穆古拙、浑厚刚健，《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严，以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。
《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰，前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界，后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。
他们都是不拘泥
于传统的章法和技能，对后世学书者产生了深远的影响；明代文征明的书法文雅自如，现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。
3、欣赏要点：
先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么？[或如何来欣赏一幅书法作品？]学生谈完后，对他们的观点进行归纳总结。
然后自己要谈一下自己的观点：书法艺术的欣赏活动，有着不同于其它艺术门类的特征，欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益，也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容，去探讨言词语汇上的优劣。
进而得出：书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受（结合讲授出示古代书法名作的图片，并与一般的书法作品进行比较，让学生在比较中得出什么是格调节器高雅，什么是粗庸平常）。
书法可以说是无声的音乐，抽象的绘画，线条流动的诗歌。
四、课堂评价：
根据本节课所学的内容结合板书。
让学生体会到祖国书法艺术的博大精深，着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。
让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。