解析频域抽样时对应的时域信号失真

显然 , 旦 M 和 N 确定 , 便是一个常数 . 一 它
根 据 图 1可 将 上 式 ( ) 写 为 3续
一 ·
f xq ) 0 ∑ ( N+
l 口=0
M—r N一1
() 7
蓦 一 e …
() 4
【 ( M—r ∑xq N+ ) N
q 0 一
N一1
D T 为 X ( ) 现 对 X( ) 区 间 ( , 7 上 进 行 TF e , e 在 O 2r )
y五 一X e 一 ∑z ) J () ( ( e —
m一 0
() 2
由式 () 1 和式 ( ) 可将 y n 用 x n 表 示 为 2, () ()
) ∑y h一 一 ( ∑ ∑ z ( j 一 () 3
参考文献 :
[ ] 丁玉 美 , 1 高西 全 .数字 信号 处理 [ . 安 : 安 电子 科技 大 M] 西 西
学 出 版 社 ,0 1 2 0
r 一 1 —r , , 一 1 而 式 ( ) Ⅳ , Ⅳ … N ; 6 的第 二 项 中
一0 1 … , —r 一1 所 以 , 后 得 到 y( ) x n ,, Ⅳ . 最 n与 () 的关系为 :
i, t e s h wo s t e it r in r e h ds o to wil e Th ds o to p e o n n i tm e o an u i g s m p i g n l b . e it rin h n me o n i d m i d rn a l i n fe u n y d man i n l z d d t i d y i hs p p r r q e c o i s a ay e e al l n t i a e ,wh n t e ln t fs q e c s f r ln e h n t e e e h e g h o e u n e i a o g rt a h s m p i g nu b ri r q e c o a l m e n f e u n y d ma n n i. Ke wo d : a p ig i r q e c o an;o re ; it rin y r s s m ln n fe u n y d m i f u ir ds o to
点 的 均 匀 抽 样 , X K )X K ) X K ) 就 可 利 得 ( , ( 和 ( ,
(一 萎 (+N. e . + ∑∑ n )1 ～ ) ,q · 枷 + x ∑ . .
)一
用 式 ( ) 研 究 与 其 相 应 的 反 变 换 z ( , ) 7来 )z ( 和 z ( 与 原 序 列 x( ) ) n 的关 系 .
可 由频域抽样 ( ) 五 恢复原序列 x n , 就是所谓 ( )这
的 频 域 采 样 定 理 『 .但 是 , 际 中 x( ) 往 是 无 限 1 ] 实 n往
样 , 到 N五 一X( )式 中 k ,, , 得 () e , 静 一0 1… Ⅳ一1 ;
又 设 ( ) 离 散 傅 里 叶 反 变 换 为 ( , 么 此 五的 ) 那
Ⅳ 点等间隔抽样 , Y k 一x( )k ,, 得到 () e ,—o 1…,
Ⅳ一1 且 Ⅳ< , Y k 对应的 I F 离散傅 氏反 , 设 () D T(
变换 ) 列 为 y( ) 序 n .则 此 时 必 有 时 域 失 真 即 混 叠 现 象 具 体 体 现在 : 何 用 x( ) 示 y( ) 如 n表 n? 现 在 来 对 此 问题 进 行 解 释 . 已知 :
根 据 式 ( ) 知 , 一 8 所 以 , 时 N 一 2时 , 7可 , 当 r
一
∑ z +r · ∑e ～. () ( Ⅳ) 5
式 中 : — 时 , 当
4 故 z ( 一 { 0 1 ) 当 Ⅳ一4时 , 一2 故 z ( , 2 ) 2 , 6 ; r , ) { 2 1 , , ) 当 N 一 6 r 1 故 z ( 一 { 0 8 1 ,0 8 6 ; ,一 , 2 ) 1 , ,
1 频域 抽 样 的理 论 分析
设 任 意 序 列 的 离 散 傅 里 叶 变 换 DTF 为 T X( )现 对 其 在 区 间 ( ,n 上 进 行 Ⅳ 点 等 间 隔 抽 e , 02)
由此 可知 , 若序 列 ( ) 的长度 为 , 只有 当 则
频 域 抽 样 点 数 Ⅳ 时 , 会 有 ( 一 ( , 才 ) ) 即
Ab ta t Ac o d n o t es m p i g t e r m ff e u n y d m an,i t e ln t f ( sr c : c r i g t h a l h o e o r q e c o i n f h e g h o )i ,On y wh n sM l e N ,wh c s t e s m p i g n m b r i r q e c o i i ih i h a l u e n fe u n y d man, s n mo e t a r e u lt , c n ( r h n M o q a o M a n) b e r c n t u t d wih u it r in.Ot e wie h it r in p e o e o l h p e e o s r c e t o td s o t o h r s ,t ed s o t h n m n n wi a p n.Th e st e ln t o l e ls h e g h
∑z · ∑e … + ( ) 1 i
∑ z ) ∑ e 一 ( · J
1, , 一 1; - 0, … , 一 1. … N q- 1, Ⅳ
3 物 理解 释
当频 域 抽 样 点 数 大 于 等 于 原 序 列 长 度 时 , 时
令 式 ( ) () 中 的 — +q , 中 一 0 4的 项 N 其 , 同 时 , 式 ( ) (Ⅱ) 中的 — +r , 中 令 4的 项 N 其
一0 1 … , —r ,, Ⅳ一 1 则 此 时 式 ( ) 可 表示 为 ; 4又
间信号不失真 , 即无混叠 .但 当不满 足此条 件时 , 时
域就会失真 , 据式 () 难 计算出失真结果 . 根 7不 例 : 序列 x( ) { , , , , , , , ) 对x( ) 设 n 一 87654321 . n 的 DT Tx( ) 一 个 周 期 内 分 别 作 2点 , F e 在 4点 和 6
当 不 满 足 频 域 抽 样 条 件 时 , 号 在 时 域 具 体 的 信
() ∑ xn N) 一 ( +r R ()
式 中 R ( 是长度为 A 的矩形窗函数 . ) r
失真如何? 根据式 () ∑ ( +r R () 一 N)N ,
收稿 日期 : 0 4 9 7 修 回 日期 : 0 5 l 7 2 0 —0 —2 ; 2 0 一O 一1 作者 简介 : 杨桂芹 ( 9 0 )女 , 1 7 - , 河南许 昌人 , 硕士 , 讲师 , 主要 从事数 字通 信与数 字信号 处理 教学 和科研工 作 .
长 或 较 长序 列 , 可 能满 足 Ⅳ三 , ( 与原 不 三 由 = )
( 的 关 系 可 知 , 时 在 时 域 必 将 发 生 失 真 , 时 ) 此 即 域 混 叠 现 象 .并 且 由理 论 分 析 可 知 , 取 得 越 小 , Ⅳ 混 叠 越 严 重 , ( 对 原 x n 的失 真 越 大 . ) ()
Ana y i he Di t r i n of Ti e S g lW he Sa plng i e l ss t s o to m i na n m i n Fr que y Dom a n nc i
YANG u - i G iq n
(nttt If r t na dElcrclE gn eig,L n huJa tn iesy,L n h u7 0 7 ,C ia Isi e u n omai n et a n iern o i a z o ioo gUnv ri t a z o 3 0 0 hn )
薹 … 1…r为 有 e 和N静 .均1 静 _ 澈 - e
() ∑xn N) ( +r () 一 ( +q +xn Ⅳ) 6
由式 () 知 , () 5可 式 6 的第 一 项 中 一0 1 … , ,,
—
一
6543 , , , , )此结论与文献[ ] 2 的结论 完全一致 .
实 际频域抽 样点 数较 少时 , 时域所 发生 的失真 现象 . 关键 词 : 域抽样 ; 里叶 ; 真 频 傅 失 中 图分类号 : TN9 1 7 1.2 文 献标识 码 : A 文章编 号 :0 8 6 6 2 0 ) 1 0 1 2 1 0 —0 8 (0 5 0 —0 3 —0
摘 要 ; 据频 域抽样 定理 可知 , 根 如果序 列 x n 的长度 为 M , 只有 当频域 抽样点 数 Ⅳ≥M 时 , () 则 才可 以 由频 域抽样 序列 XN 经离散 傅 里叶反 ()
变 换恢 复原始 序列 z , ( ) 否则 将会产 生时 域信号 失真 频域抽 样点 数 Ⅳ 越少 , 时域 信号 失真越 严重 .本文从 理论 上具体 分析 了 当序 列较 长而
第 2 7卷
第 1期
电气 电子 教学 学报
J OuRNAL OF E EE
Vo1 27 NO. . 1
20 0 5年 2月
Fe . 20 5 b 0
解 析 频 域 抽 样 时对 应 的 时域 信 号 失 真
杨 桂 芹
( 兰州交通 大学 信 息与 电气工程学院 , 甘肃 兰州 7 0 7 ) 3 0 0