2016-2017年福建省泉州市晋江市季延中学高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)
福建省晋江市季延中学高二数学上学期期中试卷 理
A 福建省晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一,选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．若命题p ：2是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A ．“p ∨q”为假 B ．“p ∨q”为真 C ．“p ∧q”为真 D ．以上都不对2．抛物线2ax y =的准线方程为02=+y ，则a 的值是（ ）A ．8B ．8-C ．81D ．81-3、如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点， 若a B A =11，,,111c A A b D A ==则下列向量中与M B 1相等的是（ ）A ．c+- Bc++ C c+- D ．c++4、平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.下列有关选项正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题 . B ．“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2230x x --≤”.D ．已知命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∃∈，使得210x x +-≥.6．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．67．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC=++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD =60º，且A1A=3，则A1C 的长为（ ） AB． CD9．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A.12B.22 C ．－12D ．010．已知直线1l ：4x －3y ＋6＝0和直线2l ：x ＝－1，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 命题：“若，则”的逆否命题是12．与双曲线110622=-y x 有共同的焦点，且离心率23=e 的双曲线方程为 13. 椭圆的两焦点12(4,0),(4,0)F F -，点P 在椭圆上，若12PF F ∆的面积最大为12，则椭圆方程为14．已知向量p 在基底{c b a ,,}下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底 {c ,,-+}下的坐标为15. 设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△2ABF 为锐角三角形,则该椭圆离心率e 的取值范围是三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分，写出必要的解题过程）16，抛物线x y 82=的焦点是F ，倾斜角为45°的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|＝85，求直线l 的方程．11x -<<21x <BDACEF BCAB 1C 1A 1NMP17．推理判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x2＋(2a ＋1)x ＋a2＋2≤0有解，则a≥1”的逆否命题的真假．18．如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点．(1)求异面直线AB 与EF 所成角的余弦值；(2)求E 到平面ACD 的距离；(3)求EF 与平面ACD 所成角的正弦值．19.已知P为椭圆1422=+y x上的任意一点，O 为坐标原点，M 在线段OP 上，且OM =（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线0263=-+y x 与M 的轨迹相交于B A ,两点，求OAB ∆的面积20．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直底面，11===AC AB AA ，AC AB ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在直线11B A 上，且111B A A λ= （1）证明：无论λ取何值，总有PN AM ⊥（2）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大，并求该角取最大值时的正切值。
【精品】2016学年福建省泉州市晋江一中高二上学期期中数学试卷和解析
2015-2016学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂至答题卡上）1．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°2．（5分）等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．4．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．6．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．38 B．5 C．﹣6 D．﹣107．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．（5分）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．3511．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．（5分）对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．二.填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．15．（4分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．（4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．（4分）已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．（10分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．19．（10分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．（12分）某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．（14分）200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂至答题卡上）1．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°【解答】解：根据余弦定理可知cosA=∵a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，可得a2=b2+bc+c2，∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）∴cosA=﹣∴A=120°故选：C．2．（5分）等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．48【解答】解：∵S10=10a1+45d=120，即2a1+9d=24，∴a2+a9=（a1+d）+（a1+8d）=2a1+9d=24．故选：B．3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得：，∴==2．故选：B．4．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a﹣b＞0，d﹣c＜0，故a﹣b＞d﹣c一定成立，故A正确；又因为a＞b，故在两边加﹣c可得，a﹣c＞b﹣c，故C正确；由c＞d可得﹣c＜﹣d，两边同时加a可得a﹣c＜a﹣d，故D正确；唯有B，有可能a+d＞b+c，也由可能a+d＜b+c，a+d=b+c，故不一定成立，故选：B．5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选：A．6．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．38 B．5 C．﹣6 D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z=2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z=2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）=﹣6．故选：C．7．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形【解答】解：∵在△ABC中，a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴a2tanB=b2tanA⇔=⇔=，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=．∴此三角形是直角或等腰三角形．故选：D．8．（5分）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29【解答】解：∵当n为奇数时，a n+a n+1=﹣（3n﹣2）+（3（n+1）﹣2）=3，∴a1+a2+…+a20=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）=3×10=30；故选：A．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．35【解答】解：依题意可知求得d=﹣1，a1=9∴S n=9n﹣=﹣n2+9n+，∴当n=9时，S n最大，S9=81﹣=45故选：B．11．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴ab≤，∴，故A不成立；，故B不成立；，故C不成立；∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，∴==≤，故D成立．故选：D．12．（5分）对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．【解答】解：根据题意，∵∴函数g（x）在上单调减，在（1，2]上单调增所以g（x）在x=1时取得最小值g（1）=1；由“兄弟函数”的定义，有：f（x）在x=1处取得最小值f（1）=1；所以f（x）=（x﹣1）2+1；所以f（x）在x=2时取得最大值f（2）=2；∴函数f（x）在区间上的最大值为2故选：B．二.填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．14．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a5=5，S5=15，∴，解得a1=1，d=1，∴a n=1+（n﹣1）=n，∴==，∴数列的前100项和S100=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．故答案为：．15．（4分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4] ．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]16．（4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞）．【解答】解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）17．（4分）已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=2n．【解答】解：∵T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，∴2T n=2a1+22a2+23a3+…+2n a n，两式相加，得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23（a2+a3）+…+2n﹣1（a n﹣1+a n）+2n a n，又∵，∴3T n=2+2+2+…+2+2n a n=2n+2n a n，∴3T n﹣2n a n=2n，故答案为：2n．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．（10分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．19．（10分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【解答】解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．∴B1B2=10．∴乙船的航行速度是海里/小时．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵S n+a n=﹣n+1，∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1，两式相减得：2a n﹣a n﹣1=﹣n﹣1，变形得：2（a n+n）=a n﹣1+（n﹣1），又∵b n=a n+n，∴数列{b n}是公比为的等比数列；（2）解：由（1）可知S1+a1=﹣﹣+1=﹣1，即a1=﹣，又∵b1=a1+1=﹣+1=，∴b n=a n+n=，a n=﹣n+，∴S n=﹣（1+2+…+n）+（++…+）=﹣+=1﹣﹣．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a﹣c）cosB=bcosC整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，∵∠B是三角形的内角，∴B=60°．（II）在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac•cosBac=3故．22．（12分）某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．【解答】解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，∴△ABC的面积是a2，∴△ADE的面积是a2，∵AD=x，DE=y，∴①=x×AE×sin60°，∴AE=，②y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°=x2+AE2﹣x•AE=x2+（）2﹣2a2，∴y＞0，∴y=，又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，∴y=（a≤x≤2a），（2）y=≥=a，当且仅当x2=，即x=a时“=”成立，此时AE=a，∴使AD=AE=a时，DE最短，最短为a．23．（14分）200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1【解答】解：（1）∵函数h（x）=的图象过点，∴，解得a=4；（2）由（1）得，h（x）=，∵h（x）+h（1﹣x）==，∴=；（3）==，则b n==，∴=，对一切n∈N*恒成立，得由T n＜2λa n+1，即对一切n∈N*恒成立，∵（当且仅当n=2时等号成立），∴．故λ的取值范围是．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2016-2017学年福建晋江季延中学高二上期中数学(理)试卷
2016-2017学年福建晋江季延中学高二上期中数学(理)试卷考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是（ ）A ．""q p ∨⌝）（B ．""q p ∧C ．""）（）（q p ⌝∧⌝ D ．""）（）（q p ⌝∨⌝ 2．在等比数列{}n a 中，1240a a +=，3460a a +=，则78a a += （ ） A.80 B.135 C.100 D.90 3．在ABC ∆中，45,60,1B C c =︒=︒=，则b 的长等于（ ）124．命题“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.35．利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（ ） A.4424=⋅≥+=xx x x y B.)(4sin 4sin 2sin 4sin 为锐角x xx x x y =⋅≥+= C.410log 4lg 210log 4lg =⋅≥+=x x x x yD.43432343=⋅≥+=x x x xy6．在锐角△ABC 中，已知|AB|＝4，|AC |＝1，S △ABC BC 等于（ ）D.177．设1a b >>，P ，1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a bR +=，则（ ） A.R P Q << B.P R Q <<C.Q P R <<D.P Q R <<8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M a a a =++1542(常数)，则下列各数中也一定为常数的是（ ）A.7SB.8SC.13SD.15S 9．若110a b<<，则下列不等式①ab b a <+；②||||b a >；③b a <；④2>+b a a b 中，正确的不等式有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10．设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ）A.[3,11]B.[2,10]C.[2,6]D.[1,5] 11．不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ ）A.-1<x<3B.0<x<3C.-2<x<1D.-2<x<312．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A.289B.1024C.1225D.137813．已知数列{}n a 中，11a =-，131-=+n n a a ，则其通项n a = 14．已知实数,a b 满足22941a b+=，则22b a +的最小值是 . 15．已知数列{}n a 中，11a =-，11n n n n a a a a ++⋅=-，则其通项n a = . 16．“存在()∞+∈，0x 使不等式022>++m x mx 成立”为假命题，则m 的取值范围为__________________________17．命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增，若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围18．ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，已知向量(cos sin )m A A =，，(cos sin )n B B=，-，且1m n -= .(Ⅰ) 求角C 的度数；(Ⅱ) 若3c =，求ABC ∆面积的最大值.19．如图，有两条相交成60°角的直线xx ′，yy ′，交点是O ，甲、乙分别在Ox ，Oy 上，起初甲离O 点3 km ，乙离O 点1 km ，后来两人同时用每小时4 km 的速度，甲沿xx ′方向，乙沿y ′y 方向步行，问：（1）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； （2）什么时候两人的距离最短？20．某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍(Ⅰ)设买钾肥x 吨，买氮肥y 吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？(Ⅱ)已知)0,10(A ，O 是坐标原点， ),(y x P 在(Ⅰ)中的可行域内，求OA OPs OP⋅= 的取值范围.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(1)2(2*N n a n S n n ∈-+=. (Ⅰ) 求1a 的值，并用1n a -表示n a ； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 设25342311111+++++=n n n a a a a a a a a T ，求证：53n T <.22．已知()l o gm f x x =（m 为常数，0m >且1m ≠），设12(),(),,()()n f a f a f a n N +∈ 是首项为4，公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列；(Ⅱ)若()n n n b a f a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，当m =时，求n S ；参考答案1．D 【解析】试题分析：由已知可知命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以""）（）（q p ⌝∨⌝是真命题 考点：复合命题真假的判定2．B 【解析】 试题分析：由1240a a +=，3460a a +=可知()32678126033401354022q a a a a q ⎛⎫==∴+=+=⨯= ⎪⎝⎭考点：等比数列 3．B 【解析】试题分析：由正弦定理sin sin b c B C =得1sin 45sin 60b b =∴= 考点：正弦定理解三角形4．C 【解析】试题分析：原命题是真命题，所以逆否命题是真命题，命题的逆命题为：若a b >则22ac bc >，是假命题，所以否命题是假命题，所以正确的命题个数为2个 考点：四种命题 5．D 【解析】试题分析：A 中x 不一定是正数，所以不正确；B 中sinx 不一定是正数，所以不正确；C 中lg x 不一定是正数，所以不正确；D 中3x 是正数，所以由a b +≥考点：基本不等式性质 6．A 【解析】试题分析：由1sin 2S bc A =得141sin sin 2A A =⨯⨯⨯∴=1cos 2A ∴=，由222c o s 2b c a A bc+-=得BC =考点：解三角形 7．D 【解析】试题分析：由a b +≥可知1(lg lg )2a b Q P +>> ()11(lg lg )lg 222a b a b ab Q R ++==>< P Q R ∴<< 考点：不等式性质 8．C 【解析】 试题分析：()24151111177314318363a a a a d a d a d a d a d a M a ++=+++++=+=+==∴是常数()11313713132a a S a +∴==是常数考点：等差数列通项公式及求和 9．D 【解析】 试题分析：由110a b<<可知0b a <<，假设2,1b a ∴=-=-代入不等式中验证可得均正确考点：不等式性质 10．A 【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线0,,4312x y x x y ==+=围成的三角形及其内部，顶点为()()12120,0,0,4,,77⎛⎫⎪⎝⎭，232211121,1111x y y y y z x x x x +++++==+=+++++ 看作点()(),,1,1x y --连线的斜率，结合可行域可知z 的取值范围是[3,11]考点：线性规划问题11．D 【解析】试题分析：()()223031013x x x x x --<∴-+<∴-<<，所以其必要不充分条件是-2<x<3考点：充分条件与必要条件 12．C 【解析】试题分析：由图形可得三角形数构成的数列通项()12n na n =+， 同理可得正方形数构成的数列通项2n b n =，则由2n b n =（n ∈N+）可排除D ，又由()12n na n =+，()12892n n +=与()110242nn +=无正整数解 考点：数列的应用；归纳推理13．213--n【解析】试题分析：11111313222n n n n n a a a a a ++⎛⎫⎧⎫=-∴-=-∴-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为等比数列，首项为11322a -=-，公比为3，所以13313222n n n n a a --=-∴=-考点：数列求通项公式 14．25 【解析】试题分析：()22222222229494941325b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当222294b a a b=时等号成立，所以最小值为25考点：不等式性质 15．1n-【解析】试题分析：1111111n n n n n n n a a a a a a a +++⎧⎫⋅=-∴=-∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为1-，首项为111=-- ()()11111n n n n a a n∴=-+-⨯-=-∴=- 考点：数列求通项公式 16．(]1,-∞- 【解析】试题分析：原命题为假命题，所以命题的否定为真命题，即任意的()0,x ∈+∞，都有220mx x m ++≤成立，当0m =时不满足，当0m ≠时需满足00m <⎧⎨∆≤⎩，解不等式组得m 的取值范围为(]1,-∞-考点：二次函数性质，不等式与函数的转化 17．(][)+∞⋃-,21,2【解析】试题分析：依题意，可分别求得p 真、q 真时m 的取值范围，再由p ∨q 为真，而p ∧q 为假求得实数a 的取值范围即可试题解析：命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；pT ⇒()22240a ∆=-<，即22a -<<命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增；qT ⇒1a > ∵p q ∨为真，而p q ∧为假，∴pq 一真一假p 真q 假时，pT ⇒22a -<<；qF ⇒1a ≤;∴21a -<≤ p 假q 真时，pF ⇒22a a ≤-≥或；qF ⇒1a >;∴2a ≥ 综上所述a 的取值范围为 (][)+∞⋃-,21,2 考点：复合命题的真假18．(Ⅰ) 120︒(Ⅱ)4【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算与模的计算公式可得：1=，利用两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式化为2-2cos （A+B ）=1，即可得出；（2）当c=3时，利用余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2abcosC ，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出试题解析：(Ⅰ) ∵ (cos cos sin sin )m n A B A B -=-+，，1m n -= ，1=，即22cos()1A B -+=，1cos()2A B +=. ∴60A B +=︒，∴180()120C A B =︒-+=︒.(Ⅱ) 由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2292cos12023a b ab ab ab ab =+-︒≥+=，则3ab ≤.故13sin sin120224ABC S ab C ∆=≤︒=，当且仅当a b ==max ()4ABC S ∆=. 考点：余弦定理；向量的模19．（12）在第15分钟末，PQ 最短，最短距离为2 km【解析】 试题分析：（1）设两人的距离为ykm 根据题意分两种情况讨论即A 与O 不重合，A 和O 重合，分别利用三角函数求出AB 即可得到y 的解析式；（2）利用二次函数求最小值的方法求出y 的最小值即可 试题解析：（1）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ， 则AP ＝4t ，BQ ＝4t (Ⅰ)当0≤t ≤34时， PQ(Ⅱ)当t ＞34时，PQ综上（Ⅰ）、（Ⅱ）可知PQ （2）∵PQ 2＝48(t －14)2＋4 ∴当t ＝14时，（PQ ）min ＝2 即在第15分钟末，PQ 最短，最短距离为2 km.考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用20．(Ⅰ) 购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨(Ⅱ)⎣ 【解析】 试题分析：(Ⅰ)首先由已知条件中的限定条件可得到关于x,y 的不等式，从而确定线性约束条件，进而由不等式得到可行域，通过对目标函数y x z +=的变形，将z 赋予特定的几何含义：直线的截距，从而求得z 取最值时x,y 的取值；(Ⅱ) 将OA OPs OP⋅=代入点的坐标转化为s =s 的取值范围试题解析：(Ⅰ)设肥料总数为y x z z +=,， 由题意得约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤00560020505.1y x y x xy yx ，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤005602523y x y x x y y x 画出可行域（如图）目标函数：y x z +=，即z x y +-=， 表示斜率为1-，y 轴上截距为z 的平行直线系. 当直线过点N 时，z 最大.联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=5602523y x xy ，解得)105,70(N 此时17510570max =+=+=y x z .∴购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨(Ⅱ)θcos ===s10=，θ为OP OA ,的夹角θcos 10=∴s .有图可知：当点P 在线段OM 时，θcos 最大为22，此时s 最大值为25； 当点P 在线段ON 时，θcos 最小为13132，此时s 最小值为131320.13s ⎡∴∈⎢⎣另解：22211010⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==x y y x xs ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=23,1x y k OP ，代入可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈25,131320s 考点：线性规划问题21．(Ⅰ) 11=a ，11n n n a a n -+=(2n ≥).(Ⅱ) 12n n a +=(Ⅲ)详见解析 【解析】试题分析：（1）首先利用赋值法求出数列的首项，进一步建立数列1n a -和n a 间的联系；（2）利用叠乘法求出数列的通项公式．（3）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结果试题解析：(Ⅰ)由11121)21(2a a S =-+=，得11=a ；当2≥n 时，21)1(21)2(11-+--+=-=--n n n n n a n a n S S a 1(1)n n na n a -⇒=+ (2≥n )，即11n n n a a n -+=(2n ≥). (Ⅱ) 由(Ⅰ)，得2132a a =，3243a a =，4354a a =， 11n n n a a n-+=， 将以上(1)n -个式子相乘，得112n n a a +=.而11=a ，故12n n a +=. (Ⅲ) ∵214(1)(3)n n a a n n +=++ 112()13n n =-++ ∴)]3111()6141()5131()4121[(2+-+++-+-+-=n n T n 11112()2323n n =+--++. 52253233n n =--<++ 考点：数列的求和；数列递推式22．(Ⅰ)详见解析(Ⅱ) 32n n S n +=⋅ 【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式可求得f （x ）的解析式，进而求得n a ，进而根据21n na m a +=推断出数列{}n a 是以4m 为首项，2m 为公比的等比数列；（2）把（1）中的n a 代入()n n n b a f a =求得n b ，把m 代入，进而利用错位相减法求得n S ． 试题解析：(Ⅰ)由题意()42(1)22,n f a n n =+-=+ 即log 22,m n a n =+∴22n n a m += ∴2(1)22122n n n n a mm a m++++==∵0m >且1m ≠，∴2m 为非零常数，∴数列{}n a 是以4m 为首项，2m 为公比的等比数列(Ⅱ)由题意222222()log (22)n n n n n n m b a f a m m n m +++===+⋅，当12(22)2(1)2n n n m b n n ++=+⋅=+⋅ ∴3452223242(1)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ ① ①式乘以2，得4562322232422(1)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ② ②－①并整理，得345623222222(1)2n n n S n ++=-⋅-----++⋅ 3345232[2222](1)2n n n ++=--++++++⋅ =3332[12]2(1)212n n n +---++⋅-33322(12)(1)2n n n +=-+-++⋅ 32n n +=⋅考点：等比关系的确定；数列的函数特性；数列的求和。
福建省泉州市晋江市季延中学2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设M=2a2﹣4a，N=a2﹣2a﹣3，则有（）A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N2．设a＜b＜0，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2＜b2B．C．ab＜b2D．3a＜4b3．已知等比数列{a n}中，=2，a4=8，则a6=（）A．31 B．32 C．63 D．644．若数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+3，则a n=（）A．3 B．3n+3 C．3n D．3n+65．已知x，y，z∈R，若﹣1，x，y，z，﹣3成等比数列，则xz的值为（）A．B．C．D．36．已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则xy的最大值为（）A．B．1 C．D．7．若实数x，y满足不等式组则z=2x+y+1的最小值为（）A．﹣1 B．2 C．5 D．38．已知数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b8，则一定有（）A．a3+a9≤b9+b7B．a3+a9≥b9+b7C．a3+a9＞b9+b7D．a3+a9＜b9+b79．已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥410．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于（）A．19 B．20 C．21 D．2211．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2=5，a7a8=10，则a4a5=（）A．B．6 C．7 D．12．已知y=f（x）是定义在R上的增函数且为奇函数，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．与，两数的等比中项是．14．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2的最小值为．15．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式．16．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是．三、解答题（本题共6小题，共74分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．）17．公差不为0的等差数列{a n}中，a1=3，a5=7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）若数列{b n}中，b n=2，求数列{b n}前n项的和S n．18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B，不等式x2+ax+b ＜0的解集为A∩B，求a，b的值．19．已知x，y是正实数，且2x+5y=20，（1）求u=lgx+lgy的最大值；（2）求的最小值．20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．21．某服装制造商现有300m2的棉布料，900m2的羊毛料，和600m2的丝绸料．做一条大衣需要1m2的棉布料，5m2的羊毛料，1m2的丝绸料．做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？22．数列{a n}是首项a1=4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2|a n|，设T n为数列的前n项和，若T n≤λb n对一切n∈N*恒成+1立，求实数λ的最小值．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设M=2a2﹣4a，N=a2﹣2a﹣3，则有（）A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N【考点】不等式比较大小．【分析】作差后，利用配方法判断差的符号，即可比较出大小关系．【解答】解：∵M=2a2﹣4a，N=a2﹣2a﹣3，、∴M﹣N=a2﹣2a+3=（a+1）2+2＞0，∴M＞N，故选：C2．设a＜b＜0，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2＜b2B．C．ab＜b2D．3a＜4b【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案．【解答】解：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，故A错误；ab＞0，两边同除ab得：，故B正确；两边同乘b得：ab＞b2，故C错误；3a与4b的大小无法确定，故D错误；故选：B3．已知等比数列{a n}中，=2，a4=8，则a6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【考点】等比数列的性质．【分析】设出等比数列的公比q，由已知列式求得首项和公比，再由等比数列的通项公式得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由=2，a4=8，得，解得：．∴．故选：B ．4．若数列{a n }中，a 1=3，a n +1=a n +3，则a n =（ ）A ．3B ．3n +3C ．3nD ．3n +6【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：由a n +1=a n +3，∴a n +1﹣a n =3，∴数列{a n }是等差数列，公差为3．则a n =3+3（n ﹣1）=3n ．故选：C ．5．已知x ，y ，z ∈R ，若﹣1，x ，y ，z ，﹣3成等比数列，则xz 的值为（）A ．B ．C ．D ．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质即可得出．【解答】解：∵﹣1，x ，y ，z ，﹣3成等比数列，则xz=﹣1×（﹣3）=3，故选：D ．6．已知x ＞0，y ＞0，2x +y=2，则xy 的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y=2，∴xy=（2x •y ）≤（）2=，当且仅当x=，y=1时取等号，故则xy 的最大值为，故选：A7．若实数x ，y 满足不等式组 则z=2x +y +1的最小值为（）A ．﹣1B ．2C ．5D ．3【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，将目标函数变形为y=﹣2x+w，画出平行线y=﹣2x由图知直线过点A时纵截距最小，w最小；将A的坐标代入求出w的最小值【解答】解：画出可行域，将z=2x+y+1变形为y=﹣2x﹣1+z，画出直线y=﹣2x平移至A（0，1）时，纵截距最小，z最小故z的最小值是z=2×0+1+1=2故选B．8．已知数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b8，则一定有（）A．a3+a9≤b9+b7B．a3+a9≥b9+b7C．a3+a9＞b9+b7D．a3+a9＜b9+b7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先利用等比中项的性质以及基本不等式把a6转化，再利用等差数列的性质把b8转化；最后代入已知即可找到答案．【解答】解：因为≤．且．所以a6=b8⇒a3+a9≥b9+b7．故选B．9．已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥4【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据根式函数的性质将定义域转化为ax2﹣ax+1≥0恒成立即可．【解答】解：要使函数的定义域R，则ax2﹣ax+1≥0恒成立，若a=0，则不等式ax2﹣ax+1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．若a≠0，要使ax2﹣ax+1≥0恒成立，则，即，解得0＜a≤4，综上0≤a≤4．故选C．10．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】数列递推式．【分析】由已知得a1+a9=S1+S9﹣S8，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1+a9=S1+S9﹣S8=（1+1+1）+（81+9+1﹣64﹣8﹣1）=21．故选：C．11．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2=5，a7a8=10，则a4a5=（）A． B．6 C．7 D．【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列的公比为q，利用a1a2=5，a7a8=10，可得q6=，从而可求a4a5的值．【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a1a2=5，a7a8=10，∴两式相除，可得q12=2，∴q6=∵a1a2=5，∴a4a5=（a1a2）q6=5故选D．12．已知y=f（x）是定义在R上的增函数且为奇函数，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由函数y=f（x）为奇函数，f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求．【解答】解：∵函数y=f（x）为奇函数，定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则d=表示区域内的点和原点的距离．由下图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．与，两数的等比中项是±1．【考点】等比数列的性质．【分析】要求两数的等比中项，我们根据等比中项的定义，代入运算即可求得答案．【解答】解：设A为与两数的等比中项则A2=（）•（）=1故A=±1故答案为：±114．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2的最小值为2．【考点】基本不等式．【分析】利用2（a2+b2）≥（a+b）2即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴2（a2+b2）≥（a+b）2=4，∴a2+b2≥2．当且仅当a=b=1时取等号．∴a2+b2的最小值为2．故答案为：2．15．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n+1（n∈N*），n=1时，可得a1=2．n≥2时，=n，相减即可得出．a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n+1（n∈N*），∴n=1时，a1=2．=n，n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1∴na n=1，可得a n=．则数列{a n}的通项公式a n=．故答案为：a n=．16．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|x＜1或x＞2} ．【考点】指、对数不等式的解法；一元二次不等式的解法．【分析】先求出f（1）的值，由求得x的范围，再由求得x的范围，再取并集即得所求．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=4．由解得x＞2．由解得x＜1．故不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|x＜1或x＞2}，故答案为{x|x＜1或x＞2}．三、解答题（本题共6小题，共74分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．）17．公差不为0的等差数列{a n}中，a1=3，a5=7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）若数列{b n}中，b n=2，求数列{b n}前n项的和S n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，由已知求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把等差数列的通项公式代入b n=2，由定义得到数列数列{b n}是等比数列，然后利用等比数列的前n项和得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，（Ⅰ）根据题意得：，解得，∴a n=3+（n﹣1）×1=n+2；（Ⅱ）∵b n=2=2n，∴b1=2，则，∴数列{b n}是公比为2等比数列，∴．18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B，不等式x2+ax+b ＜0的解集为A∩B，求a，b的值．【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算．【分析】利用一元二次不等式解法可得不等式的解集A，B，A∩B，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0解得：﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3）．由x2+x﹣6＜0解得﹣3＜x＜2，∴B=（﹣3，2）．∴A∩B=（﹣1，2）．∵不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B=（﹣1，2），∴﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两个实数根．由方程的根与系数关系可得：，∴．19．已知x，y是正实数，且2x+5y=20，（1）求u=lgx+lgy的最大值；（2）求的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）直接使用均值定理a+b≥2，即可求得xy的最大值，进而求得u=lgx+lgy=lgxy的最大值；（2）将乘以1==，再利用均值定理即可求得的最小值【解答】解：（1）∵，∴xy≤10，（当且仅当x=5且y=2时等号成立）．所以u=lgx+lgy=lgxy≤lg10=1∴u=lgx+lgy的最大值为1（2）∵2x+5y=20，∴∴（当且仅当时等号成立）∴的最小值为20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I）将已知等式用等差数列{a n}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{a n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）依题意得解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1．（Ⅱ），b n=a n•3n﹣1=（2n+1）•3n﹣1T n=3+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+7•33+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n﹣2T n=3+2•3+2•32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）3n∴T n=n•3n．21．某服装制造商现有300m2的棉布料，900m2的羊毛料，和600m2的丝绸料．做一条大衣需要1m2的棉布料，5m2的羊毛料，1m2的丝绸料．做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？【考点】简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（1）设生产大衣x条，裤子y条，则根据条件建立不等式组，利用不等式组表示平面区域进行作图．（2）设收益为z，建立目标函数z=120x+80y，然后利用线性规划进行求最值．【解答】解：（1）生产大衣x条，裤子y条，则根据条件建立不等式组，作出不等式组对应的平面图象如图：（2）设收益为z，则目标函数z=120x+80y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z也最大，由，解得，即B，代入目标函数z=120x+80y得z=120×100+80×200=28000（元）．即z的最大值为28000元．22．数列{a n}是首项a1=4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列，（1）求数列{a n}的通项公式；对一切n∈N*恒成（2）若b n=log2|a n|，设T n为数列的前n项和，若T n≤λb n+1立，求实数λ的最小值．【考点】函数恒成立问题；等比数列的通项公式；等差数列的性质；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据S3，S2，S4成等差数列建立等式关系，然后可求出公比q，根据等比数列的性质求出通项公式即可；（2）先求出数列b n的通项公式，然后利用裂项求和法求出数列的前n项和T n，将λ分离出来得λ≥，利用基本不等式求出不等式右侧的最大值即可求出所求．【解答】解：（1）∵S3，S2，S4成等差数列∴2S2=S3+S4即2（a1+a2）=2（a1+a2+a3）+a4所以a4=﹣2a3∴q=﹣2a n=a1q n﹣1=（﹣2）n+1（2）b n=log2|a n|=log22n+1=n+1=T n=（﹣）+（﹣）+…+（）=﹣λ≥==×因为n+≥4，所以×≤所以λ最小值为2017年1月1日。
【精品】2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）
A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）
2．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=（）
A．80B．90C．100D．135
3．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则边b等于（）
A．B．C．D．
4．（5分）命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
5．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）在锐角△ABC中，已知||=4，||=1，S △ABC=，则等于（）A．B．13C．D．17
7．（5分）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
8．（5分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）
A．S7B．S8C．S13D．S15。
2016-2017年福建省泉州市晋江市季延中学高一上学期数学期中试卷带答案
2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分，请将答案涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4，5}B．{3}C．{2}D．{4，5}2．（5分）下列四组函数中表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|与B．f（x）=x0与g（x）=1C．与D．与3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．4．（5分）已知函数，则的值是（）A．B．C．4 D．﹣45．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C． D．6．（5分）设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A．x﹣a＞y﹣a B．ax＜ay C．a x＜a y D．log a x＞log a y7．（5分）函数的单调减区间为（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣6]D．[2，+∞）8．（5分）如果lg2=m，lg3=n，则等于（）A．B．C．D．9．（5分）函数的零点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）函数的值域是（）A．[1，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣1，0]11．（5分）已知函数，则函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．[0，16] C．[0，4]D．[0，2]12．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）13．（5分）幂函数f（x）的图象过点（2，16），则f（x）=．14．（5分）函数的定义域为．15．（5分）已知函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，则a 的取值范围是．16．（5分）给出下列四个命题：（1）函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；（2）化简2+lg5lg2+（lg2）2﹣lg2的结果为25；（3）若log a＜1，则a的取值范围是（1，+∞）；（4）若2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，要求写出必要的文字说明和解题步骤，请将答案写在答题卡上）17．（10分）设集合A={x|a﹣3＜x＜a+3}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．（1）若a=3，求A∩B，A∪B；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．18．（12分）有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与投入资金x万元的关系是：p=x，q=．今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？19．（12分）已知函数，，其中a＞0，且a≠1．（1）若0＜a＜1，求满足不等式f（x）＜1的x的取值的集合；（2）求关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的集合．20．（12分）已知，．（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）求f（x）的值域；（2）若方程f（x）=a2﹣3a+3有实数根，求实数a的取值范围．21．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若对任意实数t∈R，不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a∈R，设P：当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，Q：当x ∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数，如果记使P成立的实数a的取值的集合为A，使Q成立的实数a的取值的集合为B，求A∩∁R B．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，请将答案涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4，5}B．{3}C．{2}D．{4，5}【解答】解：∵集合A={1，3}，B={3，4，5}，∴A∪B={1，3，4，5}，又∵全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={2}，故选：C．2．（5分）下列四组函数中表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|与B．f（x）=x0与g（x）=1C．与D．与【解答】解：对于A，f（x）=|x|，定义域是R，g（x）==|x|，定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）=x0，定义域是{x|x≠0}，g（x）=1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；对于C，•，定义域是{x|x≥1}，g（x）=的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）==x，g（x）==|x|，对应关系不同，不是同一函数．故选：A．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．【解答】解：A．其定义域为R，关于原点对称，但是f（﹣x）=﹣x+e﹣x≠±f（x），因此为非奇非偶函数；B．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），因此为奇函数；C．定义域为x∈R，关于y轴对称，又f（﹣x）==f（x），因此为偶函数；D．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）==f（x），因此为偶函数；故选：A．4．（5分）已知函数，则的值是（）A．B．C．4 D．﹣4【解答】解：∵函数，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=2﹣2=．故选：A．5．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C． D．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f（）=+2﹣3=﹣1=﹣e0＞0，∴f（0）•f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（0，）故选：C．6．（5分）设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A．x﹣a＞y﹣a B．ax＜ay C．a x＜a y D．log a x＞log a y【解答】解：∵y=a x（0＜a＜1）减函数又∵x＞y＞1∴a x＜a y故选：C．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣6]D．[2，+∞）【解答】解：函数，令函数t=x2+4x﹣12=（x﹣6）（x+2），∵t≥0，∴﹣6≥x或x≥2．则函数转化为g（t）=，在t≥0是单调递增，根据二次函数性质可知，函数t开口向上，对称轴x=﹣2，则x在（﹣∞﹣6]单调递减，在[2，+∞）单调递增．复合函数单调性“同增异减”．可得函数f（x）的单调减区间（﹣∞﹣6]．故选：C．8．（5分）如果lg2=m，lg3=n，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵lg2=m，lg3=n，∴===．故选：C．9．（5分）函数的零点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函数的零点，就是方程x2=的根的个数，也就是y=x2与y=的交点个数，画出两个函数的图象如图：两个函数有3个交点．故选：C．10．（5分）函数的值域是（）A．[1，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣1，0]【解答】解：令t=|x|≥0，则函数可转化为y=﹣1；∵t≥0时，0＜≤1，则﹣1＜﹣1≤0；故选：D．11．（5分）已知函数，则函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．[0，16] C．[0，4]D．[0，2]【解答】解：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y=f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，则2﹣x∈[0，4]，即函数f（x）的定义域为[0，4]，令∈[0，4]，解得x∈[0，16]．则函数y=f（）的定义域为[0，16]．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）13．（5分）幂函数f（x）的图象过点（2，16），则f（x）=x4．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象过点（2，16），∴2a=16，解得a=4，∴f（x）=x4，故答案为：x4．14．（5分）函数的定义域为（﹣9，3）．【解答】解：由，解得﹣9＜x＜3．∴函数的定义域为（﹣9，3）．故答案为：（﹣9，3）．15．（5分）已知函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，则a 的取值范围是（﹣2，0）．【解答】解：由于函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，可得y=2﹣ax在[﹣1，+∞）为单调增函数，且为正值，故有，求得﹣2＜a＜0，故答案为：（﹣2，0）．16．（5分）给出下列四个命题：（1）函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；（2）化简2+lg5lg2+（lg2）2﹣lg2的结果为25；（3）若log a＜1，则a的取值范围是（1，+∞）；（4）若2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．其中所有正确命题的序号是（2）（4）．【解答】解：（1）函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故（1）错误；（2）2+lg5lg2+（lg2）2﹣lg2=25+lg2（lg5+lg2）﹣lg2=25+lg2﹣lg2=25，故（2）正确；（3）若log a＜1，则a的取值范围是（0，）∪（1，+∞），故（3）错误；（4）构造函数F（t）=2﹣t﹣lnt，t∈（0，+∞），显然，F（t）为定义域上的减函数，因为x＞0，y＜0，所以，﹣y＞0，故F（x）=2﹣x﹣lnx，F（﹣y）=2y﹣ln（﹣y），由①式得，F（x）＞F（﹣y），且F（t）为定义域上的减函数，因此，x＜﹣y，即x+y＜0，故（4）正确；故答案为：（2）（4）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，要求写出必要的文字说明和解题步骤，请将答案写在答题卡上）17．（10分）设集合A={x|a﹣3＜x＜a+3}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．（1）若a=3，求A∩B，A∪B；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．【解答】解（1）若a=3，则A={x|0＜x＜6}，又B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，所以A∩B={x|3＜x＜6}，A∪B={x|x＜﹣1，或x＞0}，（2）若A∪B=R，则a﹣3＜﹣1，且a+3＞3，即，a＜2，且a＞0，所以实数a的取值范围为0＜a＜2．18．（12分）有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与投入资金x万元的关系是：p=x，q=．今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？【解答】解：设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3﹣x）万元，此时获取利润为y万元；则由题意知，．令，则y=﹣t2++=（其中0≤t≤）；根据二次函数的图象与性质知，当t=时，y有最大值，为；又t=，得=，∴x==2.25（万元），∴3﹣x=0.75（万元）；所以，对甲投入资金0.75万元，对乙投资2.25万元时，获取利润最大，为万元．19．（12分）已知函数，，其中a＞0，且a≠1．（1）若0＜a＜1，求满足不等式f（x）＜1的x的取值的集合；（2）求关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的集合．【解答】解（1）由不等式f（x）＜1，得…（1分）因为0＜a＜1，所以3x2﹣3＞0，解得x＜﹣1，或x＞1，…（3分）即所求解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）…（4分）（2）由不等式f（x）≥g（x）得…（6分）（i）若0＜a＜1，则3x2﹣3≤﹣5x﹣5，即3x2+5x+2≤0，解得：…（8分）（ii）若a＞1，则3x2﹣3≥﹣5x﹣5，即3x2+5x+2≥0，解得：…（10分）综上，若0＜a＜1，所求解集为；若a＞1，所求解集为…（12分）20．（12分）已知，．（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）求f（x）的值域；（2）若方程f（x）=a2﹣3a+3有实数根，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设t=log3x，t∈[﹣1，1]，则x=3t﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）f（t）=（3t）2﹣2•3t+4，∴f（x）=（3x）2﹣2•3x+4，f（x）的定义域为[﹣1，1]﹣﹣﹣（6分）（2）设u=3x，，f（u）=u2﹣2u+4=（u﹣1）2+3，∴f（u）∈[3，7]即所求值域为[3，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）由于方程f（x）=a2﹣3a+3有实数根，∴a2﹣3a+3∈[3，7]，∴a∈[﹣1，0]∪[3，4]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若对任意实数t∈R，不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由于定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则即，解得，即有f（x）=，经检验成立；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．证明：设任意x1＜x2，f（x 1）﹣f（x2）=﹣=，由于x1＜x2，则2x1＜2x2，则有f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；（3）不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（﹣x）=﹣f（x），f（kt2﹣kt）＜﹣f（2﹣kt）=f（kt﹣2），再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则kt2﹣kt＞kt﹣2，即有kt2﹣2kt+2＞0对t∈R恒成立，∴k=0或即有k=0或0＜k＜2，综上：0≤k＜2．22．（12分）已知函数f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a∈R，设P：当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，Q：当x ∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数，如果记使P成立的实数a的取值的集合为A，使Q成立的实数a的取值的集合为B，求A∩∁R B．【解答】解：（1）∵f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1），f（1）=0，取x=﹣1，y=1得f（0）﹣f（1）=﹣（﹣1+2+1），f（0）=﹣2（2）取y=0，得f（x）﹣f（0）=x（x+1），故f（x）=x2+x﹣2（3）（i）当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，即x2﹣x+1＜a恒成立记h（x）=x2﹣x+1，对称轴，h（x）max=h（0）=1，所以a＞1，即A=（1，+∞）（ii）g（x）=x2+（1﹣a）x﹣2，对称轴：，由于x∈[﹣2，2]时，g（x）是单调函数，所以即A=（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），所以C R B=（﹣3，5），A∩C R B=（1，5）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
2016-2017年福建省泉州市晋江市季延中学高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣12．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99B．100C．96D．1013．（5分）命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=bB．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠bD．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab4．（5分）“m＞0”是“方程=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）满足线性约束条件，的目标函数z=x+y的最大值是（）A．1B．C．2D．36．（5分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．（5分）设等比数列{a n}前n项和为S n，且S1=18，S2=24，则s4等于（）A．B．C．D．8．（5分）若一个矩形的对角线长为常数a，则其面积的最大值为（）A．a2B．C．a D．9．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且，则等于（）A．B．C．D．11．（5分）设a＞0为常数，若对任意正实数x，y不等式（x+y）（+）≥9恒成立，则a的最小值为（）A．4B．2C．81D．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n﹣1（4n ﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（）A．13B．﹣76C．46D．76二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离等于．14．（5分）已知p：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＜0；q：＜x＜，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．15．（5分）如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°求BC的长．16．（5分）已知△ABC三顶点均在双曲线﹣=1上，三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为﹣1；又AB、BC、AC的中点分别为M、N、P，O为坐标原点，直线OM、ON、OP的斜率分别为k1，k2，k3且均不为0，则++=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；=4求b，c的值．（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）设d n=na n，记数列{d n}的前n项和为G n，求G n．19．（12分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？20．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=（υ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？21．（12分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P 的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ 恒成立，求实数m的值．（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C．2．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99B．100C．96D．101【解答】解：由题意，a n=3n﹣2，故有3n﹣2=298，∴n=100，故选：B．3．（5分）命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=bB．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠bD．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab【解答】解；“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题是∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab．故选：D．4．（5分）“m＞0”是“方程=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程表示椭圆则m＞0且m≠3．∴“m＞0”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）满足线性约束条件，的目标函数z=x+y的最大值是（）A．1B．C．2D．3【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．故选：C．6．（5分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得，∴，sinAcosB﹣cosAsinB=0，sin（A﹣B）=0．由﹣π＜A﹣B＜π 得，A﹣B=0，故△ABC为等腰三角形，故选：D．7．（5分）设等比数列{a n}前n项和为S n，且S1=18，S2=24，则s4等于（）A．B．C．D．【解答】解：若q=1，则S2=2S1，显然24=2×18不成立，所以q≠1．由S1=18，S2=24，得a1=18，a1+a2=24，所以a2=6，所以公比．所以．或者利用，所以．故选：C．8．（5分）若一个矩形的对角线长为常数a，则其面积的最大值为（）A．a2B．C．a D．【解答】解：如图，设矩形的长和宽分别为x，y，则x2+y2=a2，其面积S=xy，由基本不等式得S≤（x2+y2）=a2，当且仅当x=y时取到等号，此时为正方形．故选：B．9．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选：A．10．（5分）两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为：=====．故选：D．11．（5分）设a＞0为常数，若对任意正实数x，y不等式（x+y）（+）≥9恒成立，则a的最小值为（）A．4B．2C．81D．【解答】解：a＞0为常数，若对任意正实数x，y不等式（x+y）（+）=1+a++≥1+a+2=1+a+2≥9恒成立，解得a≥4．∴a的最小值为4．故选：A．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n﹣1（4n ﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（）A．13B．﹣76C．46D．76【解答】解析：∵S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n﹣1（4n﹣3）∴S15=（1﹣5）+（9﹣13）+…（49﹣53）+57=（﹣4）×7+57=29S22=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（81﹣85）=﹣4×11=﹣44S31=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（113﹣117）+121=﹣4×15+121=61∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离等于．【解答】解：双曲线的a=1，b=，c==2，渐近线方程为y=±x，可得焦点（2，0）到渐近线的距离为d==．故答案为：．14．（5分）已知p：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＜0；q：＜x＜，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．【解答】解：p的等价条件是m﹣1＜x＜m+1，若p是q的必要不充分条件，则，即，即≤m≤，故答案为：．15．（5分）如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°求BC的长．【解答】解：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2+AD2﹣2BD•AD•co s∠BDA，即142=x2+102﹣2•10x•cos60°，整理得：x2﹣10x﹣96=0，解之：x1=16，x2=﹣6（舍去）．由正弦定理得：，∴．16．（5分）已知△ABC三顶点均在双曲线﹣=1上，三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为﹣1；又AB、BC、AC的中点分别为M、N、P，O为坐标原点，直线OM、ON、OP的斜率分别为k1，k2，k3且均不为0，则++=﹣．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由：2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4，两式相减，得到2（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，x1+x2=2s1，y1+y2=2t1，k1=，∴k AB==2•=2•=；同理可得，k BC=2•=；k AC=2•=．由三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为﹣1，即有k AB+k BC+k AC=++=﹣1，则++=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4求b，c的值．△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2，b=4，∴sinA===；（Ⅱ）S=4=×2c×，∴c=5，△ABC∴b==．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）设d n=na n，记数列{d n}的前n项和为G n，求G n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2，…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）…（2分）即：，…（3分）∴数列{a n}为以2为公比的等比数列，∴…（4分）（2）由b n=log2a n得b n=log22n=n，…（5分）则c n===﹣，…（6分）T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．…（8分）（3），，•… …（9分）错位相减得，=…（11分）从而，…（12分）19．（12分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？【解答】解：（Ⅰ）依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于P到直线y=﹣1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线∵∴p=2∴曲线C方程是x2=4y（Ⅱ）设圆的圆心为M（a，b），∵圆M过A（0，2），∴圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+（b﹣2）2令y=0得：x2﹣2ax+4b﹣4=0设圆与x轴的两交点分别为（x1，0），（x2，0）不妨设x1＞x2，由求根公式得，∴又∵点M（a，b）在抛物线x2=4y上，∴a2=4b，∴，即|EG|=4∴当M运动时，弦长|EG|为定值420．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=（υ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解答】解：（1）依题意，y==≤，当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，∴y max=（千辆/时）．∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h 且小于64km/h．当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）由条件得＞10，整理得v2﹣89v+1600＜0，即（v﹣25）（v﹣64）＜0．解得25＜v＜64．21．（12分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．…（2分）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．∴CD⊥平面ABD．…（3分）又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．…（4分）（Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．∴．…（6分）设平面ACD的法向量为，则，∴令x=1，得平面ACD的一个法向量为，∴点M到平面ACD的距离．…（8分）（Ⅲ）解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°．…（9分）设，则N（2﹣2λ，2λ，0），∴，又∵平面ACD的法向量且直线AN与平面ACD所成角为60°，∴，…（11分）可得8λ2+2λ﹣1=0，∴（舍去）．综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时．…（13分）22．（12分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P 的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ 恒成立，求实数m的值．（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．【解答】解：（1）由|PF1|﹣|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，∴b2=3，故轨迹E的方程为．﹣﹣（3分）（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，∴，解得k2＞3﹣﹣（5分）（i）∵∵MP⊥MQ，∴，故得3（1﹣m2）+k2（m2﹣4m﹣5）=0对任意的k2＞3恒成立，∴．∴当m=﹣1时，MP⊥MQ．当直线l 的斜率不存在时，由P （2，3），Q （2，﹣3）及M （﹣1，0）知结论也成立，综上，当m=﹣1时，MP ⊥MQ ．﹣﹣（8分） （ii ）由（i ）知，M （﹣1，0），当直线l 的斜率存在时，，M 点到直线PQ 的距离为d ，则∴﹣﹣（10分）令k 2﹣3=t （t ＞0），则，因为所以﹣﹣（12分）当直线l 的斜率不存在时，﹣﹣（13分）综上可知S △MPQ ≥9，故S △MPQ 的最小值为9．﹣﹣（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
福建省晋江市季延中学高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
高二理科数学（分值：150分 时间：120分钟）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．命题“若1x =，则21x =”的否命题．．．是（ ） A ．若1x =，则21x ≠ B ．若21x ≠，则1x ≠ C ．若1x ≠，则21x ≠ D ．若1x ≠，则21x = 2．命题“任意的x ∈R, 2x 4－x 2＋1<0”的否定．．是( ) A ．不存在x ∈R, 2x 4－x 2＋1<0 B ．存在x ∈R, 2x 4－x 2＋1<0 C ．任意的x ∈R, 2x 4－x 2＋1≥0D ．存在x ∈R, 2x 4－x 2＋1≥03．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.221106x y -= D. 221610x y -= 4. 若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F 1(－2,0),F 2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ ）A.22 B. 13 C. 12 D.325. 双曲线2222 1(0,0)x y a b a b -=>>与直线by x m a=+(m ∈R )只有一个公共点的充要条件是 ( )A ．0m >B ．0m <C ．0m =D ．0m ≠6. 在下列四个命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三个不共面的向量a 、b 、，则任意一个向量p 都可唯一表示为c z b y a x p ++=． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．37. 已知(1,0,2),(6,21,2),//a b a b λλμ=+=-，则λ与μ的值分别为（ ）A ．5，2B ．－5，－2C ．11,52D ．11,52--8．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715B ．21C ．178D ．239．若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相 同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) A ．s m - B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m - 10. 已知A 、B 是抛物线y 2=2px (p >0)上异于原点O 的两点，则“→OA ·→OB =0”是“直线AB 恒过定点(2p , 0)”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）. 11．准线方程为2x =的抛物线的标准方程是__ _ _12．若双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为 . 13．已知三棱锥O —ABC 中，M 、N 分别是棱OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基底{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x = ， y = ， z =14. 已知平行六面体1111ABCD A B C D -中， AB=4， AD=3， 15AA =， 090BAD ∠=，01160BAA DAA ∠=∠=，则1AC 等于15. 已知直线与椭圆22194x y +=交于,A B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率 为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于 三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 前四题每题13分，最后两题14分)16. 已知命题p ：方程x 2＋2x ＋3－m ＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．已知p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．图17．已知椭圆C 的焦点与双曲线2213y x -=的顶点重合，椭圆C 的长轴长为4. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若已知直线m x y +=．当m 为何值时，直线与椭圆有C 公共点？18. 已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标；(2) 设直线l 的斜率为k ，当线段AB 的长等于5时，求k 的值．19. 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AB AE ⊥,,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面（III ）求二面角F BD A --的余弦值.20．如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2， AD=1，点E 是SD 上的点，且(02)DE λλ=<<（Ⅰ）设二面角C —AE —D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD所成的角为ϕ，若cos sin θϕ=，求λ的值.（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，线段BE 上是否存在一点M ，使得M 不与B 、E 重合，且直线CM 与AE 所成的角为60，若存在，求:EM MB 的值；若不存在，试说明理由.21.已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，焦距为 （1）求椭圆的方程； （2）已知直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．季延中学2012—2013学年度第一学期期中试卷高二理科数学答题卡一、选择题：（共12题，每题5分，共50分）题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10号答案二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11． 12. 13. x= ，y= ，z=14. 15.三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.，共80分)16.17.18.1920.21．高二理科数学期中考试参考答案 一、选择题CDACD BCAAB二、填空题 11 y 2=--8x; 1235 或45;13 16 13 1349- 三、解答题16解:若方程x 2＋mx ＋1＝0有两不等的实根，则⊿=4(m -2)>0解得m ＞2，即p ：m ＞2.---3分若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0， 解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3. ---6分 因p 或q 为真，所以p ，q 至少有一为真， 又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，---8分 即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得m ≥3或1＜m ≤2. ---13分17解：（1）2214y x += ------------------6分 （2）把直线方程m x y +=代入椭圆方程2244x y +=得()2244x x m ++=，即225240x mx m ++-=．-------9分 ()()222245416800m m m ∆=-⨯⨯-=-+≥，------11分解得m ≤≤．-------1318解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1) |AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x , 得y ＝±2 3.∴点A 为(3,23)或(3，－23)-5分(2)直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0（*），---8分 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2. -----9分 由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2=5，解得k =±2 ------13分19.解: 因AB AE ⊥又因为平面AB ABCD ABEF =⋂平面，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AD AE ⊥,即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系,----------1分 (I) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B ∵︒=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠，从而），，－（21210F)21,21,0(--=，)0,0,1(),1,1,0(=-=于是021210=-+=⋅BE EF ，0=⋅∴EF ⊥BE ,EF ⊥BC∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，B BE BC =⋂∴EF BCE ⊥平面--------5分（II ）)0,21,1(),21,0,0(P M ，从而)21,21,1(--= 于是041410)21,21,0()21,21,1(=-+=--⋅--=⋅∴PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ， PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE --8分（III ）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n ＝（),,z y x)21,23,0(),0,1,1(-=-=BF BD , ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-021230z y y x 取1=y ，则1=x ，3=z ，从而1n ＝（1，1，3）----10分，取平面ABD 的一个法向量为)1,0,0(2=n ,111131113cos 212121=⋅=⋅>=<n n n n --12分， 二面角F BD A --的余弦值为31111---13分 20.（Ⅰ）解：以D 为原点，,,DA DC DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），E （0，0，λ），-------1分(1,0,),(0,1,),(1,1,)EA EC BE λλλ=-=-=--设平面ACE 的法向量为n =(x ，y ，z)，则由n EAEC ⊥⊥，n 得1,(,,1)0x z z n y z λλλλ-=⎧==⎨-=⎩，取得--------------4分 易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为.(0,0,2),(0,1,0)DS DC ==与 2||||sin ,cos ||||||||22DS BE DC n DS BE DC n ϕθλλ⋅⋅====+由cos sin θϕ=得21,0=1λλλ=<<又因为.-------------8分（Ⅱ）可设EM tEB =（0<t<1），由（Ⅰ）得，(1,0,1)AE =-，(1,1,1)EB =-，(0,1,1)CE =-所以(1,0,1)(,,)(1,,1)CM CE EM t t t t t t =+=-+-=--，---------11分 由||1|cos ,|cos60,2||||2AE CM AE CM AE CM ⋅<>===⋅得，解得t=0(舍去)或t=0.8,此时EM ：MB=4:1------------------14分 21解（1）由33=a b ，2222a b c -== ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ……………………4分 （2）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由DF ED 2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ……………………6分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，或1-=m 直线EF 的方程为： 01=+-y x 或10x y ++=……………………9分（3）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ．………………12分解得67=k ，此时（*）方程0>∆，∴存在67=k ，满足题设条件．…………14分。
【精】福建省泉州市晋江市季延中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018-2019学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．（5分）命题“若p不正确，则q不正确”的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．（5分）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且a＞0，则a的值为（）A．5 B．C． D．3．（5分）已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则4．（5分）已知命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1＞0，则P的否定是（）A．￢P：∃x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），x2﹣2x﹣1＞0B．￢P：∃x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1＞0C．￢P：∃x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），x2﹣2x﹣1≤0D．￢P：∃x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1≤05．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1766．（5分）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设a＞0，b＞0．若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．38．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p39．（5分）若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．10．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=16及圆内一点A（﹣1，0），P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），P在双曲线的右支上，直线PF与圆（x+）2+y2=相切于点Q，且=3，则双曲线的离心率e的值为（）A．B．C．2 D．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线为，则双曲线的右焦点到其渐近线的距离为．14．（5分）设数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1（n≥2），则数列{a n}的通项公式．15．（5分）已知x和y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2﹣2y的最小值为．16．（5分）设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[3，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分，写出必要的解题过程）17．（10分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和S n．18．（12分）已知命题P：x2+x+4≥mx对一切的x＜0恒成立，命题q：关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x+m+5=0的实数根均是正数，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．19．（12分）已知P为椭圆上的任意一点，O为坐标原点，M在线段OP上，且（1）求点M的轨迹E的方程；（2）若A（﹣4，0），B（0，4），C为轨迹E上的动点，求△ABC面积的最大值．20．（12分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售；②该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼；问哪种方案更优？21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（2）求数列{nb n}的前n项和T n．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．2018-2019学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．（5分）命题“若p不正确，则q不正确”的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确【解答】解：因为，原命题与其逆否命题有相同的真假性，所以命题“若p不正确，则q不正确”的等价命题（逆否命题）是：若q正确，则p正确．故选：B．2．（5分）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且a＞0，则a的值为（）A．5 B．C． D．【解答】解：由双曲线，得c2=4+5=9，c=3．∴双曲线的焦点坐标为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的交点坐标也为F1（﹣3，0），F2（3，0），即椭圆的半焦距c=3，∴a2=b2+c2=16+9=25，得a=5．故选：A．3．（5分）已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则【解答】解：A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．故选：C．4．（5分）已知命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1＞0，则P的否定是（）A．￢P：∃x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），x2﹣2x﹣1＞0B．￢P：∃x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1＞0C．￢P：∃x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），x2﹣2x﹣1≤0D．￢P：∃x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1≤0【解答】解：∵命题：∀x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1＞0”是全称命题，∴全称命题的否定是特称命题得：“∀x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1＞0”的否定是：“∃x∈[1，2]，x2﹣2x﹣1≤0”．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选：B．6．（5分）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）设a＞0，b＞0．若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：由3是3a与3b的等比中项，得3a•3b=9，即a+b=2，∴，则=（）（）=．当且仅当时上式等号成立．故选：C．8．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．9．（5分）若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=2|PF2|所以P在椭圆上（x≤a）由焦半径公式有2a﹣2ex=a+ex得到3ex=a，x=a因为x≤a，即a≤a∴e≥∴e的范围为故选：D．10．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=16及圆内一点A（﹣1，0），P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+y2=16的圆心坐标为C（1，0），半径为4．依题意知：|QC|+|QA|=|QC|+|QB|=|CP|=4＞|FA|=2，∴点Q的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴所求点Q的轨迹方程为．故选：A．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），P在双曲线的右支上，直线PF与圆（x+）2+y2=相切于点Q，且=3，则双曲线的离心率e的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：设左焦点为F′，圆心坐标C（﹣，0），半径R=，则==，∵=3，∴||=3||，∴=，即==，则QC∥PE，则PE=4QC=4×=b，∵直线PF与圆（x+）2+y2=相切于点Q，∴QC⊥PF，则PE⊥PF，则PF==，由双曲线的定义可得，|PF|﹣|PE|=2a，即﹣b=2a，即=2a+b，平方得4c2﹣b2=4a2+4ab+b2，即4c2﹣4a2﹣2b2=4ab，即4b2﹣2b2=4ab，即2b2=4ab，则b=2a，c2=5a2，∴e==．故选：A．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线为，则双曲线的右焦点到其渐近线的距离为3．【解答】解：由双曲线的方程得a=4，b=3，则c=5，则右焦点坐标为F（5，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，不妨设渐近线为y=x，即3x﹣4y=0，则右焦点到其渐近线的距离d=，故答案为：3．14．（5分）设数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1（n≥2），则数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，∴=，∴=，=，=，…，=，累乘可得，•••…•=•••…•，即a n=，故答案为：a n=．15．（5分）已知x和y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2﹣2y的最小值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域z=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1，设m=x2+（y﹣1）2，则m的几何意义是区域内的点到定点D（0，1）的距离的平方，由图象知D到直线AB：x+y﹣4=0的距离最小，则d=，则m=d2=（）2=，此时z的最小值为z=m﹣1=﹣1=，故答案为：．16．（5分）设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[3，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【解答】解：由题意，对任意x∈[3，+∞），（）2﹣1﹣4m2•（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4恒成立，∴≤在[3，+∞）上恒成立；∵=∴x=3时，取得最小值0，∴≤0∴∴或故答案为：三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分，写出必要的解题过程）17．（10分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，∵a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，∴，解得d=2，q=2．∴a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，，（Ⅱ）由（I）得，a n•b n=（2n﹣1）•2n﹣1，S n=1•20+3•21+…+（2n﹣1）•2n﹣12S n=1•2+3•22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n两式相减可得，﹣S n=1+2（2+22+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=1+2×﹣（2n﹣1）•2n=（3﹣2n）•2n﹣3，则S n=（2n﹣3）•2n+3．18．（12分）已知命题P：x2+x+4≥mx对一切的x＜0恒成立，命题q：关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x+m+5=0的实数根均是正数，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：∵x2+x+4≥mx对一切的x＜0恒成立，即对一切的x＜0恒成立，又∵，当且仅当即x=﹣2时，取等号，∴p为真，则m≥﹣3．∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x+m+5=0的实数根均是正数，∴解得﹣5＜m≤﹣1．∴q为真，则﹣5＜m≤﹣1．∵p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p真q假或p假q真，∴，或，∴m＞﹣1或﹣5＜m＜﹣3．19．（12分）已知P为椭圆上的任意一点，O为坐标原点，M在线段OP上，且（1）求点M的轨迹E的方程；（2）若A（﹣4，0），B（0，4），C为轨迹E上的动点，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），由，得，∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，即，则，∴点M的轨迹E的方程为；（2）由题意可得直线AB的方程为x﹣y+4=0，设与直线AB平行的直线l的方程为x﹣y+m=0，由，得5x2+8mx+4m2﹣4=0．令△=0，得64m2﹣4×5×（4m2﹣4）=0，解得，∵△ABC的面积，∴当时，△ABC的面积有最大值为．20．（12分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售；②该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼；问哪种方案更优？【解答】解：（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0解得：3＜n＜27，所以从第4年开始获取纯利润．（2）纯利润y=30n﹣（81+n2）=﹣（n﹣15）2+144所以15年后共获利润：144+10=154（万元）年平均利润W==30﹣﹣n≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+46=154（万元）两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（2）求数列{nb}的前n项和T．【解答】解：（1）由题意知，S n=4a n+2 ①+1∴S n=4a n﹣1+2 （n≥2）②①﹣②：a n=4a n﹣4a n﹣1+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1）∴a n+1令n=1得，s2=4a1+2=a1+a2，解得a2=5，}是以3为首项，2为公比的等比数列，数列{a n﹣2a n﹣1∵b n=a n+1﹣2a n，∴数列{b n}是等比数列，（2）由（1）得，b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，∴nb n=3n•2n﹣1∴T n=3[1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1]③∴2T n=3[1×21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n]④③﹣④：﹣T n=3[1+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n]=3×﹣3n•2n=（3﹣3n）•2n﹣3，∴T n=（3n﹣3）•2n+3．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；∴m=﹣，∴m ∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
福建省晋江市季延中学高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
第Ⅰ卷一、选择题（共60分）（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1、命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为 （ D ） A 、若b a <，则c b c a +<+. B 、若b a ≤，则c b c a +≤+. C 、若c b c a +<+，则b a <. D 、若c b c a +≤+，则b a ≤.2、“(1)(3)0x x +-<”是“3<x ”的 ( A ) A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件3、已知命题:p 平行四边形的对角线互相平分，命题:q 平行四边形的对角线相等，则下列命题中为真命题的是 （ D ） A 、()p q ⌝∨ B 、p q ∧ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝4、椭圆2212516x y +=上有一点P 到左焦点的距离是4，则点p 到右焦点的距离是（ D ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 5、抛物线2y x =的焦点坐标是 （ D ） A 、(1,0) B 、1(,0)4C 、1(0,)8 D 、1(0,)46、与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程是 （ B ） A 、221916x y -= B 、221169x y -= C 、221916y x -= D 、221169y x -= 7、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ C ）A 、7米/秒B 、6米/秒C 、5米/秒D 、8米/秒8、函数()f x 的图象如右图,其导函数()f x '图象的大致形状是（ B ） 9、若方程15222=-+-kyk x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 （ C ）A 、25k <<B 、5k >C 、 2k <或5k >D 、以上答案均不对10、32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=, 则a 的值等于（ A ）A 、310 B 、313 C 、 316 D 、319 11、设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为( C )A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、圆D C BA12、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C． D． 第Ⅱ卷二、填空题（共16分）（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）．13、命题p ：“200,10x R x ∃∈+<”的否定是 2,10x R x ∀∈+≥14、双曲线221416y x -=的渐近线方程是12y x =± 15、抛物线216y x =上一点M 的横坐标是6，则M 到焦点F 的距离是 1016、已知椭圆22221x y a b += (0)a b >> 的焦点为1F 、2F ,点B 是椭圆短轴的一个端点，且12F BF 90∠=，则椭圆的离心率e三、解答题（共74分）（本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 17、（本小题满分12分）求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值.解：先求导数，得x x y 443/-=…………1分令/y >0即3440x x -> 解得101x x -<<>或…………5分 令/y <0即3440x x -< 解得11x x <-<<或0…………6分 导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表从上表知，当2±=x 时，函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4…………12分 18、（本小题满分12分）已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。
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2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）2．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=（）A．80 B．90 C．100 D．1353．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则边b等于（）A．B．C．D．4．（5分）命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（）A．B．C．D．6．（5分）在锐角△ABC中，已知||=4，||=1，S△ABC=，则等于（）A． B．13 C． D．177．（5分）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q8．（5分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A．S7B．S8C．S13D．S159．（5分）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[3，11] B．[3，10] C．[2，6]D．[1，5]11．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜112．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=3a n﹣1，则其通项a n=．14．（5分）已知实数a，b满足+=1，则a2+b2的最小值是．15．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1•a n=a n+1﹣a n，则数列的通项公式a n=．16．（5分）“存在x∈（0，+∞）使不等式mx2+2x+m＞0成立”为假命题，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=lag a x在（0，+∞）上递增，若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a 的取值范围．18．（10分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），且|﹣|=1．（1）求角C的度数；（2）若c=3，求△ABC面积的最大值．19．（12分）如图，有两条相交成60°角的直线x x′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km 的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：（1）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（2）什么时候两人的距离最短？20．（12分）某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍．（Ⅰ）设买钾肥x吨，买氮肥y吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？（Ⅱ）已知A（10，0），O是坐标原点，P（x，y）在（Ⅰ）中的可行域内，求的取值范围．21．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．（1）求a1的值，并用a n表示a n；﹣1（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设T n=+++…+，求证：T n＜．22．（13分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（Ⅰ）求证：数列log m a n=2n+2，{a n}是等比数列；（Ⅱ）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当m=时，求S n．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选：D．2．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=（）A．80 B．90 C．100 D．135【解答】解：利用等比数列{a n}的性质有S2，S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6成等比数列，∴S2=40，S4﹣S2=a3+a4=60，则S6﹣S4=90，S8﹣S6=135故a7+a8=S8﹣S6=135．故选：D．3．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则边b等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，∴由正弦定理=得：b===．故选：C．4．（5分）命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题；故其逆否命题也为真命题；其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题故其否命题也为假命题故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个故选：C．5．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A项中若x＜0，则不等式不成立；B项等号成立的条件时sin2x=4，故等号不可能成立．C项若0＜x＜1，则不等式不成立．D项．解答过程正确故选：D．6．（5分）在锐角△ABC中，已知||=4，||=1，S△ABC=，则等于（）A． B．13 C． D．17==×||×||×【解答】解：∵||=4，||=1，S△ABCsinA=sinA，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=，cosA=，∴由余弦定理可得：==．故选：A．7．（5分）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q【解答】解：由平均不等式知．同理．故选：B．8．（5分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A．S7B．S8C．S13D．S15【解答】解：设a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p．∴S13==13a7=p．故选：C．9．（5分）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．③显然错误．由于，，∴+＞2=2，故④正确．综上，①④正确，②③错误，故选：C．10．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[3，11] B．[3，10] C．[2，6]D．[1，5]【解答】解：设z===1+2，设k=，则k的几何意义为动点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率．即z=1+2k，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P位于直线OA上，斜率k最小为1，当Pw位于B（0，4）时，斜率k最大为，即1≤k≤5，则3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：A．11．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜1【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0⇔﹣1＜x＜3⇒﹣2＜x＜3，故选：C．12．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2，则由b n=n2（n∈N+）可排除D，又由，与无正整数解，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=3a n﹣1，则其通项a n=．=3a n﹣1，变形为：a n+1﹣=3（a n﹣），【解答】解：由a n+1∴数列{a n﹣}是等比数列，公比为3．∴a n﹣=×3n﹣1，∴a n=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知实数a，b满足+=1，则a2+b2的最小值是25．【解答】解：a2+b2=（a2+b2）（+）=9+4++≥13+2=13+12=25，当且仅当a2=15，b2=10取等号，故a2+b2的最小值是25，故答案为：2515．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1•a n=a n+1﹣a n，则数列的通项公式a n=．•a n=a n+1﹣a n，【解答】解：∵a n+1•a n得∴两边除以a n+1，即，∵a1=﹣1，∴∴{}是以﹣1为首项，以﹣1为公差的等差数列，∴，∴．故答案为：﹣．16．（5分）“存在x∈（0，+∞）使不等式mx2+2x+m＞0成立”为假命题，则m 的取值范围为（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：原命题：“存在x∈（0，+∞）使不等式mx2+2x+m＞0成立”为假命题；原命题的否定：“∀x∈（0，+∞），不等式mx2+2x+m≤0成立”为真命题；当原命题的否定为真时：∀x＞0，mx2+2x+m≤0 化简后：m≤﹣令h（x）=﹣⇒h（x）=﹣2×∵x+2，⇒0＜⇒﹣1≤h（x）＜0故h（x）最小值为﹣1；此时m的取值范围为：（﹣∞，﹣1]；故答案为：（﹣∞，﹣1]．三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=lag a x在（0，+∞）上递增，若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a 的取值范围．【解答】解：命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；①若命题p正确，则△=（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；②命题q：函数f（x）=log a x在（0，+∞）上递增⇒a＞1，∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p、q一真一假，当p真q假时，有，∴﹣2＜a≤1；当p假q真时，有，∴a≥2∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．18．（10分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），且|﹣|=1．（1）求角C的度数；（2）若c=3，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），∴=（cosA﹣cosB，sinA+sinB），又|﹣|=1．∴=1，化为2﹣2cos（A+B）=1，∴cosC=﹣，∵C∈（0，π），∴C=．（2）当c=3时，c2=a2+b2﹣2abcosC，∴9≥2ab﹣2ab×，∴ab≤3，∴S=ab，当且仅当a=b=时取等号．∴△ABC面积的最大值为．19．（12分）如图，有两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km 的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：（1）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（2）什么时候两人的距离最短？【解答】解：（1）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则AP=4t，BQ=4t，（Ⅰ）当0≤t≤时，PQ==．（Ⅱ）当t＞时，PQ==，综上（Ⅰ）、（Ⅱ）可知PQ═．（2）∵PQ2=48（t﹣）2+4，∴当t=时，（PQ）min=2，即在第15分钟末，PQ最短，最短距离为2 km．20．（12分）某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍．（Ⅰ）设买钾肥x吨，买氮肥y吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？（Ⅱ）已知A（10，0），O是坐标原点，P（x，y）在（Ⅰ）中的可行域内，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设肥料总数为z，z=x+y，由题意得约束条件，即画出可行域（如图）目标函数：z=x+y，即y=﹣x+z，表示斜率为﹣1，y轴上截距为z的平行直线系．当直线过点N时，z最大．联立方程，解得N（70，105）此时z max=x+y=70+105=175．∴购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨（Ⅱ），，θ为的夹角，∴s=10cosθ．有图可知：当点P在线段OM时，cosθ最大为，此时s最大值为；当点P在线段ON时，cosθ最小为，此时s最小值为．∴另解：，，代入可得21．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．表示a n；（1）求a1的值，并用a n﹣1（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设T n=+++…+，求证：T n＜．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．令n=1时，2S1=3a1﹣1，解得：a1=1由于：2S n=（n+2）a n﹣1①=（n+3）a n+1﹣1②所以：2S n+1=（n+3）a n+1﹣（n+2）a n，②﹣①得：2a n+1整理得：，则：，即：．（2）由于：，则：，…，，利用叠乘法把上面的（n﹣1）个式子相乘得：，即：当n=1时，a1=1符合上式，所以数列的通项公式是：．（3）证明：由于：，所以：，则：=2（），所以：…+=+++…++）=2（）=．22．（13分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（Ⅰ）求证：数列log m a n=2n+2，{a n}是等比数列；（Ⅱ）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当m=时，求S n．【解答】证明：（Ⅰ）由题意f（a n）=4+2（n﹣1）=2n+2，即log m a n=2n+2，∴∴{a n}是以m4为首项，m2为公比的等比数列解：（Ⅱ）当m=时，b n=a n f（a n）=（2n+2）2n+1，S n=4•22+6•23+8•24+…+（2n+2）•2n+1，…①2S n=4•23+6•24+…+（2n）•2n+1+（2n+2）•2n+2，…②②﹣①并整理，得S n=2n+3•n。