四川省绵阳市重点中学14级高考数学冲刺试题

2011级文科数学综合试题（12）出题：陈再军一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．在三角形ABC 中，“6π=∠A ”是“21sin =A ”的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2．已知集合{}{}2log ,32<=<=x x B x x A ，则B A ⋂=（ ） A ()3,1- B ()4,0 C ()3,0 D ()4,1- 3．已知是两条不同直线，是两个不同的平面，给出下列命题：①若m n n m ⊥⊂=⋂,,αβα，则βα⊥；②若,,βα⊥⊥m m 则βα//；③若m n n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥；④若n m n m //,//,//βα，则βα//，其中正确的命题是（ ）A ①②B ②③C ③④D ①③4．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤≤020220y x y x x ，则其表示的平面区域的面积是（ ）A 1B 3C 3D 4 5．已知复数()是虚数单位i ii--132，它的实部与虚部的和是（ ） A 4 B 6 C 2 D 36．在平面直角坐标中，ABC ∆的三个顶点A 、B 、C ，下列命题正确的个数是（ ） （1）平面内点G 满足0=++GC GB GA ，则G 是ABC ∆的重心；（2）平面内点M满足点M 是ABC ∆的内心；（3）平面内点P=，则点P 在边BC 的垂线上；A 0B 1C 2D 37 .设曲线x y sin =上任一点()y x ,处的切线斜率为)(x g ，则函数)(2x g x y =的部分图象可以是（ ）8.某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）A 3B 4C 5D 69. 已知椭圆123:221=+y x C 的左右焦点为21,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()),(),,(,2,12211y x C y x B A 是2C 上不同的点，且BC AB ⊥，则2y 的取值范围是（ ） A ()[)∞+⋃-∞-.106, B (][)∞+⋃∞-.106, C ()()+∞⋃-∞-,106, D 以上都不正确10.定义域为D 的单调函数()x f y =，如果存在区间[]D b a ⊆,，满足当定义域为是[]b a ,时，()x f 的值域也是[]b a ,，则称[]b a ,是该函数的“可协调区间”；如果函数()()0122≠-+=a xa x a ay 的一个可协调区间是[]n m ,，则m n -的最大值是（ ） A 2 B 3 C332 D 4 二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，21=a 且631,,a a a 成等比数列，则=2014a 12. 若函数⎪⎭⎫⎝⎛+=6cos πωx y ()*N ∈ω的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，则ω的最小值是13.一个几何体的主视图和俯视图如图所示，主视图是边长为a 2的正三角形，俯视图是边长为a 的正六边形，则该几何体左视图的面积是 14.私家车具有申请报废制度，一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是15 .已知()()()22)(,32-=--+=-xx g a x a x a x f 同时满足下列条件：①;0)(0)(,<<∈∀x g x f R x 或②()0)()(,,1<+∞∈∃x g x f x 则实数a 的取值范围三 解答题（本大题共6小题，共75分） 16 .（本小题12分）已知函数()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 23)(2 （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最大值和最小值； （2）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 的对应边分别是c b a ,,，且*,1N c a ∈=，若向量()A m sin ,1=与向量()B n sin ,2=平行，求c 的值。

17.（本小题12分）设数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知73=S ，且4,3,3321++a a a 构成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令 ,3,2,1,ln 12==+n a b n n ，求数列{}n b 的前项的和n T 。

18 .（本小题12分）如图菱形ABEF 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，0090,60=∠=∠=∠CDA BAD ABE ,点H 是线段EF的中点.（1）求证：平面AHC ⊥平面BCE ; （2）求此几何体的体积。

B19. （本小题12分）某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级。

某班考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B 的考生有10人（1）求该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分、4分、3分、2分、1分，该考场中有2人10分，3人9分，从这5人中随机抽取2人，求2人成绩之和为19分的概率。

20.（本小题13分）已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的离心率为23，点)3,2(P 在椭圆上.（1） 求椭圆C 的方程；（2） 设椭圆的左右顶点分别是A 、B ，过点)0,2(Q 的动直线与椭圆交于M ，N 两点，连接AN 、BM 相交于G 点，试求点G 的横坐标的值。

21.（本小题14分）已知函数()x x x a x g 2ln 22-+=（1） 当41>a 时，讨论函数()x g 的单调性； （2） 当0=a 时，在函数)(x g 图象上取不同两点A 、B ，设线段AB 的中点为()00,y x P ，试探究函数()x g 在Q ()()00,x g x 点处的切线与直线AB 的位置关系？（3） 试判断当0≠a 时()x g 图象是否存在不同的两点A 、B 具有（2）问中所得出的结论。

2011级数学（文）综合试题（13）答案A CB DC B C B A C 二 填空题11.22017=n a 12. 2 13. 223a 14 10 15.()()0,11,4-⋃--三 解答题 16解：（1）12cos 212sin 232122cos 12sin 23)(--=-+-=x x x x x f 1)62sin(--=πx ………………………..3分32623,12512πππππ≤-≤-∴≤≤-x x ，1)62sin(23≤-≤-∴πx 所以当3π=x 时()x f 取最大值是0，当12π-=x 时()x f 取最小值213+-……..6分 （2）因为向量()A m sin ,1=与向量()B n sin ,2=平行， 所以a b A B 2,sin 2sin ==即 …………….8分由余弦定理C C c cos 45cos 212412-=⨯⨯-+=，1cos 0,20<<∴<<C C π5,512<<<<∴c c 即１，又2*=∴∈c N c ，经检验符合三角形………..12分17解：（1）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++23132132437a a a a a a 解得22=a ……..2分设数列{}n a 公比为q ，有7222=++q a a qa，化简02522=+-q q ，解得)(212舍或==q q ， 11=a ，所以数列{}n a 的通项公式12-=n n a ………6分（2）由2ln 22ln ln 212n a b n n n ===+，又2ln 21=--n n b b ，所以{}n b 是等差数列 ………10分 所以()2ln )1(21n n nb b T n n +=+=……………….12分18解：（1）在菱形ABEF 中，因为060=∠ABE ，所以AEF ∆是等边三角形，又因为H 是线段EF 的中点，所以AB AH EF AH ⊥⇒⊥ 因为面ABEF ⊥面ABCD ，且面ABEF ⋂面ABCD=AB ， 所以AH ⊥面ABCD ，所以BC AH ⊥，在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，090=∠=∠CDA BAD ，得到22==BC AC ，从而222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥,又AH ⋂AC=A所以AHC BC 面⊥，又BCE BC 面⊂，所以平面AHC ⊥平面BCE ……….6分（2）因为AEF C ADC F ACB E V V V V ---++=，34,2,4===∆∆∆AEF ADC ACB S S S 所以()332034223243231=⨯+⨯+⨯=++=---ACE F ADC F ACB E V V V V ..12分19解：（1）由题意得该班总人数是 4025.010=÷人 …………….2分 “阅读与表达” 科目中成绩等级为A 的人数为()3075.040025.015.0375.0375.0140=⨯=----⨯ ……………………6分（2）从5人中选2人共有10种，从10分的2人中选1人有2种，从19分的3人中选1人有3种，所以2人成绩之和为19分的概率为53；答：(1)该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人有3人；（2）2人成绩之和为19分的概率是53。

……….. 12分20 解：（1）由22423b a e =⇒=，又点)3,2(P 在椭圆上，所以134422=+bb 解得16,422==a b ，则椭圆C 方程是141622=+y x ； …….3分 （2）当直线MN 垂直于x 轴，交点为)3,2(),3,2(-N M ，由题知直线AN ：)4(63+-=x y ，直线MB ：)4(23--=x y ，交点)32,8(-G …….5分当直线MN 不垂直x 轴时，设直线MN ：),(),,(),2(2211y x N y x M x k y -=，),(G y t G 联立直线MN 与椭圆方程得()0161616412222=-+-+k x k x k22212221411616,4116kk x x k k x x +-=+=+， ………….7分 因为()22,4),,4(y x AN y t AG G +=+=，由A 、N 、G 三点共线有()4422++=x y t y G同理()11,4),,4(y x BM y t BG G -=-=，由A 、N 、G 三点共线有()4411--=x y t y G有()4422++x y t ()4411--=x y t ，即()4)2(422+-+x x k t ()4)2(411---=x x k t，化简()()()()4224441212---+=-+x x x x t t ， 验证当8=t 时化简得032)(1022121=++-x x x x 带入韦达定理恒成立， 因此G 的横坐标的值为8. ………..13分21解：（1）由题知()()xa x x x x a x g +-=-+='22222，因为41>a 时，0)(,0>'<∆x g ，函数()x g 在定义域),0(+∞上单调递增；………..4分（2）()x x x g 22-=，()222200-=-='=x x x g x x ，22))(2()()(02121212121-=---+=--=x x x x x x x x x x g x g k AB所以函数Q 点处的切线与直线AB 平行； ………….7分（3）设()()),(,)(,2211x g x B x g x A ()210x x <<，若()x g 满足（2）中结论，有()()()21210x x x g x g x g --='，即2ln 22222121212121-++-=-+++x x x x x x a x x x x a即()2121212ln x x x x x x +-= * …………….9分设t x x =21，则*式整理得()112ln +-=t t t ，问题转化成该方程在()1,0上是否有解；…11分设函数()112ln )(+--=t t t t h ，则()()0)1(1)1(41222>+-=+-='t t t t t t h ，所以函数()t h 在()1,0单调递增，即0)1()(=<h t h ，即方程()112ln +-=t t t 在()1,0上无解， 即函数()x g 不满足（2）中结论； …………..14分。