2 数集
2数集和确界原理.
§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥（））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧∈<<=⎪⎪⎪∈≤≤=⎪⎨⎪⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+.（3）a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（4）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-二 、有界集与无界集1、 定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表示不超过的最大整数），则0n N +∈，且0n M >. 综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ∀∈≤；2）00,,o x S x M εε∀>∃∈>-使得.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,o x E x M εε∃>∀∈≤-使得均有，与M 是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ∃是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ∃∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界矛盾.定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ∀∈≥；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n S n则sup S = 1 ；inf S = 0 .（2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η⇒A x ∈∀有η≤xsup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭{}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a例4设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥.例5设A 和B 是非空数集.若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈∀y 是A 的上界,.sup y A ≤⇒A sup ⇒是B 的下界,.inf sup B A ≤⇒例6A 和B 为非空数集,.B A S =试证明:{}. inf , inf min inf B A S =证明：,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf min .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf min B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf min inf B A S ≥⇒又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ⇒是A 的下界,;inf inf A S ≤⇒同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf min inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf min inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 ,E R E ⊂非空，E x ∈∃，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p 和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，, 如此下去，最后得到 210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1）S x ∈∀，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得 1）S ∈∀，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ． 再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得 1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何 ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.-> ； 2）存在S x k ∈，k k n n n n x 21.≤．因此得到 k n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ； （ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７。
课时2 集合的表示方法(26页)
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,
≠ 0,
即
= (-8)2 -4 × × 16 < 0,
解得k>1.
综上,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.
当堂检测
1.已知集合A= {x∈N|x<6},则下列关系式不成立的是 (
延伸探究 若把【例 3】中的集合改为 A= (x,y) = 2 ,哪
位同学解答正确?
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
典型例题
探究三：集合表示方法的选择与转换
例4用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组
2-3 = 14,
的解组成的集合;
3 + 2 = 8
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
分析:依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
典型例题
= 4,
2-3 = 14,
解:(1)解方程组
得
= -2,
3 + 2 = 8,
故该集合用列举法可表示为{(4,-2)}.
2-3 = 14,
该集合也可用描述法表示为 (,)
提示:它们是互不相同的集合.
①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值的集合,所以{x|y=x2+1}=R;
②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值的集合,因为y≥1,所以
{y|y=x2+1}={y|y≥1};
1-2集合的概念
什么叫元素？
集合里的每一个个体，称为集合的元素。 例如：（1）{铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔}中的元素就
是铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔。 （2）{张三，李四，王五，…}中的元素就是张三，李四，王 五，…。 （3）{1号台，2号台，3号台，…，30号台}中的元素是每一 张台。 （4）{0，1，2，3，…，100}中的元素是100以内每一个自 然数0，1，2，3， … 。 （5）{x|x<0}中的元素是每一个负数。
练习1.1.1
ห้องสมุดไป่ตู้
1.用符号∈或 填空 （1）-3___N; 0.5___N; 3____N (2)1.5____Z; -5___Z; 3____Z (3)-0.2___Q; ____Q; 7.21___Q (4)1.5____R; -1.2___R; ____R 2.指出下列集合中，哪个是空集？ （1）方程x2+1=0的解集 （2）方程x+2=2的解
第二节集合的表示方法
集合有两种表示方法：列举法和描述法 一.什么叫列举法？ 将集合的元素一一列出，用逗号分隔，写在{ } 内。 例（1）5以内的整数{1，2，3，4，5} （2）{张三，李四，王五} （3）方程x2=1的解：{-1,1}或者{1，-1} （4）100以内的自然数集：
{0，1，2，…，100}
第一节 集合的概念
1.1.1什么叫集合？ 将同一类事物放在一起，并用花括号{ }括起来， 就叫做集合。 例如（1）{铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔}是 学生常用文具集合。 （2）{张三，李四，王五，…}是信息班同学的 集合。 （3）{1号台，2号台，3号台，…，30号台}是 某班学生的台的集合。 （4）{0，1，2，3，…100}是100以内自然数 集合。 （5）{x|x<0}是负数集合。
第二章集合与不等式§2.1数集和集合
第二章集合与不等式数学是以数量的形式，来反映和表示客观现实世界的规律的，因此在第一章我们首先学习数的运算．现实世界中的平衡关系，在数学上表现为相等；不平衡关系，则表现为不等．客观现实世界是不断发展的，原来的平衡关系，在发展中会变为不平衡，因此可以说，平衡是相对的，而不平衡是绝对的．这就给数学提出了一个任务：除了研究相等关系外，还必须十分重视不等关系的研究．不等关系在数学上用不等式表示．本章学习的就是不等式的解法及其解集，这是数学和其它学科的基础．§2.1数集和集合预备知识∙基本数集∙一元一次不等式的解重点∙集合的基本概念∙集合的运算关系难点∙子集和真子集学习要求∙理解集合是一个一般的概念∙理解集合与元素、集合与集合之间的关系，掌握集合交、并、补运算在解不等式中，数集的概念是必不可少的，所谓解各类不等式，其实就是在求它们的解集，而解集就是一个数集．在本节中，先介绍一下集合的一般概念，然后把数集及其有关概念，作一个小结，并在此基础上，补充一些相关知识．1. 集合的基本知识(1)集合集合是一个一般的概念．一个集合，是有限或无限个具有某种属性的事物的总体；构成集合的每一个事物，称为元素．例如你所在的班级就是一个集合，班上每一位同学就是班级这个集合的元素；本校的所有班级也是一个集合，校内每个班级就是本校班级这个集合的元素．通常用一个大写的西文字母标识一个集合，例如你所在的班级的集合表示为A，本校班级的集合表示为B等等．集合内的元素通常用小写的西文字母表示，例如集合A的元素的通用标识是x，x既可以表示你，也可以表示你班的任何一位同学．一个事物若是集合内的元素，则说事物属于集合，“属于”用符号“∈”表示，例如学生王明是你班级的同学，则王明∈A；一个事物若不是集合内的元素，则说事物不属于集合，“不属于”用符号“∉”，例如学生赵伟不是你班级的同学，则赵伟∉A．(2)集合的表示说到一个集合，总是包含两方面的内容：第一，构成集合的事物，也就是元素x是什么(例如学生，班级)，第二，构成集合的事物具有怎样性质(例如你所在班级的学生，本校的班级)，也就是具有怎样属性的事物才属于集合．①集合构成的两个基本原则从描述集合元素属性来讲，可以用各种不同的方式来描述属于集合的元素的属性，但不论怎样，你的描述必须符合确定性原则，即根据属性能判定某事物是否是集合内的元素．象上面提到的集合A,B的属性表达是正确的：任何一个人x，只要是学生，且在你所在的班级，则x是A内的元素，否则就不是；任何一个团体x，只要是一个班级，且这个班级是本校的，则x是B内的元素，否则就不是．象下面这种说法，就不是构成集合的事物的属性描述：本校身高170cm左右的男学生；本校男生数与女生数大致相等的班级．从集合元素方面来讲，还有一个互异性原则，即相同的元素只能算做一个元素．例如A={本校三好生或优秀学生干部}，如果有一位学生既是三好生，又是优秀学生干部，在集合A内只能算是一个元素．②集合的表示法表示集合的最直接方法，是干脆把所有元素列出来，并且用一对“{}”引住，例如A={张三，李四，王五，.....}；B ={99届机械１班，99届机械2班，2000届计算机1班， 2000届秘书1班，....}．这种方法称为列举法．当然列举法仅适用于元素个数较少的集合．如果元素个数很多甚至无限个(集合元素个数仅有有限个，称为有限集，否则称为无限集)，通常采用描述法来表示一个集合，它的一般形式是 集合标识符={元素及其特征描述}， 或 集合标识符={元素含义｜元素特征描述}， 或 集合标识符={元素标识符｜元素特征描述}． 例如 A ={机械1班的全部学生}， A ={学生|学生∈机械1班}， A ={x |x 是机械1班学生}． 课内练习11. 用标识符A 表示元素是苹果、香蕉、梨、柑橘、西瓜的集合．2. 用标识符B 表示所有你校年龄不小于15周岁的男学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C ={x |x 是本校健康状况良好的学生}； (2)D ={经常出差的业务员}； (3)D ={职工｜在本校工作}； (4)E ={x |x ∈本校书法兴趣小组}； (5)F ={王强}．2. 数集如果集合的元素是数，则称为数集． (1)基本数集数集的概念你不应该感到陌生，在第一章中不就总结了你在初中阶段所接触到的一些数集了吗？如N 是自然数集，Z 是整数集，Q 是有理数集，最后R 是实数集等等．这些数集称为基本数集．用特征法表示这些数集，就是： N ={0, 1, 2, 3, 4, .... }； N ={0和所有正整数}；N ={x |x =0或x 是1的正整数倍}； Z ={... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }； Z ={自然数和它的相反数}； Z ={x |x =0或正整数或负整数}； Z ={x |x ∈N 或-x ∈N }； Q ={整数或循环小数}；Q ={x |x =q p , p , q ∈Z ; q ≠0; p , q 既约 }；还有一些是与基本数集相近的常用数集，如N ＋＝{1, 2, 3, 4, ... }={x |x 是1的正整数倍}； R +={x |x ∈R, x ≠0｝． (2)一般数集首先回忆一下求解一元一次不等式问题．求解不等式3x <15，得x <5，即小于5的一切实数都能满足不等式，这是由属性“x 是实数，且小于5”所限定的实数的一部分，它是一个数集，不妨记作A ，在实数轴上表示这个数集，是图2-1(1)的形式；求解不等式2x +3≥-9，得x ≥-6，即不小于-6的一切实数 都能满足不等式，这是由属性“x 是实数， 且不小于-6”所限定的实数的一部分，它也 是一个数集，不妨记作B ，在实数轴上表示 这个数集，是图2-1(2)的形式(注意两张图上 空心圆点和实心圆点含义的区别，实心表示 集合中含有该点，空心则表示集合中不含该点)．称集合A ,B 、即由满足不等式的全部值构成的集合，为不等式的解集．不等式的解集常常是某个基本数集的一部分，对这种非基本数集的元素的属性说明，应该由两部分构成：第一部分说明元素取自哪个基本数集，第二部分说明元素在基本数集中的的属性．例如C 是不大于1000、不小于-20的整数集合，则C ={x |x ∈Z ; -20≤x ≤1000}；D 是绝对值大于20的实数集合，则D ={x | x ∈R ; |x |>20}； A 是不等式3x <15的解集，则A ={x | x ∈R , x <5}； B 是不等式2x +3≥-9的解集，则B ={ x | x ∈R , x ≥-6}．在具体问题中，若基本数集是实数集，元素的基本数集属性可以不写，例如可以把D 写成D ={x | |x |>20}，A 写成A ={x | x <5}，B 写成B ={x |R , x ≥-6}．但如果实际问题不是在实数范围内求解，那元素的基本数集属性是不能随便缺省的．例如，若干人分100元，每人不少于3元，问可以分给多少人？用x 表示人数，这是一个简单的不等式问题 3x ≤100，解得x ≤3331，你不能答解集是(-∞,3331)吧？解集应该是{x |x ∈N,0<x ≤33}，这时，x 的基本数集属性x ∈N 怎么也不能缺省了． 课内练习21. 把下列描述的数集，用特征法表示 (1)数集B 是平方等于1的全体； (2)数集A 是大于0、不大于5的奇数；(3)方程2x 2-4x +3=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有 理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式0<3x +6≤12在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在图2-1(1)图2-1(2)有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ． 2. 求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来： (1)2x +3≤7；(2)-3x -2>6；(3)x +6≥3x +8；(4)5x +3<-2x -4．3. 集合的运算 (1)交集在初中，你也学习过解一元一次不等式组，例如解不等式组x +1≥6 (1) 2x -3≤15 (2) 解(1)得到解集A ={x |x ≥5}，解(2)得解集B ={x |x ≤9}．不等式组的解，应使(1),(2)同时满足，也即x 既要属于(1)的解集A ，也要属于(2)的解集B ，因此不等式组的解是A ,B 的公共部分，不难写出公共部分是C ={x |5≤x ≤9}，我们称由A ,B 的公共部分组成的C 为A , B 的交集．所谓“交”如果在数轴上表示数集A ,B ，那么“相交” 的意义再直观不过了(见图2-2)． 一般地，设A ,B 是两个集合，A ,B 的公共部分组成的集合C 称为A ,B 的交集，记作C =A ∩B ．根据交集的构成，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B } (2-1-1) 集合的交是一种运算，运算的对象是集合，“∩”是运算符，运算结果得到交集．集合的交运算可以形象地以图2-3表示． 例1 求下列集合的交集： (1)A ={2, 4, 7}，B ={-2, 1, 2, 4}； (2)A ={等腰三角形}，B ={直角三角形}, (3)A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >-4}． 解 (1) A ∩B ={2, 4} ▌ (2)A ∩B ={等腰直角三角形} (3)A ∩B ={x |-4<x ≤-1}(见图 2-4) ▌再来看一个例子．A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >2}，求交集A ∩B ．你能发 现，A ,B 根本没有公共元素(见图2-5)， 因此它们的交集没有元素，是空的．我们称没有元素的集合为空集；空集用一个特定的记号…∅‟表示，所以 A ∩B =∅． (2)并集对例1(1)，若把集合A 和集合B 的元素合并，得到一个新的集合D={-2, 1, 2, 4, 7}．集合D 的元素与交集C 不同，它不是由既属于A 、又属于B 的图2-3图2-2图2-4图2-5元素构成，而是属于A 或属于B 的元素构成．称这样构成的集合D 为集合A ,B 的并集，“并”的意思也就是“合并”．一般地，设A ,B 是两个集合，称由A ,B 的全部元素构成的集合D 为A ,B 的并集，记作D =A ∪B ．根据并集的构成，即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B } (2-1-2) 集合的并也是一种运算，运算的对象是集合， “∪”是运算符，运算结果得到并集．集合的并 运算可以形象地以图2-6表示． 例2 求下列集合的并集： (1)A ={x |x ≥3}，B ={x |x ≤-3}；(2)A ={班内全体男生}，B ={班内全体女生}； (3)A ={x |x ≥3}，B ={x |0<x <5}．解 (1)A ∪B ={x | x ≤-3或x ≥3},(见图2-7(1)) ▌ (2)A ∪B ={全班学生} ▌ (3)A ∪B ={x |x >0},(见图2-7(2)) ▌课内练习31. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示出来：(1) 2x +5>7 (2)1<2x +4≤10； (3) x +6<1 x +1≤10； -2x +3>0．2. A ={x |x 是今年天下雨的日子}，B ={x |x 是今年天阴的日子}．求A ∪B ， A ∩B ．3. C ={某商场内单价不高于2500元的洗衣机}，D ={同一商场内单价在1000 元到2000元之间的洗衣机}．求A ∪B ，A ∩B ．4. 求下列两个数集的交集和并集，并在数轴上表示出来： (1) A ={x | x ≥1}, B ={x | x >21}； (2) C ={t | -1≤t <3}, D ={ t | t ≤5}； (3) E ={y | 4≥y ≥-1.5}, F ={y | y ≤1.5}；(4) A ={x | 2<x ≤5}, B ={x | 5≤x ≤6}； (5) A ={y | 2<y ≤4}, B ={y | 4.1≤y ≤6}．4. 集合的关系(1)数集的包含关系与子集根据数的含义，我们知道有这样关系：x 是自然数⇒x 是整数⇒ x 是有理数⇒ x 是实数，但所有的箭头反过来是不对的，例如，肯定有整数(负整数)不是自然数．从数集的角度来看，表示图2-6–3 –2 –1 0 1 2 3 4图2-7(1) –1 0 1 2 3 4 5图2-7(2)x ∈N ⇒ x ∈Z ，存在x ∈Z 但x ∉N (1) 这样的关系可以说成：自然数集是整数集的真子集，也可以说成：整数集真包含了自然数集．我们用符号表示为N Z，或Z N ， 符号“ ”或“ ”所表达的意思，就是(1)；采用这两个符号中的哪一个，全看你把真子集写在符号的哪一边．同理，因为x ∈Z ⇒ x ∈Q ，存在x ∈Q 但 x ∉Z所以 Z Q ，或Q Z ； 因为 x ∈Q ⇒ x ∈R ，存在x ∈R 但 x ∉Q所以 QR ，或R Q ． 连在一起，可以写成N Z Q R 或R Q Z N ．用我们曾经使用过的圆圈形象表示，就是第一章出现过的、如图2-8(1)的包含图．如果再算上N +,R +，那么还可以有N +N , R + R 或N N +, R R +． 对一般的两个数集或集合A ,B ，如果具有(1)那样的关系，即 x ∈A ⇒x ∈B ，且存在x ∈B 但x ∉A (2-1-3) 那么，称数集A 为数集B 的真子集，记作A B 或 B A ，用圆圈形象表示的图象是图2-8(2)． 空集是一切非空数集的真子集． 例3 讨论下列集合的包含关系：(1)A ={本年天阴的日子}，B ={本年天下雨的日子}；(2)A ={x |x ∈本班且所有各门课成绩都不低于90分}，B ={x |x ∈本班且仅有数学成绩不低于90分}；(3)A 是不等式2x +5≤ 2的解集，B 是不等式x +5<3的解集．解 (1)因为雨天必定是阴天，但阴天未必下雨，所以BA ▌ (2)因为x ∈A ⇒ x 的各门课成绩都不低于90分 ⇒ x 的数学成绩都不低于90分 ⇒ x ∈B ；但存在x ∈B ⇒ x 仅数学成绩不低于90分⇒x ∉A ．所以A B ▌(3)解不等式2x +5≤2，得A ={x |x ≤-1.5}； 解不等式x +5<3，得B ={x |x <-2}．当x ∈B ⇒ x <-2 ⇒ x ≤-1.5 ⇒ x ∈A ；当x =-1.6 ⇒ x ∈A 但x ∉B ．所以A B (见图2-9) ▌现在把例3(2)的集合B 改为B ={x |x ∈本班且数学成绩不低于90分}，就有两种可能：第一种，有数学成绩不低于90分而其它课程低于90分的学生，此时仍然有A B ；第二种，所有数学成绩不低于90分的学生，其它课程图2-8(1)图2-8(2)⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠–3 –2 –1 0图2-9⊂ ≠成绩也都不低于90分，此时就不存在属于B 而不属于A 的学生了．对于这种吃不准的情况，我们只能有把握说，若x ∈A 则x ∈B ，但不能有把握说，存在x ∈B 但x ∉A ．这是两个集合之间的另一种关系，称为包含． 两个集合(包括数集)A ,B ，若x ∈A ⇒ x ∈B (2-1-4) 则称A 为B 的子集，称B 包含A 或A 被B 包含，记作A ⊆B 或B ⊇A ． (2)集合的相等关系若构成两个集合A ,B 的元素完全相同，则称集合A ,B 相等，记作A =B ． 从包含关系来看，若A =B ，则A 包含B ，B 也包含A ，因此也可以说，若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A ,B 相等． 课内练习41. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A ={1, 2, 3, 4}，B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}；(2)A ={a , b , c | a , b , c ∈R }, B ={c , b , a | a , b , c ∈R }； (3)A ={x |1<x ≤2}, B ={x |1<x <2}；(4)C ={x |x 为无限循环小数}, D ={x |x =p ,q ∈N +, p ∈Z }；(5)A ={x |x ∈本校田径队}，B ={x |x ∈本校长跑队}；(6)C ={x |x ∈十一月份公休日}，D ={x |x ∈十一月份的星期六或星期天}； (7)A 1是不等式-5≤3x -2≤5在自然数集中的解集，B 1是不等式-6≤3x -2≤6中 的解集．(3)数集的互补关系在实数范围内，给出两个集合A ={x |x 是有理数}，B ={x |x 是无理数}，则容易验证A ⋃B =R , A ⋂B =∅．因为我们考虑的范围是实数，也就是说R 是全部，这样的两个A ,B 就有一个特殊性质：它们没有公共元素，而并正好就是全部，因此称A ,B 是互补的． 在一般情况下，若我们考虑的集合范 围是U ，则把U 也看作一个集合，称其为 全集；若集合A ,B 具有性质：A ⋃B =U , A ⋂B =∅，则称A 是B 关于U 的补集，B 是 A 关于U 的补集，即A ,B 关于U 是互补的，记作A =C U B , B =C U A ，用图象表示，可以表 示为图2-10那样．例如上面提到的有理数集A 和无理数集B ，就是关于实数集R 是互补的，即A =C R B , B =C R A ．怎样的集合才有资格称作全集，并无明确的规定，要看实际问题的含义．例如我们考虑的范围是本校，则本校全体学生就是全集，即全集是T ={x |x ∈本校}；若E ={x |x 是本校女生}，F ={x |x 是本校男生}，则E =C T F , F =C T E ．图2-10⊂ ≠ ⊃ ≠课内练习51. 填空：(1)A={x|x>0,x∈R}, C R A= ；(2)D={x|x≠0,x∈R}，C R D= ；(3)C N N+= ；(4)B={x|x∈Z,-100<x<100}，C Z B= ；(5)U={x|x=kπ,k∈Z}，A={x|x=2kπ,k∈Z}，C U A= ；(6)U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,4,7}，C U A= ；2. A={晚餐菜肴}，B={晚餐主食}，求一个集合U，使A,B关于U是互补的．课外习题A类1. 用标识符A表示元素是铅笔、纸张、钢笔、直尺、橡皮、圆珠笔的集合．2. 用标识符B表示所有你校年龄大于16周岁的女学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C={x|x是本班视力良好的学生}；(2)D={校内喜欢体育的学生}；(3)D={职工｜在本校工作}；(4)E={x|x∈本校美术兴趣小组或x∈本校篮球队}；(5)F={班内不叫王强的学生}．4. 把下列描述的数集，用特征描述法表示：(1)数集B是平方不等于81的全部自然数；(2)数集A是小于0或大于10的奇数；(3)方程x2-5x+6=0在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D；(4)不等式2x+7≤1在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D，并把D表示在数轴上．6. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示非空解集：(1)3x+5>-1 (2)6<2x+4≤12；(3) x-6≥1x+1≤0；-2x+3<0．6. A={x|x是今年的法定假日}，B={x|x是今年星期天}．求A∪B，A∩B．7. C={一班身高不低于1.60m的女同学}，D={一班身高在1.55m到1.70m之间的女同学}．求C∪D，C∩D．8. A={x|x是出厂期不超过20天且单价在0.50元~0.70元的牛奶}，B={x|x 是出厂期在10天以内且单价在0.60元~0.80元的牛奶}．求A∪B，A∩B．⊃≠⊂≠9. 用“⊇”,“⊆”,“”,“”,“=”连接下列数集对：(1)A={-1, 0, 1, 2, 3, 4}，B={0, 1, 2, 3, 4}；(2)A ={10, 20, 30}, B ={30, 10, 20}；(3)A ={x |x >2或x <-2}, B ={ x |x ≥2或x <-2}；(4)C ={x |x 是1的正整数倍}，D =N +；(5)A 1是不等式2x -1≤ 5的解集，B 1是不等式3x -2<5的解集；10. 填空：(1)A ={x |x ≤0, x ∈R }, C R A = ；(2)D ={x |x =0}，C R D = ；(3)V ={x |x ∈Z ,x >0}，C Z V = ；(4)B ={x |x ∈Z ,-100<x <100}，C Z B = ；(5)U ={0, 1, 4, 5, 6, 7, 9},A ={0, 1, 4, 5, 7},C U A = ；11. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈本校运动队}，B ={x |x ∈本校体操队}；(2)C ={x |x ∈本班三好生}，D ={x |x ∈本班所有课程都及格的学生}；12. A ={含酒精的饮料}，B ={不含酒精的饮料}，求一个集合U ，使A ,B 关 于U 是互补的．B 类1. 把下列描述的数集，用特征描述法表示(1) B 是以341的整数倍为元素构成的数集； (2)数集A 是奇数，但不是3的整数倍； (3)方程2x 2-5x -875=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在 有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式-5≤x ≤5在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有理 数集内的解集C ，在实数集内的解集D ．2. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A 是不等式2x +1>3的解集，B 是不等式x +1≥ 2的解集；(2) x +1≥9 x +1≤9(3)C 是不等式1≤1+2x ≤5在自然数集内的解集，D 是不等式1≤1+2x ≤6在 自然数集内的解集．3. 写出数集A ={0,1,2,3}的所有的真子集．4. 设A ={x |x =2k -1,k ∈Z }，B ={x |x =5k ,k ∈Z }，求B ∩C N A .5. 设A ={x |x ≤3}，求A ∩R , A ∩∅, C R A , A ∩C R A , A ∪C R A ．6. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈乐器}，B ={x |x ∈钢琴}；(2)C ={x |x ∈笔盒内的笔}，D ={x |x ∈笔盒内的铅笔或钢笔或圆珠笔}； A 是不等式x +1>9的解集，B 是不等式 的解集； ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠7. A =C U D ，B =C U E ．若D E ，那么A 与B 有怎样的包含关系？C 组1. 如图，矩形表示的U 是全集，圆圈表示的 A ,B 是U 的两个子集，试用阴影表示出集合(1)C U A ∩C U B ，(2)C U A ∪C U B ．2. 若C U A ⊆ A ，求A ．3. 设A ,B 是非空集，证明C U A ∪C U B =C U (A ∩B )C U A ∩C UB =C U (A ∪B )．4. 设A ={本班级数学成绩和语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关于{本班级全体学生}的补集. 5. 设A ={本班级数学成绩或语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关 于{本班级全体学生}的补集.6. 设U ={本班级全体学生}，B =C U A ={本班级身高超过1.80m 且各门课程 成绩都不低于75分的男学生}，求A .第1题图 ⊂ ≠。
数集区间表示法
数集区间表示法【实用版】目录1.数集区间表示法的概念2.数集区间表示法的分类3.数集区间表示法的应用4.数集区间表示法的优点与局限性正文一、数集区间表示法的概念数集区间表示法是一种用来描述数学集合（简称数集）的方法，它通过区间的形式来表示数集中的元素。
数集区间表示法可以帮助我们更加直观地理解和描述数集的性质，从而在数学分析、计算机科学等领域中发挥重要作用。
二、数集区间表示法的分类数集区间表示法主要分为以下几种：1.开区间表示法：用开区间 (a, b) 表示数集，其中 a 和 b 分别表示数集的最小和最大元素。
例如，开区间 (1, 3) 表示的数集包含了 1、2、3 等元素。
2.闭区间表示法：用闭区间 [a, b] 表示数集，其中 a 和 b 分别表示数集的最小和最大元素。
例如，闭区间 [1, 3] 表示的数集包含了 1、2、3 等元素。
3.半开区间表示法：用半开区间 (a, b] 表示数集，其中 a 表示数集的最小元素，b 表示数集的最大元素。
例如，半开区间 (1, 3] 表示的数集包含了 1、2、3 等元素。
4.半闭区间表示法：用半闭区间 [a, b) 表示数集，其中 a 表示数集的最小元素，b 表示数集的最大元素。
例如，半闭区间 [1, 3) 表示的数集包含了 1、2、3 等元素。
三、数集区间表示法的应用数集区间表示法在数学分析、计算机科学等领域中有广泛应用，例如：1.在数轴上表示有理数集、实数集等；2.在函数论中，表示函数的定义域、值域等；3.在集合论中，表示集合的元素关系等。
四、数集区间表示法的优点与局限性数集区间表示法的优点在于它能够直观地表示数集中的元素，便于理解和分析。
然而，它也存在一定的局限性，例如在表示无限集合时，区间表示法可能不够精确。
在这种情况下，需要采用其他表示方法，如数轴表示法等。
集合中N Z Q R A
集合中N Z Q R A1、n代表：全体非负整数的集合，通常简称非负整数集（或自然数集）；2、z代表：全体整数的集合通常称作整数集；3、q代表：全体有理数的集合通常简称有理数集；4、r 代表：全体实数的集合通常简称实数集；5、c代表：复数集合计。
1、全体非负整数的集合通常称非负整数集（或自然数集）。
非负整数集包含0、1、2、3等自然数。
数学上用黑体大写字母"n"表示非负整数集。
非负整数包括正整数和零。
非负整数集是一个可列集。
2、整数集（the integer set）所指的就是由全体整数共同组成的子集。
它包含全体正整数、全体正数整数和零。
数学中整数集通常用z去则表示。
3、有理数集，即由所有有理数所构成的集合，用黑体字母q表示。
有理数集是实数集的子集。
有理数集是一个无穷集，不存在最大值或最小值。
4、实数集，涵盖所有有理数和无理数的子集，通常用大写字母r则表示。
18世纪，微积分学在实数的基础上发展出来。
但当时的实数陈建力没准确的定义。
直至年，德国数学家康托尔第一次明确提出了实数的严苛定义。
任何一个非空有上界的子集（涵盖于r）必存有上上确界。
5、复数：形如 z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。
其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位。
当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
第一章2数集 确界原理
1 2
正无穷大 负无穷大
王利梅 数学分析
设 a ∈ R, δ > 0, 满足绝对值不等式 |x − a| < δ 的全体 x 的集合 称为点 a 的 δ 领域, 记为 U (a, δ ), 或简记为 U (a), 即有 U (a, δ ) = {x | |x − a| < δ } = (a − δ, a + δ ). 点 a 的空心 δ 领域定义为 U 0 (a, δ ) = {x | 0 < |x − a| < δ } = (a − δ, a + δ ) \ {a} = U 0 (a). 点 a 的 δ 右领域为 U+ (a, δ ) = [a, a + δ ) = U+ (a). 点 a 的 δ 左领域定义为 U− (a, δ ) = (a − δ, a] = U− (a). 点 a = {x | x 为区间(0, 1)内的有理数}，试按上, 下确界的定义验 证 sup S = 1, inf S = 0. . 证明. 先证明 sup S = 1. (i) 对 ∀ x ∈ S , 显然有 x ≤ 1. 即 1 是 S 的上界. (ii) 对 ∀ α < 1, 若 α ≤ 0, 则任取 x0 ∈ S , 有 x0 > α; 若 α > 0, 则 由有理数在实数中的稠密性知, 在 (α, 1) 内必有有理数 x0 , 即 ∃ x0 ∈ S 使得 x0 > α. 即 η 是 S 的最小上界. 类似地可验证 inf S = 0. 例：闭区间 [0, 1] 的上, 下确界分别为 1 和 0. 开区间 (0, 1) 的上, 下确界分别为 1 和 0. 正整数集有下确界 1, 而没有上确界.
王利梅
数学分析
王利梅
2.集合的概念及元素与集合间关系(学生版)
集合的概念及元素、集合与集合间关系（讲案）【教学目标】一、集合的概念、表示【知识点】1.定义：一般地，把确定的，不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合，这些对象称为元素。
集合通常用大写英文字母来表示，例如集合A，集合B、集合C，元素常用小写英文字母来表示，例如a b c。
,,2.常用数集：①非负整数集（自然数集），记作N②正整数集，记作*N或N+③整数集，记作Z④有理数集，记作Q⑤全体实数集，记作R3.集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作∅4.集合的表示方法：① 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“{}”内表示集合的方法。
使用列举法时元素间用分隔号“,”隔开，不重复，无顺序，对于含较多元素的集合，如果元素间有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表达清楚后才能用省略号。
② 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“(){}|x p x ”，x 为该集合的代表元素，()p x 是元素具有的性质③ venn 图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线，用他的内部来表示集合。
【例题讲解】★☆☆例题1．下列语句是否能确定一个集合 ．（1）所有质数全体；（2）某校高一性格开朗的学生全体；（3）与1接近的实数的全体；（4）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的圆内所有的点（不包括圆上的点）；★☆☆练习1．A.接近于0的数的全体； B.比较小的正整数全体；C.平面上到点O 的距离等于1的点的全体；D.正三角形的全体；.其中能构成集合的是（ ）★☆☆例题2：用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内所有的质数组成的集合★☆☆练习1．用列举法表示下列集合：（1）我国古代四大发明组成的集合；（2）大于2且小于15的所有素数组成的集合；（3）方程22x =的所有实数根组成的集合.★☆☆练习2.用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1- 且小于5的整数组成的集合A ；（2）方程290x -＝ 的实数根组成的集合B ；（3）小于8 的质数组成的集合.C★☆☆例题3.用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈ （7）方程()0,x x a a R -=∈的解集★☆☆练习1.用描述法表示下列集合.（1）方程22x =的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2 数集。
确界
§2 二数集. 确界原理:一区间与邻域:
区间：
邻域
二有界数集. 确界原理:
1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界)
闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合
也是有界数集.
无界数集:对任意，存在，则称S为无界集。
等都是无界数集,
例证明集合是无界数集.
证明：对任意, 存在
由无界集定义，E为无界集。
确界
先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称
它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。
精确定义
定义2 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：
（1）对一切有，即是数集S 的上界；
（2）对任何存在使得（即是S的最小上界）
则称数为数集S的上确界。
记作
定义3设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：
（3）对一切有，即是数集S 的下界；
（4）对任何存在使得（即是S的最大下界）
则称数为数集S的下确界。
记作
例1 ⑴则
⑵则
定理1.1(确界原理). 设S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
证明（见教材）
例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
例3设和是非空数集，且有则有
.
例4 设和是非空数集. 若对和都有则有
证是的上界, 是的下界,
例5 和为非空数集, 试证明:
证有或由和分别是和的下界,有
或
即是数集的下界,
又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界,
同理有于是有
.
综上, 有.
2.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
3.确界与最值的关系: 设为数集.
⑴的最值必属于, 但确界未必, 确界是一种临界点.
⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.
⑶若存在, 必有
对下确界有类似的结论.。