山东省临沂市临沭县实验中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学(文)试题

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临沭县实验中高10级数学2(理)高三期中考试模拟(二)(临沂市2012)

临沭县实验中学高10级数学（理）高三期中考试模拟（2）（临沂市2012）本试卷分为选择题和非选择题两部分，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项： 1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用0.5毫米黑色的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|32}A m Z m =∈-<<，{|13}B n N n =∈-<≤，则A B =（）A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{0，1，2}D ．{-1，0，1，2} 2．下列命题中的假命题是（）A ．1,20x x R -∀∈>B ．,lg 1x R x ∃∈<C ．2,0x R x ∀∈>D ．,tan 2x R x ∃∈=3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则42S S = （）A ．5B ．8C ．-8D ．154．A B C ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，2sin sin cos a A B b A +=，则b a=（）ABC．D．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则cos 2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．456．已知0t >，若0(22)8tx dx -=⎰，则t =（） A ．1B ．2C ．4D ．2或4 7．设112250.5,0.3,log 0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >> 8．已知cos()sin 6παα-+=4cos()3πα-的值是（）A．5B．5-C ．45D ．45-9．已知0x 是11()()2x f x x=+的一个零点。

山东省临沂市临沭县高二数学上学期期中试卷理(含解析

2014-2015学年山东省临沂市临沭县高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．已知数列，3，，…，，那么9是数列的（）A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项2．在△ABC中，A=，B=，a=10，则b=（）A．5 B．10C．10D．53．若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．＜4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+a k=24，则正整数k的值为（）A．9 B．10 C．11 D．125．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或6．（5分）（2014春•道里区校级期末）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A．2 B．C．D．17．在等比数列{a n}中，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．18．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．109．x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0] D．（﹣2，4）10．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在二、填空题：每小题5分，共25分．11．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是．12．数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ．13．已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（3，+∞），则关于x的不等式＞0的解集是．14．数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2014= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）．三、解答题：共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知等差数列{a n}的公差为d＞0，首项a1=3，且a1+2， a2+5，a3+13分别为等比数列{b n}中的b3，b4，b5，求数列{b n}的公比q和数列{a n}的前n项和S n．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）若a＞b，求a，b的值．18．某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．（1）写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．20．设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．21．已知数列{a n}的前n项和S n=2n，数列{b n}满足b1=﹣1，b n+1=b n+（2n﹣1）（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{b n}的通项b n；（3）若，求数列{c n}的前n项和T n．2014-2015学年山东省临沂市临沭县高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．已知数列，3，，…，，那么9是数列的（）A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：令通项公式=9，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项．解答：解：由=9．解之得n=14由此可知9是此数列的第14项．故选C．点评：本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．2．在△ABC中，A=，B=，a=10，则b=（）A．5 B．10C．10D．5考点：正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将sinA，sinB以及a的值代入计算即可求出b的值．解答：解：∵在△ABC中，A=，B=，a=10，∴由正弦定理=得：b===5．故选：A．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．＜考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质判断每个答案中不等式是否成立，即可得到答案．解答：解：A．当c=0时，ac＞bc不成立；B．当c=0时，=0，故＞0不成立；C．∵a＞b，∴a﹣b＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）c2≥0，成立．D．当a，b异号时，a＞b⇔⇔＜⇔＞，故D不成立综上可知：只有C成立．故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+a k=24，则正整数k的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a1+5d=12，2a1+2d+（k﹣1）d=24，从而得到2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，由此能求出k．解答：解：∵等差数列{a n}中，公差d≠0，S11=132，∴，∴（2a1+10d）×=132，∴a1+5d=12，∵a3+a k=24，∴2a1+2d+（k﹣1）d=24，∴2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，∴2+k﹣1=10，解得k=9．故选：A．点评：本题考查正整数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．解答：解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D点评：本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点6．（5分）（2014春•道里区校级期末）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A．2 B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．解答：解：∵bcosC+ccosB=2b，∴sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，∴=2，由正弦定理知=，∴==2，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生分析和运算能力．7．在等比数列{a n}中，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．解答：解：等比数列{a n}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q=3．故选：B．点评：本题考查等比数列折公比的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．8．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．解答：解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故塔高AB=点评：本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．9．x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0] D．（﹣2，4）考点：简单线性规划．专题：常规题型；压轴题．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．解答：解：可行域为△ABC，如图，当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞k AC=﹣1，a＜2．当a＜0时，k=﹣＜k AB=2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故选B．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．10．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．解答：解：∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=故选A点评：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．二、填空题：每小题5分，共25分．11．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；压轴题．分析：将关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，转化成△＜0，从而得到关于a的不等式，求得a的范围．解答：解：因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=（﹣a）2﹣8a＜0，解得0＜a＜8故答案为：（0，8）．点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．12．数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= 1 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为：1．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．13．已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（3，+∞），则关于x的不等式＞0的解集是（﹣3，2）．考点：其他不等式的解法；一次函数的性质与图象．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得a＜0，且=3．可得关于x的不等式＞0，即＜0，即（x+3）（x﹣2）＜0，由此求得它的解集．解答：解：∵关于x的不等式ax﹣b＜0，即 ax＜b的解集是（3，+∞），∴a＜0，且=3．∴关于x的不等式＞0，即＜0，即＜0，即（x+3）（x﹣2）＜0，求得﹣3＜x＜2，故答案为：（﹣3，2）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．14．数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2014= 1006 ．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过求cos的值得到数列{a n}的项的规律，发现数列{a n}的每四项和为6，求出前2012项的和，减去2014得答案．解答：解：因为cos=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；∴ncos=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；∴ncos的每四项和为2；∴数列{a n}的每四项和为：2+4=6．而2014÷4=503+2．∴S2014=503×6﹣2014+2=1006．故答案为：1006．点评：本题考查了数列的求和，解答此题的关键在于对数列规律性的发现，是中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为①④（写出所有正确结论的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：解三角形．分析：①由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断，角的正弦值之间的关系．②由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，A，B，C的大小．③利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断．④根据边角关系，判断三角形解的个数．解答：解：①在三角形中，A＞B＞C，得a＞b＞c．，由正弦定理可知sinA＞sinB＞sinC，所以①正确．②由正弦定理条件知，，即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，解得B=C．所以△ABC为等腰三角形，所以②错误．③若A、B、C有一个为直角时不成立，若A、B、C都不为直角因为A+B=π﹣C，所以tan（A+B）=tan（π﹣C）即=﹣tanC，则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC即③错误．④因为，即asinB＜b＜a，所以，△ABC必有两解．所以④正确．故答案为：①④．点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握相关的三角公式和定理．三、解答题：共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知等差数列{a n}的公差为d＞0，首项a1=3，且a1+2，a2+5，a3+13分别为等比数列{b n}中的b3，b4，b5，求数列{b n}的公比q和数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由a1+2，a2+5，a3+13成等比数列求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n项和公式得答案．解答：解：∵a1+2，a2+5，a3+13分别为等比数列{b n}中的b3，b4，b5，∴，即（8+d）2=5（16+2d），得d=2．∴．∴数列{a n}的前n项和S n=．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n 项和，是基础题．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）若a＞b，求a，b的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用内角和定理及诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把c，cosC，代入并利用完全平方公式变形，把a+b=5代入求出ab=6，联立即可求出a与b的值．解答：解：（1）∵A+B+C=180°，∴=90°﹣，已知等式变形得：4×cos2﹣cos2C=，即2+2cosC﹣2cos2C+1=，整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，解得：cosC=，∵C为三角形内角，∴C=60°；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，把a+b=5①代入得：7=25﹣3ab，即ab=6②，联立①②，解得：a=3，b=2．点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．（1）写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：（1）利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域（2）利用线性规划的内容进行图象平移，然后确定目标函数是最值．解答：解：（1）依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：…（3分）画出的平面区域如图．…（6分）（2）设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y…（7分）∵y=﹣2x+z∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得即B（24，4）…（9分）∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即z max=2×24+4=52…（11分）答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．…（12分）点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA 的关系式，则的值可得．（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a 和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．20．设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可求得a n与a n﹣1的关系，进而证明数列{a n}是等差数列．（2）利用（1）可得==，n∈N*，再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）∵对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，即．∴当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣=﹣2a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵对任意n∈N*，a n＞0．∴a n+a n﹣1＞0．∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）由（1），a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴=4n（n+1），∴==，n∈N*；∴T n=．点评：本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可求得a n与a n﹣1的关系、等差数列的定义和通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．21．已知数列{a n}的前n项和S n=2n，数列{b n}满足b1=﹣1，b n+1=b n+（2n﹣1）（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{b n}的通项b n；（3）若，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）当n≥2时，根据S n=2n，得到S n﹣1=2n﹣1，两者相减即可得到a n的通项公式，当n=1时，求出S1=a1=2，分两种情况：n=1和n≥2写出数列{a n}的通项a n；（2）分别令n=1，2，3，…，n，列举出数列的各项，得到b2﹣b1=1，b3﹣b2=3，b4﹣b3=5，…，b n﹣b n﹣1=2n﹣3，以上各式相加后，利用等差数列的前n项和公式化简后，将b1=﹣1代入即可求出数列{b n}的通项b n；（3）分两种情况：n=1和n≥2，把（1）和（2）中分别求出的两通项公式代入，得到数列{c n}的通项公式，列举出数列{c n}的前n项和T n，两边同乘以2后，两等式相减后，利用等比数列的前n项和公式化简后，即可得到数列{c n}的前n项和T n的通项公式．解答：解：（1）∵S n=2n，∴S n﹣1=2n﹣1，（n≥2）．∴a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1（n≥2）．当n=1时，21﹣1=1≠S1=a1=2，∴（2）∵b n+1=b n+（2n﹣1），∴b2﹣b1=1，b3﹣b2=3，b4﹣b3=5，…，b n﹣b n﹣1=2n﹣3，以上各式相加得．∵b1=﹣1，∴b n=n2﹣2n（3）由题意得∴T n=﹣2+0×21+1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1，∴2T n=﹣4+0×22+1×23+2×24+…+（n﹣2）×2n，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣2）×2n==2n﹣2﹣（n﹣2）×2n=﹣2﹣（n﹣3）×2n，∴T n=2+（n﹣3）×2n．点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式确定数列为等比数列，在求通项公式时应注意检验首项是否满足通项，会利用错位相减的方法求数列的和，灵活运用等差数列及等比数列的前n项和公式化简求值，是一道中档题．。

2023-2024学年山东省普高联考高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣43．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（） A ．5B ．2C ．√5D ．44．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（） A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（）A ．34B ．43C ．0D ．126．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．567．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)被直线方程2x ﹣y +9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（） A ．x 28+y 24=1 B ．x 232+y 216=1C ．x 28+y 24=1或y 28+x 24=1D ．x 232+y 216=1或y 232+x 216=18．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB ＝100米，拱高OP ＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝． 15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为．16．如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△AB 1E （点B 1位于平面ABCD 上方），连接B 1C 和B 1D ，F 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，AE 与B 1C 的夹角为，点F 的轨迹的长度为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)．（1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）．（1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面A 1MC 的距离．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点．（1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C ，E ，D ，G 在同一平面内，且CG＝DG ．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若直线GC 与平面ABG 所成角的正弦值为√105，求平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值．22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k AP、k AQ．（ⅰ）求证：k AP•k AQ为定值；（ⅱ）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)解：因为A （3，2，3），B （1，1，4），所以中点M(3+12，2+12，3+42)=(2，32，72)．故选：B ．2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣4解：因为l 1∥l 2，所以42=n 2≠1−5⇒n =4．故选：C ．3．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（） A ．5B ．2C ．√5D ．4解：将A （1，1）代入x 2+y 2﹣6x ，得到12+12﹣6×1＜0，所以点A 在圆内，再根据x 2+y 2﹣6x ＝0可得圆心坐标M （3，0），可知当l 与AM 垂直时，弦长最小，因为AM =√5，即最短弦长为的一半为√32−(√5)2=2，所以最短弦长为2×2＝4．故选：D ．4．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（）A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+34MN →=OM →+34(MO →+OC →+CN →)=OM →+34MO →+34OC →+34×12CB →=14OM →+34OC →+38(OB →−OC →)=18OA →+38OB →+38OC → 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（）A ．34B ．43C ．0D ．12解：C 的方程x 2+y 2﹣2x ＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝1，它表示圆心（1，0），半径为1的圆，y+1x+1表示圆上的点与点P （﹣1，﹣1）的连线的斜率k ，设过圆上点与点P （﹣1，﹣1）的直线方程为y +1＝k （x +1），则圆心（1，0）到直线y +1＝k （x +1）的距离d =|2k−1|√k +1≤1，可得0≤k ≤43，即最大值为43，故选：B ．6．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．56解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴的对称，则B 的坐标为（﹣2，3），则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，设反射光线所在直线的方程为：y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆x2﹣6x+y2+4y+12＝0的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1，则圆心为（3，﹣2），半径r＝1，由圆心（3，﹣2）到反射光线的距离等于半径可得：√1+k2=1，即12k2+25k+12＝0，解得k=−43或k=−34．故选：A．7．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1(m＞0，n＞0，m≠n)被直线方程2x﹣y+9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（）A．x28+y24=1B．x232+y216=1C．x28+y24=1或y28+x24=1D．x232+y216=1或y232+x216=1解：设直线2x﹣y+9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由{x12m2+y12n2=1x22 m2+y22n2=1，得(x1+x2)(x1−x2)m2+(y1+y2)(y1−y2)n2=0，得k=y1−y2x1−x2=−n2m2×x1+x2y1+y2=2，弦的中点坐标是M（﹣4，1），直线AB的斜率k＝2，所以n2m2=12，m2=2n2，又m2﹣n2＝16，所以m2＝32，n2＝16，椭圆的标准方程为x232+y216=1．故选：B．8．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A．6.48B．4.48C．2.48D．以上都不对解：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标（0，a），P（0，10），A（﹣50，0），则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2， ∴{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， ∴圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， ∵y ＞0，∴y =40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底解：因为OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，所以AB →=OB →−OA →=(0，0，−2)，所以|AB →|=2，选项A 正确；又因为OC →=(2，3，−1)，所以BC →=OC →−OB →=(3，1，0)，所以AB →⋅BC →=0，所以△ABC 是直角三角形，选项B 正确；因为|OA →|=√1+4+1=√6，所以与OA →平行的单位向量的坐标为：±OA →|OA →|=±(√66，−√63，−√66)，选项C 错误；假设OA →，OB →，OC →共面，则存在唯一的有序数对（x ，y ）使OA →=xOB →+yOC →，即（﹣1，2，1）＝x （﹣1，2，﹣1）+y （2，3，﹣1）＝（﹣x +2y ，2x +3y ，﹣x ﹣y ），所以{−1=−x +2y 2=2x +3y 1=−x −y ，此方程组无解，故OA →，OB →，OC →不共面，故可作为空间一组基底，选项D 正确．故选：ABD ．10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB解：选项A ，因为OA ⊥面OBC ，故∠ABO 为直线AB 与平面OBC 所成的角，又OA ＝OC ＝OB ＝1，所以tan ∠ABO ＝1，故直线AB 与平面OBC 所成的角是45°，故A 正确；选项B ，取BC 中点为D ，连接OD ，AD ，因为OA ＝OB ＝OC ＝1，OA ⊥平面OBC ，∠BOC =π3，所以AB =AC =√2，BC =1，OD ⊥BC ，AD ⊥BC ，因为OD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AOD ，故∠ODA 为二面角O ﹣BC ﹣A 的平面角，则tan ∠ODA =OA OD =2√33，故二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为2√33，故B 错误；选项C ，因为AB =AC =√2，BC =1，所以AD =√72，设O 到面ABC 的距离为h ，则由V A ﹣OBC ＝V O ﹣ABC ，可得：13×√34×1=13×12×√72×ℎ，解得ℎ=√217，故C 正确；选项D ，若OC ⊥AB ，又OC ⊥OA ，且AB ∩OA ＝A ，则OC ⊥面OAB ，则有OC ⊥OB ，与∠BOC =π3矛盾，故D 错误．故选：AC ．11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个解：由直线l ：kx ﹣y +2k ＝0，整理成k （x +2）﹣y ＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A 错误；若直线l ：kx ﹣y +2k ＝0与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直，则k +2＝0，解得k ＝﹣2，故B 正确；因为（﹣2）2+0＝4＜8，所以定点（﹣2，0）在圆O ：x 2+y 2＝8内部，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；当k ＝1时，直线l 化为x ﹣y +2＝0，圆心O 到直线的距离d =|2|√2=√2，圆O 半径2√2，因为d ＜r 且d =12r ，所以圆O 到直线l 距离为√2的点有三个，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP解：对于选项A ：因为抛物线方程为y 2＝4x ，可得该抛物线的准线方程为x ＝﹣1，故选项A 正确；对于选项B ：不妨设A （x 0，y 0），因为|AF |＝5，所以x 0+p2=x 0+1=5，x 0=4，解得y 0＝±4，又P （1，1），则直线AP 的斜率为4−14−1=1或−4−14−1=−53，故选项B 错误；对于选项C ：不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为P （1，1），所以BP →=(1−x 2，1−y 2)，PA →=(x 1−1，y 1−1)，因为PA →=3BP →，所以{3(1−x 2)=x 1−13(1−y 2)=y 1−1，得{x 1=4−3x 2y 1=4−3y 2．因为y 12=4x 1，所以(4−3y 2)2=4(4−3x 2)，即3y 22−8y 2=−4x 2，因为y 22=4x 2，所以4y 22−8y 2=0，y 2=0或y 2＝2，当y 2＝0时，x 2＝0，解得x 1＝4，y 1＝4；当y 2＝2时，x 2＝1，解得x 1＝1，y 1＝﹣2，此时直线AB 的斜率不存在，直线CD 的斜率为0，不符合题意；则A （4，4），B （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝x ，故选项C 正确．对于选项D ：易知直线AB ，CD 的斜率存在，不妨设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）+1，则直线CD ：y ＝﹣k （x ﹣1）+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），联立{y =k(x −1)+1y 2=4x ，即{x =1k (y −1)+1y 2=4x，消去x 并整理得y 2−4k y +4k −4=0，因为P （1，1）在抛物线内部，所以Δ＞0，由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k−4，因为|AP|=√1+1k 2|y 1−1|，|BP|=√1+1k2|y 2−1|，所以|AP|⋅|BP|=(1+1k 2)|(y 1−1)(y 2−1)|=(1+1k2)|y 1y 2−(y 1+y 2)+1| =(1+1k 2)|4k −4−4k +1|=3(1+1k2)，同理得|CP|⋅|DP|=3[1+1(−k)2]=3(1+1k 2)，所以|AP |•|BP |＝|CP |•|DP |，即|AP||DP|=|CP||BP|，又∠CP A ＝∠BPD ，所以△APC ∽△BPD ，则∠CAP ＝∠BDP ，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ 1 ．解：过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，则k PQ ＝tan45°＝1，又k PQ =4−aa+2=1⇒a =1．故答案为：1．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ 2 ．解：因为a →，b →，c →共面，所以存在x ，y ∈R ，使得c →=xa →+yb →，又因为a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，所以（﹣3，1，k ）＝x （1，﹣1，2）+y （﹣2，1，0），所以{−3=x −2y1=−x +y k =2x ，解得x ＝1，y ＝2，k ＝2．故答案为：2．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 √5 ．解：以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y 轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）．∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为2√5π，∴一个圆锥的母线长为√5．则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即ba=2．∴双曲线的离心率为e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√1+(ba)2=√5．故答案为：√5．16．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E （点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，AE与B1C的夹角为90°，点F的轨迹的长度为π2．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，所以AE⊥BC，在翻折过程中，有AE⊥B1E，AE⊥CE，因为B1E∩CE＝E，B1E、CE⊂平面B1CE，所以AE⊥平面B1CE，又B1C⊂平面B1CE，所以AE⊥B1C，即AE与B1C的夹角为90°；分别取AB ，AB 1的中点M 和N ，连接EM ，EN ，FN ，因为N ，F 分别为AB 1和B 1D 的中点，所以FN =12AD ，FN ∥AD ，又E 为BC 的中点，所以CE =12BC =12AD ，CE ∥AD ，所以FN ＝CE ，FN ∥CE ，所以点F 的轨迹与点N 的轨迹相同，即从点M 到点N 的轨迹，因为AE ⊥平面B 1CE ，所以点B 1的轨迹是以E 为圆心，BE 为半径的圆，所以点N 的轨迹是以AE 的中点为圆心，BE 2为半径的圆，所以点N 的轨迹长度为12×2π×BE2=π×12=π2，即点F 的轨迹长度为π2．故答案为：90°，π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)．（1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．解：（1）由题意，AB →=(1，k −2，−2)，a →=(−3，4，5)，因为AB →⊥a →，所以AB →⋅a →=0，即﹣3+4k ﹣8﹣10＝0，得k =214．（2）由题意，AC →=(−1，3，2)，a →=(−3，4，5)，所以向量AC →在向量上a →上的投影向量为：(AC →⋅a →|a →|)a →|a →|=3+12+10√9+16+253√210，2√25，√22)=(−32，2，52)．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）．（1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程．解：（1）∵A （5，1），B （1，3）， ∴直线AB 的斜率k AB =1−35−1=−12， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为2， ∵AB 边上的高所在直线过点C （4，4），∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣4＝2（x ﹣4），即2x ﹣y ﹣4＝0．（2）∵CA →=(1，−3)，CB →=(−3，−1)， ∴CA →⋅CB →=0，即△ABC 为以角C 为直角的直角三角形，故△ABC 的外接圆以AB 中点（3，2）为圆心，|AB|2=12√(1−5)2+(3−1)2=√5为半径，∴△ABC 的外接圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面A 1MC 的距离．解：（1）依题意：AA 1⊥平面ABCD ，连接AC ，则A 1C 与平面ABCD 所成夹角为∠A 1CA ，∵AA 1＝5，AC =√32+42=5， ∴△A 1CA 为等腰三角形， ∴∠A 1CA =π4，∴直线A 1C 和平面ABCD 的夹角为π4，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A （0，0，0），C （3，4，0），A 1（0，0，5），M （3，0，2）， ∴AC →=（3，4，0），A 1C →=（3，4，﹣5），MC →=（0，4．﹣2），设平面A 1MC 的法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅A 1C →=3x +4y −5z =0n →⋅MC →=4y −2z =0，可得n →=（2，1，2）， ∴点A 到平面A 1MC 的距离d =|AC →⋅n →||n →|=3×2+4×1√2+1+2=103．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点．（1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．解：定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点．（1）设点C 的坐标为（x ，y ），则点B 的坐标为（2x ﹣1，2y +2）， ∵点B 为圆（x +1）2+（y +2）2＝4上的动点，∴（2x ﹣1+1）2+（2y +2+4）2＝4，即x 2+（y +3）2＝1， ∴AB 的中点C 的轨迹方程为x 2+（y +3）2＝1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2=k(x−12 )，∵圆的半径r＝1且|MN|=√3，∴圆心到直线的距离d=1 2，∴d=|1−k2|√1+k=12，解得k=34，∴直线l的方程为y+2=34(x−12)，即6x﹣8y﹣19＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1 2，此时|MN|=√3，满足条件；综上，直线l的方程为x=12或6x﹣8y﹣19＝0．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为√105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，CG＝DG，所以∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，所以CE⊥CG，因为BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以BF ∥CE ，所以BF ⊥CG ，因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以BC ⊥BF ，因为BC ，CG ⊂平面BCG ，BC ∩CG ＝C ，所以BF ⊥平面BCG ，因为BF ⊂平面BFD ，所以平面BFD ⊥平面BCG ．（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AF ＝2，AD ＝t ，则A （0，0，0），B （0，2，0），F （2，0，0），D （0，0，t ），G （﹣1，1，t ），C （0，2，t ），则AB →=(0，2，0)，AG →=(−1，1，t)，GC →=(1，1，0)，设平面ABG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AB →=0，m →⋅AG →=0，所以{m →⋅AB →=(x ，y ，z)⋅(0，2，0)=2y =0m →⋅AG →=(x ，y ，z)⋅(−1，1，t)=−x +y +tz =0，令z ＝1，y ＝0，x ＝t ，所以m →=(t ，0，1)，记直线GC 与平面ABG 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈GC →，m →〉|=|GC →⋅m →||GC →||m →|=|t|√2×√t +1=√105，解得t ＝2（负值舍去），即AD ＝2，设平面BFD 的一个法向量为n →=(x′，y′，z′)，FB →=(−2，2，0)，FD →=(−2，0，2)，则{n →⋅FB →=0n →⋅FD →=0即{−2x ′+2y ′=0−2x′+2z′=0，令x ′＝1，则n →=(1，1，1)，所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√2+1⋅√1+1+1=35×3=√155，所以平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值为√155． 22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线x ＝4于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q ．直线AP 、AQ 的斜率分别为k AP 、k AQ ．（ⅰ）求证：k AP •k AQ 为定值；（ⅱ）证明直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．解：（1）因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4＞|EF|=2√3，所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，且长轴长2a ＝4的椭圆，焦距2c =|EF|=2√3，此时b 2＝a 2﹣c 2＝1，则轨迹C 方程为x 24+y 2=1；（2）证明：（i ）不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），T （4，m ），由题可知A （﹣2，0），B （2，0），第21页（共21页）则k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AT =m−04−(−2)=m 6，因为k BP =k BT =y 1x 1−2=m 2，所以m =2y 1x 1−2，所以k AP ⋅k AQ =y 1x 1+2⋅m 6=y 1x 1+2⋅y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)，① 因为点P 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，② 联立①②，解得k AP •k AQ =−112，故k AP •k AQ 为定值；（ii ）证明：不妨设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x =ty +nx 24+y 2=1，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0，由韦达定理得{y 1+y 2=−2tn t 2+4y 1y 2=n 2−4t 2+4，由（i ）知k AP ⋅k AQ =−112，即y 1x 1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(ty 1+n+2)(ty 2+n+2)=−112，整理得n 2−44n 2+16n+16=−112，解得n ＝1或n ＝﹣2（舍去），所以直线PQ 的方程为x ＝ty +1，故直线PQ 经过定点（1，0）．。

高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案 _7

临沂市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 2020．11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．椭圆223412x y +=的焦点坐标为（） A ．（±1，0）B ．（0，±1）C ．（7±，0）D ．（0，7±）2．过点（2，－1）且方向向量为（1，2）的直线的方程为（） A ．250x y -+= B ．250x y +-= C ．250x y --=D ．250x y ++=3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，111AB BC DD ++=（）A ．1ACB ．1ACC ．1B DD ．1BD4．若直线240x by +-=平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则b 的值为（） A ．2B ．－2C ．－3D ．35．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物的质量为1kg ，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度g 取29.8/m s ，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（）A ．2.25NB ．2.45NC ．2.5ND ．2.75N6．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（） A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7．设M 是圆P ：()22236x y ++=上的一动点，定点()0,2Q ，线段MQ 的垂直平分线交线段PM 于N 点，则N 点的轨迹方程为（）A ．22195x y +=B ．22159x y +=C ．2213632x y +=D ．2213236x y +=8．在一个平面上，机器人从与点()1,4C -的距离为5的地方绕点C 顺时针而行，在行进过程中保持与点C 的距离不变．它在行进过程中到过点()6,0A -与()0,8B 的直线的最近距离为（） A ．3B ．4C ．5D ．6二、选择题：本题共4小题。

2012—2013年高二上学期数学(理)期中试题及答案

昆明三中 2012-2013 学年度高二年级上学期期中试题
数学（理）
（共 100 分, 考试时间 120 分钟）
第Ⅰ卷一、选择题（每小题 3 分，共 36 分. 每小题只有一项是符合题目要求）
1．抛物线 y2＝4x，经过点 P(3，m)，则点 P 到抛物线焦点的距离等于
A.94
B．4
C.143
则 a 的值为
( )
A．－5
B．1
C．2
D．3
12．已知椭圆
C1
:
x2 m
2

y2 n
1 与双曲线 C2
:
x2 m

y2 n
1共焦点，则椭圆 C1 的离心率 e 的
取
值
范
围
为
( )
A． (
2 2
,1)
B． (0,
2 2
)
C． (0,1)
D．
(0,
1 2
)
昆明三中 2012-2013 学年度高二年级上学期期中试题
C. 15
D.
15或5
15 3
( )
8．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 的值是( )
A．1
B.15
C.
7 5
D.
Hale Waihona Puke 3 5x2 y21
9. 若双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4，求该双曲线
的离心率是 A. 5
___________；当椭圆方程为x42＋y32＝1 时，
|A1F|＋|B1F|＝___________.

山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]

42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.

山东省临沂市四校联考高二数学上学期期中试卷文(含解

山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞ac C．a﹣c＞b﹣c D．ac2＞bc22．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B 等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．（5分）以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥04．（5分）已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A．6 B．12 C．18 D．245．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n﹣a n﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项a n=（）A．B．C．D．﹣16．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）A．有最大值﹣1，无最小值B．无最大值，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．无最大值，有最小值77．（5分）已知p：∀x∈，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2 8．（5分）在数列{x n}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是．12．（5分）等差数列{a n}前项和S n满足S20=S40，则S60=．13．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是．14．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知锐角△S n+a n=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n．等比数列{b n}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（12分）设z=2x+y，变量x，y满足条件（1）求z的最大值z max与最小值z min；（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z max，求ab的最大值及此时a，b的值；（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z min，求的最小值及此时a，b的值．20．（13分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞ac C．a﹣c＞b﹣c D．ac2＞bc2考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知中a＞b，结合不等式的基本性质，分析四个答案的真假，即可得到正确答案．解答：解：∵当0＞a＞b时，a2＜b2，故A错误，a＞b与ab＞ac没有必然的逻辑关系，故B错误；由不等式的基本性质一，不等式两边同减一个数，不等号方向不发生改变，可得C正确；当c=0时，ac2=bc2，故D错误；故选：C点评：本题考查不等关系与不等式，掌握不等式的基本性质是解决这一类问题的关键，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B 等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将sinA，a，b的值代入求出sinB的值，确定出B的度数．解答：解：∵a=4，b=4，A=30°，∴由正弦定理=，得：sinB===，∵0＜B＜180°，B＞A，∴B=60°或120°．故选D．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．（5分）以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据特称命题的否定方法，可判断D．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故C错误；命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；故选：C点评：本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．4．（5分）已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A．6 B．12 C．18 D．24考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质，我们可将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=144化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，结合an＞0，即可得到答案．解答：解：∵等比数列{a n}中，a n＞0，又∵a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，∴a3+a5=12，故选：B．点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据等比数列的性质将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=36化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2是解答本题的关键．5．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n﹣a n﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项a n=（）A．B．C．D．﹣1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接根据已知递推式利用累加法求数列的通项公式．解答：解：∵a1=1，a n﹣a n﹣1=n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1=（n≥2）．验证n=1时成立．∴．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．6．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）A．有最大值﹣1，无最小值B．无最大值，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．无最大值，有最小值7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x∈（﹣∞，0），可得﹣x∈（0，+∞）．变形f（x）=x++3=+3，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x∈（﹣∞，0），∴﹣x∈（0，+∞）．∴f（x）=x++3=+3+3=﹣1，当且仅当x=﹣2时取等号．∴函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上有最大值﹣1，无最小值．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．（5分）已知p：∀x∈，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系求出p，q下的a的取值范围，然后根据p∧q为真命题知p，q都是真命题，所以求p，q下a的取值范围的交集即可．解答：解：p：∀x∈，x2﹣a≥0，即：a≤x2在x∈上恒成立；x2在上的最小值为1；∴a≤1；q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，则：方程有解；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题；∴；∴a≤﹣2，或a=1；故选D．点评：考查对“∀”和“∃”两个符号的理解，二次函数最值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，p∧q真假和p，q真假的关系．8．（5分）在数列{x n}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，求出公差d，可得=+8d=，即可求出x10．解答：解：∵在数列x n中，=+（n≥2），且x2=，x4=，根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，∴当n=3时，可得x3=，所以公差d==，所以=+8d=，所以x10=．故选C．点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意总结规律，确定数列{}是等差数列是关键．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由三角形的面积公式可求得c，从而由余弦定理可求得a的值，从而可求的值．解答：解：S==bcsinA=×b×c×，⇒bc=4，⇒c=4，故由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣8×=13，故==．故选：A．点评：本题主要考察了三角形的面积公式的应用，考察了余弦定理的应用，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入并利用基本不等式求出cosB的范围，即可确定出B的范围．解答：解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即b=，由余弦定理得：cosB===≥=（当且仅当a=c时取等号），∵B为三角形内角，∴B的范围为0＜B≤，故选：B．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得答案．解答：解：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，故答案为：a＞3或a＜﹣1点评：本题考查的知识点是存在性问题，将恒成立问题或存在性问题，转化为函数的最佳问题，是解答的关键．12．（5分）等差数列{a n}前项和S n满足S20=S40，则S60=0．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列{a n}的前n项和S n满足的性质S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，即可得到答案．解答：解：∵等差数列{a n}，∴S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，∴2（S40﹣S20）=S20+（S60﹣S40）∵S20=S40，∴∴0=S20+（S60﹣S40）∴S60=S40﹣S20=0故答案为：0点评：本题考查等差数列的前n项和的性质，属于基础题．13．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是﹣14．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），可得a＜0且方程ax2+bx+2=0的解为﹣，；从而求解．解答：解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴，解得：a=﹣12，b=﹣2；故答案为：﹣14．点评：本题考查了二次不等式与二次方程及二次函数的关系，属于基础题．14．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由f（A）=6，根据已知解析式求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积及sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把bc与b+c，以及cosA的值代入即可求出a的值．解答：解：由题意得：f（A）=4sin（2A﹣）+2=6，即sin（2A﹣）=，∴2A﹣=或2A﹣=（不合题意，舍去），即A=，∵△ABC的面积为3，∴bcsinA=3，即bc=6，∵b+c=2+3，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+）bc=10，则a=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令x+2y=t，则x=t﹣2y，问题等价于方程14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有正数解，利用△≥0即可得出．解答：解：令x+2y=t，则x=t﹣2y，方程等价为2（t﹣2y）2+（t﹣2y）y+8y2=2，即14y2﹣7ty+2t2﹣2=0，要使14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有解，则△=（﹣7t）2﹣4×14×（2t2﹣2）≥0，，．即63t2≤56×2，t＞1．∴t2≤，t＞1即1＜t≤，当t=时，y=，x=满足条件．∴x+2y的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了通过代换转化为一元二次方程有实数根的情况，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知锐角△S n+a n=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与a的值代入求出b的值，再利用余弦定理即可求出c的值．解答：解：∵C=60°，∴sinC=，又S=absinC=，a=3，∴b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣6=7，则b=2，c=．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪依题意有，解得或（舍去）故a n=n，b n=2n﹣1（Ⅱ）由（1）可得∴∴=．点评：本题第一问主要考查了求数列的通项公式较简单只要能写出s n的表达式然后代入题中的条件正确计算即可得解但要注意d＞0．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征将等价变形为然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法﹣﹣裂项相消法！19．（12分）设z=2x+y，变量x，y满足条件（1）求z的最大值z max与最小值z min；（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z max，求ab的最大值及此时a，b的值；（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z min，求的最小值及此时a，b的值．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，即可求解z的最大值z max与最小值z min；（2）通过a＞0，b＞0，2a+b=z max，得到关系式，然后利用基本不等式即可求ab的最大值及此时a，b的值；（3）通过a＞0，b＞0，2a+b=z min，得到关系式，化简为，利用基本不等式即可求解最小值及此时a，b的值．解答：解：（1）满足条件的可行域如图…（2分）将目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，它表示斜率为﹣2的直线，观察图形，可知当直线过点A时，z取得最大值，当直线过点B时，z取得最小值．由解得A（5，2），所以z max=12．…（3分）由解得B（1，1），所以z min=3．…（4分）（2）∵2a+b=12，又，∴，∴ab≤18．…（6分）当且仅当2a=b，即a=3，b=6时等号成立．∴ab的最大值为18，此时a=3，b=6（3）∵2a+b=3，∴==…（10分），…（11分）当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为，此时．…（12分）点评：本题考查线性规划的应用，基本不等式求解表达式的最值，基本知识的考查．20．（13分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．考点：简单线性规划；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（I）根据线性规划原理，可得z的最大值z n=2n，从而得到S n=2n﹣a n．运用数列前n项和S n与a n的关系，算出2a n=a n﹣1+2，由此代入数列{a n﹣2}再化简整理，即可得到{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（II）由（I）结合等比数列通项公式，得出a n=2﹣（）n﹣1，从而得到S n=2n﹣2+（）n﹣1，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{S n}的前n项和T n的表达式．解答：解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，∴当x=2n，y=0时，z的最大值z n=2n∵（S n，a n）在直线z n=x+y上∴z n=S n+a n，可得S n=2n﹣a n，当n≥2时，可得a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣a n）﹣化简整理，得2a n=a n﹣1+2因此，a n﹣2=（a n﹣1+2）﹣2=（a n﹣1﹣2）当n=1时，a n﹣2=a1﹣2=﹣1∴数列{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（Ⅱ）由（I）得a n﹣2=﹣（）n﹣1，∴a n=2﹣（）n﹣1，可得S n=2n﹣a n=2n﹣2+（）n﹣1，∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n}的前n项和T n=，（n∈N*）．点评：本题给出数列和线性规划相综合的问题，求数列的通项和前n项和，着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，数列的求和与简单线性规划等知识，属于中档题．21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（1）由n总收入减去总支出得到大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；（2）由利润=累计收入+销售收入﹣总支出得到第n年年底将大货车出售时小王获得的年利润，然后利用基本不等式求最值．解答：解：（1）设大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则（0＜n≤10，n∈N），即y=﹣n2+20n﹣50（0＜n≤10，n∈N），由﹣n2+20n﹣50＞0，解得，而2＜10﹣＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴销售二手货车后，小王的年平均利润为w==19﹣（n+）．而=9．当且仅当n=5时取等号．即小王应在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．点评：本题考查了函数模型的选择及运用，考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，关键是对题意的理解，是中档题．。

2022-2023学年山东省实验中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知椭圆222125x y m+=（0m >）的一个焦点为()10,4F -，则m =（）A ．41B ．3C ．41D ．9A【分析】根据椭圆中,,a b c 的关系运算求解，注意焦点所在的位置. 【详解】由题意可知：椭圆的焦点在y 轴上，且4,5,c b a m ===，则2241m b c =+=. 故选：A.2．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0C【详解】∵kAB ＝3(1)235--=--，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即：2x ＋y －1＝0；又AB 的中点C (4,1)，∴PC 的方程为y ＝1.选C.3．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE.则M 点的坐标为（）A ．(1，1，1)B ．22(C ．22(D ．22(C【详解】试题分析：设,AC BD 交于点O ，连结OE ，因为正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1AB AF ==，点M 在EF 上，且//AM 平面BDE ，所以//AM OE ，又//AO EM ，所以OAME 是平行四边形，所以M 是EF 的中点，因为(0,0,1),(2,2,1)E F ，所以22(,,1)22M ，故选C ．空间直角坐标系中点的坐标．4．已知椭圆22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．245x ＋236y ＝1B ．236x ＋227y ＝1C ．227x ＋218y ＝1D ．218x ＋29y ＝1D【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，所以22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩，运用点差法，所以直线AB 的斜率为22bk a =，设直线方程为22(3)b y x a=-，联立直线与椭圆的方程222224()690a b x b x b a +-+-=，所以2122262b x x a b+==+；又因为229a b -=，解得229,18b a ==. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.5．若直线 ()1y k x =+ 与曲线 212y x x =- 仅有一个公共点，则 k 的取值范围是（）A ．{}1,103⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B ．1(,1)3{}0⋃ C ．14,133⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．14,133⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭D【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数k 的取值范围．【详解】解：曲线212y x x =+-即22(1)20(1)x y x y +--=，即22(1)(1)1(1)x y y -+-=，表示(1,1)M 为圆心，1r =为半径的圆的上半部分，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)-，考查临界情况：当直线过点(0,1)时，直线的斜率1k =，此时直线与半圆有两个交点，当直线过点(2,1)时，直线的斜率13k =，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心(1,1)M 到直线0kx y k -+=的距离为1，且0k >，即2|1|11k k k -+=+，解得：43k =，(0k =舍去）．据此可得，实数k 的取值范围是14[,1)33⎧⎫⎨⎬⎩⎭．故选：D ．6．已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为0,1,1s ，则点4,3,2P 到l 的距离为（）A 32B 2C 10D 2A【分析】本题首先可根据题意得出AP ，然后求出AP 与s AP s，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】因为()2,3,1A ，4,3,2P ，所以2,0,1AP，则5AP ，22s APs，由点到直线的距离公式得22322=s d APAPs，故选：A.7．已知圆22:20C x y x +-=与直线:20(0)l mx y m m -+=>，过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A ，B ，若线段ABm 的值为（）A BC D D【分析】设02ACP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则||2sin AB θ=，则由题意可求得3πθ=，从而可得min ||2CP =，而CP 的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m 的值【详解】圆22:(1)1C x y -+=，设02ACP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则||2sin AB θ=，因为min ||AB min (sin )θ= 又02πθ<<，所以32ππθ≤<，又1||cos CP θ=，所以min 1||2cos3CP π==2=，又0m >，所以m = 故选：D ．8．椭圆E 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，过2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且1120AF B ∠=︒，1F ABS =） A ．22143x y +=B ．2213x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=C根据椭圆的对称性可知1260F AF ∠=︒且12F AF S=从而可求出122F F =、2AF ，故可求出,,a b c ，最后可得椭圆的方程.【详解】如图，根据椭圆的对称性可知四边形21AF BF 为平行四边形，因为1120AF B ∠=︒，故1260F AF ∠=︒且121233F AF F ABS S==，即21212323AF F F ⨯=. 因为12F AF 为直角三角形，故1223F F AF =，故223=3AF ，所以122F F =即1c =，又2223=3b AF a =，故21233a a -=，解得3a =，故2b =，所以椭圆的方程为.22132x y +=故选：C.本题考查椭圆的方程的求法，注意根据椭圆对称性把已知的角归结为焦点三角形的顶角，把已知的面积归结为焦点三角形的面积，本题属于中档题.二、多选题9．已知三条直线2310,4350,10x y x y mx y -+=++=--=不能构成三角形，则实数m 的取值可以是（） A ．43-B ．23-C ．23D ．2ABC【分析】由已知，设出直线123,,l l l ，先求解出直线12,l l 的交点坐标11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后再分13//l l ；23//l l ；3l 经过点11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭三种情况分别计算即可完成求解.【详解】由已知，设1:2310l x y -+=，2:4350l x y ++=，3:10l mx y --=，由23104350x y x y -+=⎧⎨++=⎩可知，直线12,l l 相交于点11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线3:10l mx y --=恒过定点()0,1B -，因为三条直线不能构成三角形，所以13//l l ；23//l l ；3l 经过点11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；①当13//l l 时，1:2310l x y -+=，3:10l mx y --=，所以()213m ⨯-=-，解得23m =； ②当23//l l 时，2:4350l x y ++=，3:10l mx y --=，所以()413m ⨯-=，解得43m =-；③当3l 经过点11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，23m =-，所以实数m 的取值集合为224,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.故选：ABC.10．已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+相交于A 、B 两点，下列说法正确的为（） A ．两圆有两条公切线 B ．直线AB 的方程为22y x =+C ．线段AB 的长为65D ．圆O 上点E ，圆M 上点F ，EF 3AD由圆与圆相交可判断A ；两圆方程作差可判断B ；利用垂径定理可判断C ；转化为圆心间的距离可判断D.【详解】对于A ，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A 正确；对于B ，因为圆22:4O x y +=，圆22:4240M x y x y +-+=+，两圆作差得4244x y -+=-即24y x =+，所以直线AB 的方程为24y x =+，故B 错误；对于C ，圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线AB 的距离d ，所以2245452255AB ，故C 错误；对于D ，圆22:4240M x y x y +-+=+的圆心()2,1M -，半径为1，所以max 213EF OM =++，故D 正确. 故选：AD.11．如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起到PBD △的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，下列说法正确的有（）A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥P BCD -四个面都是直角三角形C ．PD 与BC 3D ．过BC 的平面与PD 交于M ，则MBC 面积的最小值为217ABD【分析】先根据勾股定理判断BD CD ⊥，再由面面垂直得线线垂直，可判断AB ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C ，由点M 到BC 的距离222733477MB BC d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，由余弦定理可得3BD =222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD 且平面PBD 平面BCD BD =，所以CD ⊥平面PBD ，CD PD ⊥；同理PB ⊥平面CBD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面BPD ，A ，B 正确；以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,0,0B ，()0,1,0C ，)3,0,1P，因为()3,0,1DP =，()3,1,0BC =-，所以3cos ,4BC DPBC DP BC DP ⋅==-，即PD 与BC 所成角的余弦值为34，C 错误；因为M 在线段PD 上，设()3,0,Ma a ，则()33,0,MB a a =-，所以点M 到BC 的距离2222733733424477MB BC a a d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC 面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确. 故选：ABD.关键点点睛：本题中D 较难，解题的关键是利用空间向量计算点线距，利用的22MB BC d MB BC ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭，进而坐标化得最值. 1251-的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（） A ．若2c =，且点A 在以1F ，2F 为焦点的“黄金椭圆”上，则12AF F △的周长为65+ B ．若22110x y k+=是“黄金椭圆”，则555k =C ．若“黄金椭圆”的左焦点是1F ，右顶点和上顶点分别是C ，D ，则1π2F DC ∠=D ．设焦点在x 轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为,A B ，“黄金椭圆”上动点P （异于A ，B ），设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1215k k -⋅=ACD【分析】根据离心率及c 计算a ，由椭圆的定义即可判断A ，由椭圆方程不能确定焦点所在轴可判断B ，利用椭圆离心率及顶点计算，根据勾股定理可判断C ，设P 点坐标为00(,)x y ，计算并化简得2122b k k a⋅=-，计算可判断D.【详解】对于A 选项，512,c c e a -===51a =，所以12AF F △的周长为222(51)22625a c +=⨯+⨯=+ A 正确；对于B 选项，当2210,a b k ==时，222222110c a b k a a -==-=⎝⎭，解得5k =，当22,10a k b ==时，222222101c a b a a k -==-=⎝⎭，解得5k =，故B 不正确；对于C 选项，由题意可得1||FC a c =+，1||F D a，||DC =“黄金椭圆”，则c a =c =，所以a c +，1||FC =，||DC =因为221||FC，222221||||F D DC a +=，所以22211||||||FC F D DC =+，所以12F DC π∠=，故C 正确；对于D 选项，由题意可得(,0),(,0)A a B a -，设P 点坐标为00(,)x y ，则20001222000y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--，因为点P 在椭圆上，所以2200221x y a b +=，所以222002(1)x y b a=-，所以2122b k k a ⋅=-，因为动点P 在“黄金椭圆”上，所以c a =222c a ==222c a b =-，所以221b a -=221b a -12k k =，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知()1,1,0a =，()1,3,2b =-，且ka b +与2a b -垂直，则k 的值为___________. 5【分析】分别求出ka b +与2a b -的坐标，由题意可得()()20a b ka b +⋅=-，利用空间向量数量积的坐标表示列方程，解方程可得k 的值. 【详解】因为()1,1,0a =，()1,3,2b =-，所以()()(),,01,3,21,3,2ka b k k k k +=+-=-+， ()()()22,2,01,3,23,1,2a b -=--=--，因为ka b +与2a b -垂直，所以()()()()231340a a k k b b k -=--+-+⋅=，解得：5k =，所以k 的值为5，故答案为.514．过点()3,2作圆()2221x y r -+=的切线有且只有一条，则该切线的方程是______（用一般式表示）．50x y +-=【分析】由题意可知，点()3,2即为切点，切线与过该点的半径垂直，则切线斜率可求，从而可以写出切线方程.【详解】设切线方程为2(3)y k x -=-，因为过点()3,2作圆()2221x y r -+=的切线有且只有一条，则()3,2在圆上，切点与圆心连线的斜率12131k ==-，所以切线的斜率为1k =-，则切线方程为21(3)y x -=-⨯-，化简得50x y +-=. 故50x y +-=15．正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，,M N 为该正方体外接球O 表面上的两点，P 在正方体表面且不在直线MN 上，若(1)PO PM PN λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为__________． 12-##-0.5 【分析】由向量的共线定理可得,,M O N 三点共线，再利用向量加法和数乘的运算法则计算即可. 【详解】因为(1)PO PM PN λλ=+-，所以,,M O N 三点共线，又因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，所以该正方体外接球的半径R ==所以()()()2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON ⋅=+⋅+=+⋅++⋅2223131cos 2242PO OM ON PO π⎛⎫=+⋅=+≥-=- ⎪⎝⎭.故答案为.12-16．已知F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，O 为坐标原点，M 为线段OF 垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若3cos 7MOF ∠=，则椭圆C 的离心率为______．23【分析】设(),0F c ，0,2c M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将0,2c M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代人椭圆C 的方程，得2220214c b y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，在MOE △中，不妨设32cOE ==，利用勾股定理和椭圆中222a b c =+，求出9a =，则可得出离心率.【详解】解：设(),0F c ，0,2c M y ⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2c M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代人椭圆C 的方程，得2202241c y a b +=，即2220214c b y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.设E 为线段OF 的垂直平分线与x 轴的交点，则MOE △为直角三角形，由于3cos 7MOF ∠=，所以在MOE △中，不妨设32cOE ==，则7OM =，6c =.由勾股定理可得220||73210ME y ==-=即2221404c b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得229140b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又222223636a b c b a -==⇒=-，所以42853240a a -+=，解得281a =或22436a c =<=（舍去），故9a =，椭圆C 的离心率6293c e a ===. 故答案为.23四、解答题17．已知ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0. 求（1）AC 所在的直线的方程；（2）点B 的坐标．（1）2x ＋y －11＝0；（2）B (－1，－3)．【分析】(1)根据题意设直线AC 的方程为2x ＋y ＋t ＝0，接着代点求解即可；（2）利用点B 在直线BH ，用点B 坐标表示点M 坐标，又点M 在直线CM ，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可. 【详解】因为AC ⊥BH ，所以设AC 所在的直线的方程为2x ＋y ＋t ＝0.把A (5，1)代入直线方程2x ＋y ＋t ＝0中，解得t ＝－11. 所以AC 所在的直线的方程为2x ＋y －11＝0. （2）设B (x 0，y 0)，则AB 的中点为0051,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 联立得方程组00002505125022x y x y --=⎧⎪⎨++⨯--=⎪⎩，化简得0000250210x y x y --=⎧⎨--=⎩解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，故B (－1，－3)．(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．18．如图，在四面体OABC 中，2OM MA =，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)已知1a b c ===，π2π,,,,23a b c a b c <>=<>=<>=，求的大小． (1)111344a P b c O =++(2)512【分析】（1）由P 是线段MN 的中点得()12=+OM ON OP ，由N 是棱BC 的中点，2OM MA =得()121232O OA OC O P B ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，即可求；（2）由数量积运算直接求模即可【详解】（1）连接ON ，因为P 是线段MN 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为N 是棱BC 的中点，2OM MA =，即23OM OA =，所以()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OA OC OB a c b O a P b c ．（2）()22222111111111344944668a b c a b c a P b a c c b O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为1a b c ===，π2π,,,,23a b c a b c <>=<>=<>=，所以211111259161682144OP ⎛⎫=+++⨯-= ⎪⎝⎭，故512=OP ． 19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的标准方程；(2)设点()3,0A ，在圆C 上是否存在点M 使2=MA MO ，若存在，请求出满足条件的点M 的个数；若无，请说明理由． (1)()()22319x y -+-=； (2)存在，满足条件的M 点有2个.【分析】（1）根据二次曲线与坐标轴的交点及圆的性质求得圆的方程；（2）设(,)M x y ，根据题设及两点距离公式可得22(1)4x y ++=，问题转化为圆C 与圆22(1)4x y ++=的交点问题，进而即得.【详解】（1）由题设，261y x x =-+与y 轴的交点为()0,1，对称轴为3x =，若与x 轴交点横坐标分别为,m n ，则6m n +=，1mn =， ∴2||()442m n m n mn -=+-设圆C 半径为r ，圆心为(3,)b ，∴()2222891b r b r ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得13b r =⎧⎨=⎩， ∴圆C 半径为3r =，圆心为(3,1)，则圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=；（2）设(),M x y ，由题意得222243xy x y ，整理得()2214x y ++=，∴点M 在圆心为()1,0-半径为2的圆上，所以两圆的圆心距离15， ∴两圆相交．故满足条件的M 点有2个．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆是异于A ，B 的点，满足12FTF 的周长为12． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，过点()8,0M 的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OPQ △面积的最大值． (1)2211612x y +=(2)【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆C 的方程；（2）设出直线PQ 的方程为8x my =+，利用“设而不求法”表示出PQ ，再表示出点O 到直线PQ 的距离d =进而表示出OPQS，利用基本不等式求出OPQ △面积的最大值．【详解】（1）由题意得28a =，所以4a =.因为12FTF 的周长为12，所以2212a c +=，所以2c =，故22212b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）由题意，直线PQ 不与x 轴重合，故设直线PQ 的方程为8x my =+，由228,1.1612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234481440m y my +++=，()()()22248414434124840m m m ∆=-⨯⨯+=⨯->，即24m >，24834P Q m y y m +=-+，214434P Q y y m =+．所以()22222241)(41Δ3434mm m PQ m m +-+=⋅=++，又点O 到直线PQ 的距离281d m =+．所以221964234OPQm S PQ d m -=⨯⨯=+△，所以22964316344OPQSm m =≤-+-（当且仅当2283m =时等号成立，且满足24m >）. 故OPQ △面积的最大值为43．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1PD CD ==，PA 与平面ABCD 所成角为30°，M 为PB 上一点且CM PA ⊥．(1)证明：PA DM ⊥；(2)设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上取点N 使PN DA =，Q 为线段PN 上一动点，求平面ACQ 与平面PDC 夹角的正弦值的最小值．(1)证明见解析 3【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；（1）根据PA 与平面ABCD 所成角为30°分析可得3AD =. 【详解】（1）∵四边形ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PD CD ⊥，AD PD D =，,AD PD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，则PA CD ⊥，∵CM PA ⊥，且CM CD C ⋂=，,CM CD ⊂平面CMD ， ∴PA ⊥平面CMD ，DM ⊂平面CMD ，则PA DM ⊥．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，则PAD ∠为PA 与平面ABCD 所成角， ∴30PAD ∠=︒，又∵1PD =，则3AD =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()3,0,0A，()0,1,0C ，∵3AD =，且PN DA =， ∴3PN =，令()03PQ λλ=≤≤，则(),0,1Q λ， ∴()3,1,0AC =-，(),1,1CQ λ=-，设(),,n x y z =是平面ACQ 的一个法向量，则300n AC x y n CQ x y z λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则3,3y z λ==-，即()1,3,3n λ=-，平面PDC 的一个法向量为()1,0,0m =， ∴()21cos ,43m n m n m nλ⋅==⋅+-，∵03λ≤≤，则当3λ=时，cos ,m n 的最大值为12，即平面ACQ 与平面PDC 夹角的余弦值的最大值为12， ∴平面ACQ 与平面PDC 夹角的正弦值的最小值为32.22．已知椭圆C ：22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若22AF BF +的最大值是5，且122112sin sin 2sin AF F AF F F AF ∠+∠=∠． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若1MA F A λ=，1MB F B μ=，试分析λμ+是否为定值，若是，请求出这个定值；否则，请说明理由．(1)22143x y +=；(2)是定值，定值为83.【分析】（1）根据椭圆的定义及椭圆通径的性质可得2425b a a-=，再由正弦定理可得2a c =，联立解方程即可得出,a b ，写出椭圆方程；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，联立椭圆，可得根与系数的关系，再由向量的坐标运算求出,u λ，计算λμ+可得解.【详解】（1）因为2ABF △的周长为4a ，即22=4AB AF BF a ++，且AB 的最小值为AB 为椭圆通径时，即n 2mi 2aA bB =，所以2425b a a-=，由正弦定理可得：1212211212sin sin 2=2sin 2AF AF AF F AF F aF AF F F c +∠+∠==∠，所以2a c =，又222a b c =+，解得2a =，b =1c =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由題意可得，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，()22223484120k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设()0,M k ，又()11,0F -，所以()11,x y k MA =-，()1111,F A x y =+，故111x x λ=+，同理，()22,MB x y k =-，()2221,F B x y =+，则221x x μ=+ 故()()()()12211212121212121211211111x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ++++++=+==+++++++ 2222222222222412828248248343441284128349313434k k k k k k k k k k k k k -⨯----++====---++--+++，所以λμ+是定值83．。

山东省临沭县2012-2013学年高一4月阶段(期中)质量检测数学试题.pdf

已知．求下列各式的值．
（1）；
（2）．
21．（本小题满分12分）
弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置h厘米有下列关系确定．
（1）以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象；
（2）小球在开始震动时的位置在哪里？
（3）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
，，
∴，
∴．…………………………………………2分
又， ∴，即，……………………………………4分
又，
∴与的夹角为．…………………………………………6分
20．（本小题满分12分）
解：（1）…………………………………………3分
原式==-1…………………………………………6分
（2）原式==- …………………………………………12分
，不能答在试题卷上．
考试结束后，监考人员将答题卡收回．
1．已知为第三象限角，则在（）
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、四象限
D．第二、三象限
2．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是（）
A．1 B．垂直的单位向量，向量，，
，则实数为（）．A．
A．（4，8）B．（－4，8）C．（－4，－8）D．（8，4）
8．若，则的值是（）
A． B．
C．
D．
9．下列说法正确的个数为（）
①；
②；
③；
④；
A．1
B．2
C．3
D．4
10．函数的最小正周期不大于2，则正整数的最小值应该是（）
A．10
B．11
C．12
D．13
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟．

山东省临沂市临沭重点中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测(12月)数学试题(无答案)

临沭重点中学2023-2024学年高二上学期第二次教学质量检测数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.抛物线22x y =的准线方程是（） A.12x =-B.14x =- C.18x =- D.116x =- 2.已知公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123,1,1a a a ++成等差数列，则6S =（）A.63B.64C.126D.1283.若等轴双曲线C过点(，则双曲线C 的顶点到其渐近线的距离为（）A.1D.24.已知向量(()1,0,3,1,2,0a b ==，则b 在a 上的投影向量是（）A.12,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,0,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.1,0,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D.11,,042⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.等差数列{}{}n n a b 中的前n 项和分别为4,,93n n n n S n S T T n =+，则1010a b =（） A.4093 B.3281 C.1742 D.38876.已知直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A.1B.2C.3D.47.正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱CD 的中点，若2AB =，则点B 到平面1A AE 的距离是（）8.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线216y x =的焦点重合，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 方程为（）A.221248x y +=B.221259x y +=C.2213620x y +=D.221189x y += 二､多选题：本共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.圆221:20O x y x +-=和圆222:280O x y x y ++-=的交点为,A B ，则下列结论正确的是A.圆2O 的半径为4B.直线AB 的方程为20x y -=C.455AB = D.线段AB 的垂直平分线方程为220x y ++=10.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，32n n S a =+，则（）A.{}n a 是等比数列B.9100a a +>C.910110a a a >D.0n S >11.如图，三棱柱111ABC A B C -是各条棱长均等于1的正三棱柱，,,,D E F G 分别为1111,,,CC CB AC A B 的中点，下列结论正确的是（）A.GF ∥DEB.1GF B C ⊥C.异面直线GF 与1AA 所成角为π3 D.直线DE 与平面1A BC 所成角的正弦值为421412.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G .若过点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（）A.椭圆的长轴长为22B.AFG 的周长为442+C.线段AB 长度的取值范围是4,222⎡+⎣D.ABF 面积的最大值是42三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()2,1,5,1,3,a b m =-=-，且a b ⊥，则b =__________.14.已知等差数列{}n a 中，354107,19a a a a +=+=，则数列{}cos πn a n ⋅的前2024项和__________. 15.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点,A B 距离之比是常数(0,1)λλλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点()()3,0,3,0A B -，动点M 满足2MA =，点M 的轨迹围成区域的面积为__________，ABM 面积的最大值为__________.16.已知直线与抛物线22(0)y px p =>交于A B ､两点，且,OA OB OD AB ⊥⊥于点D ，点D 的坐标为()2,1，则p =__________. 四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）在等差数列{}n a 中，已知16636,66a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若12n n b a =，求数列13n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21Nn n S S a a n ==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b =，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.（12分） ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AB 边上的动点，且MN ∥,BC O 为MN 的中点，P 为BC 的中点.将ABC 沿MN 进行折起，使得平面AMN ⊥平面BCNM .（1）求证：MN AP ⊥；（2）求平面AMB 与平面AMN 夹角的余弦值.20.（12分）已知圆22:24200C x y x y +---=，直线()():211740l m x m y m +++--=. （1）求证：直线l 恒过定点；（2）设直线l 交圆C 于,A B 两点，求弦长AB 的最值及相应m 的值.21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>3，且过)3,2. （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线y kx m =+与双曲线C 交于,P Q 两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明：直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,22,A B ､为椭圆C 的左右顶点，P 为椭圆C 上不同于,A B 的动点，直线,PA PB 的斜率为12,k k 满足1289k k ⋅=-（1）求椭圆C 的方程；M N两点，记FMN的内切圆半径为r，求r （2）F为椭圆C的左焦点，过右焦点F的直线l交椭圆C于,的取值范围.。

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- 1 - 高二数学阶段性测试题（侧文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（） A．an=2n-1 B．an=（-1）n（1-2n） C．an=（-1）n（2n-1） D．an=（-1）n（2n+1） 2．下列四个数中，哪一个是数列{n（n+1）}中的一项（）A A．380 B．39 C．35 D．23 3.已知0ab，则下列不等式一定成立的是（） A．2aab B．11ab C．||||ab D．11()()22ab 4．等差数列1，-1，-3，……..-89的项数是（） A．92 B．47 C．46 D．45 5.不等式(1)(2)0xx的解集为（）

A．[-2,1] B．[-1,2] C．(-≦,-1)∪[2,+ ≦） D．(-≦,-2)∪[-1,+ ≦） 6．在△ABC中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC的面积等于（） A．2 B．31 C．22 D．1(31)2 7．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两解的是（） A．b=10，∠A=45°，∠C=70° B．a=20， c=48，∠B=60° C．a=7 ，b=5，∠A=98° D．a=14， b=16，∠A=45° 8.1cos21cos2等于（） - 2 -

A．2（cos1-sin1） B．2(cos1sin1) C．2cos1 D．2(cos1sin1) 9.已知sinsin=1，那么cos()的值为（） A．-1 B．0 C．1 D．±1 10. 若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（） A．14 B．14 C．23 D．23 11. 若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|11-23x}，则a+b的值为（） A．-10 B．-14 C．10 D．14 12．锐角三角形ABC中，a 、b、 c分别是三内角A、 B、 C的对边，设B=2A，则ba的取值范围是（） A．（-2，2） B．（0，2） C． 2,（2） D．2,3（）数学2012.11

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

注意事项：第Ⅱ卷共6页，用钢笔或中性笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写好.

题号二三总分复核人 17 18 19 20 21 22 得分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在题中横线上.

13．已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5= . - 3 -

14．已知sinα+cosα= 13，则cos4α= . 15.已知1x是不等式22680(0)kxkxk的解，则k的取值范围是 . 16．已知数列的通项公式an=2n-37，则Sn取最小值时n= ，此时Sn= . 三、解答题（本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.） 17．（满分12分）在等比数列{an}中，a1•a2•a3=27，a2+a4=30. 求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和S6．

8.（本小题满分12分）在ABC中，4

cos5A

，tan2B.

求tan(2A+2B)的值. - 4 - 19．（本小题满分12分）

海中有A岛，已知A岛四周8海里内有暗礁，现一货轮由西向东航行，在B处望见A岛在北偏东75°，再航行202 - 5 -

海里到C后，见A岛在北偏东30°，如货轮不改变航向继续航行，有无触礁的危险？ - 6 - 20．（本小题满分12分）已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16.

（1）求{an}的通项；（2）数列{an}从哪一项开始小于0；（3）求a1+a3+a5+…+a19值． - 7 - 21. （本小题满分13分）在ABC中，1sin3B，sin()1CA.

（1）求sinA的值；（2）设6AC，求ABC的面积 - 8 -

22．（本小题满分13分）已知数列{an}的项123,,,...,...naaaa，它们构成一个新数列

1211,(),...,()...nnaaaaa，此数列是首项为1，公比为13的等比数列. （1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和ns. - 9 -

高二数学阶段性测试题答案（侧文） 12.11 一、

1. B 2. A 3. C 4.C 5. C 6．B 7．D 8. B 9. B 10.A 11.C 12．D 13．15 14． 4781 15k≥4或k≤2 16．18, -324. 三、 17．（满分12分）（1）在等比数列{an}中，由已知可得： a1•a1q•a1q2=27，a1q+a1q3=30……………………………………………..…（3分）解得：a1=1， q=3 或a1=-1， q=-3……………………………………………………..…（6分）（2）≧S n= 1(1)1naqq ≨当a1=1， q=3 时，S6=364．……………………………………………………………….（10分）当a1=-1， q=-3时， S6==182……………………………………………………………….…（12分） 18.（本小题满分12分）

解：在△ABC中，由4cos5A得3sin5A……………………………………………….4分 - 10 -

≨3tan4A………………………………………………………………………………………….6分

24tan27A…………………………………………………………………………………………..8分

4tan23B…………………………………………………………………………………………12分

44tan(22)117AB

19．（本小题满分12分）

解：如图所示，≧在B处望见A岛在北偏东75°，∠ABC=15° ≧在C处见A岛在北偏东30°， ≨∠ACD=60°………………………….4分

≨∠BAC=45°…………………………6分

在△ABC中，BC=202 由正弦定理得：AC= BCsin15° sin45° =40sin15°………………………….8分

在直角三角形△ACD中 AD=AC• sin60°=40sin15°sin60°=152-56＞8………………………….10分

从而可知船不改变航向没有触礁的危险．………………………….12分

20．（本小题满分12分）解：（1）∵a4=a1+3d=25+3d=16，

∴d=-3，， - 11 -

∴an=28-3n…（4分）（2）∵28-3n＜0∴n＞193n ∴数列{an}从第10项开始小于0 …（8分）（3）a1+a3+a5+…+a19是首项为25，公差为-6的等差数列，共有10项其和S=20…（12分） 21. （本小题满分12分）（1）≧在ABC中sin()1CA

≨

2CA…………………………………………………………………………………

2分 ≨

1sin..........cos23BA

……………………………………………………………4

分 ≨21

sin3A

≨3sin3A

………………………………………………………………………………6

分（2）据正弦定理

sinsinACBCBA得

32BC…………………………………………8分又6sincos3CA

………………………………………………………………………1

0分 ≨

1=AC.sin2ABCSBCC32

……………………………………………………………1

3分 - 12 -

22．（本小题满分14分）解：（1）111()3nnnaa

…………………………………………4分

111111(1())1()3331213nnnaa



……………………………………6分

131223nna………………………………8分

（2）3112443nnns……………………………………13分