专题33四边形压轴综合问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】
四边形综合篇(原卷版)-2023年中考数学必考考点总结
四边形综合--中考数学必考考点总结+题型专训知识回顾1.平行四边形的性质：①边的性质：两组对边分别平行且相等。
②角的性质：对角相等，邻角互补。
③对角线的性质：对角线相互平分。
即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算：等于底乘底边上的高。
等底等高的两个平行四边形的面积相等。
2.平行四边形的判定：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠，∴四边行ABCD是平行四边形④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形3.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.矩形的判定：（1）直接判定：有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。
（2）利用平行四边形判定：①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。
②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。
5.菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。
④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。
⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。
6.菱形的判定：（1）直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。
2023年中考数学高频考点专题训练--四边形的综合题
2023年中考数学高频考点专题训练--四边形的综合题一、综合题1．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动.（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标.2．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝−a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝−a时，y ＝(−a)2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”.（1）函数y=2|x|+1对称函数（填“是”或“不是”）.当x≥0时，y=2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y=2|x|+1的图象.（2）函数y=x2−2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值.（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C （2，－3），D（－3，－3），当二次函数y=x2−b|x|+1（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围.3．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3，6)，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y=34x于点D，连接OC，AD．（1）填空：k=．点A的坐标是（，）；（2）求证：四边形OADC是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当t=1时，△CPQ的面积是▲ ．②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．4．如图1，⊥ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD⊥AC，PE⊥AB.（1）用a表示四边形ADPE的周长为；（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；（3）如果⊥ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形(不必说明理由).5．（1）问题提出如图①，在Rt⊥ABC中，⊥A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将⊥ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；（2）问题探究如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a⊥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断⊥AOM与⊥BON的面积关系，并说明你的理由；（3）解决问题如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由.6．（1）（教材呈现）下面是华东师大版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．（2）（结论应用）如图②，在⊥ABC中，D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE⊥AC交BC于点E，则DE：BC＝．7．在▱ABCD中，∠ADC是锐角，∠ACB=∠ADC，E为直线AB上一点，F为直线BC上异于点C的一点，连接EC，EF，使EC=EF.（1）如图1，若点E在线段AB上，使EC=BC，求证：△EBF∽△CEA；（2）如图2，若点E在线段AB上，∠ADC=45∘，试猜想AE，AC，CF之间的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）如图3，若点E在线段BA的延长线上，点F在线段BC上，EF交CA于点G，∠ADC=60∘，AE=CF，请直接写出GA与CE之间的数量关系.8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D是BC中点，点P从点C出发，沿CA向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接PD，QD，PQ，将△PQD绕点D旋转180°得△RTD，连接PT，QR．设运动时间为t（s）(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，RT∥BC？（2）当t为何值时，四边形PQRT是菱形？（3）设四边形PQRT的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使得点T在△ABC的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A（0，2），C（2 √3，0），点D是对角线AC上一点（不与A、C重合），连接BD，作DE⊥BD，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF．（1）是否存在这样的点D，使得⊥DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长；若不存在，请说明理由；（2）求证：DEDB=√33；（3）设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最小值？10．如图（1）（探究证明）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：EFGH=AD AB；（2）如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若EF GH=11 15，则BNAM的值为；（3）（联系拓展）如图③，四边形ABCD中，⊥ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．11．如图，在⊥ABC中，AB=25，AC=20，BC=15，CN⊥AB，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度沿AB向终点B匀速运动．当点P不与点A、B、N重合时，过点P作PQ⊥AC交AC于点Q，以PQ、PN为邻边作平行四边形PQMN，设平行四边形PQMN与⊥ ABC重叠部分面积为S（平方单位）．点P的运动时间为t（秒）．（1）当点P在线段AN上时，tan⊥PQM的值是；（2）用含t的代数式表示线段PN的长度；（3）当S=365时，求t的值；（4）当点M恰好落在⊥ABC的角平分线上时，直接写出t的值．12．如图，y=ax2-2ax+a-4与x轴负半轴交于A，交y轴于B，过抛物线顶点C作CD⊥y轴，垂足为D，四边形AOCD是平行四边形.（1）求抛物线的对称轴以及二次函数的解析式；（2）作BE∥x轴交抛物线于另一点E，交OC于F，求EF的长；（3）该二次函数图象上有一点G（m，n）若点G到y轴的距离小于2，则n的取值范围为.13．如图，在⊥ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N．（1）求证：⊥ABE⊥⊥NCE；（2）若AB＝3n，FB＝32GE，试用含n的式子表示线段AN的长．14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF.直线DG交直线AB于点H.（1）当点E在线段AB上时，求证：⊥ABF ⊥⊥DAE.（2）当AE=2时，求EH的长.（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得⊥EGH为等腰三角形.若存在，求AE的长. 15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q 从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若⊥APQ ⊥⊥ABC，求t的值；（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中，点Ｍ的坐标为(x1,y1)，点Ｎ的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y 1≠y2，若M，N为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点M，N的“标准矩形”，如图为点M，N的“标准矩形”示意图.（1）已知点A的坐标为(−1,2)，①点B为直线y=−x+7图象上第一象限内的一点，且点A，B的“标准矩形”的两邻边长的比为1⊥2，求点B的坐标；②点C在直线x=5上，若点A，C的“标准矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为2，点P的坐标为(m,4)，若在⊙O上存在一点Q，使得点P，Q 的“标准矩形”为正方形，直接写出m的取值范围.答案解析部分1．【答案】（1）A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)（2）解：将C（0，4）向下平移至C′，使CC′＝PQ，连接BC′交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：∵CC′＝PQ，CC′∥PQ，∴四边形CC′QP是平行四边形，∴CP＝C′Q，∴CP+PQ+BQ＝C′Q+PQ+BQ＝BC′+PQ，∵B，Q，C′共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC′+PQ的值，∵C（0，4），CC′＝PQ＝1，∴C′（0，3），∵B（4，0），∴BC′＝√32+42＝5，∴BC′+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6.（3）解：如图：由y ＝﹣x 2+3x+4得，抛物线对称轴为直线x =−3−2=32， 设Q （32，t ），则P （32，t+1），M （0，t+1），N （32，0），∵B （4，0），C （0，4）；∴BN ＝52，QN ＝t ，PM ＝32，CM ＝|t ﹣3|，∵⊥CMP ＝⊥QNB ＝90°，∴⊥CPM 和⊥QBN 相似，只需CM QN ＝PM BN 或CM BN ＝PMQN ，①当CMQN ＝PM BN 时，|t−3|t＝3252， 解得t ＝152或t ＝158，∴Q （32，152）或（32，158）；②当CM BN ＝PMQN 时，|t−3|52＝32t ，解得t ＝3+2√62或t ＝3−2√62（舍去），∴Q （32，3+2√62），综上所述，Q 的坐标是(32，152)或(32，158)或(32，3+2√62).2．【答案】（1）解：在实数范围内任取x ＝a 时，y =2|a|+1；当x ＝−a 时，y =2|a|+1，所以y =2|x|+1是“对称函数”. 画图如下，（2）解：当直线y=−x+n过点(0，1)时，得n=1当直线y=−x+n与函数y=x2−2x+1图象相切时，方程{y=−x+ny=x2−2x+1只有一个解，x2−x+1−n=0，Δ=1−4(1−n)=0，得n=3 4（3）解：当x>0，函数y=x2−bx+1与x轴相切时，Δ=b2−4=0(b>0)得b=2，当x>0，函数y=x2−bx+1与直线y=−3相切时，Δ=b2−16=0(b>0)得b=4，当x<0，函数y=x2+bx+1经过点(−3，−3)时，b=133.∴当2<b<4或b>133时，函数与矩形的边恰好有4个交点3．【答案】（1）-3；5；0（2）证明：∵线段CD平行于x轴，∴D点的纵坐标与C点一样，又∵D点在直线y=34x上，当y=6时，x=8，即D(8，6)，∴CD=8−3=5，∵OA=5，∴OA=CD，又∵OA//CD，∴四边形OADC是平行四边形；（3）解：①12；②∵OD=10，当0⩽t⩽5时，PQ=10−2t，当5⩽t⩽10时，PQ=2t−10，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，∵AC=√(5−3)2+62=2√10，当0⩽t⩽5时，10−2t=2√10，解得t=5−√10，当5⩽t⩽10时，2t−10=2√10，解得t=5+√10，综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5−√10或5+√10．4．【答案】（1）2a（2）解：当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形.理由如下：连结AP，∵PD⊥AC，PE⊥AB，∴四边形ADPE为平行四边形，∵AB=AC，P为BC中点，∴⊥PAD=⊥PAE，∵PE⊥AB，∴⊥PAD=⊥APE，∴⊥PAE=⊥APE，∴EA=EP，∴四边形ADPE是菱形；（3）解：P运动到⊥A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，∵PD⊥AC，PE⊥AB，∴四边形ADPE是平行四边形，∵AP平分⊥BAC，∴⊥1=⊥2，∵AB⊥EP，∴⊥1=⊥3，∴⊥2=⊥3，∴AE=EP，∴四边形ADPE是菱形5．【答案】（1）解：如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求.在Rt⊥ABC中，⊥BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝√AB2+AC2=5，∵点D为BC的中点，∴AD＝12BC＝52（2）解：S⊥AOM＝S⊥BON，理由如下：由图可知，S⊥AOM＝S⊥ABM﹣S⊥AOB，S⊥BON＝S⊥ABN﹣S⊥AOB，如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，∴MD⊥NE，⊥MDE＝90°，又∵MN⊥DE，∴四边形MDEN是矩形，∴MD＝NE，∵S⊥ABM＝12⋅AB⋅MD，S⊥ABN＝12⋅AB⋅NE，∴S⊥ABM＝S⊥ABN，∴S⊥AOM＝S⊥BON.（3）解：存在，直线BP的表达式为：y＝−59x+4.如图③，连接AB，过点O作OF⊥AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，由（2）的结论可知，S⊥OBG＝S⊥AFG，∴S四边形OACB＝S⊥BCF，取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求.∵A(4，0)，B(0，4)，C(6，6)，∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，∵OF⊥AB，且直线OF过原点，∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，联立{y=−xy=3x−12，解得{x=3y=−3，∴F （3，﹣3）， ∵点P 是CF 的中点，∴P (92,32) ，∴直线BP 的表达式为：y ＝ −59 x+46．【答案】（1）解：如图①，连接ED ，∵D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE 是⊥ABC 的中位线， ∴ED ∥AC ，DE ＝12AC ，∴⊥DEG⊥⊥ACG ， ∴EG CG =DG AG =ED AC =12， ∴GE CE =GD AD =13．（2）1：67．【答案】（1）证明：∵EC =BC∴⊥EBC ＝⊥CEB∵⊥EBF ＋⊥EBC ＝⊥CEA ＋⊥CEB ∴⊥EBF ＝⊥CEA ∵∠ACB =∠ADC ，又⊥ACB ＝CAD ，∴⊥ADC ＝⊥CAD ∴AC ＝CD在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD ∴AB ＝AC∴⊥ABC ＝⊥BCE ＋⊥ACE ∵⊥CEB ＝⊥CAE ＋⊥ACE∵⊥ABC＝⊥CEB∴⊥BCE＝⊥CAE∵EC=EF∴⊥EFC＝⊥BCE∴⊥EFC＝CAE∴⊥EBF⊥⊥CEA；（2）解：如图，分别过点E、A作EG⊥BC于点G、AH⊥BC于点H，∵EC=EF∴三角形EFC是等腰三角形∴EG⊥FC，且CF＝2CG∵∠ADC=45∘，∠ACB=∠ADC∴⊥ABC＝⊥ADC＝⊥ACB＝45°∴⊥BAC＝90°∴⊥ABC是等腰直角三角形又AH⊥BC∴AH平分⊥BAC，即⊥EAH＝⊥CAH＝45°∴GH＝EA·cos45°CH＝AC·cos45°（EA＋AC）∴CG＝√22∴CF＝√2（EA＋AC）（3）解：过点E做EM⊥BC，交CA的延长线于点M，过点E作EN⊥BC，∵在 ▱ABCD 中，⊥ADC=60°， ∠ACB =∠ADC ， ∴⊥ABC 和⊥AEM 是等边三角形， ∴AE=ME ， 又∵AE=CF ， ∴ME=CF ，∵⊥MEG=⊥CFG ，⊥M=⊥FCG ， ∴⊥MEG⊥⊥CFG ， ∴MG=CG ，设AG=x ，AM=y ，则CG=x+y ，AC=2x+y ，∴EN= √32(AM +AC)=√32(2x +2y)=√3(x +y) ，∵EF=EC ，EN⊥BC ，∴CN= 12 FC= 12y ，∴EC 2=CN 2+EN 2=(12y)2+[√3(x +y)]2=3x 2+6xy +134y 2 ，∵在直角三角形BNE 中， BN 2+EN 2=BE 2 ，BN=BC-CN=2x+y- 12 y=2x+ 12y∴(2x +12y)2+[√3(x +y)]2=(2x +2y)2 ，即： y =2x ，∴GA 2：CE 2=x 2：(3x 2+6xy +134y 2) =1：28，即：GA⊥CE ＝ √7 ：148．【答案】（1）解：设ts 时，RT ∥BC ，在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ， ∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10cm ． ∵△PQD 绕点D 旋转180°得△RTD ，∴PD=DR，QD=DT，∴四边形PQRT是平行四边形，∴RT∥PQ，∵RT∥BC，∴PQ∥BC．∵点P从点C出发，速度为2cm/s，∴ts时，PC=2t（cm），同理，AQ=3t（cm），∵AC=6cm，∴AP=(6−2t)cm，∵PQ∥BC，∴APAC=AQAB，即6−2t6=3t10，解得：t=30 19 s，故当t=3019s时，RT∥BC．（2）解：如图，过P作PE⊥AB，过D作DF⊥AB，∵BC=8cm，点D是BC中点，∴CD=4cm．在Rt△PCD中，∵PC=2t（cm），CD=4cm，∴PD2=PC2+CD2=(4t2+16)cm，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，∴sinA=45，sinB=35．在Rt△PEA中，∵AP =(6−2t)cm ，sinA =45，∴PE =(24−8t5)cm ，AE =(18−6t 5)cm ， ∵AB =10cm ， ∴BE =AB −AE =10−18−6t 5=(32+6t5)cm ， 在Rt △DFB 中，∵BD =5cm ，sinB =35，∴DF =125cm ，BF =165cm ，∵AB =10 cm ，AQ =3t （cm ），BF =165cm ，∴BQ =AB −AQ =(10−3t) cm ，AF =345cm ，∵AQ =3t （cm ），AF =345cm ，∴FQ =AQ −AF =(15t−345)cm ，∵BD =5cm ，∠DFQ =90°，∴DQ 2=DF 2+FQ 2=(45t 2−204t+2605)cm ，∵AQ =3t （cm ），AE =(18−6t5)cm ，∴EQ =AQ −AE =(21t−185)cm ，在Rt △FEQ 中，PQ 2=PE 2+EQ 2=(101t 2−228t+1805)cm ，∵∠PDQ =90°， ∴PD 2+DQ 2=PQ 2，∴4t 2+16+45t 2−204t+2605=101t 2−228t+1805，解得t 1=1−√413（舍），t 2=1+√413．当t 为1+√413s 时，四边形PQRT 是菱形．（3）解：如图，过P 作PE⊥AB ，过D 作DF⊥AB ，∵四边形PQRT 是平行四边形， ∴S 四边形PQRT =4S △PDQ ，由（2）可知，AQ =3t （cm ），PE =(24−8t5)cm ，∴S △AQP =12×AQ ×PE =(−12t 2+36t 5)cm²．同理，DF =125cm ，BQ =(10−3t)cm ，∴S △DQB =12×DF ×BQ =(60−18t 5)cm²． ∵PC =2t （cm ），CD =4cm ， ∴S △PCD =12×PC ×CD =4t cm²． ∵∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ， ∴S △ABC =12×AC ×BC =24cm²． ∵S △PDQ =S △ABC −S △APQ −S △DQB −S △CPD ，∴S △PDQ =24−(−12t 2+36t 5)−(60−18t 5)−4t ，化简得，S △PDQ =12t 2−38t+605，∵S 四边形PQRT =4S △PDQ ，∴y =48t 2−152t+2405，即y =485t 2−1525t +48．（4）解：如图，取AB 的中点为G ，过C 作CF⊥AB ，以A 为原点，建立平面直角坐标系，∵∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10cm ． ∵G 为AB 的中点， ∴G(5，0)，B(10，0)，∵∠ACB =90°，AC =6cm ，sinA =45，CF⊥AB ，∴C(185，245)．∵点D 是BC 中点，∴D(345，125)，∵Q(3t ，0)，D 为TQ 的中点， ∴T(6t −345，245)， ∵∠ACB =90°，AB =10cm ，G 为AB 的中点， ∴CG =5cm ．∵点T 在△ABC 的外接圆上， ∴TG =CG =5cm ，故有，√(6t −345−5)2+(245)2=5，解得，t 1=115，t 2=2615，故t =115s 或t =2615s 时，点T 在△ABC 的外接圆上．9．【答案】（1）解：存在；理由如下：∵点A （0，2），C （2 √3 ，0）， ∴OA ＝2，OC ＝2 √3 ， ∵tan⊥ACO ＝AO OC =22√3=√33， ∴⊥ACO ＝30°，⊥ACB ＝60°， 分两种情况：①当E 在线段CO 上时，⊥DEC 是等腰三角形，观察图像可知，只有ED ＝EC ，如图1所示：∴⊥DCE＝⊥EDC＝30°，∴⊥DBC＝⊥BCD＝60°，∴⊥DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt⊥AOC中，⊥ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，∴当AD＝2时，⊥DEC是等腰三角形；②当E在OC的延长线上时，⊥DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，⊥DBC＝⊥DEC＝⊥CDE＝15°，如图2所示：∴⊥ABD＝⊥ADB＝75°，∴AB＝AD＝2 √3，综上所述，满足条件的AD的值为2或2 √3（2）证明：过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，如图3所示：设DN＝a，∵⊥ACO ＝30°，∴BM =CN =atan30°=√3a ，∵⊥BDE ＝90°，∴⊥BDM+⊥NDE ＝90°，⊥BDM+⊥DBM ＝90°， ∴⊥DBM ＝⊥EDN ， ∵⊥BMD ＝⊥DNE ＝90°， ∴⊥BMD⊥⊥DNE ， ∴DE BD =DN BM =√3a =√33（3）解：作DH⊥AB 于H ，如图4所示：在Rt⊥ADH 中，AD ＝x ，⊥DAH ＝⊥ACO ＝30°，∴DH ＝ 12 AD ＝ 12 x ， AH =√AD 2−DH 2=√32x ，∴BH ＝2 √3 ﹣ √32x ，在Rt⊥BDH 中，BD 2＝ BH 2+DH 2=(12x)2+(2√3−√32x)2=x 2−6x +12 ，由（2）得 DE DB =√33，∴DE =√33BD ，∴矩形BDEF 的面积为 y =BD ⋅DE =BD ⋅√33BD =√33BD 2=√33(x 2−6x +12) ，∴y =√33(x −3)2+√3 ，∵√33＞0， ∴x ＝3时，y 有最小值为 √3 ，即当点D 运动到距A 点的距离为3时，y 有最小值．10．【答案】（1）解：过点A 作AP⊥EF,交CD 于P,过点B 作BQ⊥GH,交AD 于Q,如图1,∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB⊥DC,AD⊥BC,∴四边形AEFP,四边形BHGQ 都是平行四边形, ∴AP=EF,GH=BQ, 又∵GH⊥EF, ∴AP⊥BQ,∴⊥QA T+⊥AQT=90°, ∵四边形ABCD 是矩形, ∴⊥DAB=⊥D=90°, ∴⊥DAP+⊥DPA=90°, ∴⊥AQT=⊥DPA, ∴⊥PDA⊥⊥QAB,∴AP BQ =AD AB ,∴EF GH =AD AB , （结论应用）（2）1115（3）解：过点D 作平行于AB 的直线,交过点A 平行于BC 的直线于R,交BC 的延长线于S,如图3,则四边形ABSR 是平行四边形,∵⊥ABC=90°, ∴⊥ABSR 是矩形,∴⊥R=⊥S=90°,RS=AB=10,AR=BS,∵AM⊥DN,∴由（1）中的结论可得DN AM =AR AB, 设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y, ∴在Rt⊥CSD 中,x 2+y 2=25①,在Rt⊥ARD 中,（5+x ）2+（10﹣y ）2=100②, 由②﹣①得x=2y ﹣5③, 解方程组 {x 2+y 2=25x =2y −5 得 {x =−5y =0 （舍去）,或 {x =3y =4 , ∴AR=5+x=8, ∴DN AM =AR AB =810=45. 11．【答案】（1）43（2）解：由题意可知 AP =5t当 P 在线段 AN （不包括端点）上时， 0<t <165， PN =AN −AP =16−5t当 P 在线段 BN （不包括端点）上时， 165<t <5 ， PN =AP −AN =5t −16 综上所得：PN ={16−5t(0<t <165)5t −16(165<t <5) （3）解：当 0<t <165时，过点 Q 作 QD ⊥AP ，交 AP 于点 D ，如下图：此时重叠部分的面积就是平行四边形PQMN 的面积； 由（1）得 sin∠A =CN AC =35 ， cos∠A =AN CN =45在 Rt △AQP 中， AP =5t ，∴AQ=4t，PQ=3t等面积法可以求得QD=12t 5∴S▱PQMN=125t(16−5t)∴125t(16−5t)=365∴t1=15，t2=3当165<t<5时，设MN与AC交点为K，此时重叠部分的面积为梯形PNKQ，∵AN=16，sin∠A=CN AC=35∴KN=48 5在Rt△MKQ中，∠MQK=∠A，MQ=PN=5t−16∴KQ=45(5t−16)在在Rt△AQP中，求得PQ=APsin∠A=4t∴S梯形PNKQ=12(KN+PQ)×KQ=12(485+3t)·45(5t−16)∴12(485+3t)·45(5t−16)=365∴t3=√2865，t4=−√2865（舍）综上所得t1=15，t2=3，t3=√2865（4）解：当M在∠BAC的角平分线上时，过点M作ME⊥AC，MF⊥AB分别交AC、AB于点E、F，如下图：则EM=MF∵PQ⊥AC，PQ//MN ∴E、M、N三点共线在Rt△ANE中，AN=16，sin∠A=35∴EN=485sin∠ANE=45易知四边形MQDF为矩形由（3）得MF=DQ=12t 5在Rt△MFN中，MF=12t5，sin∠ANE=45，∴MN=3t∵EN=MN+EM∴3t+12t5=485解得t=169当M在∠ACB的角平分线上时，过点M作MH⊥CB交BC于点H，连接MA、MB、MC则EM=MHS△ABC=12AB×CN=150S△ABC=S△ABM+S△BCM+S△AMC=12AB×FM+12BC×MH+12AC×EM=252×12t5+12(15+20)×EM∴252×12t5+12(15+20)×EM=150解得EM=60−12t7又∵EM+MN=EN∴60−12t7+3t=485解得t=4 5当M在∠ABC的角平分线上时，如下图则MF=MHS△ABC=S△ABM+S△BCM+S△AMC=12AB×FM+12BC×MH+12AC×EM=48t+10EM解得EM=75−24t5又∵EM+MN=EN∴75−24t5+3t=485解得t=3综上所述：t=45或t=169或t=312．【答案】（1）解：抛物线的对称轴x＝－b2a＝1∵ADCO是平行四边形∴AO＝CD＝1∴A（－1，0）代入得：a＋2a＋a－4＝0，得a＝1∴y＝x2－2x－3；（2）解：y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4∴C（1，－4）∴CD＝1，OD＝4当x＝0代入y＝－3∴OB＝3∵BE ∥DC ∥x ∴⊥OBF⊥⊥OCD ∴BF 1＝34 ∴BF ＝34由对称性得BE ＝2CD ＝2 ∴EF ＝2－34＝54；（3）-4≤n ＜513．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB⊥CN ， ∴⊥B ＝⊥ECN ， ∵E 是BC中点， ∴BE ＝CE ， 在⊥ABE 和⊥NCE 中， {∠B =∠ECNBE =DE ∠AEB =∠NEC ，∴⊥ABE⊥⊥NCE （ASA ）（2）解；∵AB⊥CN ， ∴⊥AFG⊥⊥CNG ， ∴AF ：CN ＝AG ：GN ， ∵AB ＝CN ，∴AF ：AB ＝AG ：GN ， ∵AB ＝3n ，F 为AB 中点 ∴FB ＝ 32 GE ，∴GE ＝n ，∴32n 3n =AE−n AE+n，解得AE ＝3n ， ∴AN ＝2AE ＝6n ．14．【答案】（1）证明：∵AF ⊥DE ，∴∠AED +∠BAF =90°. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠BFA +∠BAF =90°，∴∠BFA=∠AED.又∵∠FBA=∠EAD=90°，∴⊥ABF ⊥⊥DAE；（2）解：①当E在点A上方时，由AB=2，得点E与B重合，如图，∵⊥ABF⊥⊥DAE，∴EFAB=ABAD=12，∴EF=12AB=1，∴CF=BC−EF=4−1=3.∵四边形AEGF是平行四边形，AE⊥BC，∴GF=AB=CD=2，GF⊥BC，即在⊥GMF和⊥DMC中，{∠GMF=∠DMC∠GFM=∠DCM=90°GF=DC，∴⊥GMF⊥⊥DMC(AAS)，∴MF=MC=12CF=32，∴ME=MF+EF=32+1=52.∵GF//HE，∴⊥MGF⊥⊥MHE，∴FGEH=MFME，即2EH=3252，∴EH=10 3；②当E在点A下方时，如图，∵FG=AE=CD=2， ∴G 、A 、D 共线 此时，H 与A 重合， ∴HE=2.综上可知，EH 的长为103或2；（3）解：①当点H 在点A 的上方时，如图，⊥EGH 为钝角三角形 由等腰⊥EGH 得，GH=GE. 作GQ⊥BH 于点Q ，则HQ=EQ. ∴四边形BFGQ 为矩形， ∴QB=GF=EA ， ∴QE=AB=2， ∴HQ=EQ=2.设AE=2t ，由（1）得BF AE =AB AD =12，∴BF=12AE=t，∴GQ=BF=t.∵QG//AD，∴⊥HQG ⊥⊥HAD∴HQHA=QGAD，即22t+4=t4，解得t1=−1+√5，t2=−1−√5(舍去）∴AE=2t=2√5−2；②当点H在点A的下方时，（⊥）若GH=GE，如图，作GQ⊥BE于点Q，则HQ=EQ.∵AE=GF=BQ，∴QE=AB=2，HQ=EQ=2.设AE=2t，同理：GQ=BF=t由ADGQ=AHHQ，得4t=2t−42，解得t1=1+√5；t2=1−√5(舍去）∴AE=2t=2√5+2；（⊥）若HG=HE，如图，∴⊥2=⊥1.同理⊥ABF ⊥⊥DAE，则AFDE=ABAD=12，∵AF=GE，AF⊥GE，AF⊥DE，∴GE⊥DE，GEDE=AFDE=12，∴⊥DGE是直角三角形，∵⊥2+⊥3=90°，⊥GDE+⊥1=90°，∴⊥3=⊥1，∴tan⊥3= tan⊥GDE=GEDE=1 2，∴ADAE=12，∴AE=2AD=8；（⊥）若EG=EH，如图，同理可求出tan⊥HGE=2，则tan⊥AHD=tan⊥GHQ=tan⊥HGE=2，∴AH =12AD =2.设AE=2t ，同理可得：GQ=BF=t ，EQ=AB=2，由AD GQ =AH HQ ，得4t =22t−4，解得t =83，∴ AE=2t=163. 综上可知：AE=103或8或2√5±2.15．【答案】（1）解：∵⊥APQ⊥⊥ABC ∴AP AB =AQ AC ， 即 t 3=3−t 5 解得 t =98（2）解：①如图①，线段PQ 的垂直平分线为l 经过点A ，则AP=AQ ，即3－t=t ，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5， 过点Q 作QO⊥AD 交AC 于点O ，则 AO AC =AQ AB =QO BC ⋅∴AO =AQ AB ⋅AC =52， OQ =AQAB⋅BC =2 ，∴PO=AO －AP=1． 由⊥APE⊥⊥OPQ ，得 AE OQ =AP OP ,∴AE =APOP ⋅OQ =3 ．②（⊥）如图②，当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ，BQ ＝BP ＝AP ＝t ，⊥QBP ＝⊥QAP∵⊥QBP ＋⊥PBC ＝90°，⊥QAP ＋⊥PCB ＝90° ∴⊥PBC ＝⊥PCB CP ＝BP ＝AP ＝t ∴CP ＝AP ＝ 12 AC ＝ 12×5＝2.5∴t ＝2.5（⊥）如图③，当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ，BP ＝BQ ＝3－（t －3）＝6－t ，AP ＝t ，PC ＝5－t ， 过点P 作PG⊥CB 于点G ，由⊥PGC⊥⊥ABC ， 得PC AC =PG AB =GC BC ,∴PG =PC AC ⋅AB =35(5−t) CG =PC AC ⋅BC =45(5−t) ，BG ＝4－ 45(5−t)=45t由勾股定理得 BP 2=BG 2+PG 2 ，即(6−t)2=(45t)2+[35(5−t)]2 ，解得 t =4514 ．16．【答案】（1）解：①设点 B(a,−a +7) ，如图，当在 B 1 处时， a+1−a+7−2=12，解得 a =1经检验，符合题意，∴B1(1,6)当在B2处时，a+1−a+7−2=2，解得a=3经检验，符合题意，∴B2(3,4)综上所述，B(1,6)或B(3,4)；②如图，设点C(5,m)，∵构成标准矩形为正方形，∴x1−x2=y1−y2=6∴|m−2|=6解得m=8或m=−4,∴C1(5,8)或C2(5,−4)设直线AC1的解析式为：y1=kx+b(k≠0)，代入A(−1,2)、C1(5,8)得，{−k+b=25k+b=8∴{k=1b=3∴y1=x+3同理，设直线AC2的解析式为：y1=kx+b(k≠0)，代入A(−1,2)、C2(5,−4)得，{−k+b=25k+b=−4∴{k=−1b=1∴y2=−x+1∴直线AC的解析式为y=x+3或y=−x+1；（2）解：∵P，Q的“标准矩形”为正方形，∴P、Q都是正方形的顶点，且点Q在以O为圆心，半径为2的圆上，∴直线PQ平行于直线y=x或y=−x，可设直线PQ解析式为：y=x+b1或y=−x+b2，把P(m,4)分别代入4=m+b1或4=−m+b2∴b1=4−m,b2=4+m∴y=x+4−m或y=−x+4+m，把x=0分别代入得，y=4−m或y=4+m，因等腰直角三角形直角边为2时，其斜边为2√2，∴−2√2≤4−m≤2√2或−2√2≤4+m≤2√2，解得4−2√2≤m≤4+2√2或−2√2−4≤m≤2√2−4.。
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：专题31 几何综合压轴题(共23道)(原卷版)
专题31几何综合压轴题（23道）1．（2023·江苏·统考中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD 和矩形EFGH ，点E 、F 在边AB 上（AB EF ），且点C 、D 、G 、H 在直线AB 的同侧；第二步，设置,AB EF m n AD EH ，矩形EFGH 能在边AB 上左右滑动；第三步，画出边EF 的中点O ，射线OH 与射线AD 相交于点P （点P 、D 不重合），射线OG 与射线BC 相交于点Q （点Q 、C 不重合），观测DP 、CQ 的长度．(1)如图2，小丽取4313AB EF m n ，，，，滑动矩形EFGH ，当点E 、A 重合时，CQ ______；(2)小丽滑动矩形EFGH ，使得O 恰为边AB 的中点．她发现对于任意的m n DP CQ ，总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定m 、n 的某种数量关系后，滑动矩形EFGH ，DP CQ 总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．2．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是正方形，点M 在BC 上，点N 在CD 的延长线上，BM DN ，连接AM ，AN ，点H 在BC 的延长线上，2MAH BAM ，点E 在线段BH 上，且HE AM ，将线段EH 绕点E 逆时针旋转得到线段EG ，使得HEG MAH ，EG 交AH 于点F ．(1)线段AM 与线段AN 的关系是______．(2)若5EF ，4FG ，求AH 的长．(3)求证：2FH BM ．3．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在ABC 中，AB AC ，BAC ，点D 是射线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点D 在AD 左侧作DE AD ，使AD kDE ，连接AE ，点F ，G 分别是AE ，BD 的中点，连接DF ，FG ，BE ．(1)如图1，点D 在线段BC 上，且点D 不是BC 的中点，当90 ，1k 时，AB 与BE 的位置关系是________，FG CD________．(2)如图2，点D 在线段BC 上，当60 ，3k 时，求证：23BC CD FG ．(3)当60 ，3k 时，直线CE 与直线AB 交于点N ．若6BC ，5CD ，请直接写出线段CN 的长．4．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ，AC BC ，点D 在边AC 上，将线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90 得到DA ，线段DA 交AB 于点E ，作A F AB 于点F ，与线段AC 交于点G ，连接,FC GB ．(1)求证：ADE A DG ≌△△；(2)求证：AF GB AG FC ；(3)若8AC ，1tan 2A ，当A G 平分四边形DCBE 的面积时，求AD 的长．(1)如图1，连接BD ，求BDC 的度数和DG BE的值；(2)如图2，当点F 在射线BD 上时，求线段BE 的长；(3)如图3，当EA EC 时，在平面内有一动点P ，满足PE EF ，连接PA 游戏1折出对角线BD ，将点B 翻折到BD 上的点E 处，折痕F 恰为BC 的中点．游戏2在游戏1的基础上，将点C 翻折到BD 上，折痕为的点H 处；再展开并连接GH 后得到图②，发现AGH 是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；7．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE 的边BA DE 、的延长线相交于点F ，EAF 的平分线交EF 于点M ．(1)求证：2AE EF EM ．(2)若1AF ，求AE 的长．(3)求ABCDEAEF S S 正五边形△的值．8．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图1，在ABCD Y 纸片中，10AB ，6AD ，60DAB ，点E 为BC 边上的一点（点E 不与点C 重合），连接AE ，将ABCD Y 纸片沿AE 所在直线折叠，点C ，D 的对应点分别为C 、D ¢，射线C E 与射线AD 交于点F ．(1)求证：AF EF ；(2)如图2，当EF AF 时，DF 的长为______；(3)如图3，当2CE 时，过点F 作FM AE ，垂足为点M ，延长FM 交C D 于点N ，连接AN 、EN ，求ANE 的面积．探究发现中，如图1，在ABC（1）操作发现：将_______DB，则BDE（2）进一步探究发现：拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图形．如图2，在菱形10．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，ABC 、CDE 是两个等腰直角三角形，EF AD ．(1)当AF DF 时，求AED ；(2)求证：EHG ADG ∽△△；(3)求证：AE AC EH HC．11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）ABCD Y 中，AE BC ，垂足为E ，连接DE ，将ED 绕点E 逆时针旋转90 ，得到EF ，连接BF ．(1)当点E 在线段BC 上，=45ABC 时，如图①，求证：AE EC BF ；(2)当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC 时，如图②：当点E 在线段CB 延长线上，135ABC 时，如图③，请猜想并直接写出线段AE ，EC ，BF 的数量关系；(3)在（1）、（2）的条件下，若3BE ，5DE ，则CE _______．k 时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______；(1)如图1，当1，和DF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当3k 时，写出线段AD DE的值．(3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan EBF14．（2023·辽宁·统考中考真题）在Rt ABC 中，90°ACB ，CA CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上（不与点,A B 重合），连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l BC ，过点E 作EF l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；(2)如图，当点D 在线段AB 上时，求证：2CG BD BC ；(3)连接DE ，CDE 的面积记为1S ，ABC 的面积记为2S ，当:1:3EF BC 时，请直接写出12S S 的值．15．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC 中，,90CA CB C ，过点B 作射线BD AB ，垂足为B ，点P 在CB 上．(1)【动手操作】如图②，若点P 在线段CB 上，画出射线PA ，并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 与BD 交于点E ，根据题意在图中画出图形，图中PBE 的度数为_______度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA 与PE 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P 在射线CB 上移动，将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 与BD 交于点E ，探究线段,,BA BP BE 之间的数量关系，并说明理由．16．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ，，点E 在边BC 上，且2BE ．动点P 从点E 出发，沿折线EB BA AD 以每秒1个单位长度的速度运动，作90PEQ ，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连续PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t ）(1)当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为__________；(2)当点Q 和点D 重合时，求tan PQE ；(3)当点P 在边AD 上运动时，PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点E 关于直线PQ 的对称点F ，连接PF 、QF ，当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．17．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE 于点F ，GD DF ，AG DG ，AG CF ．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE 于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF 交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM ，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．18．（2023·山东东营·统考中考真题）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：PMN PNM ．（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：AEM F ．（3）用数学的语言表达．如图，在ABC 中，AC AB ，点D 在AC 上，AD BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若60ANM ，试判断CGD △的形状，并进行证明．19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．(1)如图1，连接QA ．当QA QP 时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ，且BAP ADB ，①求证：2AE EP ；②当OQ OE 时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．20．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G ，以BG 为边长向外作正方形BEFG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时，连接DF AC ，相交于点P ，小红发现点P 恰为DF 的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG ，并延长与DF 相交，发现交点恰好也是DF 中点P ，如图②，根据小红发现的结论，请判断APE V 的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转 ，连接DF ，点P 是DF 中点，连接AP ，EP ，AE ，APE V 的形状是否发生改变？请说明理由．21．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中，E 在边CD 上，BE 交对角线AC 于点F ，CM BE 于M ，CME 的平分线所在直线分别交CD ，AC 于点N ，P ，连接FN ．下列结论：①::N PF N PC S S FM MC △△；②CM PN ；③EN CD EC CF ；④若1EM ，4MB ，则2PM ，其中正确的是．23．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）。
2024年中考数学压轴题专项训练：四边形存在问题 学生版+答案
中考数学压轴题专项训练：四边形存在问题一、解答题1(2023·西藏·中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0，B1,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．2(2023·山东枣庄·中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A (1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图，点P为线段BC上的一个动点(点P不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．4(2022·山东烟台·中考真题)如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=-1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．5(2022·湖北随州·中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c+a<0与x轴分则点A和点B1,0，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，且OA=OC，P为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．6(2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)如图，抛物线y=x2+2x-8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)连接AC，直线x=m-4<m<0与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7(2021·四川凉山·中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC=10，OB=OC=3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标；(3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．8(2023·湖南岳阳·中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9(2022·四川泸州·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A-2,0两点，直线x=3与x轴交于点C．，B0,4(1)求a，c的值；(2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学压轴题专项训练：四边形存在问题一、解答题1(2023·西藏·中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A -3,0 ，B 1,0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】1．(1)y =-x 2-2x +3；(2)0，0 或0，-3 或0，3-32 或0，3+32 ；(3)存在，P -1，3-17 ，Q -4，-17 或P -1，3+17 ，Q -4，17 或P -1，1 ，Q -2，2 或P -1，14 ，Q 2，3+14 或P -1,-14 ，Q 2，3-14【分析】(1)将A -3,0 ，B 1,0 代入y =-x 2+bx +c ，求出b ,c ,即可得出答案；(2)分别以点D 为顶点、以点A 为顶点、当以点C 为顶点，计算即可；(3)抛物线y =-x 2-2x +3的对称轴为直线x =-1，设P -1,t ，Q m ,n ，求出AC 2=18，AP 2=t 2+4，PC 2=t 2-6t +10，分三种情况：以AP 为对角线或以AC 为对角线或以CP 为对角线．【详解】(1)解：(1)∵A -3,0 ，B 1,0 两点在抛物线上，∴0=--3 2-3b +c 0=-12+b +c解得，b =-2c =3 ，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3；(2)令x =0，y =3，∴C 0，3 ，由△ACD 为等腰三角形，如图甲，当以点D 为顶点时，DA =DC ，点D 与原点O 重合，∴D 0，0 ；当以点A 为顶点时，AC =AD ，AO 是等腰△ACD 中线，∴OC =OD ，∴D 0，-3 ；当以点C 为顶点时，AC =CD =OA 2+OC 2=32+32=32∴点D 的纵坐标为3-32或32+3，∴综上所述，点D 的坐标为0，0 或0，-3 或0，3-32 或0，3+32 ．(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2-2x +3的对称轴为：直线x =-1，设P -1,t ，Q m ,n ，∵A -3，0 ，C 0，3 ，则AC 2=-3 2+32=18，AP 2=-1+3 2+t 2=t 2+4，PC 2=-1 2+t -3 2=t 2-6t +10，∵以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：以AP 为对角线或以AC 为对角线或以CP 为对角线，当以AP 为对角线时，则CP =CA ，如图1，∴t 2-6t +10=18，解得：t =3±17，∴P 1-1，3-17 或P 2-1，3+17∵四边形ACPQ 是菱形，∴AP 与CQ 互相垂直平分，即AP 与CQ 的中点重合，当P 1-1，3-17 时，∴m +02=-3-12，n +32=0+3-172，解得：m =-4,n =-17，∴Q 1-4，-17当P 2-1，3+17 时，∴m +02=-3-12，n +32=0+3+172，解得：m =-4,n =17，∴Q 2-4，17以AC 为对角线时，则PC =AP ，如图2，∴t 2-6t +10=t 2+4，解得：t =1，∴P 3-1，1 ，∵四边形APCQ 是菱形，∴AC 与PQ 互相垂直平分，即AC 与CQ 中点重合，∴m -12=-3+02，n +12=0+32，解得：m =-2,n =2，∴Q 3-2，2 ；当以CP 为对角线时，则AP =AC ，如图3，∴t 2+4=18，解得：t =±14，∴P 4-1,14 ,P 5-1,-14 ，∵四边形ACQP 是菱形，∴AQ 与CP 互相垂直平分，即AQ 与CP 的中点重合，∴-3+m 2=0-12,n +02=3±142，解得：m =2,n =3±14∴Q 42,3+14 ,Q 52,3-14 ，综上所述，符合条件的点P 、Q 的坐标为：P -1，3-17 ，Q -4，-17 或P -1，3+17 ，Q -4，17 或P -1，1 ，Q -2，2 或P -1，14 ，Q 2，3+14 或P -1,-14 ，Q 2，3-14【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．2(2023·山东枣庄·中考真题)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A (-1,0),C (0,3)两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH +DH 的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)37(3)存在，Q 1,3 或Q 1,1 或Q 1,5【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；(2)作点D 关于x 轴的对称点D ，连接D M ，D M 与x 轴的交点即为点H ，进而得到MH +DH 的最小值为D M 的长，利用两点间距离公式进行求解即可；(3)分DM ，DP ，MP 分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线y =-x 2+bx +c 经过A (-1,0),C (0,3)两点，∴-1-b +c =0c =3 ，解得：b =2c =3 ，∴y =-x 2+2x +3；(2)∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，∴M 1,4 ，设直线AM :y =kx +m (k ≠0)，则：-k +m =0k +m =4 ，解得：k =2m =2 ，∴AM :y =2x +2，当x =0时，y =2，∴D 0,2 ；作点D 关于x 轴的对称点D ，连接D M ，则：D 0,-2 ，MH +DH =MH +D H ≥D M ，∴当M ,H ,D 三点共线时，MH +DH 有最小值为D M 的长，∵D 0,-2 ，M 1,4 ，∴D M =12+4+2 2=37，即：MH +DH 的最小值为：37；(3)解：存在；∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，∴对称轴为直线x =1，设P p ,t ，Q 1,n ，当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时：①DM 为对角线时：1+p =0+1t +n =4+2 ，∴p =0t +n =6 ，当p =0时，t =3，∴n =3，∴Q 1,3 ；②当DP 为对角线时：0+p =1+12+t =4+n ，∴p =22+t =4+n ，当p =2时，t =-22+2×2+3=3，∴n =1，∴Q 1,1 ；③当MP 为对角线时：1+p =0+14+t =2+n ，∴p =0n -t =2 ，当p =0时，t =3，∴n =5，∴Q 1,5 ；综上：当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，Q 1,3 或Q 1,1 或Q 1,5 ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．3(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2x +c 与x 轴分别交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，-3)，连接BC ．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32 【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +32 2+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32 ，∴N -3,-32 ；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．4(2022·山东烟台·中考真题)如图，已知直线y =43x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x =-1．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-43x 2-83x +4(2)S 最大=252，D -32，5(3)存在，Q -2，198【分析】(1)先求得A ，C ，B 三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；(2)作DF ⊥AB 于F ，交AC 于E ，根据点D 和点E 坐标可表示出DE 的长，进而表示出三角形ADC 的面积，进而表示出S 的函数关系式，进一步求得结果；(3)根据菱形性质可得PA =PC ，进而求得点P 的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q 坐标．【详解】(1)解：当x =0时，y =4，∴C (0，4)，当y =0时，43x +4=0，∴x =-3，∴A (-3，0)，∵对称轴为直线x =-1，∴B (1，0)，∴设抛物线的表达式：y =a (x -1)•(x +3)，∴4=-3a ，∴a =-43，∴抛物线的表达式为：y =-43(x -1)•(x +3)=-43x 2-83x +4；(2)如图1，作DF ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∴D m ，-43m 2-83m +4 ，E m ，43m +4 ，∴DE =-43m 2-83m +4-43m +4 =-43m 2-4m ，∴S △ADC =12DE ⋅OA =32•-43m 2-4m =-2m 2-6m ，∵S △ABC =12AB ⋅OC =12×4×4=8，∴S =-2m 2-6m +8=-2m +32 2+252，∴当m =-32时，S 最大=252，当m =-32时，y =-43×-32-1 ×-32+3 =5，∴D -32，5；(3)设P (-1，n )，∵以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形，∴PA =PC ，即：PA 2=PC 2，∴(-1+3)2+n 2=1+(n -4)2，∴n =138，∴P -1，138，∵x P +x Q =x A +x C ，y P +y Q =y A +y C∴x Q =-3-(-1)=-2，y Q =4-138=198，∴Q -2，198．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质5(2022·湖北随州·中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c +a <0 与x 轴分则点A 和点B 1,0 ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =-1，且OA =OC ，P 为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC ，当点P 在直线AC 上方时，求四边形PABC 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；(3)设M 为抛物线对称轴上一动点，当P ，M 运动时，在坐标轴上是否存在点N ，使四边形PMCN 为矩形？若存在，直接写出点P 及其对应点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3(2)S 最大=758，P 点的坐标为-32,154(3)存在，P 1-1,4 ，N 10,4 ；P 2-5-1456,145-118 ，N 21-1456,0 ；P 3-5+1456,-145-118，N 31+1456,0 【分析】(1)根据已知条件，列出方程组求出a ，b ，c 的值即可；(2)方法一：设P m ,n ，四边形PABC 的面积S =S ΔPAO +S ΔPCO +S ΔBCO ，用m 表示出S ，并求出S 的最大值与此时P 点的坐标；方法二：易知A -3,0 ，C 0,3 ，故直线AC 的方程为y =x +3，设P x ,-x 2-2x +3 -3<x <0 ，表示出PQ ，并用x 表示出△APC 的面积，再表示出S ，并求出S 的最大值与此时P 点的坐标；(3)根据题目要求，分类讨论当当N 在y 轴上时；当N 在x 轴负半轴上时，设N t ,0 ，用t 表示出点P 的坐标，解出t ，写出点P 及其对应点N 的坐标．【详解】(1)解：∵OA =OC ，∴C 0,c ，A -c ，0 ，∵B 1,0 ，对称轴为直线x =-1，c >0，∴0=a +b +c -b 2a =-10=ac 2+bc +c ，解得a =-1b =-2c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3．(2)解：方法一：连接OP ，设P m ,n ，易知-3<m <0，n >0，∵AO =CO =3，BO =1，∴四边形PABC 的面积S =S ΔPAO +S ΔPCO +S ΔBCO ，∴S =12×3n +12×3⋅-m +12×3×1=32n -m +1又∵n =-m 2-2m +3，∴S =32-m 2-3m +4 =-32m +32 2+758∴当m =-32时，S 最大=758，∴此时P 点的坐标为-32,154；方法二：易知A -3,0 ，C 0,3 ，故直线AC 的方程为y =x +3设P x ,-x 2-2x +3 -3<x <0 ，∵过点P 作PQ ⊥x 轴，交AC 于点Q ，∴O x ,x +3 ，∵点P 在AC 上方，∴PQ =-x 2-2x +3-x +3 =-x 2-3，∴S ΔAPC =S ΔPAQ +S ΔPCQ =12PQ x Q -x A +12PQ x C -x Q =12PQ x C -x A =32PQ =32-x 2-3x =-32x 2-92x ，∴四边形PABC 面积S =S ΔAPC +S ΔABC =-32x 2-92x +12×4×3=-32x 2-92x +6，∴当x =-32时，S 有最大值758，∴此时P 点的坐标为-32,154．(3)存在点N ．①当N 在y 轴上时，∵四边形PMCN 为矩形，此时，P 1-1,4 ，N 10,4 ；②当N 在x 轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN 为矩形，过M 作y轴的垂线，垂足为D ，过P 作x 轴的垂线，垂足为E ，设N t ,0 ，则ON =-t ，∴∠CDM =∠NEP =90°，∵四边形PMCN 为矩形，∴∠MCN =∠CNP =90°，CM =NP ，∵∠MCD +∠OCN =90°，∠ONC +∠OCN =90°，∴∠MCD =∠ONC ，又∵∠CDM =∠CON =90°，∴△CMD ∽△CNO ，∴CD ON =MD OC，又∵点M 在对称轴上，C 0,3 ，∴DM =1,OC =3，∴CD -t =13，即CD =-13t ，∵∠MCD +∠CMD =90°，∠ONC +∠PNE =90°，∴∠CMD =∠PNE ，∴△CMD ≌△NPE AAS ，∴NE =MD =1，EP =CD =-13t ，∴OE =ON +EN =-t +1，∴P 点的坐标为t -1,-13t ，∵P 点在抛物线y =-x 2-2x +3上，∴-13t =-t -1 2-2t -1 +3解得t 1=1-1456，t 2=1+1456(舍)，∴P 2-5-1456,145-118，N 21-1456,0 ；③当N 在x 轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN 为矩形，过M 作y 轴的垂线，垂足为D ，过P 作x 轴的垂线，垂足为E ，设N t ,0 ，则ON =t ，∴∠CDM =∠NEP =90°，∵四边形PMCN 为矩形时，∴∠MCN =∠CNP =90°，CM =NP ，∵∠MCD +∠OCN =90°，∠ONC +∠OCN =90°，∴∠MCD =∠ONC ，又∵∠CDM =∠CON =90°，∴△CMD ∽△CNO ，∴CD ON =MD OC，又∵点M 在对称轴上，C 0,3 ，∴DM =1,OC =3，∴CD t =13，即CD =13t ，∵∠MCD +∠CMD =90°，∠ONC +∠PNE =90°，∴∠CMD =∠PNE ，∴△CMD ≌△NPE AAS ，∴NE =MD =1，EP =CD =13t ，∴OE =ON -EN =t -1，∴P 点的坐标为t -1,-13t ，∵P 点在抛物线y =-x 2-2x +3上，∴-13t =-t -1 2-2t -1 +3解得t 1=1-1456(舍)，t 2=1+1456，∴P 3-5+1456,-145-118 ，N 31+1456,0 ，综上：P 1-1,4 ，N 10,4 ；P 2-5-1456,145-118 ，N 21-1456,0 ；P 3-5+1456,-145-118，N 31+1456,0【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．6(2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)如图，抛物线y =x 2+2x -8与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)连接AC ，直线x =m -4<m <0 与该抛物线交于点E ，与AC 交于点D ，连接OD ．当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；(3)点M 在y 轴上，点N 在直线AC 上，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ，使得以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A (-4,0)，B (2,0)，C (0，-8)；(2)DE =6425；(3)存在，M (0,-8+5)、(0,-8-5)、(0,-12)、0,-274【分析】(1)分别令x =0、y =0即可求出A ，B ，C 三点的坐标；(2)先求出AC 解析式，用m 表示出DE 坐标，最后根据OD ⊥AC 求出m 的值即可；(3)分三种情况：CM 对角线或CN 为对角线或CP 为对角线，①当CP 为对角线时，CM ⎳PN ，CM =PN =CN ，可得出N (-1,-6)，根据CM =PN =CN =5，即可求出答案；②当CN 为对角线时，CM ⎳PN ，CM =PN =CP ，设CM =a ，则M (0,-8+a )，P (-1,-6-a )，建立方程求解即可；③当CM 对角线时，PN 与CM 互相垂直平分，设P (-1,b )，则N (1,b )，M (0,2b +8)，根据N (1,b )在直线y =-2x -8上，即可求得答案．【详解】解：(1)令x =0得y =-8，∴C 点坐标(0，-8)令y =0得：x 2+2x -8=0，解得：x 1=-4,x 2=2，∴A (-4,0)，B (2,0)；(2)设DE 交x 轴于F ，设AC 解析式为y =kx +b ，代入AC 坐标得：0=-4k +b -8=b，解得k =-2b =-8∴AC 解析式为y =-2x -8，∵直线x =m -4<m <0 与该抛物线交于点E ，与AC 交于点D ，∴D (m ,-2m -8),E (m ,m 2+2m -8),F (m ,0)，∴OF =-m ,DF =2m +8,DE =-m 2-4m ，∵OD ⊥AC ，∴∠AOD =∠ACO ，∴△FOD ∼△OCA ，∴OFDF =OC OA ，∴-m 2m +8=84，解得m =-165，∴DE =-m 2-4m =6425；(3)存在，如图2，∵y =x 2+2x -8=(x +1)2-9，抛物线对称轴为直线x =-1，∵以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CM 对角线或CN 为对角线或CP 为对角线，①当CP 为对角线时，CM ⎳PN ，CM =PN =CN ，∴N 点为直线AC 与抛物线对称轴的交点，即N (-1,-6)，CN =(-1-0)2+(-6+8)2=5，∴CM =PN =5，∴M 1(0,-8+5)，M 2(0,-8-5)；②当CN 为对角线时，CM ⎳PN ，CM =PN =CP ，设CM =a ，则M (0,-8+a )，P (-1,-6-a )，∴(-1-0)2+(-6-a +8)2=a 2，解得：a =54，∴M 30,-274，③当CM 对角线时，PN 与CM 互相垂直平分，设P (-1,b )，则N (1,b )，M (0,2b +8)，∵N (1,b )在直线y =-2x -8上，∴b =-2×1-8=-10，∴M 4(0,-12)，综上所述，点M 的坐标为：M 1(0,-8+5)，M 2(0,-8-5)，M 30,-274，M 4(0,-12)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用相似三角形处理垂直．7(2021·四川凉山·中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =10，OB =OC =3OA ．(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大．求出点P 的坐标；(3)在(2)的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ．使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)P -32,154 ；(3)-12,154 或-2-312,-154 或-2+312,-154【分析】(1)根据OB =OC =3OA ，AC =10，利用勾股定理求出OA ，可得OB 和OC ，得到A ，B ，C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)判断出四边形PBAC 的面积最大时，△BPC 的最大面积，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，求出直线BC 的表达式，设点P x ，-x 2-2x +3 ，利用三角形面积公式S △BPC =-32x 2-92x ，即可求出S △BPC 面积最大时点P 的坐标；(3)根据平行四边形的性质进行分类讨论，求出点Q 的坐标．【详解】解：(1)∵OB =OC =3OA ，AC =10，∴OC 2+OA 2=AC 2，即3OA 2+OA 2=10 2，解得：OA =1，OC =OB =3，∴A 1，0 ，B -3，0 ，C 0，3 ，代入y =ax 2+bx +c 中，则0=a +b +c 0=9a -3b +c 3=c ，解得：a =-1b =-2c =3，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3；(2)如图，四边形PBAC 的面积=△BCA 的面积+△PBC 的面积，而△BCA 的面积是定值，故四边形PBAC 的面积最大，只需要△PBC 的最大面积即可，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，∵B -3，0 ，C 0，3 ，设直线BC 的表达式为y =mx +n ，则0=-3m +n 3=n ，解得：m =1n =3 ，∴直线BC 的表达式为y =x +3，设点P x ，-x 2-2x +3 ，则点H x ，x +3 ，S △BPC =12PH ×OB =12×-x 2-2x +3-x -3 ×3=-32x 2-92x ，∵-32<0，故S 有最大值，即四边形PBAC 的面积有最大值，此时x =-32，代入y =-x 2-2x +3得y =154，∴P -32,154；(3)由(1)、(2)得：B -3，0 ，P -32,154，根据题意设M a ,0 ，Q b ,-b 2-2b +3 ，①若BP 为平行四边形的对角线，则-3-32=a +b 154=-b 2-2b +3 ，解得：a =-4b =-12 或a =-3b =-32 (此时P 、Q 重合，不合题意，舍去)将b =-12代入抛物线得：y =154，∴Q 1-12,154； ②若BQ 为平行四边形的对角线，则-3+b =-32+a 154=-b 2-2b +3 ，解得：a =-2b =-12 或a =-3b =-32 (此时P 、Q 重合，不合题意，舍去)将b =-12代入抛物线得：y =154，∴Q 2-12,154； ③若BM 为平行四边形的对角线，则-3+a =-32+b 154-b 2-2b +3=0 ，解得：a =1+312b =-2+312 或a =1-312b =-2-312，分别将b =-2-312，b =-2+312代入抛物线，求得y =-154，∴Q 3-2+312,-154 ，Q 4-2-312,-154 ，综上：点Q 的坐标为-12,154 或-2-312,-154 或-2+312,-154．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8(2023·湖南岳阳·中考真题)已知抛物线Q 1:y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A -3,0 ,B 两点，交y 轴于点C 0,3 ．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2-2x+3(2)E-2,3；F1,2(3)点P的坐标为(1,0)或(-2,3)【分析】(1)把A-3，0，C0,3代入Q1:y=-x2+bx+c，求出b=-2,c=3即可；(2)假设存在这样的正方形，过点E作ER⊥x于点R，过点F作FI⊥y轴于点I，证明△EAR≅△AOD,△FID≅△DOA，可得ER=3,AR=1,FI=1,IO=2,故可得E-2,3，F1,2；(3)先求得抛物线Q2的解析式为y=-(x+1-2)2+4=-(x-1)2+4，得出K(1,4)，H(3,0)，运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得tan∠CHK=CKCH=232=13，进而可求得点P的坐标．【详解】(1)∵抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,两点，交y轴于点C0,3，∴把A-3，0，C0,3代入Q1:y=-x2+bx+c，得，-9-3b+c=0 c=3,解得，b=-2 c=3,∴解析式为：y=-x2-2x+3；(2)假设存在这样的正方形DAEF，如图，过点E作ER⊥x于点R，过点F作FI⊥y轴于点I，∴∠AER+∠EAR=90°,∵四边形DAEF是正方形，∴AE=AD,∠EAD=90°,∴∠EAR+∠DAR=90°,∴∠AER=∠DAO,又∠ERA=∠AOD=90°,∴△AER≅△DAO，∴AR =DO ,ER =AO ,∵A -3,0 ,D 0,-1 ,∴OA =3,OD =1,∴AR =1,ER =3,∴OR =OA -AR =3-1=2,∴E -2,3 ；同理可证明：△FID ≅△DOA ，∴FI =DO =1,DI =AO =3,∴IO =DI -DO =3-1=2,∴F 1,2 ；(3)解：抛物线Q 1上存在点P ，使得∠CPK =∠CHK ．∵y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4，∴抛物线Q 1的顶点坐标为(-1,4)，∵将抛物线Q 1向右平移2个单位，得到抛物线Q 2，∴抛物线Q 2的解析式为y =-(x +1-2)2+4=-(x -1)2+4，∵抛物线Q 2的顶点为K ，与x 轴正半轴交于点H ，∴K (1,4)，H (3,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +n ，把C (0,3)，H (3,0)代入得n =33k +n =0 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，过点K 作KT ⊥y 轴于点T ，连接BC ，设KP 交直线BC 于M 或N ，如图2，过点C 作PS ⊥y 轴交BK 于点S ，交抛物线Q 1于点P ，连接PK ，则T (0,4)，M (m ,-m +3)，N (t ,-t +3)∴KT =TC =1，∠KTC =90°，∴△CKT 是等腰直角三角形，∴∠KCT =45°，CK =2KT =2，∵OH =OC =3，∠COH =90°，∴△COH 是等腰直角三角形，∴∠HCO =45°，CH =2OC =32，∴∠KCH =180°-∠KCT -∠HCO =90°，∴tan ∠CHK =CK CH =232=13，∵∠CPK =∠CHK ，∴tan ∠CPK =tan ∠CHK =13，∵tan ∠BCO =OB OC=13，∴∠BCO =∠CHK ，∵BK ∥OC ，∴∠CBK =∠BCO ，∴∠CBK =∠CHK ，即点P 与点B 重合时，∠CPK =∠CHK ，∴P 1(1,0)；∵SK =1，PS =3，∴tan ∠CPK =SK PS=13，∴∠CPK =∠CHK ，∵点P 与点C 关于直线x =-1对称，∴P (-2,3)；综上所述，抛物线Q 1上存在点P ，使得∠CPK =∠CHK ，点P 的坐标为(1,0)或(-2,3)．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．9(2022·四川泸州·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =ax 2+x +c 经过A -2,0 ，B 0,4 两点，直线x =3与x 轴交于点C ．(1)求a ，c 的值；(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线x =3交于点D ，E ，且△BDO 与△OCE 的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线x =3上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)a =-12，c =4(2)y =-23x (3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或-11+2014,0 【分析】(1)将点A ,B 的坐标代入抛物线y =ax 2+x +c 可得到关于a ,c 的方程组，解方程组即可得；(2)设直线DE 的解析式为y =kx (k <0)，从而可得点E 的坐标为E (3,3k )，利用三角形的面积公式可得△OCE 的面积为-92k ，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式，与直线DE 的解析式联立可得点D 的坐标，从而可得△BDO 的面积，然后根据△BDO 与△OCE 的面积相等建立方程，解方程可得k 的值，由此即可得出答案；(3)先求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(4,0)，从而可设点F 的坐标为F (m ,0)(0≤m ≤3)，点P 的坐标为P (t ,n )(0<t <4)，再分①以BF 为一边的矩形是矩形BFGP 和②以BF 为一边的矩形是矩形BFPG 两种情况，利用相似三角形的性质和矩形的性质将t ,n 用m 表示出来，然后将点P (t ,n )代入抛物线的解析式可求出m 的值，由此即可得出答案．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2+x +c 经过A -2,0 ，B 0,4 两点，∴4a -2+c =0c =4 ，解得a =-12c =4 ．(2)解：由题意，设直线DE 的解析式为y =kx (k <0)，当x =3时，y =3k ，即E (3,3k )，CE =-3k ，则△OCE 的面积为12×3×(-3k )=-92k ，设直线AB 的解析式为y =k 0x +b 0，将点A -2,0 ，B 0,4 代入得：-2k 0+b 0=0b 0=4 ，解得k 0=2b 0=4，则直线AB 的解析式为y =2x +4，联立y =2x +4y =kx ，解得x =4k -2y =4k k -2，则点D 的坐标为D 4k -2,4k k -2 ，所以△BDO 的面积为12×4×-4k -2 =82-k ，因为△BDO 与△OCE 的面积相等，所以82-k =-92k ，解得k =-23或k =83>0(不符题意，舍去)，经检验，k =-23是所列分式方程的解，所以直线DE 的解析式为y =-23x ．(3)解：抛物线y =-12x 2+x +4=-12(x -1)2+92的对称轴为直线x =1，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(2×1-(-2),0)，即为(4,0)，∵B (0,4)，∴OB =4，设点F 的坐标为F (m ,0)(0≤m ≤3)，点P 的坐标为P (t ,n )(0<t <4)，由题意，分以下两种情况：①如图，当以BF 为一边的矩形是矩形BFGP 时，则OF =m ,CF =3-m ，∠BFG =90°，∴∠OFB +∠CFG =90°，∵∠OFB +∠OBF =90°，∴∠CFG =∠OBF ，在△CFG 和△OBF 中，∠CFG =∠OBF∠FCG =∠BOF =90° ，∴△CFG ∼△OBF ，∴CG OF =CF OB ，即CG m =3-m 4，解得CG =3m -m 24，∴G 3,3m -m 24 ，∵矩形BFGP 的对角线互相平分，∴m+t2=0+320+n2=4+3m-m242，解得t=3-mn=3m-m2+164，将点P(t,n)代入y=-12x2+x+4得：-12(3-m)2+3-m+4=3m-m2+164，解得m=2或m=3，当m=2时，t=3-m=3-2=1，符合题意，当m=3时，t=3-m=3-3=0，不符题意，舍去，则此时点F的坐标为(2,0)，②如图，当以BF为一边的矩形是矩形BFPG时，过点B作BQ⊥CE于点Q，则BQ=OC=3,CQ=OB=4，同理可证：△QBG∼△OBF，∴QGOF=QBOB，即QGm=34，解得QG=34 m，∴CG=CQ+QG=3m+164，∴G3,3m+164，∵矩形BFPG的对角线互相平分，∴0+t2=m+324+n2=0+3m+1642，解得t=m+3n=3m4，将点P(t,n)代入y=-12x2+x+4得：-12(m+3)2+m+3+4=3m4，解得m=-11+2014或m=-11-2014<0(不符题意，舍去)，当m=-11+2014时，t=m+3=-11+2014+3=1+2014<4，符合题意，则此时点F的坐标为-11+2014,0 ，综上，存在这样的点F，点F的坐标为(2,0)或-11+2014,0 ．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题(3)，正确分两种情况讨论，并找出相似三角形是解题关键．。
备战中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合附答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或23.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠3∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，3OH=23∴()2212362+-=如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=233， 综上所述：OP 的长为62 或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ．（1）求证：△DOE ≌△BOF ．（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE =90°时，四边形BFED 为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3．如图①，四边形ABCD 是知形，1,2AB BC ==，点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合)，点F 是线段BA 延长线上一动点，连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==，已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中y 与x 的函数表达式;（2）求证:DE DF ⊥;（3）是否存在x 的值，使得DEG △是等腰三角形?如果存在，求出x 的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）见解析；（3）存在，x ＝5455-32． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式；（2）证明△CDE ∽△ADF ，得∠ADF ＝∠CDE ，可得结论；（3）分三种情况：①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，分别列方程计算可得结论．【详解】（1）设y ＝kx +b ，由图象得：当x ＝1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝4， 代入得：24k b b +=⎧⎨=⎩，得24k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）∵BE ＝x ，BC ＝2∴CE ＝2﹣x ， ∴211,4222CE x CD AF x AD -===-， ∴CE CD AF AD=， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠DAF ＝90°，∴△CDE ∽△ADF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，∴∠ADF +∠EDG ＝∠CDE +∠EDG ＝90°，∴DE ⊥DF ；（3）假设存在x 的值，使得△DEG 是等腰三角形，①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DGE ＝∠GEB ，∴∠DEG ＝∠BEG ，在△DEF 和△BEF 中，FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△BEF （AAS ），∴DE ＝BE ＝x ，CE ＝2﹣x ，∴在Rt △CDE 中，由勾股定理得：1+（2﹣x ）2＝x 2，x ＝54； ②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，∵AD ∥BC ，EH ∥CD ，∴四边形CDHE 是平行四边形，∴∠C ＝90°，∴四边形CDHE 是矩形，∴EH ＝CD ＝1，DH ＝CE ＝2﹣x ，EH ⊥DG ，∴HG ＝DH ＝2﹣x ，∴AG ＝2x ﹣2，∵EH ∥CD ，DC ∥AB ，∴EH ∥AF ，∴△EHG ∽△FAG ， ∴EH HG AF AG =， ∴124222x x x -=--，∴12x x ==（舍）， ③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，∵AD ∥BC ，∴∠GDE ＝∠DEC ，∴∠GED ＝∠DEC ，∵∠C ＝∠EDF ＝90°，∴△CDE ∽△DFE ， ∴CE DE CD DF=， ∵△CDE ∽△ADF ， ∴12DE CD DF AD ==， ∴12CE CD =， ∴2﹣x ＝12，x ＝32，综上，x ＝54或32． 【点睛】 本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．4．菱形ABCD 中、∠BAD ＝120°，点O 为射线CA 上的动点，作射线OM 与直线BC 相交于点E ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转60°，得到射线ON ，射线ON 与直线CD 相交于点F ． （1）如图①，点O 与点A 重合时，点E ，F 分别在线段BC ，CD 上，请直接写出CE ，CF ，CA 三条段段之间的数量关系；（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝13AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝27，当CF＝1时，请直接写出BE的长．【答案】（1）CA=CE+CF．（2）CF-CE=43AC．（3）BE的值为3或5或1．【解析】【分析】（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．只要证明△ADF≌△ACE（SAS）即可解决问题；（2）结论：CF-CE=43AC．如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．只要证明△FOG≌△EOC（ASA）即可解决问题；（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°∴AB=AD=DC=BC，∠BAC=∠DAC=60°∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∵∠DAC=∠EAF=60°，∴∠DAF=∠CAE，∵CA=AD，∠D=∠ACE=60°，∴△ADF≌△ACE（SAS），∴DF=CE，∴CE+CF=CF+DF=CD=AC，（2）结论：CF-CE=43 AC．理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．∵∠GOC=∠FOE=60°，∴∠FOG=∠EOC，∵OG=OC，∠OGF=∠ACE=120°，∴△FOG≌△EOC（ASA），∴CE=FG，∵OC=OG，CA=CD，∴OA=DG，∴CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+13AC=43AC，（3）作BH⊥AC于H．∵AB=6，AH=CH=3，∴BH=33，如图③-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．∵7，∴22OB BH=1，∴OC=3+1=4，由（1）可知：CO=CE+CF，∴CE=3，∴BE=6-3=3．如图③-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．由（2）可知：CE-CF=OC，∴CE=4+1=5，∴BE=1．如图③-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．同法可证：OC=CE+CF，∵OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，∴CE=1，∴BE=6-1=5．如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．同法可知：CE-CF=OC，∴CE=2+1=3，∴BE=3，综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE =∠CEG ，∴∠BCF =∠CEG ，∴CF ∥EG ，∴四边形CEGF 平行四边形，∴FG ∥CE ，FG =CE ．6．问题情境在四边形ABCD 中，BA ＝BC ，DC ⊥AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ，M 是边AD 的中点，连接MB ，ME. 特例探究(1)如图1，当∠ABC ＝90°时，写出线段MB 与ME 的数量关系，位置关系； (2)如图2，当∠ABC ＝120°时，试探究线段MB 与ME 的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸(3)如图3，当∠ABC ＝α时，请直接用含α的式子表示线段MB 与ME 之间的数量关系．【答案】(1)MB ＝ME ，MB ⊥ME ；(2)ME ＝3MB ．证明见解析；(3)ME ＝MB·tan 2α.【解析】 【分析】（1）如图1中，连接CM ．只要证明△MBE 是等腰直角三角形即可； （2）结论：EM=3MB ．只要证明△EBM 是直角三角形，且∠MEB=30°即可； （3）结论：EM=BM•tan 2α．证明方法类似； 【详解】(1) 如图1中，连接CM ．∵∠ACD=90°，AM=MD ， ∴MC=MA=MD ， ∵BA=BC ，∴BM垂直平分AC，∵∠ABC=90°，BA=BC，∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=45°，∴∠MBE=12∵AB∥DE，∴∠ABE+∠DEC=180°，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=∠CDE=45°，∴EC=ED，∵MC=MD，∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，∴∠MEC=45°，∴△BME是等腰直角三角形，∴BM=ME，BM⊥EM．故答案为BM=ME，BM⊥EM．(2)ME＝3MB．证明如下：连接CM，如解图所示．∵DC⊥AC，M是边AD的中点，∴MC＝MA＝MD．∵BA＝BC，∴BM垂直平分AC．∵∠ABC＝120°，BA＝BC，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∠DCE＝60°.∴∠MBE＝12∵AB∥DE，∴∠ABE＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝60°，∴∠DCE＝∠DEC＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴EC＝ED．∵MC＝MD，∴EM垂直平分CD，EM平分∠DEC，∠DEC＝30°，∴∠MEC＝12∴∠MBE＋∠MEB＝90°，即∠BME＝90°.在Rt△BME中，∵∠MEB＝30°，∴ME ＝3MB ．(3) 如图3中，结论：EM=BM•tan2α．理由：同法可证：BM ⊥EM ，BM 平分∠ABC ， 所以EM=BM•tan 2α． 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．7．在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，连接DF ．（1）说明△BEF 是等腰三角形； （2）求折痕EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】 【分析】（1）根据折叠得出∠DEF =∠BEF ，根据矩形的性质得出AD ∥BC ，求出∠DEF =∠BFE ，求出∠BEF =∠BFE 即可；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，则四边形ABME 是矩形，根据矩形的性质得出EM =AB =6，AE =BM ，根据折叠得出DE =BE ，根据勾股定理求出DE 、在Rt △EMF 中，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）∵现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，∴∠DEF =∠BEF ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF =∠BFE ，∴∠BEF =∠BFE ，∴BE =BF ，即△BEF 是等腰三角形；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，则四边形ABME 是矩形，所以EM =AB =6，AE =BM ． ∵现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，∴DE =BE ，DO =BO ，BD ⊥EF ． ∵四边形ABCD 是矩形，BC =8，∴AD =BC =8，∠BAD =90°． 在Rt △ABE 中，AE 2+AB 2=BE 2，即（8﹣BE ）2+62=BE 2，解得：BE ==DE =BF ，AE =8﹣DE =8﹣==BM ，∴FM =﹣=．在Rt △EMF 中，由勾股定理得：EF ==．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点D 、E 、F 、G 分别为边OA 、AB 、BC 、CO 的中点，连结DE 、EF 、FG 、GD ． （1）若点C 在y 轴的正半轴上，当点B 的坐标为（2，4）时，判断四边形DEFG 的形状，并说明理由.（2）若点C 在第二象限运动，且四边形DEFG 为菱形时，求点四边形OABC 对角线OB 长度的取值范围.（3）若在点C 的运动过程中，四边形DEFG 始终为正方形，当点C 从X 轴负半轴经过Y 轴正半轴，运动至X 轴正半轴时，直接写出点B 的运动路径长.【答案】（1）正方形（2）256OB <<（3）2π【解析】分析:（1）连接OB ，AC ，说明OB ⊥AC ，OB=AC ，可得四边形DEFG 是正方形.（2）由四边形DEFG 是菱形，可得OB=AC ，当点C 在y 轴上时，AC=25，当点C 在x 轴上时，AC=6, 故可得结论； （3）根据题意计算弧长即可.详解：（1）正方形，如图1，证明连接OB ，AC ，说明OB ⊥AC ，OB=AC ，可得四边形DEFG 是正方形. （2）256OB <<如图2，由四边形DEFG 是菱形，可得OB=AC ，当点C 在y 轴上时，AC=25，当点C 在x 轴上时，AC=6, ∴256OB << ； （3）2π.如图3，当四边形DEFG 是正方形时，OB ⊥AC ，且OB=AC ，构造△OBE ≌△ACO ，可得B 点在以E （0，4）为圆心，2为半径的圆上运动.所以当C 点从x 轴负半轴到正半轴运动时，B 点的运动路径为2π .图1 图2 图3点睛：本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质以及弧长的计算.灵活运用正方形的判定定理和菱形的性质运用是解题的关键.9．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABC=60°，AH ⊥BC 于点H ．动点E 从点B 出发，沿线段BC 向点C 以每秒2个单位长度的速度运动．过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ．点E 出发后，以EF 为边向上作等边三角形EFG ，设点E 的运动时间为t 秒，△EFG 和△AHC 的重合部分面积为S ．（1）CE= （含t 的代数式表示）． （2）求点G 落在线段AC 上时t 的值． （3）当S ＞0时，求S 与t 之间的函数关系式． （4）点P 在点E 出发的同时从点A 出发沿A-H-A 以每秒2个单位长度的速度作往复运动，当点E 停止运动时，点P 随之停止运动，直接写出点P 在△EFG 内部时t 的取值范围．【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当＜t≤2时，S=t2+t-3；当2＜t≤3时，S=-t2+t-；（4）＜t＜．【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GEF=60°，GE=EF=BE•si n60°=t，证出∠GEC=90°，由三角函数求出CE==t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：①当＜t≤2时，S=△EFG的面积-△NFN的面积，即可得出结果；②当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在△EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=6，∴CE=BC-BE=6-2t；（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=t，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°-60°=30°，∴∠GEB=90°，∴∠GEC=90°，∴CE==t，∵BE+CE=BC，∴2t+t=6，解得：t=2；（3）分两种情况：①当＜t≤2时，如图2所示：S=△EFG的面积-△NFN的面积=××（t）2-××（-+2）2=t2+t-3，即S=t2+t-3；当2＜t≤3时，如图3所示：S=t2+t-3-（3t-6）2，即S=-t2+t-；（4）∵AH=AB•sin60°=6×=3，3÷2=，3÷2=，∴t=时，点P与H重合，E与H重合，∴点P在△EFG内部时，-＜（t-）×2＜t-（2t-3）+（2t-3），解得：＜t＜；即点P在△EFG内部时t的取值范围为：＜t＜．考点：四边形综合题．10．（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时= _____ __；（2）小明对问题1做了简单的变式思考．如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PC为边作□PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图4，若为上任意一点，以，为边作□．试求对角线长的最小值和PQ最小时的值．（2）若为上任意一点，延长到，使，再以，为边作□．请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值．【答案】问题1：（1）3，；（2）PQ=，=．问题2：（1）=4，．（2）PQ的最小值为．．【解析】试题分析：问题1：（1）首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形，然后根据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而可求的值．（2）由题可知：当QP⊥AC 时，PQ最小．过点C作CD⊥AB于点D．此时四边形CDPQ为矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，利用面积可求出CD=,然后可求出AD=，由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=AD-AP=，所以AP=．所以=．问题2：（1）设对角线与相交于点．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由题可知：当QP⊥AB时，PQ最小，此时=CH=4，根据条件可证四边形BPQH为矩形，从而QH=BP=AP．所以．（2）根据题意画出图形，当AB 时，的长最小，PQ的最小值为．．试题解析：问题1：（1）3，；（2）过点C作CD⊥AB于点D．由题意可知当PQ⊥AB时，PQ最短．所以此时四边形CDPQ为矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因为∠BCA=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因为AE=nPA，所以PE==CQ=PD=AD-AP=．所以AP=．所以=．问题2：（1）如图2，设对角线与相交于点．所以G是DC的中点，作QH BC，交BC的延长线于H，因为AD//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由图知，当AB时，的长最小，即=CH=4．易得四边形BPQH为矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若学生有能力从梯形中位线角度考虑，若正确即可评分．但讲评时不作要求）（2）PQ的最小值为．．考点：1．直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质；4矩形的判定与性质．。
中考压轴题—三角形、四边形综合(解析版)--2024年中考数学
中考压轴题-三角形、四边形综合1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
4.几何图形的归纳、猜想问题中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。
对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。
5.阅读理解问题如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。
阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。
对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。
所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。
解题策略1.学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形(2)(含答案)
于点图形的面积为 （平方单位），点 运动时间为 （秒）.
（1）当点 ܯ与点 㣈 重合时，求 的值；
（2）当 为何值时，
与 㣈ܯᐆ 全等；
3
（3）求 与 的函数关系式；
（4）以线段 为边，在 右侧作等边三角形 ተ ，当
时，求点 ተ 运动路径的长.
5．在四边形 㣈㇞⺁ 中， 㣈 ⺁ 的平分线 ᐆ 交 㣈㇞ 于 ᐆ，延长 㣈 到 ተ 使 㣈ተ ᐆ㇞， 是 ᐆ 的中点， ተ 交 㣈㇞ 于 ，连接 ⺁.
（3）当 CE 的长为多少时，以 C′，F，B 为顶点的三角形是以 C′F 为腰的等腰三角形？
5
二、模拟预测 7．已知：如图，矩形 㣈㇞⺁ 中和
ተ㣈ᐆ 中，点 C 在 㣈ᐆ 上， ተ㣈ᐆ
， 㣈 㣈ᐆ ܨ， ⺁ 㣈ተ ㇞ ܨ，
连接 㣈⺁，点 M 从点 D 出发，沿 ⺁㣈 方向匀速运动，速度为 ܨ/ ，同时，点 N 从点 E 出发，沿 ተᐆ 方向匀
N．①如图 2，当 㣈 ܯ㇞ 时，试判断重叠部分 ܯ的形状，并说明理由；
②如图 3，当 ㇞ ܯ㇞ 时，求重叠部分四边形 ܯ㇞ 的面积（结果保留根号）；
（3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心 O 处，该锐角记为 ㇞（设 ㇞ ），将 ㇞
绕点 O 逆时针旋转，在旋转过程中， ㇞ 的两边与正方形 㣈㇞⺁ 的边所围成的图形的面积为 ，请直接写
②如图 3，取 ⺁ 中点 P，连接 ᐆ，求 ᐆ 长度的最大值.
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9．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为竘 ， ， ， ㇞ 分别落在 x 轴和 y 轴上，将
㣈 绕点 O 逆时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到 ⺁ተ， ⺁ 与 ㇞㣈 相交于点 F，反比例函数
2023年中考数学(人教版)总复习训练：四边形综合问题
2023年中考数学(人教版)总复习训练：四边形综合问题一、选择题（本大题共10道小题）1. [2021·无锡]下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2. (2020•丹东)顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点,所得图形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形3. (2021·无锡中考)如图,D,E,F分别是△ABC各边中点,则以下说法错误的是( )A.△BDE和△DCF的面积相等B.四边形AEDF是平行四边形C.若AB＝BC,则四边形AEDF是菱形D.若∠A＝90°,则四边形AEDF是矩形4. (2020•台州)下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③它是一个矩形.下列推理过程正确的是()A.由②推出③,由③推出①B.由①推出②,由②推出③C.由③推出①,由①推出②D.由①推出③,由③推出②5. (2022·湖北襄阳)如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是()A.若OB＝OD,则▱ABCD是菱形B.若AC＝BD,则▱ABCD是菱形C.若OA＝OD,则▱ABCD是菱形D.若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形6. (2021•安徽模拟)如图,Rt△ABC≌Rt△DCB,其中∠ABC＝90°,AB＝3,BC＝4,M为BC中点,EF 过点M交AC、BD于点E、F,连接BE、CF,则下列结论错误的是()A.四边形BECF为平行四边形B.当BF＝3.5时,四边形BECF为矩形C.当BF＝2.5时,四边形BECF为菱形D.四边形BECF不可能为正方形7. (2020秋•魏县月考)如图,在任意四边形ABCD中,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是线段AB,BC,CD,AD上的点,对于四边形EFGH的形状,某班的学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是()A.当E,F,G,H是各条线段的中点时,四边形EFGH为平行四边形B.当E,F,G,H不是各条线段的中点时,四边形EFGH可以为平行四边形C.当E,F,G,H是各条线段的中点时,且AC＝BD,四边形EFGH为菱形D.当E,F,G,H不是各条线段的中点时,四边形EFGH不可能为菱形8. (2020•盐田区二模)如图,在正方形ABCD中,点M是AB上一动点,点E是CM的中点,AE 绕点E顺时针旋转90o得到EF,连接DE,DF.给出结论:①DE=EF;②∠CDF=45o;③=;④若正方形的边长为2,则点M在射线AB上运动时,CF有最小值2.其中结论正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④9. (2020•庆云县一模)如图,Rt△ABE中,∠B=90o,AB=BE,将△ABE绕点A逆时针旋转45o,得到△AHD,过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C,连接BH并延长交DC于点F,连接DE交BF 于点O.下列结论:①DE平分∠HDC;②DO=OE;③H是BF的中点;④BC-CF=2CE;⑤CD=HF,其中正确的有( )A.5个B.4个C.3个D.2个10. (2020·四川眉山中考)如图,正方形ABCD中,点F是BC边上一点,连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG.以下四个结论:①∠EAB=∠GAD;②△AFC∽△AGD;③2AE2=AH•AC;④DG⊥AC其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8道小题）11. (2021•济南)如图,正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上,则∠PAE＝.12. (2020•道里区二模)在平行四边形ABCD中,∠A=30o,AD=2,BD=,则平行四边形ABCD的面积为___.13. (2022春•西城区校级期中)如图,已知四边形ABCD满足AB＝CD＝1,AB⊥CD,E、F分别为AD和BC的中点,则EF＝.14. (2020·四川中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC,CF⊥BE,连接AE,G是AB的中点,连接GF,若AE＝4,则GF＝_____.15. (2020•温州模拟)如图,四边形ABCD,CEFG均为菱形,A F∠=∠,连结BE,EG,EG//BC,EB⊥BC,若sin∠EGD=,菱形ABCD的周长为12,则菱形CEFG的周长为__________.16. (2020•顺德区三模)如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边向外做正方形ABDE和正方形ACFG,连结CE、BG交于点P,连结AP和EG.在不添加任何辅助线和字母的前提下,写出四个不同类型的结论__________.17. (2020•安徽)在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A 的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究:(1)∠PAQ的大小为°;(2)当四边形APCD是平行四边形时,的值为.18. (2020·江苏连云港·中考真题)如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五形B1B2B3B4B5,且A3A4//B3B4,直线l经过B2、B3,则直线l与A1A2的夹角a=________ .三、解答题（本大题共6道小题）19. (2020秋•肇源县期末)如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH.求证:四边形EFGH是平行四边形.20. (2020春•秦淮区期末)如图,四边形ABCD是菱形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,连接EF、FG、GH、HE.求证:四边形EFGH是矩形.21. (2022·贵州铜仁)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接BD,点E在BD上,连接CE,若∠1=∠2,AB=ED.(1)求证:BD=CD.(2)若∠A=150°,∠BDC=2∠1,求∠DBC的度数.22. (2020春•阳西县期末)如图,在矩形ABCD中,AD＝6,DC＝8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H 分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH＝2,DG＝2.求证:四边形EFGH为正方形.23. (2020春•海陵区)如图,O为∠BAC内一点,E、F、G、H分别为AB,AC,OC,OB的中点.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)当AB＝AC,AO平分∠BAC时,求证:四边形EFGH为矩形.24. (2020年湖北省中考数学模拟题)如图1,AD∥BC,AB ⊥BC于B,∠DCB=75°,以CD为边的等边△DCE的另一顶点E在线段AB上．(1)填空:∠ADE=____;(2)求证:AB=BC;的值．(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°,求AEEC。
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备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题33四边形压轴综合问题一、解答题1．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角△DCG的平分线交于P点．试猜想AE 与EP的数量关系，并加以证明；(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．2．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=√3DF，∠当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；∠当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由．3．（2022·上海·中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE．(1)若AE=CE，∠证明ABCD为菱形；∠若AB=5，AE=3，求BD的长．(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=√2AE．若F在直线CE上，求AB的值．BC4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图∠，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将∠BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当∠BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图∠中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；=；(2)图∠中，AB=2，BC=3，则GHCE=．(3)当AB=m , BC=n时．GHCE(4)在（2）的条件下，连接图∠中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得∠ABC（如图∠)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将∠CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．5．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图∠，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图∠中AD=√2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C 落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F 重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∠∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．由折叠可知，∠BAF=12∠∠EFA=∠BFA=45°．∠AF=√2AB=AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)∠DAG的度数为________度，FG的值为_________；AFAB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图∠，设AB=a，(3)在图∠的条件下，点P在线段AF上，且AP=12则FQ+PQ的最小值为_________．（用含a的代数式表示）6．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM 的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运动时间为t秒．(1)点D到边AB的距离为__________；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．7．（2022·山东临沂·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．8．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求的值为多少；√2DG(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求：CE的值为多少；DG(3)AB=8√2，AG=√2AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当C，G，E三点共线时，2请直接写出DG的长度．9．（2022·广西·中考真题）已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6．(1)如图∠，若α=90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′,B′,D′，连接OD,OD′．判断OD与OD′有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图∠，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图∠，若α=45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大?请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．10．（2022·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=2√5,BC=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF．(1)如图1，求证：DF=√5DE；2(2)如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N 时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．11．（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．=m，点M在AD边上，且BA=BM，点E是线段AM上任意一点，如图，在□ABCD中，AN为BC边上的高，ADAN连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．(1)问题解决：=______；如图∠，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN(2)问题探究：如图∠，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；(3)拓展延伸：当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．12．（2022·辽宁营口·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，过点M作MN⊥CD且DM= MN，连接DN,BM,CN，点P，Q分别为BM,CN的中点，连接PQ．(1)证明：CM=2PQ；(2)将图1中的△DMN绕正方形ABCD的顶点D顺时针旋转α(0°<α<360°)．∠（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；∠若AB=10,DM=2√5，在△DMN绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段PQ的长．13．（2022·福建·中考真题）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的∠CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的∠CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度数．14．（2022·湖南永州·中考真题）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管．(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），满足∠AEB=∠CFD=120°，AE=BE=CF=DF，EF∥AD、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）15．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形ABCD 中，O 是边BC 上的一点．若△OAB ≌△OCD ，则点O 叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；(2)如图，在四边形ABCD 中，边BC 上的点O 是四边形ABCD 的“等形点”．已知CD =4√2，OA =5，BC =12，连接AC ，求AC 的长；(3)在四边形EFGH 中，EH //FG ．若边FG 上的点O 是四边形EFGH 的“等形点”，求OFOG 的值．16．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ∠MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ； (2)若EF BF ＝2，求ANND 的值； (3)若MN ∠BE ，求ANND 的值．17．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记△COD 的面积为S 1，△AOB 的面积为S 2．（1）问题解决：如图∠，若AB //CD ，求证：S 1S 2=OC⋅ODOA⋅OB（2）探索推广：如图∠，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图∠，在OA 上取一点E ，使OE =OC ，过点E 作EF ∥CD 交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA =56，求S1S2值．18．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE,CE,OE，且BE=CE．(1)如图1，求证：△BEO≌△CEO；(2)如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．19．（2022·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD=nAB(n>1)，点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．(1)【尝试初探】在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．(2)【深入探究】若n=2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE 的值．(3)【拓展延伸】连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）．20．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图∠、图∠是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图∠，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为_________；(2)【问题二】受图∠启发，兴趣小组画出了图∠：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；(3)【问题三】受图∠启发，兴趣小组画出了图∠：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP 的长度；若不存在，说明理由．21．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．∠若AE=3，求AG的长；2∠在满足∠的条件下，若EN=NC，求证：AM⊥BC；(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG=∠EFG+∠CEF，且HF=2GH，求EF的长．22．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．(1)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；(2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．∠证明FA=FP，并求出在（1）条件下AF的值；∠连接B′C，求△PCB′周长的最小值；∠如图2，BB′交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB′=2∠AEB′时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．23．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C 作CG⊥AB于G.利用面积证明：DE+DF=CG．(2)如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B′处，点G为折痕EF上一点，过点G 作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC=8，BE=3，求GM+GN的长．(3)如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且ABCD =AEDE，BC=√51，CD=3，BD=6，求ED+EA的长．24．（2022·河南·中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．∠如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；∠改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．。