“数值分析”课程教学中的“分而治之”思想
财经院校《数值分析》课程建设的几点思考
财经院校《数值分析》课程建设的几点思考[摘要]数值分析作为一门理论与实践结合的课程，不仅着眼于理论教学，更强调对知识的实际应用。
本文结合实际教学经验，从课堂教学、实验教学、软件教学和实践教学不同侧面对《数值分析》课程建设进行探析。
[关键词]数值分析；课程建设；MATLAB；EXCEL一、引言高校，无论是教学型大学，还是科研型大学，只要是学校就要以培养学生为己任，而培养学生的最重要的渠道，无疑是教学。
数值分析是大学数学系计算数学专业的主干课程，重点研究如何运用数值方法去处理实际问题。
人们学习数值分析有各种各样的原因：自然科学家和工程师把它当做一种手段、一种工具，借助于它去探究那些真正使他们感兴趣的东西：计算机科学家的态度则不同，他们更看重算法，致力于研究漂亮的算法及其与计算机构造的联系；数学家则遵循着数学中熟知的推理模式：公理→定理→证明→推论→……，而数值分析很难套用这一模式，这是许多数学专业的学生觉得数值分析缺乏魅力的深层原因。
专业的定位是办学的指导思想、是行动的指南，只有有了正确的定位才能采取正确的措施，培养出与社会相适应的合格人才。
笔者所在的财经类院校的学生，他们的学习特点不同于工科院校，他们需要解决的大部分问题是经济管理中的定量分析问题，因此在教学的过程中，笔者注意使教学内容与所在学校的定位相适应，本文以安徽财经大学《数值分析》课程建设为例对财经类高校数值分析课程建设进行了探析。
二、教学的几点思考1课堂教学数学系的数值分析课程一般分为三大方面来讲解：数值代数、数值逼近、微分方程的数值解。
和其它数学学科一样，面向数学系学生的数值分析课程，同样需要数学的诚实与严谨，所不同的是，数值分析的一个真正激动人心的特点，就在于它广泛运用多门数学学科的知识，如果一名数学系的学生，以为数值分析在逃避数学，用研究更“软”的科学去替代研究数学，那他必会惊讶的发现：以前学过的任何一门课程都没有像数值分析一样应用如此多种数学理论，从基本的线性代数和微积分，到泛函分析、微分拓扑、图论、非线性动力系统……，这个单子可以一直列下去，几乎所有的现代数学理论都对数值分析研究给予启发和帮助。
数值分析课程教学改革的若干举措
数值分析是研究各种数学问题计算方法的课程 ， 其研究 内容繁杂 ， 包括 函数逼近 、 非线性方程与方程 组 的数值解法 、数值微分与数值积分 、微分方程初值问题 的数值解法等 ，把数学理论与计算机技术解求法及理论 。随着计算机技术 的普及和发展 ，数值求解方法在生产实
１ 数值分析与计算机技术关系密切 随着计 算机 技术 的发 展 和完善 ，许 多领 域 的科学 研究 越来 越 离不 开计 算机 ，而数 值分 析与 计算 机 的联
系更是密切。它需要设计出合理可行 、能经得起误差检验 、有好的计算复杂性 的算法 ，然后通过计算机的
运行得到数值解 ，这是它不同于其他数学课程的显著特点 。在此 ，数值分析中的算法设计起到桥梁作用 。 它把该课程的理论基础与计算机技术紧密联系在一起 ，为得到数值结果起到重要的作用 。
１ ． １ 计算 结果 需要 进行误 差检 验
数值分析 主要研究算法设计原理 ，利用计算机得到较高精度的数值解 ，然后对结果进行误差分析 。误 差分 析是 一个 重要 而 复杂 的过程 ，而 对误 差进 行定 量分 析更 是一 个复 杂 的过程 ，通 常 只能 对数 值结 果 进行 定性 或可 靠性 分析 ，因此 ，算法 的设 计必 须有 坚实 的理 论基 础 ，具有 收敛 性 和数值 稳 定性 ，也 就是 说 能无 限逼近真实解 ，达到计算的精度要求 。而稳定性分析建立在相应的数学理论基础上 ，因此要求算法设计者
优化数值分析教学内容 、改进教学方法和手段 、激发和培养学生学习兴趣 、改进课程 的考核方式等 提高数值分析教学效果的举措 。 【 关键词】 数值分析 ；教学方法 ，教学效果 ；教学改革 【 中图分类号】 Ｇ ６ ４ ２ ． ０ 【 文献标识码】 Ａ 【 文章编号】 １ ０ ０ ８ — １ ７ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ １ ４ ８ ～ ０ ３
《数值分析》课程思政教学改革研究与实践
《数值分析》课程思政教学改革研究与实践
《数值分析》课程思政教学改革是大学数字学科发展历史上的重要抓手，旨在在和谐社会
背景下加强数字学科的理论思政内涵，有效提高师生素质。
经过多年的改革和实践，《数值分析》课程思政教学在学校取得了卓越的成绩。
首先，在课程思政教学的设置上，学校根据全国的思政教学要求，积极完善课程教材，重
点传授党史、现代政治、思想道德修养和法律知识等课程，保证学生能够接受良好的政治
思想观念。
其次，在讲授内容上，注重通过灵活多样的教学手段，引导学生能够健康地发
展其科学素养，能够从数值分析课程中学习到更精深的思政理论精神。
最后，在教师本身
的素质上，学校不断提升教师的思政教学能力，通过不断地进行专业培训及职业道德讲座，以增强教师思政教学礼仪意识。
以上是学校在《数值分析》课程思政教学改革的一些政策措施，学校在此基础上，以强大
的积极性和执行力，不断加强教学管理，推进课程思政教学的平稳发展，实现准确高效的
教育效果。
未来，学校将继续坚持以学生为中心，以思政教育为目标，践行创新发展，继续深化《数值分析》课程思政教学改革。
(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点
计算方法教案新疆医科大学数学教研室张利萍一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时544、学分：45、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》二、课程的目的与任务：计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。
其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。
通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。
数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。
数值计算中应注意的一些问题。
3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。
学会选用相对较好的数值计算方法。
A 算法B 误差第二讲典型例题第二章线性方程组的直接法（4学时）第三讲1．教学内容：线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。
2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想在数值分析学习的过程中，我深刻体会到了这门学科的重要性和广泛应用的范围。
通过学习数值分析，我不仅加深了对数学理论的理解，还掌握了一些重要的数值计算方法和算法。
在此过程中，我收获了很多，也产生了许多感想。
首先，数值分析教给我了科学问题解决的方法。
在数值计算中，我们通常无法通过简单的代数运算来求解问题，而是需要借助计算机和数值算法来逼近解。
这种方法可以应用于很多实际问题，例如求解线性方程组、积分、微分方程等。
通过数值分析课程的学习，我掌握了很多常见的数值计算方法，例如高斯消元法、插值方法、数值积分等。
这些方法在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们解决许多实际问题，提高计算效率和精度。
其次，数值分析也教会了我如何分析和估计误差。
在数值计算中，误差是无法避免的，而且可能会在计算过程中不断累积。
因此，我们需要了解误差的来源，能够进行误差估计和控制。
通过学习数值分析，我学会了如何使用泰勒展开式、理解截断误差和舍入误差等概念，同时也学会了如何使用残差计算和误差估计方法。
这对于判断数值结果的可靠性和计算效果的好坏非常重要，能够帮助我们找到优化方法和改进方案。
另外，数值分析还教会了我如何进行数值模拟和数据处理。
在实际工程和科学研究中，常常需要通过数值模拟来研究分析问题。
通过数值分析的学习，我学会了如何建立数学模型、选择合适的数值方法和算法来模拟求解问题，并能够对模拟结果进行合理的处理和分析。
这对于科学研究和工程设计都非常有价值，能够提高研究效率和解决复杂问题的能力。
最后，数值分析还培养了我一种严谨的科学态度和问题解决的能力。
在数值计算中，一个细微的误差可能会导致完全不同的结果，因此需要我们对问题进行仔细的分析，并保持谨慎的态度。
通过编程实现数值算法，我学会了如何调试代码和检查问题，发现解决bug的方法。
这培养了我的逻辑思维和问题解决能力，也增强了我对科学研究和工程实践的兴趣和热情。
综上所述，通过数值分析的学习，我不仅掌握了一些重要的数值计算方法和算法，还学会了科学问题解决的方法和误差估计的技巧。
数学分析教学中应培养的几种思想与方法
数学分析教学中应培养的几种思想与方法数学分析是一门深奥而又基础的学科，它涉及到许多高度抽象的概念和理论，需要学生具备扎实的数学知识和优秀的数学思维能力。
因此，在数学分析教学中，应该注重培养学生的思想与方法，帮助他们掌握分析思维方法，开阔数学视野，提高数学分析能力。
下面，本文将从几个方面探讨数学分析教学中应培养的思想与方法。
一、自觉运用抽象思维方法数学分析作为一门高度抽象的学科，要求学生具备自觉运用抽象思维方法的能力。
学生应该能够看到问题本质，发现问题中的内在联系和普遍规律，从而将其抽象为数学概念和定理。
因此，对于数学分析的教学，应该注重培养学生的抽象思维能力，让他们从具体的问题出发，观察问题的特性，找到规律，进而抽象出概念和定理，从而深入理解数学分析的内容。
这种思维能力的培养需要教师注重引导和训练，使学生逐步掌握这种思维方法。
二、注重建立数学模型数学分析的核心问题是建立数学模型，从而研究模型中的问题。
因此，在数学分析教学中，应该注重培养学生的建模能力，让他们能够将生活实际中的问题抽象为数学模型。
在分析模型中的问题时，要求学生善于分析问题，发现实际问题的本质，并由此设计出一个合适的数学模型，从而得到问题的解决方法。
因此，把实际问题转化为数学模型的能力，是培养学生数学思维能力的重要途径，这需要大量实际问题的练习和引导。
三、注重理论联系实际理论联系实际是数学分析教学的关键之一。
学生不应该只注重理论，而应该将理论与实际相结合，就像慕容复得到的太极图那样，理论和实践相互依存，相互支持。
在教学中，应该注重通过具体问题的实际引导，将理论的其解释与实际结合起来，让学生感受到不同数学概念的应用背景，从而深入理解数学分析的重要性和实用性。
此外，对实际问题和理论问题的联系进行深入探究，是培养学生应用分析方法的关键方法。
四、注重建设数学分析知识网络数学分析是一门内容丰富、知识繁杂的学科，它的各个概念和定理之间存在复杂的联系，需要学生建立数学分析知识网络。
《数值分析》教学大纲
《数值代数》教学大纲(学时50+计算实习学时16) 一、课程简述数值代数课程在本科生阶段“数学分析”和“高等代数”的基础上，进一步深入学习和理解与实际应用密切相关的矩阵的理论知识与数值算法。
“数值线性代数”是信息与计算科学、数学与应用数学专业的必修课程，讲述矩阵计算的基础知识，求解线性方程组的直接方法和古典迭代法，最小二乘问题的数值解法，矩阵特征值问题的数值算法，同时做到理论与实践相结合，设计上机实验题目，依托学院的机房开展上机实验，培养学生的实际动手能力，能够利用C++语言或MATLAB语言编写程序。
二、本科相关课程数学分析、高等代数三、课程内容、基本要求与学时分配该课程的上课时间分为两部分：课堂教学及上机实验，在课堂教学方面，要求学习并掌握以下内容：1．范数、稳定性及敏度分析 6学时主要包括矩阵与向量的范数、矩阵三种分解（Jordan分解、Schur分解、奇异值分解）和对称阵的特征分解、两种正交变化（Householder变换、Givens变换）、浮点运算、问题的条件及算法的稳定性。
2．求解线性方程组的直接法 8学时介绍三角形方程组的数值解法、（带选主元策略）Gauss消去法、特殊矩阵的三角分解、Gauss消去法的误差分析及迭代改进.3．求解线性方程组的古典迭代法 8学时介绍迭代法的基础知识、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法及其收敛性定理以及各种迭代法的加速.4．Krylov子空间迭代法 6学时最速下降法、共轭梯度法、GMRES及其收敛性5．特征值问题的计算 12学时主要介绍幂法与反幂法，Rayleigh商迭代，同时迭代法，上Hessenberg化，QR算法与双重步位移的隐式QR算法，计算对称特征值问题的算法主要有：Jacobi迭代，二分法，分而治之法，对称QR算法等。
6．最小二乘问题 6学时Household变换、Givens变换、QR分解、正则化方法7. 奇异值分解 4学时奇异值分解算法、收敛性定理在上机实验方面，要求学习并掌握以下内容：1．MATLAB或C++基础 4学时介绍MATLAB或C++的一些基本知识，重点掌握一些基本的操作命令，为程序的编写打下一定的基础.2．主要算法的程序实现及数值实验 12学时通过实例讲述如何利用C++语言及MATLAB语言将数值算法具体实现.设计与课程内容相关的具体实际问题，指导学生利用上述两种编程语言实现。
《数值分析》申报院级精品课程
《数值分析》申报院级精品课程自评报告课程名称：数值分析单位：天津工程师范学院数理与信息科学系时间：2008-3-12《数值分析》课程自评报告一、教学改革1.工作基础《数值分析》是数学类专业（如信息与计算专业、数学与应用数学专业）的专业课。
数值分析是数学的一个分支，但它又不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论。
随着计算机技术的发展和科学技术的进步,科学与工程计算(简称科学计算)的应用范围已扩大到许多的学科领域,已经形成了一些边缘学科。
例如,计算物理、计算力学、计算化学等。
目前，实验、理论和计算已经成为了人们进行科学活动的三大方法。
对从事工程与科学技术工作的人员，学习和掌握《数值分析》（即《计算方法》）是非常必要的。
部分学校的一些工科专业硕士（博士）生入学考试含《数值分析》课程，几乎所有理工科院校硕士研究生都开设了《数值分析》课程，所以该课程的建设还可以很好地推动以后的研究生教学。
由于《数值分析》课程与计算机的密切关系及该课程的特殊性，该课程的建设不仅使数学类专业学生受益，还可使学校大面积的工科专业学生受益。
数理系领导高度重视数学分析课程的教学改革和课程建设，在教学计划中确保《数值分析》课时，由原来的64课时增加到72课时，支持课程体系改革。
在教学质量管理上，认真贯彻落实教育[2001]4、5号文件、天津市教委有关文件及学院“21世纪首届教学工作会议”有关文件精神，严格把关。
按照培养复合型创新人才的时代要求，大力加强数学实践教学环节，自2001年开始招生起就将《数学实验》、《数值分析课程设计》课程作为必修课正式纳入教学计划。
在硬件建设方面给予大力支持，“十五”期间，投资50万建立数学实验室，实验室面积120 ，现有计算机50台，服务器一台，与校园网相联,极大的方便了学生的使用和学习。
系每年拨一定经费用于本门课程资料扩充和建设，现共有藏书1000余册，基本可以满足教师和学生的用书需要。
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“数值分析”课程教学中的“分而治之”思想作者：马俊杰来源：《科技风》2022年第17期摘要：新时代全面育人的高等教育对课程教学提出了新的要求，“数值分析”作为数学专业及理工科的重要基础课程，其课程建设对学生的全面培养具有关键作用，通过总结教学内容中的“分而治之”思想，本文对“数值分析”课程教学改革进行探索。
关键词：数值分析;教学改革;教学内容;分而治之中图分类号：G642文献标识码：A一、“数值分析”课程改革的意义与现状全国高校思想政治工作会议上强调“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面”“各门课程都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协调效应”。
基于全面育人的课程改革是高等教育面临的重要问题，也是高等教育发展的必然[1]。
“数值分析”作为数学以及理工科专业的重要课程，主要面向高年级本科生以及低年级研究生开设。
课程内容一般包含微积分、非线性方程、线性方程组、特征值和特征向量、微分方程初值问题、微分方程边值问题等，需要高等数学、线性代数、常微分方程等前序课程[2]。
因此，“数值分析”的教学内容覆盖面较大，难度也较高。
同时，由于它包含了多门数学类课程，在“数值分析”教学中融入思政教育具有更丰富的内涵，也更有利于学生的全面发展。
“数值分析”课程教学侧重数学问题的数值计算方法，是连接计算机与模型问题的重要纽带，可以培养学生结合抽象思维与实际行动的能力。
自上世纪80年代全国高校普遍开设这门课程以来，“数值分析”的课程改革已经取得了许多成绩。
例如，大量实验课程的设计以及引入丰富了教学内容，并使得教学过程更加具象，加深了学生对知识点的理解[3];通过针对专业区分选取教学体系，兼顾了具有不同数学基础的学生的学习进度[4];通过引入学科前沿，使得人才培养更加适应社会的发展需求[5]。
但是仍需注意的是，“数值分析”教学内容过于烦琐，在大多数学校这门课程的课时量比较有限，教学过程欠缺“可视化”、课程考核不合理等问题仍是课程教学面临的重要问题。
因此，如何在教学任务紧张、教学内容复杂的情况下融入思想教育实现全面育人是一个重要的课题。
事实上，全面育人与传统教学内容不是相互排斥的两个个体，而是相互促进，相辅相成的。
以“数值分析”为例，由于课程教学过程中不可避免大量烦琐的公式推导，学生很容易产生厌学情绪[6]。
如果可以合理引入思想教育提高学生的学习积极性，不但有利于课堂教学的开展，而且可以提升教与学的效率。
当前“数值分析”课程改革主要关注如何在专业知识的学习过程中融入思政元素，强调学与思的巧妙结合。
例如，通过短片向学生介绍使用课程内容解决实际问题的案例，宣传科技工作者在第一线的感人事迹，增强学生的自豪感;通过结合数学史与数学文化，将我国古代数学的重大成就讲授给学生，例如秦九韶算法，进而培养学生的文化自信[7]。
但是，“数值分析”课程不仅具有内容丰富的特点，而且包含许多算法构造思想。
本文以“分而治之”为落脚点，分析这种思想与辩证唯物主义的关系，培养学生树立正确的辩证唯物主义和掌握科学的方法论，并总结教学过程中“分而治之”的应用。
二、“分而治之”思想与课程改革思路“分而治之”思想是算法设计的一种技术，即先将复杂问题分解成数个小问题，针对每个小问题设计算法，进而组装成原复杂问题的解。
这种思想是辩证唯物主义中“具体问题具体分析”这一方法论在算法设计领域的体现。
在“数值分析”教学中注重总结算法设计的“分而治之”思想，建立它与辩证唯物主义、建设中国特色社会主义伟大成就的联系，不仅可以增强学生的爱国热情，而且可以提高学生对算法设计的认识。
在“数值分析”教学中融合算法设计思想需要做到以下几点。
第一，组建“数值分析”教学团队，增强教师全面育人意识，提高教师全面育人水平。
对于专业课教师，全面育人仍是一个较为陌生的课题。
主要原因在于专业课教师在成长过程中将大部分精力都投入科学研究、教材教法等方面，缺乏全面育人教法的培训。
组建教学团队的优势是可以通过集体学习的方式使得教师在最短时间成长为全面育人方面的专家。
第二，正确处理课程教学与全面育人的关系。
课程教学是教师的主要任务，只有完成大纲要求的教学内容，才能真正实现人才培养的目标。
人才的成长应该是全方位的，而不是机械化的，仅仅学习教材中固定知识点的人才不符合当今社会的发展。
只有通过全面育人加强学生思维、思想的教育，才能帮助学生成长为社会需要的人才。
另外，设计合理的全面育人内容有助于提高学生的学习积极性，提升课程教学效率，进而有效地解决“数值分析”课程内容多、课时少的问题。
第三，创建全面育人平台，结合线上线下教学夯实全面育人基础。
数学类课程具有教学内容抽象、知识结构严谨的特点，对于普通高校的学生，通过自学掌握大纲知识点的难度很大。
因此，数学类课程教学改革的重点集中在提高知识传递效率、准确性以及借助现代可视化工具将抽象概念具象化。
但是，应该注意的是学生通过课下自学的方式达到培养目标仍是十分困难的，而全面育人内容更加贴近生活生产实践，更加具体，从而更有利于发挥课外学习的优势。
通过建立系统性的线上全面育人材料，结合线下教学内容，可以充分发挥学生的主观能动性，提高教与学的效率。
第四，发挥先进计算平台优势，增强教学内容可视化。
建设基于多媒体技术的智慧教室，将Matlab数值实验案例引入课堂教学，发挥与传统教学互补的优势，不仅可以激发学生学习兴趣，还可以提升教学效果。
例如，在讲解最佳多项式逼近问题时，可以借助Matlab中的Chebfun工具箱，实现伯恩斯坦多项式的快速计算。
通过讲解伯恩斯坦多项式的生成代碼，结合最佳逼近数值结果，可以激发学生的学习兴趣，进而为全面育人提供讲授空间。
第五，强化数值案例设计，提升学生主观能动性。
“数值分析”作为连接数学模型与实际问题的纽带，可以提高学生解决实际问题的能力。
因此在实验案例的选取过程中，应该更多地倾向于与实际问题相关的模型，例如德拜温度模型、棒球运动轨道模型、光学散射积分问题、化学热反应模型、传染病模型等。
模型的合理选择可以使学生产生对“数值分析”教学内容的兴趣。
通过对实验教学环节的重视，可以加深学生对课堂教学内容的理解，为“数值分析”全面育人提供了肥沃的土壤。
三、“分而治之”思想教学总结拉格朗日插值既是数值逼近的重要内容，也是数值积分、数值微分、微分方程数值等的基础[8]。
一般地，对于插值节点x0…x n以及函数值y0…y n，可以找到不超过n次的多项式p n （x）使得p n（x i）=y i，j=0…n。
在实际应用中，插值节点一般选取为等距节点。
对于函数f （x）=sin（x），分别取n=5和n=50，可以计算如图1中的插值多项式。
从图中看出当插值节点增加时，拉格朗日插值函数对原函数的逼近效果是变好的。
但是，当原函数变为Runge函数时，重复同样的实验结果大不相同（见图2）。
通过实验结果的对比，可以使得学生更加具体地理解拉格朗日插值法的局限性。
任何算法的设计都是在已有方法的基础上针对实际计算中遇到的问题不断完善而得到的。
在遇到拉格朗日插值法无法逼近龙格函数这一问题时，可以适时地引入“分而治之”思想，并结合唯物辩证法中的“具体问题具体分析”对学生进行讲解。
具体到本案例，“分而治之”即将原区间上的插值问题分割成小区间上的插值问题。
在小区间上，可以仅仅使用低次插值，例如线性插值，然后将所有低次插值函数连接成大区间上的插值函数，即得到图3。
可以看出，将拉格朗日插值结合“分而治之”思想可以很恰当地解决龙格函数的插值问题。
在定积分的数值计算中，也常使用“分而治之”思想。
牛顿—科特斯公式是计算数值积分的常用工具[9]。
考虑使用梯形公式计算定积分：利用Matlab可得它的近似值为0.099916708323414，它的真實值是0.099944461108277，绝对误差仅仅为0000028。
所以梯形公式的计算结果是十分精确的。
当积分区间延长为[0，1]时，使用梯形公式可得近似值为0092073549240395，它的真实值是0.946083070367183，绝对误差为0.85401。
所以梯形公式的计算结果是不可靠的。
在此可引入“分而治之”思想，先将区间[0，1]划分为10个小区间[0，0.1]，[0.1，0.2]，[0.2，0.3]，[0.3，0.4]，[0.4，0.5]，[0.5，06]，[0.6，0.7]，[0.7，0.8]，[0.8，0.9]，[0.9，1]。
对每个小区间使用梯形公式，然后利用积分的可加性将计算结果组合在一起即可得到。
相应计算结果为0.945832071866905，绝对误差为0.00025。
计算精度比直接使用梯形公式提高了很多，也体现了“分而治之”思想的优越性。
“分而治之”思想在矩阵特征值计算、稀疏线性系统的快速求解、常微分方程初值问题数值解等方面也有重要应用，在遇到复杂系统或者多尺度问题时，根据问题的不同部分的不同性质设计针对性的算法，是解决实际问题的重要技术。
结语“分而治之”思想是数值算法设计的重要技术，由这一思想引出大量经典数值方法，例如分段低次多项式插值、三次样条函数插值、复化牛顿—科特斯公式等[10-12]。
在“数值分析”的教学实践中，注重总结算法设计思想并将其融入课堂教学，不仅可以提高教学效率，而且有助于实现全面育人的目标。
参考文献：[1]邵新慧，冯男，史大涛.基于课程思政的数值分析教学探究[J].辽宁教育行政学院学报，2020（5）：27-29.[2]李小林.关于数值计算方法课程教学改革的探讨[J].重庆文理学院学报（自然科学版），2010，29（2）：85-87.[3]郭培昌，高世臣，廉海荣，耿凤杰.研究生“数值分析”课程教学研究初探[J].数学学习与严谨，2021（29）：26-27.[4]王海军，张瑞芳.数值分析课程教学改革与实践研究[J].高师理科学刊，2018（38）：58-60+83.[5]刘玉飞，许德章，梁利东，于华，赵敏.基于OBE理念的理工科专业《计算方法》课程教学改革探索与实践[J].教育教学论坛，2018（9）：135-127.[6]李玉叶，张晓丽，杨永霞.数值分析教学之探讨——赤峰学院《数值分析》教学的心得体会[J].赤峰学院学报（自然科学版），2016（32）：15-16.[7]聂存云，陈晓玲，杨继明，颜卫人.“问题驱动式”教学法在“数值分析”课程教学中的应用与研究——以插值法为例[J].湖南工程学院学报（社会科学版），2016（26）：100-104.[8]杜廷松.关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学，2007（23）：8-15.[9]李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第4版）[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.[10]邹乐，吴志泽，谢进，檀明，王晓峰.基于差商的插值法拓展思路与教学方法研究[J].黑龙江工业学院学报（综合版），2021（21）：12-21.[11]吴静，任水利，孙宗岐，杨阳.基于MATLAB软件的《计算方法》课程教学改革与实践探索[J].科技风，2021（22）：34-36.[12]胡鹏.高数教学中数值积分公式的介绍与应用[J].大学教育，2015（06）：69-70.作者简介：马俊杰（1986—），男，汉族，山东曲阜人，博士，贵州大学数学与统计学院副教授，研究方向：计算数学。