函数项级数收敛性
函数项级数收敛性
函数项级数是指由函数项按照一定规则排列组成的级数。
在研究级
数的收敛性时，我们通常关注的是序列的部分和序列，即部分和序列
的极限是否存在。
在本文中，我们将介绍函数项级数的收敛性及其相
关概念。
1. 函数项级数的定义
考虑一个函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$，其中$\displaystyle a_{n} ( x)$为关于变量$\displaystyle x$的函数。
对于
任意固定的$\displaystyle x$，元素$\displaystyle a_{n} ( x)$称为级数的
通项。
部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$定义为$\displaystyle S_{n} ( x) =\sum _{k=1}^{n} a_{k} ( x)$。
2. 函数项级数的收敛性
函数项级数的收敛性与序列的收敛性密切相关。
函数项级数
$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle
x$收敛，即当$\displaystyle n$趋于无穷时，部分和序列$\displaystyle
S_{n} ( x)$的极限存在，记为$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x) =S( x)$。
如果对于所有$\displaystyle x$都有$\displaystyle S( x) \neq
\infty ,S( x) \neq -\infty$，则称级数在$\displaystyle x$上绝对收敛。
3. 收敛性判定准则
对于函数项级数的收敛性判定，有以下几个准则:
3.1 Cauchy准则
函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle x$处收敛的充分必要条件是，对于任意正数$\displaystyle \varepsilon$，存在一个正整数$\displaystyle N$，使得当$\displaystyle m,n>N$时，$\displaystyle \left| \sum _{k=n}^{n+m} a_{k} ( x)\right|
<\varepsilon$。
简言之，就是级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$的部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$是Cauchy序列。
3.2 Dirichlet判别法
如果函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)b_{n} ( x)$满足以下两个条件:
(1) $\displaystyle a_{n} ( x)$是单调趋于0的函数的列；
(2) $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } b_{n} ( x)$在$\displaystyle
x$上绝对收敛，
则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)b_{n} ( x)$在$\displaystyle x$上一致收敛。
3.3 Abel判别法
如果函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)b_{n} ( x)$满足以下两个条件:
(1) $\displaystyle a_{n} ( x)$在$\displaystyle x$上一致有界；
(2) $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } b_{n} ( x)$在$\displaystyle
x$上单调有界，
则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)b_{n}
( x)$在$\displaystyle x$上一致收敛。
4. 常见的函数项级数
常见的函数项级数包括泰勒级数、幂级数、傅里叶级数等。
这些级
数都有其特定的收敛域和收敛性质，可以通过使用收敛性判定准则来
确定级数的收敛性。
5. 应用领域
函数项级数在数学分析、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们常用幂级数来逼近曲线和曲面，实现
图像的平滑和变形。
总结：
函数项级数是由函数项按照一定规则排列组成的级数。
函数项级数
的收敛性与序列的收敛性密切相关。
常见的函数项级数包括泰勒级数、幂级数、傅里叶级数等。
函数项级数在数学分析、物理学、工程学等
领域具有广泛的应用。
在研究函数项级数的收敛性时，我们可以采用Cauchy准则、Dirichlet判别法、Abel判别法等准则来判定其收敛性。
通过对函数项级数的研究，我们可以深入理解级数的性质和应用。
数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性
x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0
(整理)函数项级数的一致收敛性.
第三节 函数项级数的一致收敛性本节将讨论函数项级数有关性质。
定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为)(1x u +)(2x u +……+)(x u n +……为E 上的函数项级数，简记为∑∞=1)(n nx u。
其中)(x u n 称为第n 项.)(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞=kn n x u )(. 记号中n 可以用其它字母代之.同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。
定义 2 设∑∞=1)(n nx u是集合E 上的函数项级数，记∑==ni i n x u x S 1)()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ，它称为级数∑∞=1)(n nx u的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞=1)(n nx u的部分和函数列。
如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞=1)(n nx u在0x 点收敛或称0x 为该级数的收敛点。
如果|)(|1∑∞=n nx u在0x 点收敛，我们称∑∞=1)(n n x u 在0x 点绝对收敛。
非常容易证明绝对收敛一定收敛。
{})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。
如果{})(x S n 在0x 点不收敛，我们说∑∞=1)(n nx u在0x 点发散。
如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n nx u在D 上点态收敛于)(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。
)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前n 项部分和的余项.{})(x R n 称为该级数的余项函数列.如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛于)(x S ，或∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n n x u 在D 上内闭一致收敛.用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞=1)(n nx u是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。
函数项级数一致收敛性判别法归纳
函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一定义引言设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作()()x f x f n→→()∞→n ，Dx ∈设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式()()(),21 ++++x u x u x u n Ex ∈)1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞=1或()x u n ∑；称()()x u x S nk k n ∑==1,E x ∈, ,2,1=n )2(为函数项级数)1(的部分和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞==1)()(n n x u x S ，即D x x S x S n n ∈=∞→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．定义1]1[设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义．定义2]1[设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是定义在同一数集D 上，若对于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．定义3设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞==1)()(n n x u x S ，部分和函数列∑==nk n n x u x S 1)()(，若0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，则函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．例1试证∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 上一致收敛，但在)1,1(-内不一致收敛．证明显然∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1．对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有ε<-=--+=∑xxx xx n nk k 1111成立,只要当N n >时,恒有ε<-+rr n 11成立,只要当N n >时,恒有()rr n lg 1lg 1ε->+成立,只要当N n >时，恒有()rr n lg 1lg ε->成立，只要取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依定义，∑∞=1n nx 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1．存在e o 2=ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,121-∈++=N N x o ，使ε2111111111>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k oN N x x x x xo o成立，依定义，∑∞=1n n x 在)1,1(-内不一致收敛．二函数项级数一致收敛性的判定方法定理1Cauchy 一致收敛准则]1[函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21或()ε<∑++=pn n k kx u 1特别地，当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D上一致收敛于0．定理2]2[函数项级数()x u n n ∑∞=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∑=∞→D x x S x u n k n n ．定理3放大法]3[(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,和函数)(x S ,都是定义在同一数集D 上,对于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得对于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且0lim =∞→n n a ,则称函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S .证明因0lim =∞→n n a ,故对任给的0>ε,+∈∃N N (与x 无关),使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()ε<≤-=n n n a x S x S x R .由定义2得函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于)(x S .注:用放大法判定函数项级数()∑x u n 一致收敛性时,需要知道)(x S .定理4确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是()()()0sup lim sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n 证明充分性设(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,)(x S 为和函数,则有()()()x S x s x R n n -=，并令()x R a n Dx n ∈=sup ，而()0sup lim =∈∞→x R n Dx n ，即0lim 0=→n n a ,由定理3(放大法)得知函数项级数()∑x u n 一致收敛于函数)(x S .必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．定理5若()∑x u n 在区间D 上收敛,则()∑x u n 在D 上一致收敛的充要条件是{}D x n ⊂∀,有()0lim =∞→x R n n .证明充分性假设()∑x u n 在D 上不一致收敛,则0>∃o ε,{}D x n ⊂∃,使得()()o n x S x S ε≥-,如此得到{}D x n ⊂,但()0lim ≠∞→n n n x R ,这与已知条件矛盾.必要性因已知()∑x u n 在D 上一致收敛,所以N ∃>∀,0ε,使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()ε<-x S x S n ,对于{}D x n ⊂∀,则有()()ε<-n n n x S x S ,即()ε<n n x R ,得()0lim =∞→n n n x R .例2设()0≥x u n ， 2,1=n ，在[]b a ,上连续，又()x u n ∑在[]b a ,收敛于连续函数()x f ，则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛于()x f ．证明已知()()()x S x f x R n n -=（其中()()∑==nk k n x u x S 1）是单调递减且趋于0，所以[]b a x N n ,,∈∀∈∀有()0≥x R n ，且[]ε∀∈∀,,0b a x >0,()εε,),(00,0x x N n N ≥>∃时,有()ε<≤00x R n .将n 固定,令()ε,00x N N n ==,因为()()()x S x f x R n n -=在[]b a ,上连续,既然()ε<x R n ,所以00>∃δ,当()0000,δδ+-∈x x x 时,()ε<0x R n .从而0N n >时更有()ε<x R n 即()ε<x R n ,仅当()0000,δδ+-∈x x x .如上所述,对每个点[]b a x ,∈λ,可找到相应的领域()λλλλδδ+-x x ,及相应的λN ,使得λN n >时,对∈x ()λλλλδδ+-x x ,恒有()ε<x R n .如此{()λλλλδδ+-x x ,:[]b a x ,∈λ}构成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{()()r r r r x x x x δδδδ+-+-,,,1111 },于是[]b a x ,∈∀,总{}r i ,2,1∈使得i i i i x x x δδ+-∈,(),取{}r N N N N ,,max 21=,那么N n >时,恒有()ε<x R n ,由定理5得()x u n∑在[]b a ,一致收敛于()x f .定理6M 判别法或优先级判别法或Weierstrass 判别法]1[设函数项级数()x u n ∑定义在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,若对一切D x ∈,有2,1,)(=≤n M x u n x )3(则函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明由假设正项级数()x u n ∑收敛,根据函数项级数的Cauchy 准则,∀0>ε,∃某正整数N ,使得当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1根据函数项级数一致收敛的Cauchy 准则,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:若能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,则()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3函数项级数∑∑22cos ,sin nnxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin n n nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n是收敛的.推论2设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得对于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,则()n n a k ∑∞=+10ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛,故当n a =pn 1时,有推论2'设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,若存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,则函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例4证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明对于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim2=+++∞→n x n x n n 由的推论2与推论2'得,∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理7比较判别法[]4两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,若N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()x u n∑区间I 绝对一致收敛.证明已知()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准则知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理8[]4若有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,则函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数).又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c ∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc 从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,若级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n =+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数()∑∞=1n n x u 在区间I 绝对一致收敛.推论4[]4有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,则函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,由比较判法定理7知,函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例5若函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,则函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,则级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,由定理8知,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b nnnnnnn∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论5设函数项级数()∑x u n 定义在数集]2[上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，若对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.定理9逼近法[]5若对任意的自然数n 和D x ∈,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤成立,又()x v n ∑和()x w n ∑都在数集D 上一致收敛于)(x S ,则()x u n ∑也在D 上一致收敛于)(x S .证明设()()x v x V nk k n ∑==1，()()x u x U nk k n ∑==1，()()x w x W nk k n ∑==1因为D x N n ∈∀∈∀+,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤,所以D x N n ∈∀∈∀+,有()()()x W x U x V n n n ≤≤.又()x v n ∑,()x w n ∑在区间D 上一致收敛于)(x S ,即+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()εε+<<-x S x V x S n 及()()()εε+<<-x S x W x S n ；所以+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()()()εε+<≤≤<-x S x W x U x V x S n n n .由函数项级数一致收敛定义知,()x u n n∑∞=1在D 上也一致收敛于)(x S .定理10由有性质判别若()x u n ∑和()x v n ∑在点集D 上一致收敛，则[]∑±)()(x v x u n n 在D 上也一致收敛证明由()x u n ∑和()x v n ∑均在点集D 上一致收敛知，对N ∃>∀,0ε（自然数），使得当N n ≥时，对∀自然数p 和x 有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21()()ε<++++++x v x v x v p n n n 21)(所以()()()()()())()()(2211x v x u x v x u x v x u p n p n n n n n ++++++++++++ ()()()+++≤+++x u x u x u p n n n 21()()x v x v x v p n n n ++++++ 21)(εεε2=+<由函数项级数一致收敛的Cauchy 收敛准则知，[]∑±)()(x v x u n n 在D 上也一致收敛定理11Dini 定理设()()()() ,2,10,0=≤≥n x u x u n n 在[]b a D ,=上连续，又()x u n ∑在[]b a ,上收敛于连续函数，则函数项级数()x u n ∑在[]b a ,一致收敛．使用步骤：⑴判定()0≥x u n 且连续；⑵求和函数)(x S ；⑶判定求和函数)(x S 在[]b a ,上连续．Abel 引理定理12Abel 判别法[]1证明推论6设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，则()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.证明因为()x g 在D 上有界,所以,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n ∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u p n nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式表明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g pn nk k p n nk k .由Cauchy 准则知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理13Dirichlet 判别法[]1设(i )()x u n ∑的部分和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调;(ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,则级数和()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.证明充分性由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n ,时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,得到()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；所以()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++ 于是由一致收敛的Cauchy 准则级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,这里不再赘述.例6若数列{}n a 单调且收敛于0,则级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x x n kx nk 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,所以级数∑nx cos 的部分和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()nnnax v nx x u ==,cos ,则由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理14积分判别法[]4设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数,()x u n∑是定义在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,如果()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,若含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,则()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当N n >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn ndy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,所以()x u n ∑在数集D 上一致收敛.例7设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0连续.证明首先对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,我们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yx e y e y y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,并且无穷级数dy ey y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,所以含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的,由定理14知,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得,()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 连续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也连续,所以()x S 在0x 连续,由0x 在()+∞,0的任意性可知,()x S 在()+∞,0上连续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者连续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性定义及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如连续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,我们可利用积分的便利条件判断某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15函数列(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,则级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.则()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,则()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.定理16[]6设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且满足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,则函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明对0>∀ε,因为b a ,为有限数,所以存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,我们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时,对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j jxx u ()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u ()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj jpn j jxx u u ()ε12+≤M 因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使得当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理17设()x u nn ∑为定义在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每个()x u n 在上一致可微,()x u nn∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn∑.定理18设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上连续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n∑∞=1在点0x处收敛;()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,则函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛,()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.根据拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k kkx u x u 11≤()∑+=+=p n k n k ku 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.引理2若函数项级数()x u n ∑在[]b a ,上收敛，()()N n b x u n n bx ∈=-→lim 则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛的必要条件是()x b n n ∑∞=1收敛.证明由函数项级数的柯西收敛准则有，[]b a x N p N n N N ,,,,,0∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε，有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21.()4又()n n bx b x u N n =∈∀-→+lim ,,在(4)的两端取极限,令-→b x 得ε≤+++++p n n n b b b 21,于是由Cauchy 收敛准则知()x b n n ∑∞=1收敛.（①若()n n x b x u b =+∞=+∞→lim ,,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的必要条件是()x b n ∑收敛.②若(){}x u n 在[)b a ,连续,则()x u n ∑在[)b a ,一致收敛()b u n ∑⇒收敛.)定理19利用内闭一致收敛判别[]7若函数项级数()x u n ∑在[)b a ,内闭一致收敛,则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛⇔{}[)b x b a x n n n =⊂∀+∞→lim ,,,级数()n n x u ∑收敛.证明必要性,充分性用反正法,这里不再赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能得到函数级数在区间一致收敛的.例8证明∑∞=1sin n n nx在()π2,0内闭一致收敛,且在端点收敛,但在()π2,0不一致收敛.证明∑<<∀nx sin ,0,πεε的部分和函数列(){}x S n 在[]επε-2,一致有界,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1在[]επε-2,一致收敛于0,于是由Dirichlet 判别法知,∑n nx sin 在[]επε-2,一致收敛,从而在()π2,0内闭一致收敛.当0=x 或π2时,级数显然收敛.取()+∈∈=N n n x n ,2,02ππ,则0lim =∞→n n x 但()∑∑∑∞=∞==⋅=1112sin n n n n n nn n x u π发散,故由定理19知,∑∞=1sin n n nx在()π2,0不一致收敛.推论7若()x u n ∑在[)+∞,a 内闭一致收敛,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的充要条件是{}[)+∞=+∞⊂∀∞→n n n x a x lim ,,,()x u n∑皆收敛.证明与定理19类似,略.定理20[]7设函数级数()x u n ∑在[)b a ,收敛,且满足引理2中必要条件,则()x u n ∑在[)b a ,一致收敛⇔[){}[)00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∀∈∀∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明必要性用反证法.假设[]{}[]00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∃∈∃∞→,而()n n n x u ∑∞=1发散.若a x =0或b x =0,则由定理20知不可;若()b a x ,0∈,则存在{}n x 的子列{}kn x 或00lim ,x x x x k k n k n =≥∞→或00lim ,x x x x k k n k n =≤∞→,于是由定理19知()x u n ∑在()b x ,0或()0,x a 在不一致收敛,从而在[)b a ,不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性用反证法.设()x u n n ∑∞=1在[)b a ,不一致收敛,则由定理18的证明可得,{}[)b a x n ,⊂且[]b a x x n n ,lim 0∈=∞→而()n n n x u ∑∞=1发散,矛盾.推论8设()x u n n ∑∞=1在[)+∞,a 收敛,且满足引理的必要条件,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛⇔[)+∞∈∀,0a x 或{}[)00lim ,,,x x a x x n n n =+∞⊂∀+∞=∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明与定理20的类似,略.推论12[]4设∑)(x u n 使定义在数集D 上的正项函数项级数，)(x u n ，),2,1( =n 在D上有界，若D x n ∈∞→,时，1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，设{})(inf x q q =，则当1>q 时，∑)(x un在D 上一致收敛．证明由1>q ，D x n ∈∞→,时,1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，取10-<<∀q ε，11,N n N ≥∃时，对一切D x ∈，有ε<--+)(1)()(1x q x u x u nn n ，所以1)(1)()(1>->->-+εεq x q x u x u n n n ，取22,,1N n N q s ≥∃-<<ε，有sn n q 111+≥-+ε，取{}21,max N N N o =，当O N n >时，对一切D x ∈,有sssn n nn n n q x u x u )1(111)()(1+=+>-+>+ε，因此)()1()(1x u n x u n n sn s ++≥，所以sS O N S On sn M N x u N x u n O ≤≤)()(，由1>s 时，∑s S O n MN 收敛，由优级数判别法可知∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论13函数列{})(x u n 定义于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，若+∈∃N N 对一切的D x N n ∈∀>,，有1)()(1<≤+q x u x u n n ，则函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．证明不妨设对于+∈∀N n ,有q x u x u n n ≤+)()(1，即q x u x u n n )()(1≤+，则1=n ，q x u x u )()(12≤，假设当1-=k n ，111)()()(--≤≤k k k q x u q x u x u 成立，则当k n =，k k k q x u q x u x u )()()(11≤≤+也成立，故由数学归纳法得11)()(-≤n n q x u x u ，且)(1x u 在D 有界，即0>∃M ，对D x ∈，有M x u ≤)(1所以1)(-≤n n Mq x u ，又已知几何级数∑∞=1n n q 收敛，故级数∑∞=-11n n Mq收敛，由优级数判别法知∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．推论14函数列{})(x u n 定义于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，若D x ∈∀，有1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ，则函数项级数在D 上一致收敛．证明因为1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ．即1-=∃q o ε)1(<<q l ,+∈∃N N ,对一切D x N n ∈∀>,，有1)()(1-≤-+q l x u x u n n ，即q x u x u n n ≤+)()(1，由推论10得函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛．例11判断函数项级数∑∞=1!n nn x n n 在[)+∞,1上一致收敛性．证明因为11)(1≤=xx u ，且11111lim !)1()!1(lim )()(lim 111<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=∞→++∞→+∞→e xe x n n n x n x n n x u x u nn n n n n n nn n ，由推论13可知函数项级数∑∞=1!n nn xn n 在[)+∞,1上一致收敛．定理23[]8（根式判别法）设∑)(x u n 为定义在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，若存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑n q 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论15[]8（根式判别法的极限形式）设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列，若n n x u )(一致收敛于)(x q ，且1)(<≤q x q {}1)(sup (<∈x q Dx ，即1)()(lim <≤=∞→q x q x u n n n ，对D x ∈∀成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由n n x u )(一致收敛于)(x q )(∞→n ，取q -<<10ε，O N ∃,当o N n >时，对一切D x ∈有ε<-)()(x q x u n n ，所以εε+<+<q x q x u n n )()(，所以n n q x u )()(ε+<，又因为1<+εq ，由优级数判别法知∑)(x u n 在D x ∈上一致收敛．推论51'设()∑x u n 为定义在数集D 上的正项函数项级数，记()n n n x u q =，若()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明由假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，则存在正整数N ,使得当N n >时，有()1<≤q x q n ，则对任意的N n >，D x ∈∀有()n n q x u ≤，而几何级数∑n q 收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知()∑x u n 在D 上一致收敛，即得证．例12函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛，（其中r 是实常数且1>r ），因为()x nx u q nnn n ==，设()()+∞⋃-∞-=,,r r D ，()11lim sup lim <==∞→∈∞→r r n x q nn n Dx n ，由推论51'得函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛．推论16[]8有函数项级数()∑x u n ，若对D x ∈∀，有()1lim <=∞→l x u n n n ，则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明因()1lim <=∞→l x u n n n ，则1-=∃q o ε，1<<q l ，+∈∃N N ，D x ∈∀，有()l q l x u nn -<-，即()1<<q x u n n ，从而()n n q x u <依定理8得函数项级数()∑x u n 在D上一致收敛．例13判别函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上的一致收敛性．证明因()1012lim lim 12<=+=∞→+∞→n xn nnn x n ，依推论15函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+12在R 上一致收敛．定理24[]8（对数判别法）设()x u n 为定义在D 上的正的函数列，若()()x p nx u n n =-∞→ln ln lim 存在，那么①若D x ∈∀，()1>>p x p 对，则函数项级数()∑x u n 一致收敛；②若对D x ∈∀，()1<<p x p ，则函数项级数()∑x u n 不一致收敛．证明由定理条件知，对任意0>ε，N ∃，使得对一切N n >，有()()()εε+<-<-x p nx u x p n ln ln ，即()()()εε-+<<x p n x p n x u n 11，则当()1>>p x p 对D x ∈∀成立时，有()pn n x u 1<，而p 级数∑p n 1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数()∑x u n 在D 上一致收；而当()1<<p x p ，对D x ∈∀成立时，有()p n n x u 1>，而p 级数∑p n1当1<p 时发散，从而函数项级数()∑x u n 不一致收敛．定理25设函数项级数()∑x u n ，()∑x v n 都是定义在数集D 上的正项函数项级数，当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，设(){}1inf q x q D x =∈，(){}2sup q x q Dx =∈；①当+∞<=21,0q q 时，若()∑x v n 在D 上一致收敛，则()∑x u n 在D 上也一致收敛．②当+∞=>21,0q q 时，若()∑x u n 在D 上一致收敛，则()∑x v n 在D 上也一致收敛．③当+∞<>21,0q q 时，()∑x u n 与()∑x v n 在数集D 上同时一致收敛，或同时不一致收敛．证明由当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，则任取0>ε，总+∈∃N N ，当N n >时，对一切D x ∈有()()()ε<-x q x v x u n n ，得到()()()()εεεε+<+<<+-≤+-21q x q x v x u x q q n n 即()()()()()x v q x u x v q n n n εε+<<-21．①当+∞<=21,0q q 时，由上式的右半部分可知若()∑x v n 在D 上一致收敛，则()∑x u n在D 上也一致收敛；②当+∞=>21,0q q 时，由上式左半部分可知若()∑x u n 在D 一致收敛，则()∑x v n 在D 上也一致收敛；③当+∞<>21,0q q 时，取1q <ε易知()∑x u n 与()∑x v n 同时一致收敛或同时不一致收敛．Lipschitz （莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别[]5定义4设有函数项级数()()∑+-x u n n 11，其中()x u n ,(),,2,1 =n 是区间[]b a ,上的连续函数()0≥x u n ,且函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少收敛于0，则称这类级数为Lipschitz 型函数项级数．定理26若()()∑+-x u n n 11，[]b a x ,∈为L 型函数项级数，则①此级数在[]b a ,上一致收敛；②()()()()()()()()()x u x u x u x u x u n p n p n n n n n pn n k k k 211111231211≤-++-+-=-+++++++++=+∑ ．证明①因为()x u n 是[]b a ,上的连续函数，函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少且收于连续函数()0=x u ．所以()()x u x u k k 1+-在[]b a ,连续非负，而()()()[]()x u x u x u x u n k k k n 1111--=-∑-=+，由Dini 定理知函数项级数()()[]()x u x u x u n k k 111--∑∞=+在区间[]b a ,一致收敛于0，从而函数列(){}x u n 在[]b a ,一致收敛于0．又()⎩⎨⎧=+==+-+-=-∑==k n k n nk k 2,012,111111111，所以()1111≤-∑=+nk k ,故()∑=+-n k k 111一致有界，由Dirichlet 判别法知交错函数项级数()()∑+-x u n n 11在区间[]b a ,上一致收敛．②由①得()()∑+-x u n n 11一致收敛，设()()()x s x u n n =-∑+11，于是()()()()()()()()x s x s x s x s x s x s x u n p n n p n pn n k k k -+-==-++++=+∑111()()()()()()()()()()().211x u x u x u x u x u x r x r x s x s x s x s n n n p n n p n n n p n =+≤+≤+=-+-≤+++++例14试证()∑+--211x n n 在区间[]b a ,一致收敛．证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21x n 是任意闭区间[]b a ,上的连续函数列且[]b a x ,∈∀，()()x u x u n n ≤≤+10，()0lim =∞→x u n n 由定理26知函数项级数()∑+--211x n n 在[]b a ,上一致收敛．推论17设函数列(){}x S n 在[]b a ,上收敛于)(x S ，若()x S n 可写成L 型函数项级数的部分和，则函数列(){}x S n 在上一致收敛于)(x S ．证明设有L 型函数项级数()()∑+-x u n n 11一致收敛于()x u ，[]b a x ,∈而()()()x u x S k nk k n ∑=+-=111，则对[]b a x ,∈∀，都有()()()()()x S x S x u x u n n nk k k n ==-=∞→=+∞→∑lim 1lim 11，即()()x S x u =，故函数列(){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于)(x S ．例15证明()∑-x nn11在[)+∞,δ上一致收敛．证明因为[)+∞∈∀,δx ，()x xn n 1110≤+≤，01lim =∞→xn n ．由②[)+∞∈∀,δx ，+∈∀N p 有()()()δn x u x u n pn n k k K2211≤≤-∑++=，由δn 2与x 无关且02lim =∞→δn n 故()()εδ<≤-∑++=n x u pn k n k k 211，由Cauchy 准则证毕．定理27[]9利用结论：设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，则①当∑∞=1n nn R a (或()∑∞=-1n nn R a )收敛时，∑∞=1n n n x a 在[]R ,0或()0,R -一致收敛；②∑∞=1n nn x a 在(]R R ,-内一致收敛，当且仅当∑∞=1n n n x a 在[]R R ,-上一致收敛．注：1Cauchy 准则与M 判别法比较实用一般优先考虑；2Cauchy 准则、M 判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对一定的表达式进行有效是我放大．三非一致收敛性的判别1利用非一致收敛的定义定义3，略．例16讨论函数项级数()[]()∑++-111nx x n x在()+∞∈,0x 是否一致收敛．解()()[]()()111)11111(11111+-=+-+-=++-=∑∑==nx kx x k kx x k x x s nk nk n 当()+∞∈,0x 时，有()()1lim ==∞→x s x s n n ．取o ε使210≤<o ε，无论n 多大只要nx 1='，就有()()o n n n s n s x s x s ε≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛='-'2111，故()[]()∑++-111nx x n x 在()+∞,0上非一致收敛．2利用确界原理的逆否命题定理28若函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛的充要条件是()0sup lim ≠∈∞→x R n Dx n ．证明它是确界原理的逆否命题，故成立．例17函数项级数()∑x u n 的部分和函数为()xx x S nn --=11，讨论()∑x u n 在()1.1-上是否一致收敛．证明部分和函数()x x x S n n --=11，当1<x 时，()(),11lim xx S x S n n -==∞→又当∞→n时，()()()()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----∈11,11,11111supsup n nnx n x n n n n nn n x x x S x S ，故()∑x u n 在()1.1-内非一致收敛．注：极限函数知道时值得用3利用定理5的逆否命题定理29设()()x S x u n =∑，若存在{}D x n ⊂使得()0lim ≠∞→n n n x r ，则()∑x u n 在D 上不一致收敛．证明略．注：此定理比较实用．4利用Cauchy 准则逆否命题定理30函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件是存在0>o ε，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1证明它是Cauchy 准则的逆否命题，故成立．例18讨论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性．解取21sin 31=o ε，对+∈∀N N ,N n o >∃,1+=o n p ，及()[]π2,0121∈+=o o n x 使()()()()()1212sin 121122sin 21121sin 11++++++++++++=-+o o o o o o o o o o n p n n n n n n n n n n x s x s o o ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin o o o n n n 21sin 31>oε=故∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛．注：该类型关键是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，从而凑出o ε，该类型题也有一种简便方法，即取1=p 能适用于很多例题．此方法比较实用，优先考虑．推论18函数列(){}x u n 在上非一致收敛于0，则函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．证明它是推论1的逆否命题，故成立．例19设()()()()12sin 1212cos+⋅++=n n x n n n x u n ，()∞∞-∈,x ．讨论函数项级数()∑x u n的一致收敛性．解取()12+=n n x n ，则()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n ，此极限不存在，所以(){}x u n 在定义域内非一致收敛于0，则()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．推论19[]9若函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，且在区间D 中存在一点列{}n x ，使()0lim ≠∞→n n n x u ，则函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛．例20讨论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解因为()0.,,0a x ∃+∞∈∀使a x ≤，有ax nx e n a e nx n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛．5利用求极值的方法定理31()()∑∞+==1n k kn x u x R ，若()0sup lim ≠∈∞→x R nDx n ，则()∑x u n 在D 上不一致收敛．例21证()∑-n n x x 1在[]1,0上处处收敛，但不一致收敛．证明因为()∑∑∑-=-n n n n x x x x 21，对[)1,0∈x ，∑n x 与∑n x 2都收敛，所以()∑-nnx x 1收敛，1=x 时()01=-∑nnx x 收敛，故()∑-nnx x 1在[]1,0上处处收敛；而()∑---=++x x x x x R n n n 11221,所以[]()22211,01111111sup ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-≥++∈n n n n x R n n n x ，又+∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→22211111111lim n n n n n n n ，故()∑-n n x x 1在[]1,0非一致收敛．注：极限函数知道时，可考虑用．6利用一致收敛函数列的一个性质判别[]10引理2若连续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，则D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀，o n n x x =∞→lim ，有()()o n nn x f x f=∞→lim 证明由(){}x f n 在D 上一致收于()x f ，即有()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ,D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀：o n n x x =∞→lim ，有()()()()x f x f x f x f n Dx n n n -≤-∈sup ，得()()0lim =-∞→x f x f n n n ．根据连续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，则()x f 也必在D 上连续，从而()()o n n n x f x f =∞→lim ．定理32连续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ，且D x o ∈∃，{}Dx n ⊂∃o n n x x =∞→lim ，有()()o n n n x S x S ≠∞→lim 则函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于)(x S ．例22讨论∑+221x n x在()+∞∞-,上一致收敛性．解显然()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收，且每一项都在()+∞∞-,上连续，取() ,2,11==n n x n ，则0lim =∞→n n x ．再设()221x k x x u k +=，由定积分概念()()∑∑=∞→=∞→+=nk nk nn nk n k n x u 12111lim lim ()∑=∞→+=n k n k n n 12111lim dx x ⎰+=1021110arctgx =4π=()00=≠s 故知∑+221xn x在()+∞∞-,上非一致收敛．推论20设连续函数列(){}x S n 在区间D 上逐点收敛，且在D 中存在数列{}n a 和{}n b 满。
函数项级数的一致收敛性及基本性质
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
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只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
即nnaxn1与anxn的 收 敛 半 径 相 同 ．
n1
n1
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四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
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练习题
一、已知函数s序 n 列 sinnx(n1,2,3,)在(,) 上收敛0于 ．
证 设 x0,x为 a,b上 任 意 点 ． 由
s(x)sn(x)rn(x),s(x0)sn(x0)rn(x0)
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s (x ) s (x 0 ) s n (x ) s n (x 0 ) r n (x ) r n (x 0 )
s n ( x ) s n ( x 0 ) r n ( x ) r n ( x 0 )(1)
余项的绝对值
11 r n s (x ) s n (x ) x n n(0 x )
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对 于 任 给 0 ， 取 自 然 数 N 1，
则当n N时，对于区间[0,]上的一切x，
有rn(x)，
根据定义，
所给级数在区间[0, ]上一致收敛于s(x)0.
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例3 研究例1中的级数
函数序列和函数项级数的一致收敛性
u n
(
x
)在I上一致收敛于S
(
x
)
0,N ( ),
n1
当n N ( )时, x I ,p N * , u ( x) u ( x) .
时,
fn(x)
f
(x)
nx 1 n2x2
nx n2 x2
1 nx
1 n
n
sup
x(1,)
fn(x)
f (x)
1 n
0
一致收敛
而n sup fn ( x)
x( 0 ,1)
f (x)
f
n
(
1 n
)
0
1 1
1
1, 2
不 0, 故在(0,1)上不一致收敛.
定理2.2 (Cauchy收敛原理)
设f ( x )定义于I, n
f ( x )在I上一致收敛 n
0,N ( ),当n N ( )时,x I ,p N * ,
都有 fn p ( x) fn ( x) .
证明:
由于{ f ( x)}在I上一致收敛于f ( x),
p N * , 都有 fn p ( x) fn ( x) .
x I , fn( x)是Cauchy列,收敛.
设
lim
n
fn(x)
f ( x),
在 fn p ( x) fn ( x) 中令p ,
则对 x I ,有 f ( x) fn ( x) .
则称 fn(x)在I上一致收敛于f (x).
函数项级数和函数列一致收敛
函数项级数和函数列一致收敛函数项级数和函数列是数学中非常重要的概念。
在许多数学领域，我们经常会遇到这两个概念，并且它们在解决许多问题时发挥着重要的作用。
本文将介绍函数项级数和函数列的概念，并探讨它们之间的联系和应用。
首先，我们来看看函数项级数的概念。
一个函数项级数是指一系列函数的无穷和。
具体而言，给定一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，其中$f_n(x)$是一个函数序列。
我们可以将级数记为$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$。
函数项级数的收敛性是指$S(x)$是否存在有限的极限。
当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。
与之相对应的是函数列。
函数列是一系列函数的序列。
对于给定的$x$，函数列的极限是指当$n$趋向于无穷大时，函数序列中的每个函数在$x$处的极限都存在，并且这些极限构成了一个函数。
具体而言，给定一个函数列$(f_n(x))$，其极限为$f(x)$，可以表示为$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$。
函数项级数和函数列之间存在着紧密的联系。
实际上，函数项级数可以看作是函数列的一种特殊情况。
考虑一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，我们可以构造一个函数列$(S_n(x))$，其中$S_n(x)$表示级数的部分和，即$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$。
函数列$(S_n(x))$就是函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$的部分和函数列。
一个重要的问题是函数项级数和函数列的收敛性之间的关系。
当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。
类似地，当函数列对于所有的$x$都收敛时，我们也说该函数列是一致收敛的。
可以证明，函数项级数的一致收敛性等价于其部分和函数列的一致收敛性。
也就是说，如果函数项级数收敛于函数$S(x)$，那么它的部分和函数列也收敛于$S(x)$。
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用1. 引言1.1 研究背景函数项级数是数学分析中一个重要的研究对象，它是由无穷个函数组成的无穷级数求和。
在实际的应用中，往往需要研究级数的收敛性，其中一致收敛性是一个重要的性质。
一致收敛性指的是对于每一个给定的ε>0，存在一个N，使得当n>N时，级数的部分和与其极限的差的绝对值小于ε。
函数项级数一致收敛性的研究有着重要意义，它可以帮助我们更好地理解函数序列之间的关系，从而应用到不同的数学问题中。
函数项级数的一致收敛性判别方法有多种，比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法是常用的方法之一。
比较判别法通过比较级数与已知收敛的级数的大小关系来判断级数的收敛性，而魏尔斯特拉斯判别法则利用函数项级数中的Cauchy收敛原理来判断其收敛性。
在实际应用中，函数项级数的一致收敛性判别方法可以帮助我们解决各种数学问题，例如在微积分和数学分析中的应用。
通过深入研究函数项级数的一致收敛性，我们可以更好地理解其数学性质，为进一步的研究提供基础。
【研究背景】1.2 研究意义函数项级数是数学中重要的概念之一，它在分析学、数学物理等领域中有着广泛的应用。
研究函数项级数的一致收敛性对于深入理解这一概念的性质和特点具有重要意义。
一致收敛性是函数项级数收敛的一种较强的方式，它能够保证收敛的速度和稳定性，从而使得我们能够更好地掌握级数的性质和行为。
研究函数项级数的一致收敛性，不仅可以帮助我们更好地理解级数的收敛性质，还可以为我们解决实际问题提供有力的数学工具。
在实际应用中，我们经常会遇到需要考察函数项级数的收敛性的情况，比如在数值计算、信号处理、概率论等领域中都会涉及到函数项级数的处理。
研究函数项级数的一致收敛性具有重要的理论意义和实际应用价值。
1.3 研究目的研究目的是对函数项级数的一致收敛性进行深入探讨，通过研究不同的判别方法来确定函数项级数是否在整个定义域上一致收敛。
通过对比比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法的优缺点，可以更好地理解和判断函数项级数的收敛性。
函数项级数的收敛域与和函数
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(3) 定义3 若{ f n ( x )}在D上收敛,则可确定一个新的 函数f ( x ),x D. 则称f ( x )为函数列{ f n ( x )}的极限函数. 记为: lim f n ( x ) f ( x ), x D或x D, f n ( x ) f ( x ), n n
0,| x | 1 从而 f n ( x ) f ( x) , x (1,1] 1, x 1 fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
1. 函数列的定义: (1) 定义1 设函数f1 ( x ), f 2 ( x ),, f n ( x ),是定义在同 一个数集E上,则称其为E上的函数列. 记为: { f n ( x )}或f n ( x ), n 1,2, 特别地取定x x0 ,则函数列{ f n ( x )}为一个数列 { f n ( x0 )}.
k 1 k 1 1 n n 1
1 un ( x )dx 0[lim u ( x ) ] dx 0 n s k 0[lim n ( x )]dx n k 1 1 n
1
1
n
uk ( x )dx lim [0 uk ( x )dx] [0 un ( x )dx] lim 0 n n n1
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用【摘要】本文主要讨论了函数项级数的一致收敛性判别及其应用。
首先介绍了一致收敛性判别定理，然后探讨了函数项级数在实际问题中的应用。
接着列举了几个常见的一致收敛性判别法则，帮助读者更好地理解一致收敛性。
通过应用举例，展示了函数项级数一致收敛性在数学和工程领域的实际应用。
最后讨论了函数项级数一致收敛性的收敛区域，为读者进一步深入研究提供了指导。
通过本文的学习，读者可以更好地理解函数项级数的一致收敛性及其实际应用，为相关领域的研究和应用提供了理论支持。
【关键词】函数项级数、一致收敛性、判别定理、应用、常见法则、收敛区域、举例、总结1. 引言1.1 引言函数项级数一致收敛性是函数分析中一个重要的概念，它涉及到函数序列在整个定义域上的一致收敛性问题。
在实际应用中，我们常常需要判断函数项级数是否一致收敛，以及在一致收敛的条件下如何进行求和。
掌握函数项级数一致收敛性的判别方法和应用是非常必要的。
在本文中，我们将深入探讨函数项级数的一致收敛性判别定理以及其应用。
我们将介绍一致收敛性的判别定理，包括一些常见的判别法则，以及如何判断函数项级数在整个定义域上的一致收敛性。
接着，我们将讨论函数项级数一致收敛性在实际问题中的应用，通过具体的示例来说明如何利用一致收敛性来求出函数项级数的和函数。
我们将讨论函数项级数一致收敛性的收敛区域，即函数序列的收敛性对应的区域范围。
通过本文的学习，读者将能够更加深入地理解函数项级数的一致收敛性及其在实际问题中的应用。
希望本文能够帮助读者更好地理解函数分析中关于一致收敛性的重要概念，进而提高对函数序列和级数问题的认识和应用能力。
2. 正文2.1 一致收敛性判别定理一致收敛性是函数项级数收敛性中的重要性质，它在分析数学中有着广泛的应用。
一致收敛性判别定理是判断函数项级数是否一致收敛的重要工具。
在实际问题中，我们经常需要判断一个函数项级数是否一致收敛，以确保我们得到的结果是可靠的。
数学分析13.1一致收敛性
第十三章 函数列与函数项级数1 一致收敛性一、函数列及其一致收敛性概念：设f 1,f 2,…,f n ,…是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，也可以简单地写作{f n }或f n , n=1,2,…. 设x 0∈E ，以x 0代入函数列可得数列：f 1(x 0),f 2(x 0),…,f n (x 0),…. 若该数列收敛，则称对应的函数列在点x 0收敛，x 0称为该函数列的收敛点. 若数列发散，则称函数列在点x 0发散. 若函数列在数集D ⊂E 上每一点都收敛，则称该函数列在数集D 上收敛. 这时D 上每一点x 都有数列{f n (x)}的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为原函数的极限函数. 若把此极限函数记作f ，则有∞n lim +→f n (x)=f(x), x ∈D ，或f n (x)→f(x) (n →∞), x ∈D.使函数列{f n }收敛的全体收敛点集合，称为函数列{f n }的收敛域.函数列极限的ε-N 定义：对每一个固定的x ∈D ，任给正数ε， 恒存在正数N(ε,x)，使得当n>N 时，总有|f n (x)-f(x)|< ε.例1：设f n (x)=x n , n=1,2,…为定义在R 上的函数列，证明它的收敛域是(-1,1]且有极限函数f(x)=⎩⎨⎧=<1x 11|x |0，，.证：任给正数ε<1, 当|x|<1时，∵|f n (x)-f(x)|=|x|n ， ∴只要取N(ε,x)=|x |ln ln ε，当n>N 时，就有|f n (x)-f(x)|< ε.当x=0或x=1时，对任何正整数n ，都有|f n (x)-f(x)|=0< ε. ∴f n (x)在(-1,1]上收敛，且有极限函数f(x) =⎩⎨⎧=<1x 11|x |0，，.又当|x|>1时，有|x|n →∞ (n →∞)，当x=-1时，对应的数列为： -1,1,-1,1…发散. ∴函数列{x n }在(-1,1]外都是发散的. 得证！例2：证明：函数列f n (x)=nsinnx, n=1,2,…的收敛域是R ，极限函数f(x)=0. 证：∵对任意实数x ，都有n sinnx ≤n 1，∴任给ε>0，只要n>N=ε1, 就有0nsinnx-< ε，得证！定义1：设函数列{f n }与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈D ，都有 |f n (x)-f(x)|< ε，则称函数列{f n }在D 上一致收敛于f ，记作 f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D.注：反之，若存在某正数ε0，对任何正数N ，都有D 上某一点x ’与正整数n ’>N ，使|f n (x ’)-f(x ’)|≥ε0，则函数列{f n }在D 上不一致收敛于f. 如：例1中的函数列{x n }在(0,1)上收敛于f(x)=0，但不一致收敛.∵令ε0=21，对任何正数N ，取正整数n>N+1及x ’=21n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈(0,1)，则有|x ’2 -0|=1-n 1≥21. ∴函数列{x n }在(0,1)上不一致收敛于f(x)=0.函数列一致收敛于f 的几何意义：对任何正数ε，存在正整数N ，对于一切序号大于N 的曲线y=f n (x)，都落在以曲线y=f(x)+ ε与y=f(x)- ε为边(即以y=f(x)为“中心线”，宽度为2ε)的带形区域内(如图1).(图1)(图2)函数列{x n }在(0,1)内不一致收敛，即对于某个事先给定的正数ε<1， 无论N 多么大，总有曲线y=x n (n>N)不能全部落在以y=ε与y=-ε为边的带形区域内(如图2). 若函数列{x n }只限于在区间(0,b) (b<1)内讨论，则只要n>lnbln ε(其中0<ε<1)，曲线y=x n 就全部落在y=ε与y=-ε为边的带形区域内，所以{x n }在区间(0,b)内一致收敛.定理13.1：(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{f n }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在正数N ，使得当n,m>N 时， 对一切x ∈D ，都有|f n (x)-f m (x)|< ε.证：[必要性]若f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D ，则∀ε>0，∃正数N ， 使得当n,m>N 时，对一切x ∈D ，都有|f n (x)-f(x)|<2ε及|f m (x)-f(x)|<2ε. ∴|f n (x)- f m (x)|≤|f n (x)-f(x)|+ |f m (x)-f(x)|<2ε+2ε= ε. [充分性]若|f n (x)-f m (x)|< ε, 则由数列收敛的柯西准则知， {f n }在D 上任一点都收敛，记其极限函数f(x)，则有∞m lim +→|f n (x)-f m (x)|=|f n (x)-f(x)|<ε，由定义1知f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D.定理13.2：函数列{f n }在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0.证：[必要性]若f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D ，则∀ε>0，∃正整数N ，当n>N 时，有|f n (x)-f(x)|<ε, x ∈D.由上确界定义，有Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|≤ε. ∴Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0. [充分性]若Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0，则∀ε>0，∃正整数N ， 使得当n>N 时，有Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|<ε. 又对一切x ∈D ，总有|f n (x)-f(x)|≤Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|<ε，∴{f n }在D 上一致收敛于f.推论：函数列{f n }在D 上不一致收敛于f 的充要条件是： 存在{x n }⊂D ，使得{f n (x n )-f(x n )}不收敛于0.例3：设f n (x)=nx 2-nx e , x ∈D=R +,n=1,2,….判别{f n (x)}在D 上的一致收敛性.解法一：对任意x ∈R +, ∞n lim +→nx 2-nx e=0=f(x). 又当f ’n (x)=222ex 2n -n =0时， x=2n1，且f ”(2n1)=-2e 2n2n <0， ∴在R +上，每个nx 2-nx e 只有一个极大值点x n =2n1，而Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=∞n lim +→f n (x n )=2enlim∞n +→=+ ∞≠0， ∴{f n (x)}在D 上不一致收敛于f.解法二：取x n =n1∈R +，则∞n lim +→f n (x n )=n 1-∞n e lim +→=1≠0， ∴{f n }在D 上不一致收敛于f.定义1：设函数列{f n }与f 定义在区间I 上，若对任意闭区间[a,b]⊂I, {f n }在[a,b]上一致收敛于f ，则称{f n }在I 上内闭一致收敛于f.注：若I 为有界闭区间，则{f n }在I 上内闭一致收敛于f 与{f n }在I 上一致收敛于f 是一致的.例1中函数列{x n }在[0,1)上不一致收敛于0，但对任意δ>0,]δ,0[x sup ∈|x n |≤δn→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1)上内闭一致收敛于0.例3中函数列{f n }在R +上不一致收敛于0，但对任意[a,b]⊂R +，]b ,a [x sup ∈|nx 2-nx e |≤nb 2-na e →0 (n →∞)，∴{f n }在R +上内闭一致收敛于0.二、函数项级数及其一致收敛性概念：设{u n (x)}是定义在数集E 上的一个函数列，表达式： u 1(x)+ u 2(x)+…+u n (x)+…, x ∈E称为定义在E 上的函数项级数，简记为∑∞=1n n (x )u 或∑(x)u n .称S n (x)=∑=n1k k (x )u , x ∈E, n=1,2,…为函数项级数∑(x)u n 的部分和函数.若x 0∈E, 数项级数u 1(x 0)+ u 2(x 0)+…+u n (x 0)+…收敛，即部分和 S n (x 0)=∑=n1k 0k )(x u 当n →∞时极限存在，则称级数∑(x)u n 在点x 0收敛，x 0称为级数∑(x)u n 的收敛点.若级数∑)(x u 0n 发散，则称级数∑(x)u n 在点x 0发散.若∑(x)u n 在E 的某个子集D 上每点都收敛，则称∑(x)u n 在D 上收敛. 若D 为级数∑(x)u n 全部收敛点的集合，则称D 为∑(x)u n 的收敛域. 级数∑(x)u n 在D 上每一点x 0与其所对应的数项级数∑)(x u 0n 的和S(x 0)构成一个定义在D 上的函数，称为级数∑(x)u n 的和函数，并写作： S(x)=u 1(x)+ u 2(x)+…+u n (x)+…, x ∈D 即∞n lim +→S n (x)=S(x), x ∈D ，于是函数项级数的收敛性等价于它的部分和函数列{S n (x)}的收敛性.例4：判别函数项级数(几何级数)1+x+x 2+…+x n +…在R 上的收敛性.解：几何级数的部分和函数为S n (x)=x-1x -1n .当|x|<1时，S(x)=∞n lim +→S n (x)=x-11; 当|x|≥1时，S(x)=∞n lim +→S n (x)=+∞.∴几何级数在(-1,1)内收敛于和函数S(x)=x-11；当|x|≥1时，发散.定义3：设{S n (x)}函数项级数∑(x)u n 的部分和函数列. 若{S n (x)}在数集D 上一致收敛于S(x)，则称∑(x)u n 在D 上一致收敛于S(x). 若∑(x)u n 在任意闭区间[a,b]⊂I 上一致收敛，则称∑(x)u n 在I 上内闭一致收敛.定理13.3：(一致收敛的柯西准则)函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在某正整数N ，使得当n>N 时， 对一切x ∈D 和一切正整数p ，都有|S n+p (x)-S n (x)|< ε或∑++=pn 1n k k(x)u< ε.推论：函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{u n (x)}在D 上一致收敛于0.注：设函数项级数∑(x)u n 在数集D 上的和函数为S(x), 称 R n (x)=S(x)-S n (x)为函数项级数∑(x)u n 的余项.定理13.4：函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛于S(x)的充要条件是：Dx ∞n sup lim∈+→|R n (x)|=Dx ∞n sup lim ∈+→|S(x)-S n (x)|=0.注：几何级数∑n x 在(-1,1)上不一致收敛，因为)(-1,1x sup ∈|S(x)-S n (x)|=1-x x sup n )(-1,1x ∈≥1n n -11n n n+⎪⎭⎫⎝⎛+=n 1-n 1n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ →∞ (n →∞). 又对任意a(0<a<1)，]a -a,[x sup ∈|S(x)-S n (x)|=1-x x sup n]a -a,[x ∈=a -1a n →0 (n →∞).∴几何级数∑n x 在(-1,1)上内闭一致收敛.三、函数项级数的一致收敛性判别法定理13.5：(魏尔斯特拉斯判别法或M 判别法或优级数判别法) 设函数项级数∑(x)u n 定义在数集D 上，∑n M 为收敛的正项级数， 若对一切x ∈D ，有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…， 则函数项级数∑(x)u n 在D 上一致收敛.证：∵∑n M 为收敛的正项级数，根据数项级数的柯西准则， ∀ε>0，∃正整数N ，使得当n>N 及任何正整数p ，有∑++=pn 1n k kM=∑++=pn 1n k kM< ε，又对一切x ∈D ，有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…，∴∑++=pn 1n k k(x)u≤∑++=pn 1n k k(x )u≤∑++=pn 1n k kM< ε，由函数项级数一致收敛的柯西准则知，级数∑(x)u n 在D 上一致收敛.例5：证明函数项级数∑2n nx sin 和∑2n cosnx在R 上一致收敛. 证：∵对一切x ∈R ，有2n nx sin ≤2n 1，∑2n cosnx ≤2n1. 又级数∑2n 1收敛，∴函数项级数∑2n nx sin 和∑2n cosnx在R 上一致收敛.注：当级数∑(x)u n 与级数∑n M 在 [a,b]上，都有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…时，称级数∑n M 在[a,b]优于∑(x)u n ，或称∑n M 为∑(x)u n 的优级数.定理13.6：(阿贝尔判别法)设 (1)∑(x)u n 在区间I 上一致收敛； (2)对每一个x ∈I ，{v n (x)}是单调的；(3){v n (x)}在I 上一致有界，即对一切x ∈I 和正整数n ，存在正数M ，使得|v n (x)|≤M ，则级数∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛. 证：由条件(1)，∀ε>0，∃某正整数N ，使得 当n>N 及任何正整数p ，对一切x ∈I ，有∑++=pn 1n k k(x)u< ε.又由条件(2),(3)，根据阿贝尔引理得：∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u≤[|v n+1(x)|+2|v n+p (x)|]ε≤3M ε.由函数项级数一致收敛的柯西准则知，∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.定理13.7：(狄利克雷判别法)设(1)∑(x)u n 的部分和函数列S n (x)=∑=n1k k (x )u , (n=1,2,…)在I 上一致有界；(2)对于每一个x ∈I ，{v n (x)}是单调的； (3)在I 上v n (x)⇉0 (n →∞)， 则级数∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.证：由条件(1)，存在正数M ，对一切x ∈I ，有|S n (x)|≤M ， ∴当n,p 为任何正整数时，∑++=pn 1n k k(x)u=|S n+p (x)-S n (x)|<2M.对任何一个x ∈I ，由条件(2)及阿贝尔引理得：∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u≤2M[|v n+1(x)|+2|v n+p (x)|]又由条件(3)，∀ε>0，∃正数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈I ， 有|v n (x)|<ε. ∴∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u<6M ε.由函数项级数一致收敛的柯西准则知，∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.例6：证明：函数项级数∑++-1n nn n )n x ()1(在[0,1]上一致收敛. 证：记u n (x)=n )1(n -, v n (x)=nn x 1⎪⎭⎫⎝⎛+，则∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛；又{v n (x)}单调增，且1≤v n (x)≤e, x ∈[0,1]，即{ v n (x)}在[0,1]上一致有界.根据阿贝尔判别法知数∑++-1n n n )n x ()1(在[0,1]上一致收敛.例7：证明：若数列{a n }单调且收敛于0，则级数∑cosnx a n 在[α,2π-α] (0<α<π)上一致收敛.证：∵∑=n1k coskx = 21-2x 2sin x 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin21+21≤2α2sin 1+21, x ∈[α,2π-α]，∴级数∑cosnx 的部分和函数列在[α,2π-α]上一致有界. 令u n (x)=cosnx, v n (x)=a n ，∵数列{a n }单调且收敛于0， 根据狄利克雷判别法知，级数∑cosnx a n 在[α,2π-α]上一致收敛.注：只要{a n }单调且收敛于0，那么级数∑cosnx a n 在不包含2k π (k 为整数)的任何闭区间上都一致收敛.习题1、讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛，并说明理由： (1)f n (x)=22n1x +, n=1,2,…，D=(-1,1)； (2)f n (x)=22xn 1x+, n=1,2,…，D=R ；(3)f n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<++≤≤++-1x 1n 101n 1x 01x )1n (，，, n=1,2,…； (4)f n (x)=n x, n=1,2,…，D=[0,+∞)；(5)f n (x)=nxsin , n=1,2,…，D=R.解：(1)∞n lim +→f n (x)=22∞n n 1x lim ++→ =|x|=f(x), x ∈D=(-1,1)；又 D x sup ∈|f n (x)-f(x)|=|x |n 1x sup 22D x -+∈=|x |n1x n 1sup 222D x ++∈≤n 1→0(n →∞).∴22n 1x +⇉|x| (n →∞)，x ∈(-1,1). (2)∞n lim +→f n (x)=22∞n x n 1xlim++→ =0=f(x), x ∈D=R ；又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=22D x xn 1x sup+∈≤nx 2x =n 21→0(n →∞). ∴22x n 1x+⇉0 (n →∞)，x ∈R.(3)当x=0时，∞n lim +→f n (x)=1；当0<x ≤1时，只要n>x1-1，就有f n (x)=0， ∴f n (x)在[0,1]上的极限函数为f(x)= ⎩⎨⎧≤<=1x 000x 1，，.又]1,0[x ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=1≠0. ∴f n (x)在[0,1]上不一致收敛. (4)∞n lim +→f n (x)=nxlim ∞n +→=0=f(x), x ∈D=[0,+∞)；又 )∞[0,+x ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=nxsuplim )∞[0,+x ∞n ∈+→=+∞, ∴f n (x)在[0,+∞)上不一致收敛. 在任意[0,a]上，a][0,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|=nalim ∞n +→=0, ∴f n (x)在[0,+∞)上内闭一致收敛.(5)∞n lim +→f n (x)=nx sin lim ∞n +→=0=f(x), x ∈D=R ；又 Rx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=nxsinsup lim Rx ∞n ∈+→=1, ∴f n (x)在R 上不一致收敛. 在任意[-a,a]上，a][-a,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|=nx sin sup lim a][-a,x ∞n ∈+→≤n a lim ∞n +→=0, ∴f n (x)在R 上内闭一致收敛.2、证明：设f n (x)→f(x), x ∈D ， a n →0(n →∞) (a n >0). 若对每一个正整数n 有|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D ，则{f n }在D 上一致收敛于f. 证：∵|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D ，且a n →0(n →∞)，∴a][-a,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|= 0，∴f n (x)⇉f(x) (n →∞)，x ∈D.3、判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性：(1)∑1)!-(n x n , x ∈[-r,r]；(2)∑+n221-n )x (1x (-1), x ∈R ；(3)∑n x n , |x|>r>1； (4)∑2n n x , x ∈[0,1]；(5)∑+n x (-1)21-n , x ∈R ；(6)∑+1-n 22)x (1x , x ∈R. 解：(1)∀x ∈[-r,r], 有1)!-(n x n≤1)!-(n r n ,记u n =1)!-(n r n ,则n 1n u u +=n r →0(n →∞)，∴∑1)!-(n r n 收敛，∴∑1)!-(n x n在[-r,r]上一致收敛.(2)记u n (x)=(-1)n-1, v n (x)=n22)x (1x +，则对任意的x ∈R ，有 |∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在R 上有界；又{v n (x)}单调减，且由0≤n22)x (1x +≤n 1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知∑+n221-n )x (1x (-1)在R 上一致收敛. (3)∀|x|>r>1, 有n x n <n r n ,记u n =nrn,则n 1n u u +=rn 1n +→r 1<1 (n →∞)， ∴∑n r n 收敛，∴∑n xn在|x|>r>1上一致收敛. (4)∀x ∈[0,1], 有2nnx ≤2n 1, 又∑2n 1收敛，∴∑2n n x 在[0,1]上一致收敛.(5)方法一：记u n (x)=(-1)n-1, v n (x)=nx 12+，则对任意的x ∈R ，有 |∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在R 上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<nx 12+≤n 1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知∑+n x (-1)21-n 在R 上一致收敛.方法二：|∑++=+pn 1n k 21-k kx (-1)|≤1n x 12+++p n x 12++≤n 2.∀ε>0，只要取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε2，则当n>N 及任意自然数p ，就有|∑++=+pn 1n k 21-k kx (-1)|<ε，由柯西准则知，∑+n x (-1)21-n 在R 上一致收敛.方法三：由莱布尼兹判别法知，对R 上的任意一点x ，∑+nx (-1)21-n 收敛.又)x (R sup lim n R x ∞n ∈+→=1n 1lim ∞n ++→=0，∴∑+nx (-1)21-n 在R 上一致收敛.(6)当x ≠0时，该函数项级数的部分和函数S n (x)=x 2+22x 1x ++…+1-n 22)x (1x +=1+x 2-1-n 2)x (11+→1+x 2=S(x) (n →∞)， ∴Rx sup ∈|R n (x)|=1-n 2Rx )x (11sup+∈=1→/0 (n →∞)， ∴∑+1-n 22)x (1x 在R 上不一致收敛.4、设函数项级数∑)x (u n 在D 上一致收敛于S(x)，函数g(x)在D 上有界. 证明：级数∑)x (g(x)u n 在D 上一致收敛于g(x)S(x).证：可设|g(x)|≤M ，x ∈D. ∵∑)x (u n 在D 上一致收敛于S(x)， ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈D ，都有|∑=n1k k (x )u -S(x)|<Mε. ∴|∑=n 1k k (x )g(x )u - g(x)S(x)|=|g(x)|·|∑=n1k k (x )u -S(x)|< ε. 得证！5、若区间I 上，对任何正整数n ，|u n (x)|≤v n (x)，证明： 当∑)x (v n 在I 上一致收敛时，级数∑)x (u n 在I 上也一致收敛. 证：∵|u n (x)|≤v n (x)，∴∑=+p1k k n |(x )u |≤∑=+p1k k n (x )v .又∑)x (v n 在I 上一致收敛，∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时， 对一切x ∈I 和一切自然数p ，都有|∑=+p1k k n (x )v |<ε.∴|∑=+p 1k k n (x )u |≤∑=+p 1k k n |(x )u |≤∑=+p 1k k n (x )v ≤|∑=+p1k k n (x )v |<ε，得证！6、设u n (x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数，证明：若∑)a (u n 与∑)b (u n 都绝对收敛，则∑)x (u n 在[a,b]绝对且一致收敛. 证：∵u n (x)(n=1,2,…)在[a,b]上单调，∴|u n (x)|≤|u n (a)|+|u n (b)|， 又∑|)a (u |n 与∑|)b (u |n 都收敛，∴正项级数|))b (u ||)a (u (|n n +∑收敛； 根据优级数判别法知，∑)x (u n 在[a,b]绝对且一致收敛.7、证明：{f n } 区间I 上内闭一致收敛于f 的充要条件是：对任意x 0∈I ，存在x 0的邻域U(x 0)，使{f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f. 证： [必要性]设{f n } 区间I 上内闭一致收敛于f ，对任意x 0∈I ，任意邻域U(x 0)∩I ⊂I ，根据内闭一致收敛的定义， {f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f.[充分性]设任意x 0∈I ，存在x 0的一个邻域U(x 0)， 使得{f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f ，即 对一切x ∈I ，{f n }一致收敛于f ，∴{f n }在I 上一致收敛，从而内闭一致收敛.8、在[0,1]上定义函数列u n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=n 1x 0n 1x n1，，，证明： 级数∑)x (u n 在[0,1]上一致收敛，但它不存在优级数.证：∵|∑=+p1k k n (x )u |=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⋯+=+==+⋯++++=++⋯+⋯+=+⋯++++=+⋯+++其它点p n 1x 2n 1x 1n 1x 00000p n 1p n 102n 102n 101n 1001n 1，，，，，∴当0≤x<1时，恒有|∑=+p1k k n (x )u |<n1，于是∀ε>0，取N=[ε1]，则当n>N 时，对一切x ∈[0,1]和一切自然数p ，都有|∑=+p1k k n (x )u |<ε，∴级数∑)x (u n 在[0,1]上一致收敛.若∑)x (u n 在[0,1]上存在优级数∑n M ，取x=n1，则M n ≥|u n (x)|=|u n (n 1)|=n 1>0. 由∑n M 收敛知∑n1收敛，不合理! ∴∑)x (u n 不存在优级数.9、讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致连续性： (1)∑∞=++2n 2222]1)-(n )[x n (x 2n -1, D=[-1,1]；(2)∑nn3x sin 2, D=R +； (3)∑++)nx 1](1)x -(n [1x 222, D=R +；(4)∑nx n , D=[-1,0]； (5)∑++1n 2x (-1)12n n, D=(-1,1)；(6)∑∞=1n n sinnx, D=(0,2π).解：(1)∵∑++=++pn 1n k 2222]1)-(k )[x k (x 2k -1=2222n x 1p)(n x 1+-++<22n x 1+≤2n 1； ∴∀ε>0，取N=[ε1]+1，当n>N 时，对一切x ∈[-1,1]和一切自然数p ，都有∑++=++pn 1n k 2222]1)-(k )[x k (x 2k-1<ε，∴原级数在[-1,1]上一致收敛. (2)对任意自然数n ，取x n =n 32π⋅∈R +，有|n n 3x sin 2|=2n →/ 0 (n →∞)， ∵原级数在R +上不一致收敛. (3)S n (x)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n1k 22kx 111)x-(k 11=1-2nx 11+→1(n →∞)，+∈R x sup |S n (x)-1|=≥2n 1n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21(n=1,2,…)；∵原级数在R +上不一致收敛.(4)记u n (x)=(-1)n, v n (x)=n(-x)n，则对任意的x ∈[-1,0]，有|∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在[-1,0]上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<n(-x)n≤n1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)，由狄利克雷判别法知原级数在[-1,0]上一致收敛.(5)记u n (x)=(-1)n, v n (x)=1n 2x 12n ++，则对任意的x ∈(-1,1)，有|∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在(-1,1)上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<1n 2x 12n ++≤1n 21+→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)，由狄利克雷判别法知原级数在(-1,1)上一致收敛. (6)取ε0=21sin 31，对任意自然数N ，存在n=N ，p=N+1，x 0=1)2(N 1+∈(0,2π),使∑++=pn 1n k 0k )(x u =∑++=+1N 21N k 1)2(N k sin k1>∑++=1N 21N k 2k 1sin >21sin 21>ε0.∴原级数在(0,2π)上不一致收敛.10、证明：级数∑∞=-0n n n )x 1(x (-1)在[0,1]上绝对收敛并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛. 证：易见|R n |≤(1-x)x n+1. 又由((1-x)x n+1)’=(n+1)(1-x)x n -x n+1=(n+1)x n -(n+2)x n+1=(n+2)x n (2n 1n ++-x)，知 当x=2n 1n ++时，|R n |≤(1-2n 1n ++)1n 2n 1n +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1n 2n 1n 2n 1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<2n 1+， ∴[0,1]x ∞n sup lim ∈+→|R n |≤2n 1lim ∞n ++→=0. ∴原级数在[0,1]上一致收敛. 对级数∑∞=-0n nn)x 1(x (-1)各项绝对值组成的级数∑∞=-0n n )x 1(x ，∵)x 1(x lim n ∞n -+→=0, x ∈[0,1]，∴原级数在[0,1]上绝对收敛.又∞n lim +→S n (x)=∞n lim +→(1-x)∑=nk k x =∞n lim +→(1-x n )=⎩⎨⎧=<≤1x 01x 01，，，可见[0,1]x ∞n sup lim ∈+→|R n |=1→/ 0 (n →∞)，得证.11、设f 为定义在区间(a,b)内的任一函数，记f n (x)=n[nf(x)], n=1,2,…， 证明：函数列{f n }在(a,b)内一致收敛于f. 证：由|R n |=|n [nf(x)]-f(x)|=n nf(x )-[nf(x )]≤n11→0 (n →∞)，得证！12、设{u n (x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列，每一个u n (x)都是[a,b]上的单调函数. 证明：级数u 1(x)-u 2(x)+u 3(x)-u 4(x)+…在[a,b]上不仅收敛，而且一致收敛. 证：根据莱布尼茨判别法，该级数在[a,b]上收敛. 记v n (x)=(-1)n-1，则对任意的x ∈[a,b]，有|∑=n1k k (x )v |≤1, (n=1,2,…)，即{v n (x)}的部分和函数列在[a,b]上有界；又u n (x)在[a,b]上单调，且u n (a),u n (b)都收敛于零，∴0<u n (x)<u n (a)+u n (b)→0(n →∞)，∴u n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知该级数在[a,b]上一致收敛.13、证明：若{f n (x)}在区间I 上一致收敛于0，则存在子列{in f }，使得∑=n1k n if在I 上一致收敛.证：∵{f n (x)}在区间I 上一致收敛于0，∴对任意自然数i ，总存在自然数n i ，使得∀x ∈I ，有|i n f |<2i 1，又级数∑=n1k 2i1收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，∑=n1k n if 在I 上一致收敛.。