不等式训练题
初中不等式专题训练(含详解)
不等式专题训练一．选择题（共9小题）1．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）A．a＞﹣1B．a＞﹣2C．a＞0D．a＞﹣1且a≠0 2．下列说法不一定成立的是（ ）A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b3．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2＜a≤﹣1 4．已知x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．1≤a≤25．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．6．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（ ）A．﹣3＜b＜﹣2B．﹣3＜b≤﹣2C．﹣3≤b≤﹣2D．﹣3≤b＜﹣2 7．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）A．x﹣3＞y﹣3B．x+3＞y+3C．﹣3x＞﹣3y D．＞8．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤19．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（ ）A．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≤0二．填空题（共4小题）10．若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是 ．11．若不等式组有解，则a的取值范围是 ．12．不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，则m的取值范围是 ．13．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是 ．三．解答题（共5小题）14．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值．15．已知x＝3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．16．解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．17．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）1535售价（元/件）2045（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．18．某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．不等式专题练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）A．a＞﹣1B．a＞﹣2C．a＞0D．a＞﹣1且a≠0【考点】C2：不等式的性质．【分析】当x＝1时，a+2＞0；当x＝2，2a+2＞0，解两个不等式，得到a的范围，最后综合得到a的取值范围．【解答】解：当x＝1时，a+2＞0解得：a＞﹣2；当x＝2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，∴a的取值范围为：a＞﹣1．2．下列说法不一定成立的是（ ）A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质进行判断．【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，不符合题意；B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，不符合题意；C、当c＝0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，符合题意；D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，不符合题意．故选：C．3．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2＜a≤﹣1【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先根据不等式组得出不等式组的解集为a＜x＜2，再由恰好有3个整数解可得a的取值范围．【解答】解：如图，由图象可知：不等式组恰有3个整数解，需要满足条件：﹣2≤a＜﹣1．故选：C．4．已知x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．1≤a≤2【考点】C3：不等式的解集．【分析】根据x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【解答】解：∵x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，∴（2﹣5）（2a﹣3a+2）≤0，解得：a≤2，∵x＝1不是这个不等式的解，∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0，解得：a＞1，∴1＜a≤2，故选：C．5．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值．【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选：B．6．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（ ）A．﹣3＜b＜﹣2B．﹣3＜b≤﹣2C．﹣3≤b≤﹣2D．﹣3≤b＜﹣2【考点】C7：一元一次不等式的整数解．【分析】表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有﹣1，﹣2，确定出b的范围即可．【解答】解：不等式x﹣b＞0，解得：x＞b，∵不等式的负整数解只有两个负整数解，∴﹣3≤b＜﹣2故选：D．7．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）A．x﹣3＞y﹣3B．x+3＞y+3C．﹣3x＞﹣3y D．＞【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确；C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；故选：C．8．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤1【考点】C3：不等式的解集．【分析】解两个不等式后，根据其解集得出关于a的不等式，解答即可．【解答】解：因为不等式组的解集为x＞1，所以可得a≤1，故选：D．9．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（ ）A．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≤0【考点】C3：不等式的解集．【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．【解答】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0，故选：D．二．填空题（共4小题）10．若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是 ＜a≤1．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有两个整数解得出不等式组1＜2a≤2，求出不等式组的解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x＞﹣，解不等式②得：x＜2a，∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a，∵不等式组有两个整数解，∴1＜2a≤2，∴＜a≤1，故答案为：＜a≤1．11．若不等式组有解，则a的取值范围是 a＞﹣1．【考点】C3：不等式的解集．【分析】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．【解答】解：∵由①得x≥﹣a，由②得x＜1，故其解集为﹣a≤x＜1，∴﹣a＜1，即a＞﹣1，∴a的取值范围是a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．12．不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，则m的取值范围是 m＜2．【考点】C3：不等式的解集．【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，∴m﹣2＜0，m＜2，故答案为：m＜2．13．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是 131或26或5或．【考点】CE：一元一次不等式组的应用．【分析】利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1＝656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【解答】解：我们用逆向思维来做：第一个数就是直接输出其结果的：5x+1＝656，解得：x＝131；第二个数是（5x+1）×5+1＝656，解得：x＝26；同理：可求出第三个数是5；第四个数是，∴满足条件所有x的值是131或26或5或．故答案为：131或26或5或．三．解答题（共5小题）14．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值．【考点】97：二元一次方程组的解；CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先根据方程组可得，再解不等式组，确定出整数解即可．【解答】解：①+②得：3x+y＝3m+4，②﹣①得：x+5y＝m+4，∵不等式组，∴，解不等式组得：﹣4＜m≤﹣，则m＝﹣3，﹣2．15．已知x＝3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．【考点】C3：不等式的解集．【分析】方法1：先根据不等式，解此不等式，再对a分类讨论，即可求出a的取值范围．方法2：把x＝3带入原不等式得到关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：方法1：解得（14﹣3a）x＞6当a＜，x＞，又x＝3是关于x的不等式的解，则＜3，解得a＜4；当a＞，x＜，又x＝3是关于x的不等式的解，则＞3，解得a＜4（与所设条件不符，舍去）．综上得a的取值范围是a＜4．方法2：把x＝3带入原不等式得：3×3﹣＞，解得：a＜4．故a的取值范围是a＜4．16．解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．【解答】解：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，合并同类项得，﹣x≤﹣2，把x的系数化为1得，x≥2．在数轴上表示为：．17．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）1535售价（元/件）2045（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数＝160；甲总利润+乙总利润＝1100．（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．根据题意得：．解得：．答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．根据题意得．解不等式组，得65＜a＜68．∵a为非负整数，∴a取66，67．∴160﹣a相应取94，93．方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．18．某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据单价之间的关系和340元两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买榕树a棵，则香樟树为（150﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．【解答】解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，根据题意得，，解得，答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，根据题意得，，解不等式①得，a≥58，解不等式②得，a≤60，所以，不等式组的解集是58≤a≤60，∵a只能取正整数，∴a＝58、59、60，因此有3种购买方案：方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．。
基本不等式专题训练试卷
基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。
- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。
- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。
- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。
所以答案是C。
2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。
根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。
所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。
3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。
(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
初一不等式难题,经典题训练（附答案）1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0521x a x ->⎧⎨-≥-⎩无解，则a 的取值范围是_________3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ）A 0B 2C 0或2D -1 4． 若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________5． 已知关于x 的不等式组的解集41320x xx a +⎧>+⎪⎨⎪+<⎩为x<2，那么a 的取值范围是_________6． 若方程组的解满足4143x y k x y +=+⎧⎨+=⎩条件01x y <+<,则k 的取值范围是（ ）A. 41k -<<B. 40k -<<C. 09k <<D. 4k >- 7． 不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ）A. 2m ≤B. 2m ≥C. 1m ≤D. 1m f 8.不等式()()20x xx +-<的解集是_________9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是13x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x <11.如果关于x 的不等式组的整7060x m x n -≥⎧⎨-⎩p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共有（ ）对A 49B 42C 36D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123234x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值12．不等式A 卷1．不等式2(x + 1) -12732-≤-xx 的解集为_____________。
集合不等式练习题
一，选择题1. 设a 为给定的实数，则集合{x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数是（ ）A.1B.2C.4D.不确定2.若A ＝{1，3，X}，B ＝{X 2，1}.且A U B=A,这样X 的不同值有几个（ ）A.1个B.2个 C,3个 D.4个3．不等式xx --213≥1的解集是 ( ) A ．{x|43≤x ≤2} B ．{x|43≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a 的取值范围是 ( )A ．－3＜a ＜1B ．－2＜a ＜0C ．－1＜a ＜0D ．0＜a ＜26．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －147．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）．A ．4-≤m 或4≥mB ． 45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ． 25-<<-m8．若c a >且0>+c b ，则不等式0))((>-+-ax b x c x 的解集为（ ） A ．{}c x b x a x ><<-或,| B ． {}b x c x a x ><<-或,|C ．{}c x a x b x ><<-或,|D ． {}a x c x b x ><<-或,|二、填空题1，设A ＝{(x,y)|y=1-3x},B={(x,y)|y=(1-2k 2)x+5}, 若A W B=Ø,则k 的取值范围是____________2．设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。
基本不等式训练题
基本不等式训练题一、题点全面练x 2－2x ＋1⎡1⎤1．已知f (x )＝，则f (x )在⎢，3⎥上的最小值为()x⎣2⎦14A. B.23C ．－1D ．0x 2－2x ＋11解析：选D f (x )＝＝x ＋－2≥2－2＝0，x x1⎡1⎤当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号．又1∈⎢，3⎥，x⎣2⎦⎡1⎤所以f (x )在⎢，3⎥上的最小值是0.⎣2⎦2．(2018·哈尔滨二模)若2＋2＝1，则x ＋y 的取值范围是()A ．[0,2]C ．[－2，＋∞)x y x y x y B ．[－2,0]D ．(－∞，－2]x ＋y 解析：选D 由1＝2＋2≥22·2，变形为2时取等号．则x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．1≤，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y4123．若实数a ，b 满足＋＝ab ，则ab 的最小值为()a bA.2C ．22B ．2D ．412解析：选C 因为＋＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，a b12由ab ＝＋≥21a ba b 2·＝22ab，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.31m 4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式＋≥恒成立，则m 的最大值为()a b a ＋3bA ．9C ．1831m 解析：选B 由＋≥，a b a ＋3bB ．12D ．24⎛31⎫9b a得m ≤(a ＋3b ) ＋⎪＝＋＋6.⎝a b ⎭a b9b a又＋＋6≥29＋6＝12，a b⎛当且仅当9b ＝a ，即a ＝3b 时等号成立⎫，⎪a b ⎝⎭∴m ≤12，∴m 的最大值为12.1925．正数a ，b 满足＋＝1，若不等式a ＋b ≥－x ＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，a b则实数m 的取值范围是()A ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]B ．(－∞，3]D ．[6，＋∞)19解析：选D 因为a ＞0，b ＞0，＋＝1，a ba b 9a b 9a ⎛19⎫所以a ＋b ＝(a ＋b ) ＋⎪＝10＋＋≥10＋29＝16，当且仅当＝，即a ＝4，b ＝⎝a b ⎭b a b12时，等号成立．由题意，得16≥－x ＋4x ＋18－m ，即x －4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，令f (x )＝x －4x －2＝(x －2)－6，所以f (x )的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.116．(2019·青岛模拟)已知x ＞0，y ＞0，(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则＋的最小值x 3y 是________．11⎛11⎫解析：因为(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，则＋＝ ＋⎪(x ＋3y )＝2x 3y ⎝x 3y ⎭3y x 3y x 1111＋＋≥4，当且仅当＝，即x ＝，y ＝时取等号，故＋的最小值为4.x 3y x 3y 26x 3y 答案：47．若正数x ，y 满足4x ＋9y ＋3xy ＝30，则xy 的最大值为________．解析：30＝4x ＋9y ＋3xy ≥236x y ＋3xy ，即30≥15xy ，所以xy ≤2，2322当且仅当4x ＝9y ，即x ＝3，y ＝时等号成立．3故xy 的最大值为2.答案：222222222228．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x的最小值为________．x解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1.1⊗x x ＋x ＋11又f (x )＝＝＝1＋x ＋≥1＋2＝3，xxx当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3.答案：139．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．82解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1.x y又x ＞0，y ＞0，82则1＝＋≥28x y x y28·＝，得xy ≥64，xy82当且仅当＝，即x ＝16且y ＝4时，等号成立．x y所以xy 的最小值为64.82(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1，x y⎛82⎫则x ＋y ＝ ＋⎪(x ＋y )x y ⎝⎭2x 8y＝10＋＋≥10＋2y x2x 8y·＝18.y x2x 8y当且仅当＝，即x ＝12且y ＝6时等号成立，y x所以x ＋y 的最小值为18.3810．(1)当x ＜时，求函数y ＝x ＋的最大值；22x －3(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 183解：(1)y ＝(2x －3)＋＋22x －32－2x 的最大值．＝－ ⎛3－2x＋8⎫＋3.⎪3－2x ⎭2⎝23当x ＜时，有3－2x ＞0，2∴3－2x 8＋≥223－2x3－2x 8·＝4，23－2x3－2x 81当且仅当＝，即x ＝－时取等号．23－2x 2355于是y ≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.222(2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0，∴y ＝x－2x ＝2·x－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋A ．3C ．2B.3D.21的最小值为()b －1231解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋＝7，得t ＝，t 21112即log a b ＝，a ＝b ，所以a ＋2＝a －1＋＋1≥22b －1a －1当a ＝2时取等号．故a ＋1的最小值为3.b －12a －1＋1＝3，当且仅a －112212．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为()a b a －1b －2A ．25C.2B.32232D ．1＋4122a解析：选A 由a ，b 为正数，且＋＝1，得b ＝＞0，所以a －1＞0，a b a －1所以21212a －1＋＝＋＝＋a －1b －2a －12a a －12－2a －1≥22a －1·＝2，a －122a －112＝和＋＝1同时成立，a －12a b 当且仅当即a ＝b ＝3时等号成立，所以21＋的最小值为2.a －1b －233．函数y ＝1－2x －(x ＜0)的值域为________．x3⎛3⎫解析：∵x ＜0，∴y ＝1－2x －＝1＋(－2x )＋ －⎪≥1＋2x⎝x ⎭－2x3＝1＋－x26，当且仅当x ＝－63时取等号，故函数y ＝1－2x －(x ＜0)的值域为[1＋26，＋∞)．2x 答案：[1＋26，＋∞)(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与函数交汇]已知函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若直线＋＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，则3m ＋n 的最小值为()A ．16C ．12B ．8D ．14x ym n解析：选B 由题意，函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)，令x ＋4＝1，可得x ＝－3，代入可得y ＝－1，∴图象恒过定点A (－3，－1)．∵直线＋＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，3131∴＋＝2，即＋＝1.m n 2m 2nx ym n⎛31⎫913n 3m ∴3m ＋n ＝(3m ＋n ) ＋⎪＝＋＋＋≥2⎝2m 2n ⎭222m 2n时，取等号)∴3m ＋n 的最小值为8.3n 3m·＋5＝8(当且仅当n ＝m ＝22m 2n5．[与数列交汇]已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N ，满足a m a n ＝a 4，21则＋的最小值为()*22m nA ．13B.2C ．29D.2解析：选A 根据题意，设{a n }的公比为q ，则a m ＝q ，a n ＝q ，a 4＝q .由a m a n ＝a 4得q 22m n 4m ＋2n ＝q ，8＝1.8∴m ＋2n ＝8，∴m ＋2n21*又m ，n ∈N ，∴＋＝m nm ＋2n m ＋2n 1n m 11＋＝＋＋＋≥＋28m 8n 42m 8n 421＝1，16当且仅当＝，即m ＝2n ＝4时取“＝”，2m 8n21∴＋的最小值为1.n mm n6．[与解析几何交汇]若直线mx ＋ny ＋2＝0(m ＞0，n ＞0)被圆(x ＋3)＋(y ＋1)＝1所截13得的弦长为2，则＋的最小值为()22m nA ．4C ．12B ．6D ．16解析：选B 圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直131⎛13⎫1⎛n 9m ⎫1线过圆心，所以－3m －n ＋2＝0，3m ＋n ＝2，所以＋＝(3m ＋n ) ＋⎪＝ 6＋＋⎪≥m n 2⎝m n ⎭2⎝m n ⎭2⎛6＋2⎝n 9m 13n 9m ⎫·⎪＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.m n m n m n ⎭x ＋2y －3≤0，⎧⎪7．[与线性规划交汇]已知x ，y 满足⎨x ＋3y －3≥0，⎪⎩y ≤1，a bz ＝2x ＋y 的最大值为m ，若14正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，则＋的最小值为__________．解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y 的几何意义为直线2x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距最大，即目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎧⎪x ＋2y －3＝0，⎨⎪x ＋3y －3＝0，⎩解得M (3,0)，所以z 的最大值为2×3＋0＝6，即m ＝6，所以a ＋b ＝6，141⎛14⎫1⎛b4a⎫1⎛故＋＝ ＋⎪·(a＋b)＝ 5＋＋⎪≥ 5＋2 a b6⎝a b⎭6⎝a b⎭6⎝b4ab4a⎫3当且仅当＝，即b＝4，·⎪＝，a ba b⎭2a＝2时等号成立．3答案：2。
初一不等式难题-经典题训练(附答案)
初一不等式难题-经典题训练(附答案)1.已知不等式 $3x-a\leq 0$ 的正整数解正好是 1,2,3，则$a$ 的取值范围是多少？2.已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases} x-a>\dfrac{1}{5-2x}-1 \\ 5-2x\geq -1 \end{cases}$ 无解，则 $a$ 的取值范围是多少？3.若关于 $x$ 的不等式 $(a-1)x-a+2>0$ 的解集为 $x<2$，则 $a$ 的值为多少？4.若不等式组 $\begin{cases} x-a>2 \\ b-2x>\dfrac{x+4}{x+1} \end{cases}$ 的解集为 $-1<x<1$，则$\dfrac{a+b}{b-2}$ 的值为多少？5.已知关于 $x$ 的不等式组的解集为 $\begin{cases}3x+2a<0 \\ x+a<2 \end{cases}$，若 $x<2$，则 $a$ 的取值范围是多少？6.若方程组 $\begin{cases} 4x+y=k+1 \\ x+4y=3\end{cases}$ 的解满足 $x+y<1$，则 $k$ 的取值范围是多少？7.不等式组 $\begin{cases} x+9m+1 \end{cases}$ 的解集是$x>2$，则 $m$ 的取值范围是多少？8.不等式 $(x+x)(2-x)<0$ 的解集是什么？9.当 $a>3$ 时，不等式 $ax+2<3x+b$ 的解集是 $x<2$，则$b$ 等于多少？10.已知 $a,b$ 为常数，若 $ax+b>0$ 的解集是$x<\dfrac{1}{3}$，则不等式 $bx-a<0$ 的解集是什么？11.不等式组 $\begin{cases} 7x-m\geq 0 \\ 6x-n\leq 0\end{cases}$ 的正整数解仅为 1,2,3，则合适的整数对$(m,n)$ 有多少个？12.已知非负数 $x,y,z$ 满足$\dfrac{x}{2}+\dfrac{3y}{4}+\dfrac{5z}{6}=\dfrac{1}{2}$，设$\omega=3x+4y+5z$，求 $\omega$ 的最大值和最小值。
基本不等式训练题(含答案)
基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400B．100C．40D．20答案：A3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：244．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.∴12x＋4x≥212x•4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，∴－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x• －4x ＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋12xB．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－xD．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3B．－3C．62D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()A．200B．100C．50D．20解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx•lgy；③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4；④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－(－xy)＋(－yx)]≤－2 －xy －yx ＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a•a＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2B．22C．4D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64B．最大值164C．最小值64D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥28x•2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y≥2x•4y＝4xy，∴xy≤116.答案：大1169．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2 x＋1 •4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.∴(x－1)＋9x－1＋2≥2 x－1 •9x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8.11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)•(1b－1)•(1c －1)≥8.证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200＝800×(x＋225x)＋12000≥1600x•225x＋12000＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
基本不等式专题训练
基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。
5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。
三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。
7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。
8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。
参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。
又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。
当且仅当a=b=21时，等号成立。
2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。
而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。
选项B显然不成立。
3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。
当且仅当a=b=c=31时，等号成立。
二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。
5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。
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不等式练习题
一、选择题
1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( )
（A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(21
)b
2、下列不等式中成立的是 ( )
（A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1
+a ≥2 (a ≠0)
（C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21
+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1)
3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11
)(11
22--b a 的最小值为 ( )
(A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9
4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R );
(3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( )
(A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个
5、f (n ) = 12+n －n , ϕ(n )=n 21
, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( )
(A ) f (n )<g (n ) <ϕ(n ) (B ) f (n )<ϕ(n )<g (n ) (C ) g (n )<ϕ(n )<g (n ) (D )g (n )<f (n )<ϕ(n )
6、设x 2+y 2 = 1, 则x +y ( )
(A ) 有最小值1 (B ) 有最小值2 (C )有最小值－1 (D ) 有最小值－2
7、不等式|x ＋5|＞3的解集是 ( )
(A){x|－8＜x ＜8} (B){x|－2＜x ＜2} (C){x|x ＜－2或x ＞2＝ (D){x|x ＜－8或x ＞－2＝
8、若a ，b ，c 为任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是 ( )
(A)ac ＞bc (B)|a ＋c|＞|b ＋c| (C)a 2＞b 2 (D)a ＋c ＞b ＋c
9、设集合M={x|13-+x x ≤0},N={x|x 2+2x-3≤0},P={x|322)21(-
+x x ≥1},则有 ( )
（A ）M ⊂N=P （B ）M ⊂N ⊂P （C ）M=P ⊂N （D ）M=N=P
10、设a,b ∈R,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是 ( )
（A ）6 （B ）42 （C ）22 （D ）26
11、若关于x 的不等式ax 2＋bx －2＞0的解集是⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121, ，则ab 等于( )
(A)－24 (B)24 (C)14 (D)－14
12、如果关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(
) (A)]2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)]2,2(- (D)(－2,2)
13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x) ≥0的解集为Φ，则不等式0)()
(>x g x f 的解集是(
) (A) Φ (B)+∞-∞,2()1,( ) (C)[1，2] (D)R
14、22+>+x x
x x 的解集是 ( )
(A ) (－2,0) (B ) (－2,0) (C ) R (D ) (－∞,－2)∪(0,+ ∞)
15、不等式33
31>--x 的解集是 ( ) (A ) (－∞,1) (B ) (
43,1 ) (C ) (43,1) (D ) R 二、填空题
1、若x 与实数列a 1,a 2,…,a n 中各数差的平方和最小,则x=________.
2、不等式x
x x
121log 〈的解集是________. 3、某工厂产量第二年增长率是p 1,第三年增长率是p 2,第四年增长率是p 3且p 1＋p 2＋p 3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.
4、a ≥0,b ≥0,a 2＋22
b =1,则a 21b +的最大值是________. 5、若实数x 、y 满足xy ＞0且x 2y=2,则xy ＋x 2的最小值是________.
6、x ＞1时，f(x)=x ＋1
1612++x x x 的最小值是________，此时x=________. 7、不等式log 4(8x －2x )≤x 的解集是________.
8、不等式3
21141-〉-x x 的解集是________. 9、命题①：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题②：f(x)=－(1－3a －a 2)x 是减函
数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a 的取值范围是________.
10、设A={x|x ≥
x
1,x ∈R},B={x|12+x ＜3,x ∈R ＝,则D=A ∩B=________. 三、解答题 1、解不等式：1
211922+-+-x x x x ≥7. 2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0.
3、解不等式：
65592+--x x x ≥－2. 4、解不等式：2269x x x -+-＞3.
5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5.
6、若x 2＋y 2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。
7、若x,y ＞0，求y x y
x ++的最大值。
8、已知关于x 的方程x 2＋(m 2－1)x ＋m －2=0的一个根比－1小，另一个根比1大，
求参数m 的取值范围。
9、解不等式：log a (x ＋1-a)>1. 10解不等式38->-x x .
不等式练习答案
一、DADCB DDDAB BCBAB
二、1、n 1(a 1＋a 2＋…＋a n ) 2、0＜x ＜1或x ＞2 3、3m 4、423 5、3 6、8,2＋3 7、(0,2
51log 2+) 8、0＜x ＜log 23 9、-3＜x ≤2 10、－21
≤x ＜0或1≤x ＜4
三、1、[－21
,1]∪(1,34
) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞)
4、(0,3)
5、(－∞,－1323
) 6、1， 43
7、2 8、－2＜m ＜0
9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.101a a x a x ，
解得x>2a-1.
(II)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<->-+.101a a x a x ＋，
解得：a-1<x<2a-1.
综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a-1}；
当0<a<1时，不等式的解集为{x|a-1<x<2a-1}.
10、原不等价于不等式组(1)⎪⎩⎪⎨⎧
->-≥-≥-2)3(8030
8x x x x 或(2)⎩⎨⎧
<-≥-030
8x x
由(1)得221
53+<≤x ， 由(2)得x ＜3， 故原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+<2215|x x。