2018二次函数与直角三角形存在性问题(新)
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
二次函数背景下的直角三角形的存在性问题修订版
请说明理由。
y HP
C
A
OM
B
x
例3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上， CB∥x轴，且AB平分∠CAO． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三 角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由． （3）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段 PQ的最大值；
（3）若点 Q 是 y 轴上一点，且 APQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标。
y
P
O
C A
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
x
5.抛物线 y 1 x2 bx c 与 x 轴交于 A（-2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，顶 2
点为 P （1）求抛物线解析式； （2）动点 M,N 从点 O 同时出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别在线段 OB,OC 上向点 B， C 方向运动，过点 M 做 x 轴的垂线交 BC 于点 F，交抛物线于点 H ①当四边形 OMHN 为矩形时，求点 H 的坐标；
3：如图，已知直线 y=kx-6 与抛物线 y ax2 bx c 相交于 A,B 两点，且点 A（1，-4）为
抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上。 （1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图像上是否存在一点 P,使 POB与POC 全等？若存在，
求出点 P 坐标，若不存在，请说明理由；
一、课前小测： 1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是
二次函数中直角三角形的存在性问题
知识讲解
〔难点突破〕
在两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点。以定点为直角顶点时，构造两条直线与直线垂直；以动点为直角顶点时，以线段为直径构造圆找点。
小结
数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。平时一定要利用数形结合思想去解决实际问题。
教师姓名
肖金凤
单位名称
填写时间
2021年8月23日
学科
ห้องสมุดไป่ตู้数学
年级/册
九年级
教材版本
人教版
课题名称
第22章二次函数-二次函数中直角三角形存在性问题
难点名称
如何把存在的点找全
难点分析
从知识角度分析为什么难
因为学生不会分类讨论，考虑问题不全面，不会用图形的方法找存在的点。不会用数形结合思想解决问题。
从学生角度分析为什么难
二次函数做为压轴题出现，学生想当然的认为难，而直接放弃。会用代数方法计算，但是不会用图像法找点。
难点教学方法
1、通过分类思想，先把复杂问题简单化；
2、通过用希沃白板5的画板作图，直观的找到存在的点在“两线一圆〞上；
3、通过例题的讲解让学生更好的理解数形结合思想。
教学环节
教学过程
导入
1、如图，抛物线y=a +bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过B〔-3，0〕，C〔0，3〕两点，与x轴交于点A．
二次函数与三角形存在性问题
4二次函数与三角形存在性问题(2-3次课)(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数与三角形存在性问题一、等腰三角形的存在性问题例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。
巩固练习 1、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知A(3,0)，且M(1,38 )是抛物线上另一点。
连接，设点是轴上任一点，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标。
2、如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）当<x<3时，在抛物线上求一点，使△CBE的面积有最大值。
（图2、图3供画图探究）二、直角三角形存在性例2、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形若存在，直接写出满足条件的所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．巩固练习1、如图，抛物线＝－x2＋2x＋3与x轴交于B、E两点，与y轴交于A 点．点P是直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，是否存在点P，使△PAE为直角三角形若存在，求出t的值；若不存在，说明理由2、如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.若点Q是y轴上一点,且为直角三角形,求点Q的坐标.三、等腰直角三角形存在性例3、在平面直角坐标系中,抛物线3-x与x轴交于A,B两点(A在=x2y2+-B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;(3)(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.巩固练习1、如图,抛物线bx=2经过A(4,0),B(1,3)两点,点B、C关于抛物线的y+ax对称轴l对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在这样的点M、N,使得以点M为直角顶点△CNM是等腰直角三角形若存在,请求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.2、如图,已知直线3y与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物=x+-线c-+=2经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以bxxy+每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.3、(1)求抛物线的解析式;4、(2)问:当t为何值时,△APQ为等腰直角三角形;四、全等三角形的存在性问题例4、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；巩固练习如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使与全等若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;五、相似三角形的存在性问题例5、如图，直线与轴、轴分别相交于点、，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为，且对称轴为直线2=x 。
二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)
等腰三角形直角三角形存在性问题典例1，如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B两点,且A 点坐标为,与y轴交于点.(1)求出这个二次函数的解析式;(2)直接写出点B的坐标为(3)在x轴是否存在一点P,使是等腰三角形?假设存在,求出满足条件的P 点坐标;假设不存在,请说明理由;(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?假设存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;假设不存在,请说明理由.答案详解解:(1)的图象经过,,,,所求解析式为:,答:这个二次函数的解析式是.(2)解:,故答案为:.(3)解:在中,,,,,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x轴的正半轴),在中,设,那么解得:,;答:在x轴存在一点P,使是等腰三角形,满足条件的P点坐标是或或或.(4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上,即:Q点坐标为,连接OQ,,,,,Q点坐标为,答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是,面积的最大值是.解析:(1)因为的图象经过,,代入求出c、a的值,即可得到答案;(2)把代入求出x的值,即可得到答案;(3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x 轴的正半轴),,即可得出答案;(4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为,连接OQ,根据,代入求出即可.此题主要考察对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进展计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.练习：如图,抛物线与x轴交于点和点,与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形?假设存在,请求出符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.答案详解解:(1)由题知:解得:所求抛物线解析式为:;(2)抛物线解析式为:,其对称轴为,设P点坐标为,当时,,,①当时,,解得,点坐标为:;②当时,,解得,点坐标为:或;③当时,由勾股定理得:,解得,点坐标为:综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或或或;解析:(1)抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y 轴的交点,因此C的坐标为,根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进展讨论:①当时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作轴于Q,如果设,那么直角三角形CPQ中,OM的长,可根据M的坐标得出,,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标一样,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.②当时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).③当时,因为C的坐标为,那么直线必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;此题主要考察了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进展求解,不要漏解.典例2，练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线〔〕与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线〔〕经过，两点，，，且。
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二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A、B两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A、B两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。
二次函数背景下直角三角形存在性问题
二次函数背景下直角三角形存在性问题
上一讲中，我们探讨了等腰三角形存在性问题，用到的方法是“两圆一线”这样的“几何法”，我们也介绍了“点、线、式”这样的“代数法”，“几何法”主要用来找出符合条件的点的位置，“代数法”主要用来求点的坐标，因为这种解法几乎完全脱离了图形，所以，也称之为“盲解忙算法”、“简单粗暴法”、“万能大法”。
我们今天要讲的“直角三角形存在性”内容，它与等腰三角形存在性问题是具有一定的联系性的，因为这两部分内容思路相通，方法接近。
它们的共同点主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年中考的热点。
本讲内容涉及到的常用知识点有：
1. 勾股定理
2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3. K型图相似,因为几乎没有它解决不来的问题，所以，我们对它给与了足够的尊重，称之为“万能K”
4. 两点之间的距离公式
5. 圆的概念与性质
6. 还有一个需要补充的，就是斜率k。
2018每日一题46-50 二次函数背景下的直角三角存在性问题1
3m n 0, m 1,
得 n 3.
解得 n 3. ∴直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3.
将 A（1,0）和 C（0,3）代入 ax2 bx c 0 ，
b 得 a+b+c=0，c=3.由对称轴公式，得 2a =-1,.
有
a c
b 2a b
3.
1, c
0,
解得
a b c
将 A(-3,0),B(0,3)代入抛物线 y x2 bx c
答案
0 9 3b c b 2
得
3c
解得
c
3
y x2 2x 3
(2)由题得 AN 2t ， OM t AM OA OM 3 t
若△AMN 为直角三角形，要分两种情况：
当∠AMN=90°时， 则cos AMN AM AN
不积跬步无以至千里！
每日一题 50 二次函数背景下特殊三角形存在性问题
班级
姓名
50.（2018 泰安市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c 交 x 轴于点 A(4, 0) 、
B(2, 0) ，交 y 轴于点 C(0, 6) ，在 y 轴上有一点 E(0, 2) ，连接 AE .
理由：
AM 2t AI NI t I (3 t,0) N (3 t,t) OM t, M (t,0)
∵MH∥AB，则△MIH 为等腰直角三角形，
∴HO=MO=t H (3 t,t)
∵H 在抛物线 y x2 2x 3上， t (3 t )2 2(3 t ) 3，
不积跬步无以至千里！
每日一题 46 二次函数背景下特殊三角形存在性问题
班级
姓名
46. （2018 贵州安顺）如图，已知抛物线 ax2 bx c 0(a 0) 的对称轴为直线 x=-1,且抛物线与
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二次函数中直角三角形存在性问题
1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么
以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
2.方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k21
以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者
三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
例一：如图，抛物线()
2230
、两点，
=-->与x轴交于A B
y mx mx m m
与y轴交于C点.
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A B
、两点的坐标；
（2）经探究可知，BCM
△的面积比不变，试求出这个比
△与ABC
值；
（3）是否存在使BCM
△为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明
理由.
例二、如图，抛物线2与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
1. 如图，已知抛物线2（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与
解：（1）
2.如图，抛物线2-2 (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，)作⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接，若△为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．
3. 如图，抛物线22与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4、在平面直角坐标系中，抛物线2+( 1)与直线1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出△面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线2+( 1)（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线1上是否存在唯一一点Q，使得∠90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B(4，m)，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△为直角三角形时点P的坐标．
6、如图，抛物线2经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，∥x轴，且平分∠．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△是以为直角边的直角
三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．。