《常微分方程》答案 习题3.3

习题3.3

1．Proof 若（1）成立则0ε∀>及00x x >，0(,)x δδε∃=，使当 000|||(,,)|y y x x y δ=≤

时，初值问题 0000(,)()(,,)

dy

f x y dx

y x y y x x y ⎧=⎪

⎨⎪==⎩

的解00(,,)y y x x y =满足对一切0x x ≥有00|(,,)|y x x y ε<,

由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解00(,,)y y x x y =及00(,,)y y x x y =都过点

00(,)x y ，由解的存在唯一性

0000(,,)(,,)y x x y y x x y =，当0x x ≥时

故000|(,,)|,y x x y x x ε<≥

若（2）成立，取定00x x >，则0ε∀>，10(,)()x δδεδε∃==，使当 001|(,,)|y x x y δ≤ 时,对一切0x x ≥有

00|(,,)|y x x y ε

<

因初值问题0(,)()0

dy

f x y dx

y x ⎧=⎪

⎨⎪=⎩

的解为0y =，由解对初值的连续依赖性， 对以上0ε>，000(,,)(,)x x x δδεδε∃==，使当

0||y δ

≤时

对一切00(,]x x x ∈有

001|(,,)|m in{,}y x x y εδε

<<

而当0x x ≥时，因

0011|(,,)|min{,}y x x y εδδ≤<

故00|(,,)|y x x y ε<

这样证明了对一切0x x ≥有

00|(,,)|y x x y ε

<

2．Proof ：因(,)f x y 及

f y

∂∂都在G 内连续，从而(,)f x y 在G 内关于y 满足局部

Lipschitz 条件，因此解00(,,)y x x y ϕ=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的。

设由初值00(,)x y 和000(,)x y y +∆0(||,y αα∆≤足够小）所确定的方程解分别为

00(,,)y x x y ϕϕ

=≡，000(,,)y x x y y ψψ=+∆≡

即0

0(,)x

x y f x dx ϕϕ≡+⎰，0

00(,)x x y y f x dx ψψ≡+∆+⎰

于是

00((,)(,))x

x y f x f x dx ψϕϕψ-≡∆+-⎰

0(,())

()01x x f x y dx

y

ϕθψϕψϕθ∂+-=∆+

-<<∂⎰

因

f y

∂∂及ϕ、ψ连续，因此

1(,())

(,)f x f x r y

y

ϕθψϕϕ∂+-∂=

+∂∂

这里1r 具有性质：当00y ∆→时，；10r →且当00y ∆=时10r =，因此对00y ∆≠有

10

(,)1(

)

x x f x r dx

y y

y ψϕ

ϕψϕ

-∂-≡+

+∆∂∆⎰

即0

z y ψϕ

-=

∆

是初值问题

100(,)[]()1dz

f x r z dy

y z x z

ϕ∂⎧=+⎪

∂⎨⎪==⎩

的解，在这里00y ∆≠看成参数0显然，当00y ∆=时，上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知0

y ψϕ

-∆是000,,,x x z y ∆的连续函数，从而存

在

00

lim

y y y ψϕ

ϕ∆→-∂=

∆∂

而

f y ∂∂是初值问题

0(,)()1

dz f x z dx

y z x ϕ∂⎧=⎪

∂⎨⎪=⎩

的解，不难求解

exp

f y ∂=∂0

(,)x x f x dx

y

ϕ∂∂⎰

它显然是00,,x x y 的连续函数。

3．解：这里(,)()()f x y p x y x ψ=+满足解对初值的可微性定理条件 故：

000

(,)exp

f x y x ϕ∂=-∂0

(,)x x f x dx y

ϕ∂∂⎰

000(()())exp ()x x p x y Q x p x dx

=-+⎰

0y ϕ∂∂0

(,)exp exp ()x x x x f x dx p x dx

y

ϕ∂==∂⎰

⎰

0000(,(,,))()(,,)()f x x x y p x x x y Q x x ϕϕϕ∂==+∂

()()dy p x y Q x dx

=+满足00

()y x y =的解为

000

()()0(())x

x

x x p x dx

p x dx

x

x y e

Q x e

dx y -

⎰⎰=+⎰

故

exp ()x x p x dx

y ϕ∂=∂⎰