二元一次方程组加减消元法
二元一次方程组加减消元法知识点
二元一次方程组加减消元法知识点一、加减消元法的概念。
1. 定义。
- 对于二元一次方程组a_1x + b_1y=c_1 a_2x + b_2y=c_2，通过将两个方程相加（或相减）消去其中一个未知数，从而求得这个未知数的值，再将求得的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，这种解方程组的方法叫做加减消元法。
二、加减消元法的适用条件。
1. 系数特点。
- 当方程组中两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数时，适合用加减消元法。
- 例如，对于方程组2x + 3y = 8 2x - 5y=-2，其中x的系数都是2，相等。
再如3x+2y = 5 - 3x+4y=1，x的系数互为相反数。
三、加减消元法的步骤。
1. 步骤一：观察系数。
- 仔细观察方程组中两个方程中x和y的系数，判断是否有某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 如方程组3x + 2y=7 5x - 2y = 1，可发现y的系数互为相反数。
2. 步骤二：进行加减运算。
- 如果某一未知数的系数相等，就将两个方程相减；如果系数互为相反数，就将两个方程相加。
- 对于上述3x + 2y=7 5x - 2y = 1，将两个方程相加得：(3x + 2y)+(5x - 2y)=7 + 1，即8x=8，解得x = 1。
3. 步骤三：求解一个未知数。
- 解由步骤二得到的一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 在8x=8中，解得x = 1。
4. 步骤四：代入求解另一个未知数。
- 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
- 把x = 1代入3x+2y = 7，得到3×1+2y=7，即3 + 2y=7，2y=4，解得y = 2。
四、特殊情况处理。
1. 系数成倍数关系。
- 当方程组中两个方程中某一个未知数的系数不成相等或互为相反数关系，但成倍数关系时，可通过乘以适当的数将系数化为相等或互为相反数的情况。
- 例如，对于方程组2x+3y = 5 4x - 5y=7，可将第一个方程两边同时乘以2，得到4x + 6y=10 4x - 5y=7，此时x的系数相等，然后将两个方程相减来求解。
5.2-加减消元法解二元一次方程组
6 7y 9 7y 96 7y 3 3 y 7
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
异加
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
①
② 同减
3x 5 y 21 2 x 5 y -11
6x-5y=17②
1. 用加减法解方程组
应用（B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤， 并给予订正： 7x－4y＝4 ①
加减法
(4)
9x-5y=1 6x-7y=2
加减法
⑴ 如果方程组的两个方程中某一未知数的系数相等或者 互为相反数时，把两个方程的两边分别 相减或相加 ， 消去一个未知数，得到一元一次方程，解这个方程得一 个未知数的值。将求得的未知数代入其中一个方程得另 一个未知数的值，从而解得方程组的解。同减异加 ⑵如果方程组中某一未知数系数绝对值均不相等时，把 一个或两个方程两边 乘以一个适当的数 ， 使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为上述类型方 程组求解。 特别的，当一个方程中某未知数的系数是另一个方程同 一未知数的系数 的倍数时 ，加减消元法比较合适。
(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入 每一个方程看是否成立.
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c ( .等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组
加减消元法是一种同时解决多个方程的技术，是乘法消元法的一种，通过加减来解决方程的系数使之变为0，是解决线性方程组的一种简单有效的方法。
一、定义：
加减消元法是指用一组线性方程组，利用加减法，将系数相同的项加减消去，形成新的方程，以求出未知数的值。
二、步骤：
（1）首先把给定的二元一次方程组先写出来，格式要明确；
（2）把所有未知数自然地从小到大排列，写成一个矩阵形式；
（3）开始消元，从矩阵左下角（也可以从右上角）开始，将每行的首项的系数都变为1，同时将原有的等式的右边也作适当的系数改变；
（4）之后将相同系数的相邻项进行加减，消去其中一项；
（5）一直重复上述步骤，最终形成有关未知数的线性矩阵形式，然后
就可以求出未知数的值。
三、原理：
加减消元法的原理可以表述为：使用加减操作、乘除操作，将所有未知数归约至一行，从而解得一组方程组的解。
也就是将，原矩阵中，有关某个未知数的项的系数变为0，从而消除掉它，最终形成只有最后一个未知数的矩阵，再将这个未知数带入原等式中即可求得最后的未知数的值。
四、简单例题：
求解下列方程组：
3x+2y=7
x-y=1
解：
设方程组的右边如下：
（7）（1）
将左边也写出来：
（3 2）（1 -1）
将未知数y的系数项由+2变为-2，即多一步变换3x-2y=7，右边为：（7）（-1）
由此将右边的-1和1相加消去，即得到：
d）（7）
（3 0）
联立上下两个方程可解出：x=2, y=1
从而得 2x+2y=7 的解为：x=2, y=1。
3.3.4 二元一次方程组的解法——加减消元法
知2－讲
化简，得x＋y＝3 ③，①－②，
得－x＋y＝－1④，联立③和④，得 x+y 3,
③＋④，得2y＝2，解得y＝1. ③－④，得2x＝4，解得x＝2.
x+y 1,
所以原方程组的解是
x 2,
y
1.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
解轮换对称方程组的步骤： ①两式相加； ②两式相减； ③把新得的两个方程联立，解这个方程组．
知2－讲
x 6,
y
6.
（来自《点拨》）
例4
解方程组
x
2
y
x
3
y
6,
知2－讲
导引：先将方程组2化 x简 y， 再3x用加3 y减 2法4.解方程组．
解：将原方程组化简，得 5x+y 36,①
①×5，得25x＋5y＝180x.③ 5,
解法一:（消去x) 将①×2,得8x+2y=28.③ ②-③，得y= 2. 把y =2代入①，得4x + 2 = 14. x = 3.
知1－讲
所以
解法二: （消去y)x请 同3, 学们自己完成.
y
2.
（来自教材）
例3
解方程组：4x+2y 5, ① 5x 3y 9. ②
y
24.②
③－②，得26x＝156，解得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝6.
所以原方程组的解是知2－讲源自x 6, y
6.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
每个二元一次方程组均可采用代入法或加减法求解，但是 在解题中我们应根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法， 使计算过程简单，一般地，当化简后的方程组存在一个方 程的某个未知数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时， 用代入法；当两个方程中的某一个未知数系数的绝对值相 等或成倍数关系时，用加减法．
二元一次方程组的解法之加减消元法
3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程
二元一次方程的加减消元法
二元一次方程的加减消元法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般形式为：ax + by = c.dx + ey = f.加减消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。
它的基本思想是通过加减操作消去一个未知数，从而将方程组化简为只含有一个未知数的方程，然后求解得到另一个未知数的值。
具体步骤如下：1. 将方程组中的两个方程按照形式对齐，确保同类项在一起。
2. 通过加减操作消去一个未知数。
可以通过乘以适当的系数使得两个方程中同类项的系数相等，然后相加或相减消去一个未知数。
3. 化简得到只含有一个未知数的方程。
4. 求解得到一个未知数的值。
5. 将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求解得到另一个未知数的值。
举例说明：考虑方程组：2x + 3y = 8。
3x 2y = 1。
首先将两个方程按照形式对齐：2x + 3y = 8。
3x 2y = 1。
然后通过加减操作消去一个未知数：将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：6x + 9y = 24。
6x 4y = 2。
相减得到：13y = 22。
化简得到只含有一个未知数的方程：y = 22/13。
将y的值代入原方程组的第一个方程中，求解得到x的值： 2x + 3 (22/13) = 8。
2x + 66/13 = 8。
2x = 8 66/13。
2x = 34/13。
x = 17/13。
因此，通过加减消元法，可以求得方程组的解x=17/13，y=22/13。
总之，加减消元法是解二元一次方程组的一种有效方法，通过适当的加减操作可以简化方程组，从而求得未知数的值。
初中数学【二元一次方程组的解法——加减消元法】课件
知数的数值。
3.把解得的一个未知数的 值代入原方程中的任意一个方程，
解得另一个未知数的值。
4.把解得的两个未知数的，并列写在花括号，得到原方程
组的解。
拓展提升
解方程组
+ −
+ =6
2
3
①
2(x+y)-3x+3y=24
②
引导：将较为复杂的方程组先化简转化为一般形式，然后用代入法或
③ - ④， 得 26v=13
解这个一元一次方程，得v=
1
2
1
2
将v= 代入方程①，得5u+1=-9
解得
u=-2∴Βιβλιοθήκη 程组的解为u=-2v=
1
2
课堂总结
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1.在一个或两个方程的两边分别乘以一个适当的数，使两
个方程中某一个未知数的系数绝对值相等。
2.绝对值相等的未知数的系数符号相反时，将两个方程相
二元一次方程组的解法——加减消元法
知识回顾
解二元一次方程组的根本方法—— “消元”
消元本质： 通过消掉一个未知数，将二元转化为
一元。
情景导航
x+y=7300 ①
解方程组
y-x=6100
②
“加减消元法”
“化归思想”
观察这个方程组的系数特点，你还能想出其它办法来消元吗？
整体思路：
法1：①式与②式x前面的系数互为相反数，利用等式的基本性质，将两式相加，就能消
的这种解法叫做加减消元法，简称加减法。
典例分析
5u+2v=-9 ①
解方程组
二元一次方程组加减消元法
小结
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？ 同一个未知数的系数相同或互为相反数 特点: 或成整数倍 使得同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元
一元
基本思路: 加减消元: 二元
主要步骤： 变形 加减 求解 写解
分别求出两个未知数的值 写出原方程组的解
例:用加减法解方程组:
①
2x+3y=-1 ②
由 ②－①得:8y＝－8
由①+②得: 5x=20
当同一个未知数的系数互为相反数时，用 加法；
当同一个未知数的系数相同时，用减法。
一.填空题：
2x+7y=17
1.已知方程组 两个方程 4x-7y=6 分别相加 就可以消去未知数 y 只要两边 23x-9y=18
2.已知方程组
两个方程
2
知识的升华
a+2b=8 1、已知a、b满足方程组 2a+b=7 则a+b= 5
2、选做题：当m为何值时,关于x、y的
方程组{
2x+3y=m
3x+5y=m+2
得的解的和为12?
练一练
用适当方法解下列方程组.
4s+3t=5
5x-6y=9 7x-4y=-5
2s-t=-5
二元一次方程组解法有 代入法、加减法 .
③+④得 19x=114 x=6
把x=6代入① 得: y＝－
所以原方程组的解是
1 2
2
把y =
1 2
代入① 得: x＝６
x 6 y
1 2
所以这个方程组的解是
x6 y1 2
二元一次方程加减消元
二元一次方程加减消元二元一次方程加减消元是初中数学中非常重要的内容，它是解决二元一次方程组的一种有效的方法。
下面本文将从以下几个方面来详细阐述：一、什么是二元一次方程加减消元二元一次方程加减消元，是指将两个二元一次方程通过加法或减法消去其中一个变量，使得方程组的变量数目减少，从而求出另一个变量的值。
通常情况下，我们会选择将两个方程加减消元，使得求解过程更加简单。
二、二元一次方程加减消元的具体步骤二元一次方程加减消元有一定的技巧和步骤，以下是具体的步骤：1、将两个方程的变量都排列在一起，将系数用字母表示，如a,b,c,d,e,f。
2、观察这两个方程组，考虑如何将其中一个变量消去。
通常我们会选择系数相等或相反的方程相加或相减，使得某一个变量系数消失。
3、将选择的方程相加或相减，消去其中一个变量。
这时就变成了只含一个变量的一元一次方程，可以直接求解出其值。
4、把解出来的一个变量值带入任意一个原方程中，求解另一个未知数。
5、检验方程组的解是否正确，是否满足原方程中的条件。
三、二元一次方程加减消元的应用范围二元一次方程加减消元的应用范围非常广，常见的应用有以下几种：1、消除平移：当二元一次方程中存在平移时，我们可以通过加减消元法将平移部分消去，从而简化公式的表达。
2、简化方程：当二元一次方程较为复杂时，采用加减消元法可以大大简化计算的步骤，提高计算效率。
3、经济问题求解：在经济问题中，常常需要求出两个或多个变量的值，此时可以应用二元一次方程加减消元的方法，快速求解出变量的值，从而解决实际问题。
四、总结二元一次方程加减消元是初中数学中的重要内容，它可以帮助我们快速求解二元一次方程，从而解决实际问题。
掌握二元一次方程加减消元的方法，需要多做题，多总结经验，这样才能对其进行深入理解，掌握其本质。
二元一次方程组的解法(2) 加减消元法1课件2022-2023学年人教版七年级数学下册
是同类项，则
x y
1
= ___________.
深探·自学
如何得结论呢！
y
已知 x ，
x 2
已知
y 1
2 x y 4
满足方程组
x 2 y 5
mx y 3
是方程组
x ny 6
，则
x y
3
=___________.
4
的解，则 mn = ___________.
x 1
y 2
∴这个方程组的解为
x 1
y 2
总结：①某个未知数的系数互为
相反数，用加法消元.
初探·自学
习惯指标 ★积极参与课堂合作
学科指标 ★解二元一次方程组
联系上面的解法，想一想怎么解方程组
2 x y 4
x y 1
解：由①-②得， = 5 .
且 (2b a)
关于， 的二元一次方程组为
2a 6b 4
6a 2b 8
2022
(2 1) 2022 1 .
2.
Ax＋By＝2，
甲、乙两人同解方程组
甲正确解得
Cx－3y＝－2.
x＝1，
乙因抄错
y＝－1.
x＝2，
C，解得
求
y＝－6.
习 惯 指 标 ★做好课前准备
第2课时
二元一次方程组的解法（2）
——加减消元法1
万物皆有裂痕，那是光进来的地方.
习惯指标 ★积极参与课堂合作
初探·自学
解二元一次方程组：
2 x y 4
x y 1
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• 作业布置：
9+2y=13 y=2 x=3 ∴ y=2
｛
解法2: 解法
｛
3x +2y =13 3x -2y =5
y=2
① ②
解：①-② 得：4y=8 ②
代入① 把 y=2代入①得： 代入
3x+4=13 x=3 x=3 ∴ y=2
｛
填空题： 一.填空题：
1：利用加减消元法解方程组时在所有的方程组的 两个方程中，某个未知数的系数互为相反数， 两个方程中，某个未知数的系数互为相反数，则 把这两个方程中的两边分别相加。 可以直接 把这两个方程中的两边分别相加。 消去这个未知数，如果某个未知数系数相等， 消去这个未知数，如果某个未知数系数相等，则 把这两个方程中的两边分别相减, 可以直接 把这两个方程中的两边分别相减, 消去这个未知数
• 消去这个未知数，如果某个未知数系数相等，则 消去这个未知数，如果某个未知数系数相等， 可以直接把这两个方程中的两边分别相减 把这两个方程中的两边分别相减,消去这 可以直接把这两个方程中的两边分别相减 消去这 个未知数
用加减消元法解二元一次方程的一般步骤是： 二、 用加减消元法解二元一次方程的一般步骤是： 运用等式性质， ⑴运用等式性质，使其中某一个未知数的系数的 绝对值相等； 绝对值相等； 把变形后的两个方程相加或相减， ⑵把变形后的两个方程相加或相减，以消去一个 未知数； 未知数； 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值； ⑶解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值； 把这个未知数的值代入另一个方程， ⑷把这个未知数的值代入另一个方程，求另一个 未知数的值； 未知数的值； ⑸把两个未知数的值用“ ”合写在一起. 把两个未知数的值用“ 合写在一起. 求 某 写 得 二 消
x+3y=17 2.已知方程组 已知方程组 2x-方程只要两边 3.已知方程组 已知方程组 25x+6y=10 分别相减 就可以消去未知数 x a+2b=8 4.已知 、b满足方程组 已知a、 满足方程组 已知 2a+b=7 则a+b= 5 两个方程只要两边
第二节 二元一次方程组的解法
用加减法解二元一次方程组
想一想
3x+2y=13
为了解方程组
3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y 不用代入法能否消去其中的未知数y？
解法1: 解法
｛
3x +2y =13 3x -2y =5
x=3
① ②
解：①+② 得：6 x=18 ②
代入① 把 x=3代入①得： 代入
例1.解方程组： 1.解方程组： 解方程组
例2.解方程组： 2.解方程组： 解方程组
2 x + 3 y = 16 x + 4 y = 13
x y 13 + = 2 3 2 x y 3 − = 3 4 2
用加减消元法解二元一次方程的一般步骤是： 用加减消元法解二元一次方程的一般步骤是： 运用等式性质， ⑴运用等式性质，使其中某一个未知数的系数的 绝对值相等； 绝对值相等； 把变形后的两个方程相加或相减， ⑵把变形后的两个方程相加或相减，以消去一个 未知数； 未知数； 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值； ⑶解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值； 把这个未知数的值代入另一个方程， ⑷把这个未知数的值代入另一个方程，求另一个 未知数的值； 未知数的值； ⑸把两个未知数的值用“ ”合写在一起. 把两个未知数的值用“ 合写在一起. 求 某 写 得 二 消
5x + y = 3 练习、 练习、已知方程组 + 5 y = 4 ax
x − 2y = 5 与 5x + by = 1
有相同的解， 的值． 有相同的解，求a、b的值．
思维拓展 5x－4y=3x＋ 解方程组 5x－4y=3x＋2y=33
• 课堂小结：
• 一、利用加减消元法解方程组时在所有的方程组 利用加减消元法解方程组时在所有的方程组 的两个方程中，某个未知数的系数互为相反数， 的两个方程中，某个未知数的系数互为相反数， 则可以直接把这两个方程中的两边分别相加 把这两个方程中的两边分别相加。 则可以直接把这两个方程中的两边分别相加。
元 元 去 绝 一 变形 对 次 个 值 方 元 相 程 等 组 值 值 的 解 的 元 的 元 加减 一 解方程 个 代入 个 组 一 程 一 另 方
知识拓展
2 x + 2 y = n 为多少时， 例4、当m、n为多少时，方程组 3x − y = 7 2 x + y = 8 有相同的解． 与 有相同的解． x + 2 y = m