第3讲 圆周运动

第3讲 圆周运动知识要点一、匀速圆周运动 1.定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。

2.特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。

3.条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。

二、角速度、线速度、向心加速度三、匀速圆周运动的向心力1.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。

2.大小：F n ＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝mωv ＝4π2mf 2r 。

3.方向：始终沿半径指向圆心方向，时刻在改变，即向心力是一个变力。

4.来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。

四、离心现象1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

基础诊断1.如图1所示，a、b是地球表面上不同纬度上的两个点，如果把地球看做是一个球体，a、b两点随地球自转做匀速圆周运动，这两个点具有大小相同的()图1A.线速度B.加速度C.角速度D.轨道半径答案 C2.(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则()A.角速度为0.5 rad/sB.转速为0.5 r/sC.轨迹半径为4πm D.加速度大小为4π m/s2答案BCD3.(多选)[教科版必修2·P23·T4拓展]如图2所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径R B＝4R A、R C＝8R A。

当自行车正常骑行时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比a A∶a B∶a C等于()图2A.1∶1∶8B.4∶1∶4C.4∶1∶32D.1∶2∶4解析 小齿轮A 和大齿轮B 通过链条传动，齿轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B ，小齿轮A 和后轮C 同轴转动角速度相等，有ωA ＝ωC 。

由a ＝v 2R 可得a A ∶a B ＝R B ∶R A ＝4∶1，同时由a ＝ω2R 可得a A ∶a C ＝R A ∶R C ＝1∶8，所以有a A ∶a B ∶a C ＝4∶1∶32，选项C 正确。

答案 C4.如图3所示为公路自行车赛中运动员在水平路面上急转弯的情景，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与自行车看做一个整体，下列论述正确的是( )图3A.运动员转弯所需向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供B.运动员转弯所需向心力由地面对车轮的摩擦力提供C.发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心D.发生侧滑是因为运动员受到的合外力大于所需的向心力解析 向心力为沿半径方向上的合力。

运动员转弯时，受力分析如图所示，可知地面对车轮的摩擦力提供所需的向心力，故A 错误，B 正确；当f ＜m v 2r ，摩擦力不足以提供所需向心力时，就会发生侧滑。

故C 、D 错误。

答案 B圆周运动的运动学问题1.对公式v＝ωr的进一步理解当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。

2.对a＝v2r＝ω2r＝ωv的理解在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比。

3.常见传动方式及特点(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同。

(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。

【例1】(2019·浙江十校联盟3月适应性考试)如图4所示是一种古老的舂米机。

舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起。

然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落，稻谷变为大米。

已知OC＞OB，则在横梁绕O转动过程中()图4A.B、C的向心加速度相等B.B、C的角速度关系满足ωB＜ωCC.B、C的线速度关系满足v B＜v CD.舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力大于稻谷对舂米锤的作用力解析由图可知，B与C属于共轴转动，则它们的角速度是相等的，即ωC＝ωB，向心加速度a n＝ω2r，因OC＞OB，可知C的向心加速度较大，选项A、B错误；由于OC＞OB，由v＝ωr可知C点的线速度大，选项C正确；舂米锤对稻谷的作用力和稻谷对舂米锤的作用力是一对作用力与反作用力，二者大小相等，选项D错误。

答案 C1.(多选)(2019·安徽合肥模拟)如图5所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，它们的边缘有三个点A、B、C。

关于这三点的线速度、角速度、周期和向心加速度的说法中正确的是()图5A.A、B两点的线速度大小相等B.B、C两点的角速度大小相等C.A、C两点的周期大小相等D.A、B两点的向心加速度大小相等解析自行车的链条不打滑，A点与B点的线速度大小相等，故A正确；B点与C点同一转轴转动，角速度相等，故B正确；由T＝2πrv可知，A点的半径大于B点的半径，A点的周期大于B点的周期，而B点的周期与C点的周期相等，所以A点的周期大于C点的周期，故C错误；由向心加速度公式a n＝v2r，A点的半径大于B点的半径，可知A点的向心加速度小于B点的向心加速度，故D 错误。

答案AB2.(多选) (2019·辽宁丹东质检)在如图6所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点()图6A.A点和B点的线速度大小之比为1∶1B.A点和B点的角速度之比为1∶1C.A点和B点的角速度之比为3∶1D.以上三个选项只有一个是正确的解析题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度大小一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，B、D错误。

答案AC3.(多选)(2019·江苏卷，6)如图7所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。

座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱()图7A.运动周期为2πR ωB.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为mω2R解析座舱的周期T＝2πRv＝2πω，A错误；根据线速度与角速度的关系，v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R，C错误，D正确。

答案BD圆周运动中的动力学问题1.向心力的来源(1)向心力的方向沿半径指向圆心。

(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。

2.解决圆周运动动力学问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的所在平面是至关重要的一环；(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。

【例2】(2019·成都市一诊)游乐场有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，其简化模型如图8所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ(0＜θ≤π2)，当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是()图8A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直C.旋臂对模型飞机的作用力大小为m g2＋ω4L2sin2θD.若夹角θ增大，则旋臂对模型飞机的作用力减小解析当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，模型飞机受到的力为重力和旋臂的作用力，它们的合力充当向心力，选项A错误；旋臂对模型飞机的作用力方向可以与旋臂不垂直，这个作用力在水平方向的分力提供向心力，在竖直方向的分力与重力平衡，选项B错误；由力的合成可知，旋臂对模型飞机的作用力大小为F＝m g2＋ω4L2sin2θ，选项C正确；由C项分析可知，当夹角θ增大时，旋臂对模型飞机的作用力增大，选项D错误。

答案 C1.如图9所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车道的总宽度约为15 m，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍，则运动的汽车()图9A.所受的合力可能为零B.只受重力和地面支持力作用C.最大速度不能超过25 m/sD.所需的向心力由重力和支持力的合力提供解析汽车在水平面上做匀速圆周运动，合外力时刻指向圆心，拐弯时由静摩擦力提供向心力，因此排除A、B、D，选项C正确。

答案 C2.(多选)(2019·四川成都七中测试)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。

一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)。

设两球同时做如图10所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则()图10A.两球运动的周期相等B.两球的向心加速度大小相等C.球A 、B 到P 的距离之比等于m 2∶m 1D.球A 、B 到P 的距离之比等于m 1∶m 2解析 对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力F ，绳中拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有F cos θ＝mg ，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P 的距离为l ，则有F sin θ＝mg tan θ＝m 4π2T 2l sin θ，解得周期为T ＝2πl cos θg ＝2πhg ，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项A 正确；连接两球的绳的张力F 相等，由于向心力为F n ＝F sin θ＝mω2l sin θ，故m 与l 成反比，由m 1≠m 2，可得l 1≠l 2，又小球的向心加速度a ＝ω2l sin θ＝(2πT )2l sin θ，故向心加速度大小不相等，选项C正确，B 、D 错误。

答案 AC竖直面内的圆周运动模型建构1.两类模型轻绳模型 轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg ＝m v 2临r 得v 临＝gr由小球恰能做圆周运动得v 临＝0 受力示意图力学方程mg ＋N ＝m v 2R mg ±N ＝m v 2R 临界特征N ＝0v ＝0mg＝mv2minR即v min＝gR即F向＝0N＝mg 过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥2.考向轻绳模型【例3】如图11所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球(可视为质点)，小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动。

已知小球运动过程中轻绳拉力F的大小与绳和竖直方向OP的夹角θ的关系为F＝b＋b cos θ，b为已知的常数，当地重力加速度为g，小球的质量为m，则小球在最低点和最高点的速度分别为()图11A.（2b－mg）Lm、gL B.gL、gLC.gL、（2b－mg）Lm D.2bLm、gL解析θ＝0°时，F＝2b，小球在最低点，设其速度为v1，由牛顿第二定律得2b－mg＝m v21L，解得v1＝（2b－mg）Lm；θ＝180°时，F＝0，小球在最高点，设其速度为v2，由牛顿第二定律得mg＝m v22，解得v2＝gL，选项A正确。