第4章 第3讲 匀速圆周运动

例2：如图4－3－2所示，用细 绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物 体A静止在水平转盘上，细绳另一 端通过转盘中心的光滑小孔O吊着 质量为m＝0.3kg的小球B，A的重心 到O点的距离为0.2m.若A与转盘间 的最大静摩擦力为f＝2N，为使小球 B保持静止，求转盘绕中心O旋转的 角速度ω的取值范围．(取g＝10m/s2， 保留两位有效数字)
例1：如图4－3－1所示的传动装置中，B、 C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用 皮带传动，三轮半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带 不打滑，求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角 速度之比、线速度之比和向心加速度之比．
解析：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑， 则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即：va＝vb或 va∶vb＝1∶1 由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C 两轮的角速度相同，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以：ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2 va∶vb∶vc＝1∶1∶2 因为a＝vω，所以aa∶ab∶ac＝1∶2∶4
点评：传动装置特点：凡是直接用皮带传动(包括 皮带传动、齿轮传动) 的两个轮子，两轮边缘上各点的 线速度大小相等；凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一 根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)． v2 警示：an＝ ＝ 2 r＝v· 这几个公式是用瞬时量线 r 速度v和角速度 表示的，因而既适用于匀速圆周运动，
(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的 慢 . 快
(2)方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿 圆弧该点的 切线 方向．
(3)大小：v＝s/t(s是t时间内通过的弧长)．
2．角速度 (1)物理意义：描述质点绕圆心转动的 慢 . 快
(2)大小：ω＝ φ/t ，φ是连接质点和圆心 的半径在t时间内转过的角度． 3．周期T，频率f 做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时 间叫做周期． 做匀速圆周运动的物体单位时间内绕圆心 转过的圈数，叫做频率．
A．C处物块的向心加速度最大 B．B处物块受到的静摩擦力最小 C．当转速增大时，最先滑动起来的是C 处的物块 D．当转速继续增大时，最后滑动起来 的是A处的物块
解析：三个物体的角速度相等，C处物 块的半径最大，所以加速度最大；摩擦力提 供向心力，B处物块受到的静摩擦力最小； 根据μmg＝mRω2可以判断出当转速增大时， 最先滑动起来的是C处的物块，A、B两处的 物块同时滑动起来． 答案：ABC
也适用于变速圆周运动．周期T 和频率f 不是瞬时量， 4 2 an＝4 2 f 2 r＝ 2 r 这两个公式只适用于匀速圆周运动． T
二、静摩擦力作用的圆周运动 问题：静摩擦力在圆周运动中有怎样的特 点？如何处理此类问题？ 解答：静摩擦力的特点是根据物体运动状 态的变化而改变大小，变化方向．有人称其为 “适应性”．由于静摩擦力这一特性的存在就 会导致临界问题出现．处理这类问题的关键是 分析出静摩擦力的变化，从而结合其他力分析 出向心力的变化，以确定圆周运动的其他物理 量的变化．
综合代Байду номын сангаас数据得
1＝6.5rad / s, 2＝2.9rad / s 所以2.9rad / s 6.5rad / s
点评：解决这类临界问题的方法，主要是采 用极限法分析，将临界点凸显出来，找到临界条 件． 警示：做匀速圆周运动的物体，受到的合外 力的方向一定沿半径指向圆心(向心力)．
解析：小球B保持静止，对于B，T＝mg 而要使B静止，A必须相对于转盘静止 — —具有与转 盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦 力合成． 当角速度很大时，A有离心趋势， 静摩擦力指向 圆心O当A恰好能静止，T＋f max＝Mr12 当角速度很小时，A有向心运动的趋势， 静摩擦
2 力背离圆心O当A恰好能静止，T－f max＝Mr2
6．向心力
1 作用效果：产生 向心 加速度，只改变线
速度的 方向 ，不改变线速度的 大小 .因此， 向心力不做功． v2 2 大小：F＝ man ＝ m ＝ m 2 r ＝ r 4 2 m 2 r T 3 方向：总是沿半径指向圆心，向心力是变力．
一、圆周运动各量关系的理解和运用 问题：圆周运动各物理量之间存在怎样的关系？
一、匀速圆周运动(匀速率圆周运动简称) 1．特点：匀速圆周运动是线速度 大小 不变 的运动，因此它的角速度大小、周期和 频率都是 恒定不变 的，物体受到的合外力 全部 提供向心力． 2．质点做匀速圆周运动的条件：合外力 大小 不变 ，方向始终与速度方向 垂直 .
二、描述匀速圆周运动的物理量
1．线速度
1 2 4．v、、T 、f 关系：T＝ ，＝ ＝2 f ， f T v＝ 2 r＝2 fr＝ r. T 注意：T 、f 、 三个量任意一个确定，其余两 5．向心加速度
个也确定了．
1 物理意义：可描述线速度方向改变的快慢．
v2 4 2 . 2 大小：an＝ ＝ 2 r＝4 2 f 2 r＝ 2 r＝v r T 3 方向：总是指向 圆心 ，所以不论an的大 小是否变化，它都是个变化的量．
解析：描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、 周期、频率、向心加速度5个物理量．其中角速度、周 期、频率三个量是密切相关的，任意一个量确定，其 1 2 他两个量就确定，其关系为T＝ ＝ 当T 、f 、 一定 f 时，线速度还和r 有关，r 越大，v越大．向心加速度是 按效果命名的，总是指向圆心，方向时刻在变化，是一 个变加速度．当 一定时，an 与r 成正比，当v一定时， an 与r 成反比．
1.(多选)如图4－3－3所示， 一小物块以大小为v＝2m/s的线 速度做匀速圆周运动，半径R＝ 1m，则下列说法正确的是( ) AD
A．小球运动的角速度为 2rad / s B．小球做圆周运动的周期为 s C．小球在 s内通过的位移大小为 D．小球在 s内通过的路程为0

20
m
2.(单选)如图4－3－4所示，甲、乙、丙三 个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半 径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙 轮的角速度为( A )
r11 A. r3 r31 C. r2
r31 B. r1 r11 D. r2
3.(多选)如图4－3－5所示， 水平转盘上的A、B、C三处有三 块可视为质点的由同一种材料做 成的正立方体物块；B、C处物块 的质量均为m，A处物块的质量为 2m；A、B与轴O的距离均为r，C 到轴O的距离为2r，转盘以某一 角速度匀速转动时，A、B、C处 的物块都没有发生滑动现象，下 列说法中正确的是( )
4.(多选)如图4－3－6所示，是 用以说明向心力和质量、半径之间 关系的仪器．球P和Q可以在光滑杆 上无摩擦地滑动，两球之间用一条 轻绳连接，mP ＝2mQ ，当整个装置 以角速度ω匀速旋转时，两球离转轴 的距离保持不变，此时( AC ) A．两球受到的向心力大小相等 B．P球受到向心力大于Q球受到的向心力 C．RP一定等于RQ/2 D．当ω增大时，P球将向外运动