北京市朝阳区2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题(无答案)
北京市朝阳区2016~2017学年度第二学期期末统一考试
高二年级数学理科试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项）
1．设0.3log 2a =，20.3b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．b c a <<
2．已知i 为虚数单位，负数i(i )()z a a =-∈R 在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是
（ ）． A ．(1,)+∞
B ．(0,)+∞
C ．(,0)-∞
D ．(,1)-∞-
3．在极坐标系中，曲线2sin ρθ=的对称中心是（ ）． A ．π1,2⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．π1,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
C ．(1,0)
D ．(1,π)
4．若11dx a x -=⎰，π
0sin dx b x =⎰，则a b +的值是（ ）． A ．2- B ．0 C ．2 D ．3
5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）． A ．3
y x =
B ．1
(e e )2x x y -=-
C ．1lg 1x
y x
+=-
D ．12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
6．若函数3211
()32f x x ax x =-+在区间(0,1)内为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）．
A ．[)2,+∞
B ．(0,2)
C ．(,2)-∞
D ．(],2-∞
7．图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩
上”两数之和，则第n 行的1n +个数的和为（ ）．
… … … … … …
543
2
2
211
1
A ．3n
B ．1
32
n -⨯
C ．23()32
n n -+
D ．23n n -+
8．某校高二学生参加社会实践活动，分乘3辆不同的巴士，共有5名带队教师，要求每车至少有一
名带队教师，则不同的分配方案有（ ）． A ．90种 B ．150种 C ．180种 D ．240种
9．某次期末考试，甲、乙、丙获得了班级前三名（无并列名次）．某同学曾做了三个猜测：“甲是第
一名；乙不是第一名；丙不是第二名”．该同学只猜对了一个，则实际的结果是（ ）．
A ．甲第一名，乙第二名，丙第三名
B ．甲第二名，乙第三名，丙第一名
C ．甲第三名，乙第二名，丙第一名
D ．甲第二名，乙第一名，丙第三名
10．已知函数11()(e)22f x x x ⎛
⎫=
--- ⎪⎝⎭
（其中(0,)x ∈+∞），()l n gx x =和函数
()()(),
()()()().f x f x g x h x g x f x g x ⎧=⎨<⎩
≥若方程()h x kx =有四个不同的解，则实数k 的取值范围是（ ）．
A ．10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．e 0,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．e 1,2e e ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．1e ,e e ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上） 11．6
12x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）
12．已知曲线C 的参数方程为cos 1,
sin 1x y αα=-⎧⎨=+⎩
（α为参数），点P 为曲线C 上的动点，O 为坐标原点，
则PO 的最小值为__________．
13．甲、乙、丙的投篮命中率分别为
12，23，4
5
．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是__________．
14．若随机变量ξ的分布列为()(1,2,3)P k ak k ξ===，则实数a =__________；数学期望
E ξ=__________．
15．已知甲、乙、丙、丁四人排成一行，甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排法有__________
种．（用数字作答）
16．若函数()f x 的导数()f x '存在导数，记()f x '的导数为()n f x ．如果()f x 对任意(,)x a b ∈，都有
()0n f x <成立，则()f x 有如下性质：
1
212()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫
⎪⎝
⎭
≥．其中n ∈N *，1x ，2x ， ，(,)n x a b ∈．若()sin f x x =，则()n f x =__________；根据上述性质推断：当123πx x x ++=且1x ，2x ，3(0,π)
x ∈时，根据上述性质推断：123sin sin sin x x x ++的最大值为__________．
三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题
卡上） 17．（本小题12分）
已知函数2
1()ln (1)()2
f x a x x a x a =+-+∈R ．
（I ）若2x =为函数()f x 的极值点，求a 的值． （II ）讨论函数()f x 在区间(0,2)内的单调性．
18．（本小题14分）
为了了解某批产品的质量，从该批产品中随机抽取24个产品分成三组进行检测评分，得分结果如下：
第一组 70 91 80 82 79 98 67 75 第二组 75 91
78 89 95 99 92 86
第三组 88 87 90 91
95 92 a
b
已知所有得分均为整数，得分在[)90,100的为一等品，[)80,90的为二等品，79分及以下的为三等品．
（I ）从第一组中的8件产品任取3件，记一等品的个数为X ，求随机变量X 的分布列． （II ）若90a =，试问b 为何值时，第三组产品质量得分的方差最小？（直接写出结果）
（III ）在（II ）的结果下，以这24件产品的三等品的频率估计整批产品中三等品的概率．从该批产
品（数量众多）中任取3件，记三等品的个数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望．
19．（本小题14分）
已知函数()(1)sin 2cos f x x x x x =-++．
（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程． （II ）求函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值．。
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
2016-2017学年第二学期期末考试高二理科数学试题
2016-2017学年第二学期期末考试试题高二（理科）数学一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数3i z =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用演绎推理推证“菱形的对角线互相平分”中，用到下列三个判断：①菱形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分；③菱形的对角线互相平分．则大前提、小前提、结论分别是 A ．①②③B ．③②①C ．①③②D ．②①③3．复数3i1i--的模等于AB ．5 CD ．24．已知随机变量ξ的的分布列如右表，则随机 变量ξ的方差D ξ等于 A ．0 B ．0.8 C ．2D ．15．已知函数y f x =()的图象如图1所示，则其导函数y f x '=()的图象可能是6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207860506050K .⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.附表：参照附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”ABCD图1C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 7．在二项式51x +()的展开式中，含4x 的项的系数是A ．-10B ．10C ．-5D ．58．甲、乙等五名医生被分配到A B C D 、、、四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名医生，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的不同分配方法种数为 A ．72种B ．36种C ．144种D ．48种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．函数3212323f x x x x =-+-()在区间0,2[]上最大值为 .10．6201x dx +⎰()= .11．某班有50名学生，一次考试的成绩N ξξ∈()服从正态分布210010N ,(). 已知901000.3P ξ≤≤()=，估计该班数学成绩在110分以上的人数为 .12．用数字12345,,,,组成的无重复数字的四位偶数的个数为 .（用数字作答）13．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球0*m n m n N <≤∈(,,),共有1m n C +种取法．在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球不含黑球，共有01mn C C ⋅种取法；另一类是取出的m 个球中含有黑球，共有111m n C C -⋅．因此，有011111m m mn n n C C C C C -+⋅+⋅=成立，即有等式11m m mn n n C C C -++=成立．试根据上述思想化简下列式子：1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅= .1,,,*k m n k m n N ≤<≤∈().14．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是cos sin 1.x y θθ=⎧⎨=+⎩,（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）已知函数312f x x x =-()． （1）求函数f x ()的单调区间与极值；（2）求函数y f x =()的图象在点1x =-处的切线方程．16．（本小题满分12分）一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13. （1）求他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在途中恰好遇到3次红灯的概率； （3）求他在途中遇到红灯次数ξ的数学期望和方差.17．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，11429*n n n n a a a a n N ++-+=∈(). （1）求234a a a ,,；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 18．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学通过作散点图，发现样本点呈条状分布，月份和甲胶囊生产产量有比较好的线性相关关系，因此可以用线性直线ˆˆˆybx a =+来近似刻画它们之间的关系．为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b =，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i nii x ynx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆay bx =-.)19．（本小题满分14分）有同寝室的四位同学分别写一张贺年片，先集中起来，然后每人去拿一张．记自己拿到自己写的贺年片的人数为ξ.（1）求随机变量ξ的概率分布； （2）求ξ的数学期望与方差.20．（本小题满分14分）已知函数()(af x x a x=+∈R )，()ln g x x =．（1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；（2）若关于x 的方程()()[2]g x x f x e x =⋅-e (为自然对数的底数)只有一个实数根，求a 的值．2016—2017学年第二学期期末高二理科数学参考答案一、选择题：（每小题5分，共40分）D D C B ，A C D A . 二、填空题：（每小题5分，共30分）9. 23-；10.78；11. 10；12.48；13. mn k C +；14. 2sin ρθ= ；三、解答题：15．（本小题满分12分）已知函数3()12f x x x =-． （1）求函数()f x 的单调区间与极值；（2）求函数()y f x =的图象在点1x =-处的切线方程．解：（1）∵2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+，………………………………2分 ∴当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：)∴函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-、(2,)+∞，单调递减区间是(2,2)-．………6分 当2x =-时，()f x 取极大值，极大值为16； ……………………………7分 当2x =时，()f x 取极小值，极小值为16-． ………………………………8分 （2）∵(1)11f -=，(1)9f '-=-， ……………………………………………………10分 ∴函数()y f x =图象在点1x =-处的切线方程为119(1)y x -=-+，即920x y +-=． ………………………………12分16．（本题满分12分）一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31. （1）求他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在途中恰好遇到3次红灯的概率； （3）求他在途中遇到红灯数ξ的期望和方差.解：（1）∵这名学生在第一、二个路口没遇到红灯，第三个路口遇到红灯。
北京市朝阳区17中2016-2017学年高二下期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2016-2017北京朝阳17中高二下期中一、选择题：本大题共8题，每题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列结论正确的是（ ） A. 若， B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C 【解析】对于，若，则，故项错误；对于，若，则，故项错误；对于，若，则，故项正确；对于，若，则，故项错误，故选． 2. 计算（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，故选．3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个 【答案】B【解析】如图，不妨设导函数的零点分别为，，由导函数的图象可知：当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，当时，，为增函数，当时，，为减函数，由此可知，函数在开区间内有两个极大值点，分别是当时和时函数取得极大值，故选B.4. 作反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数时，下列假设正确的是（）A. 假设，，都是偶数B. 假设，，都不是偶数C. 假设，，中至多有一个是偶数D. 假设，，中至多有两个是偶数【答案】B【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，“至少有一个”的否定为“都不是”，所以先假设，，都不是偶数．本题选择B选项.5. 设函数，则在其定义域内（）A. 有最大值B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A【解析】本题考查函数的性质及均值不等式由得；令得，此为函数的一个极大值点，故函数不单调，所以C，D均错.因为，所以，则且由均值不等式定理得，当且仅当时成立则所以即此函数有最大值，所以正确答案为A6. 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为可知，曲线在点处切线的斜率的取值范围为，设点横坐标为，则，解得，即点横坐标的取值范围为，故选．【思路点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及已知倾斜角范围求斜率的范围，属于中档题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，由倾斜角正切值的范围求得切线斜率的范围，也就是导函数的范围，从而可列出关于切点横坐标的不等式，解不等式即可得结果.7. 已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若不等式对于任意的恒成立，则对于任意的恒成立，∵当时，，∴，即实数的取值范围是，故选．8. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：五角星向上升起的时候，首先面积缓慢提升，然后突然变大，但是面积提升的速度变换，然后稍微面积提升速度又变快一点，最后面积提升速度变慢．有以上分析过程可知，A选项正确．考点：函数图象与性质．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．9. 由直线，，曲线及轴所转成的图形面积为（计算出结果）__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可知，由直线，，曲线以及轴所围成的图形面积，故答案为.10. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为__________．【答案】【解析】∵曲线在点处的切线斜率，∴，又，∴，故曲线在点处切线的斜率为，故答案为.11. 类比平面几何中的命题：“垂直于同一直线的两条直线平行”，在立体几何中，可以得到命题“__________”，这个类比命题的真假性是__________．【答案】(1). 垂直于同一平面的两个平面平行(2). 假命题【解析】在由平面图形的性质向空间图形的性质进行类比时，我们常由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，故由平面几何中的命题：“垂直于同一直线的两条直线平行”我们可以推断在立体几何中：“垂直于同一平面的两个平面平行”．该命题是一个假命题，故答案为(1)垂直于同一平面的两个平面平行；(2)假命题.12. 已知函数在处有极大值，则的值为__________．【答案】【解析】由得，∵在处取得极大值，∴，即，解得或，当时，，令，得或，令得，∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，∴在处取得极小值，故不满足题意，舍去，当时，，令，得或，令，得，∴在上是增函数，在上是减函数，∴在处取得取大值，符合题意．综上所述，．故答案为.13. 图、、、分别包含个、个、个、个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方法构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则__________；__________（答案用数字或解析式表示）．【答案】(1). (2).【解析】根据题意可得，，，，．∴，，，，，，，,故答案为(1),(2) .【方法点睛】本题通过观察几组图形，归纳出一般规律来考查累加法及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.14. 已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数，则，，的大小关系是__________．【答案】【解析】二次函数的导函数是一次函数，三次函数的导函数是二次函数，∵一次函数过点，，∴，，∵二次函数过点，，，∴，∴，∴，记为常数，则，，，∴，故答案为．三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知函数．（）求的单调区间；（）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．【答案】（1）的单调增区间为和，单调减区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（）可知，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，比较.的大小可得在区间的最大值为，从而可得得，进而可得结果.试题解析：（）由得，令，即，解得或，令，即，解得，∴的单调增区间为和，单调减区间为．（）由（）可知，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，且，，∴在区间的最大值为，∴，解得，∴在区间上的最小为．16. 在数列中，，，，，．（）计算，，的值．（）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】（1），，；（2），证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，利用，可依次求得，，的值，求解过程注意避免出现计算错误；（2）根据（1）中所得，，的值，找出共同规律，可猜测：，先验证当时，等式成立，然后假设时，，只需证明当时，即可证明猜想正确.试题解析：（）∵，，∴，，．（）由（）可猜想：，证明：当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，．17. 设函数，．（）当时，求曲线在点处的切线方程．（）求函数单调区间和极值点．【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．【解析】试题分析：（1）当时，，,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合函数的单调性，可得函数的极值点.试题解析：（）当时，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即．（）由得，当时，，在上是单调递增，无极值，当时，令得或，令，得，∴在和上单调递增，在上单调递减，∴在时取得极大值，，在时取得极小值，，综上所述，当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.18. 设函数，其中．（）若，求函数的单调递减区间．（）求函数的极值．（）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）当时，函数无极值，当时，的极大值为，无极小值；（3）.试题解析：（）依题意，函数的定义域为，当时，，，令，得，解得或，又∵，∴函数的单调递减区间是．（），，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴无极值，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，无极小值，综上所述，当时，函数无极值，当时，的极大值为，无极小值．（）由（）可知，当时，在区间上是增函数，显然，在区间不可能恰有两个零点，当时，，又，∴为的一个零点，∴若在恰有两个零点，则，即，解得．。
北京市朝阳区2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题
北京市朝阳区2016~2017学年度第二学期期末统一考试高二年级数学文科试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1A x x =<，{}21xB x =<，则（ ）．A ．{}0AB x x =< B ．A B =RC ．{}1A B x x =<D ．{}0A B x x =<2．已知i 是虚数单位，则复数2i1i =-（ ）． A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +3．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为（ ）．A ．12B ．17C ．20D ．304．已知x ∈R ，平面向量(2,1)a =，(1,)b x =-，(2,4)c =-，若b c ∥，则a b +=（ ）．A．BC ．4D ．105．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象上的所有点（ ）．A ．向右平移π3个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度6．“1a =”是“函数2()()f x x a =-在(1,)+∞内单调递增”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()f x 是周期为2的偶函数，当01x <<时，0.5()log f x x =，则（ ）．A ．741532f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．417325f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．471352f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．147235f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测： 甲说：我不是第二名； 乙说：我是第二名； 丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法判断二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．若数列{}n a 满足：11a =，11()2n n a a n +=∈N *，则n a =__________；数列{}n a 的前n 项和n S =__________．10．若实数x ，y 满足1,0,4,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值是__________．11．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，则cos α=__________；tan 2α=__________．12．已知正实数m ，n 满足3m n +=，则mn 的最大值为__________．13．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且6BC =,AB AC AB AC +=-，则AM =__________．14．若函数()f x 的导数()f x '存在导数，记()f x '的导数为()f x ''．如果()f x 对任意(,)x a b ∈，都有()0f x ''<成立，则()f x 有如下性质：1212()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥．其中n ∈N *，1x ，2x ，，(,)n x a b ∈．若()s i n f x x =，则()f x ''=__________；根据上述性质推断：当123πx x x ++=且1x ，2x ，3(0,π)x ∈时，根据上述性质推断：123sin sin sin x x x ++的最大值为__________．三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上） 15．（本小题12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-．（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． （II ）求函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．16．（本小题12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，12a =，且1a ，3a ，11a 成等比数列．（I ）求{}n a 的通项公式． （II ）求13521n a a a a -++++．17．（本小题13分）在ABC △中，2A B =，sin B =． （I ）求cos A 的值．（II ）若2b =，求边a ，c 的长．18．（本小题13分）已知函数()(1)sin 2cos f x x x x x =-++．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程． （II ）求证：()f x 在区间(0,1)内为增函数．（III ）求函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值．。
2016-2017学年北京市朝阳区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x＜1}D．A∪B＝{x|x＜0} 2．（5分）已知i是虚数单位，则复数＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为（）A．12B．17C．20D．304．（5分）已知x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），若∥，则|+|（）A．2B．C．4D．105．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度6．（5分）“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，则（）A．f（）＜f（）＜f（﹣）B．f（）＜f（﹣）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（﹣）＜f（）＜f（）8．（5分）甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测：甲说：我不是第二名；乙说：我是第二名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．（5分）若数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则a n＝；数列{a n}的前n 项和S n＝．10．（5分）若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值是．11．（5分）已知α∈（，π），sinα＝，则cosα＝；tan2α＝．12．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝3，则mn的最大值为．13．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝6，|+|＝|﹣|，则||＝．14．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）15．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（II）求函数f（x）在[﹣，0]上的最小值．16．（12分）已知等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列．（I）求{a n}的通项公式．（II）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．17．（13分）在△ABC中，A＝2B，sin B＝．（I）求cos A的值．（II）若b＝2，求边a，c的长．18．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求证：f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x＜1}D．A∪B＝{x|x＜0}【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1＝20}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}，故选：A．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【解答】解：．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为（）A．12B．17C．20D．30【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n T循环前/1 0 0第一圈是 5 2 2第二圈是9 4 6第三圈是13 6 12第四圈是17 8 20第五圈否所以最后输出的T值为20．故选：C．4．（5分）已知x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），若∥，则|+|（）A．2B．C．4D．10【解答】解：∵x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），∥，∴，解得x＝2，∴＝（﹣1，2），∴＝（1，3），∴|+|＝＝．故选：B．5．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．6．（5分）“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增，则a≤1，∴“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在区间（1，+∞）上为单调递增函数”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，则（）A．f（）＜f（）＜f（﹣）B．f（）＜f（﹣）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（﹣）＜f（）＜f（）【解答】解：由于函数f（x）是周期为2的偶函数，∴f（﹣）＝f（），f（）＝f（﹣）＝f（），f（）＝f（﹣）＝f（）．∵当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，故f（x）在（0，1）上单调递减．∵＜＜，∴f（）＞f（）＞f（），即f（﹣）＞f（）＞f（），故选：C．8．（5分）甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测：甲说：我不是第二名；乙说：我是第二名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断【解答】解：（1）若只有甲预测正确，则甲为第一名或第三名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第三名，于是丙为第二名，故丙预测正确，矛盾；（2）若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第二名，于是丙为第三名，乙为第一名．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．（5分）若数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则a n＝；数列{a n}的前n项和S n＝2﹣21﹣n．【解答】解：由题意a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则∴数列{a n}为等比数列，公比q＝，∴a n＝．数列{a n}的前n项和S n＝＝2﹣21﹣n．故答案为：，2﹣21﹣n10．（5分）若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值是8．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（4，0），此时z＝2×4+0＝8，故答案为：8．11．（5分）已知α∈（，π），sinα＝，则cosα＝；tan2α＝．【解答】解：∵α∈（，π），sinα＝，∴cosα＝＝．则tanα＝．那么tan2α＝．故答案为：，．12．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝3，则mn的最大值为．【解答】解：mn≤＝，m＝n＝时取等号，∴mn的最大值是，故答案为：．13．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝6，|+|＝|﹣|，则||＝3．【解答】解：根据题意，如图所示：+＝2，﹣＝，若|+|＝|﹣|，则有|2|＝||＝6，即||＝3；故答案为：3．14．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝﹣sin x；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．【解答】解：设f（x）＝sin x，x∈（0，π），则f′（x）＝cos x，则f″（x）＝﹣sin x，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sin x1+sin x2+sin x3≤3sin（）＝3×sin＝，∴sin A+sin B+sin C的最大值为，故答案为：﹣sin x，三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）15．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（II）求函数f（x）在[﹣，0]上的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．化简可得：f（x）＝sin2x﹣1+cos2x＝sin（2x+）﹣1．∴函数f（x）的最小正周期T＝．令．k∈Z．可得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（II）由（I）函数f（x）＝sin（2x+）﹣1．∵x∈[﹣，0]上，∴2x+∈[，]．当2x+＝时，f（x）取得最小值为＝．故得函数f（x）在[﹣，0]上的最小值为﹣（）．16．（12分）已知等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列．（I）求{a n}的通项公式．（II）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．【解答】解：（1）等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列，所以a3＝a1a11．设数列{a n}的公差为d，则（a1+2d）2＝a1（a1+10d）．将a1＝2代入上式化简整理得d2+d＝0，又因为d≠0，所以d＝﹣1．于是a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣n+3，即数列{a n}的通项公式为a n＝﹣n+3．（2）∵{a n}为等差为﹣1等差数列，∴a1，a3，a5…a2n﹣1是等差为﹣2的等差数列，∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝2n+×（﹣2）＝3n﹣n2．17．（13分）在△ABC中，A＝2B，sin B＝．（I）求cos A的值．（II）若b＝2，求边a，c的长．【解答】解：（I）A＝2B，sin B＝．则cos B＝正弦定理，可得sin A＝sin2B，即sin A＝2sin B cos B＝2×＝．那么cos A＝．（II）b＝2，sin B＝．sin A＝，正弦定理：，可得：a＝余弦定理：a2＝c2+b2﹣2bc cos A．即可得c＝．18．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求证：f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】（I）解：f（0）＝2．可得切点（0，2）．f′（x）＝sin x+（x﹣1）cos x﹣2sin x+1＝（x﹣1）cos x﹣sin x+1，f′（0）＝﹣1﹣0+1＝0．可得切线斜率为0．∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣2＝0．（II）证明：∵x∈（0，1），∴f″（x）＝cos x﹣（x﹣1）sin x﹣cos x＝（1﹣x）sin x＞0，∴函数f′（x）在x∈（0，1）单调递增，∴f′（x）＞f′（0）＝﹣1﹣0+1＝0．∴f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）解：由（II）可得：函数f′（x）在x∈（0，1）单调递增，在x∈（1，π）单调递减．f′（0）＝0，f′（1）＝1﹣sin1＞0，f′（）＝0，f′（π）＝2﹣π．∴函数f′（x）在[0，π]上有两个零点0，．又f（0）＝2，＝π﹣1，f（π）＝π﹣2．∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值分别为：π﹣1，π﹣2．。
北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)
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12．已知������(8,0),������(0,6),������(0,0) ,则������������������������的外接圆的方程是
.
【答案】(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
������������1、������������2为邻边作菱形，由������1������2与������������1 + ������������2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |������1������2| ≥ |������������1 + ������������2|,所以������������1、������������2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |������| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ ������ ≤ 2，则实数������的最大值是 2 2
向量中与������1������相等的向量是
A. ‒ ������ + ������ + ������
1 2
1 2
B. ������ + ������ + ����� ������ ‒ ������ + ������ 2 2
2016-2017学年北京市首师大附中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ＝2sinθB．ρ＝﹣2sinθC．ρ＝2cosθD．ρ＝﹣2cosθ2．（4分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（4分）在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A．﹣2B．1或﹣2C．1D．1或24．（4分）用数学归纳法证明，第二步证明从k 到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+15．（4分）在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（）A．B．C．3D．6．（4分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2＝log23•log34＝＝2；a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34•…•log78＝＝3，…；若a1•a2•a3•…•a m＝2017（m∈N*），则m的值为（）A．22017+2B．22017C．22017﹣2D．22017﹣47．（4分）函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．8．（4分）数列{a n}满足a1＝1，前n项和为S n，S n+1＝4a n+2，则a2017的值为（）A．3025×22016B．3025×22017C．6053×22015D．6053×22016二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．10．（4分）＝．11．（4分）圆（θ为参数）被直线y＝0截得的弦长为．12．（4分）设，是单位向量，且，若与的夹角不超过90°，则λ的最大值是．13．（4分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立．则a4＝，通项a n＝．14．（4分）已知A（1，0），点B在曲线G：y＝ln（x+1）上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为个．三、解答题：共大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（11分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM．（2）若F为线段ED上一点，且，求证：BF∥平面EMC．（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．16．（11分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x＝1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．17．（11分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．18．（11分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i＝1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m＝1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．2016-2017学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ＝2sinθB．ρ＝﹣2sinθC．ρ＝2cosθD．ρ＝﹣2cosθ【解答】解：∵在极坐标系中，圆心在，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，它的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．故选：A．2．（4分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（4分）在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A．﹣2B．1或﹣2C．1D．1或2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，∴a3+a4＝2q+2q2＝4，∴q2+q﹣2＝0，解得q＝1或q＝﹣2故选：B．4．（4分）用数学归纳法证明，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+1【解答】解：当n＝k时，左端＝，那么当n＝k+1时左端＝，＝∴左端增加的项为，所以项数为：2k．故选：B．5．（4分）在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（）A．B．C．3D．【解答】解：∵，，∴，∴，∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵||＝||，∴||＝||＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．则＝||||cos30°＝2×＝3，故选：C．6．（4分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2＝log23•log34＝＝2；a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34•…•log78＝＝3，…；若a1•a2•a3•…•a m＝2017（m∈N*），则m的值为（）A．22017+2B．22017C．22017﹣2D．22017﹣4【解答】解：∵a n＝log n+1（n+2），，，……，归纳推理得，∴m＝22017﹣2．故选：C．7．（4分）函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]是偶函数，则：f（x）＝x2﹣sin x在（0，2]可得f′（x）＝2x﹣cos x，令2x﹣cos x＝0，可得方程只有一个解，如图：可知f（x）＝x2﹣sin x在（0，2]由一个极值点，排除A，C，f（2）＝4﹣sin2＞3，排除D．故选：B．8．（4分）数列{a n}满足a1＝1，前n项和为S n，S n+1＝4a n+2，则a2017的值为（）A．3025×22016B．3025×22017C．6053×22015D．6053×22016【解答】解：∵S n+1＝4a n+2①，S n＝4a n﹣1+2②，①﹣②可得：a n+1＝4a n﹣4a n﹣1，∴a n+1﹣2a n＝2a n﹣4a n﹣1＝2（a n﹣2a n﹣1）令b n＝a n+1﹣2a n，∴b n＝2b n﹣1，b1＝a2﹣2a1，∵S2＝4a1+2＝6＝a1+a2，∴a2＝5，∴b1＝5﹣2＝3，∴{b n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴，∴，∴，令，∴，，∴{c n}是首项为，公差为的等差数列，∴，∴，∴．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．【解答】解：＝＝，又已知复数为纯虚数，∴，解得a＝．故答案为：．10．（4分）＝．【解答】解：，故答案为：．11．（4分）圆（θ为参数）被直线y＝0截得的弦长为2．【解答】解：圆（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x+1）2+（y﹣1）2＝2，圆心（﹣1，1）到直线y＝0的距离d＝1，∴弦长．故答案为：212．（4分）设，是单位向量，且，若与的夹角不超过90°，则λ的最大值是．【解答】解：∵与的夹角不超过90°，∴，∴，∵，是单位向量，且，∴1﹣2λ≥0，解得，即λ的最大值为．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立．则a4＝10，通项a n＝3n﹣2．【解答】解：∵a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立，∴，∴a2＝4，∴，即，∴a4＝10，∴该数列为1，4，7，10…为首项是1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）•3＝3n﹣2故答案为：10；3n﹣2．14．（4分）已知A（1，0），点B在曲线G：y＝ln（x+1）上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为1个．【解答】解：设B（m，n），m＞﹣1，AB线段中点，∵B在G上，C在M上，得消去n得，作出函数与函数g（x）＝ln（x+1）的图象，两函数在x＞﹣1上只有一个交点，即仅存在一个点（m，n）满足条件．故答案为：1．三、解答题：共大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（11分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM．（2）若F为线段ED上一点，且，求证：BF∥平面EMC．（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∴CM⊥EM．（2）证明：如图，以M为原点，MB，MC为x，y轴，建立如图所示的坐标系M﹣xyz，∴M（0，0，0），，，，，∴，，设平面EMC的一个法向量．∴，∴，取，∵，∴，∴，∴平面EMC．（3）解：在棱DC上存在一点N，设，且，∴，∴，∴，，z＝2﹣2λ，若直线MN与平面EMC所成角为60°，∴，解得，∴存在点N符合条件，且N点是棱DC的中点．16．（11分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x＝1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1）可得函数f（x）定义域为（﹣1，+∞），＝，令g（x）＝x2+（1﹣a）x+（a﹣2），经验证g（1）＝0，因为a＜3，所以g（x）＝0的判别式△＝（1﹣a）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣6a+9＝（a﹣3）2＞0，由二次函数性质可得，1是函数g（x）的异号零点，所以1是f'（x）的异号零点，所以x＝1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）已知f（0）＝0，因为，又因为a＜3，所以a﹣2＜1，所以当a≤2时，在区间[0，1]上f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，所以有f（x）≤0恒成立；当2＜a＜3时，在区间[0，a﹣2]上f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以f（a﹣2）＞f（0）＝0，所以不等式不能恒成立；所以a≤2时，有f（x）≤0在区间[0，1]恒成立．17．（11分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴＝0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）＝0，∴＝0，∴＝0，解得k＝，故直线方程为y＝．18．（11分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i＝1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m＝1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．…（2分）（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+…+a m＝1 得a1+am＝∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．…（7分）（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，假设当2≤n≤m时，若S n﹣1＝0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤，若S n﹣1≠0，则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤．如果按上述排列后存在S n＝0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[﹣+1，]内的非0整数，因为区间[﹣+1，]内的非0整数至多m﹣1个，所以必存在S i＝S j（1≤i＜j≤m），那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j＝0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．…（13分）。
2016-2017年北京市朝阳区数学期末考试题理科(含答案)
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|4．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．126．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．47．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=．13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M是从集合到集合的一个函数，①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合封闭的（填“是”或“否”）；若函数f（x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．19．（14分）设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）20．（13分）设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i （1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a i+a j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a i+a j=a k，则称数列A m是“好数列”．（Ⅰ）当m=6，n=100时，（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列A m是“好数列”，且m是偶数，证明：．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∁U A={x|x≥0}，则（∁U A）∩B={x|0≤x＜2}，故选：B．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|【解答】解：A．y=cosx是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．C.是偶函数，当x≥0时=（）x在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．D．y=|sinx|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．故选：D．4．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个故选：C．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．4【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，∴几何体的体积V==．故选：B．7．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．【解答】解：将三角形放入坐标系中，则C（0，4），B（3，0），∵=λ+μ（λ＞0，μ＞0），∴λ+μ=1，则1=λ+μ≥2，即λμ≤，当且仅当λ=μ=时取等号，此时=λ+μ=+=（3，0）+（0，4）=（，2）则||==，故选：C．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于3．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，∴=，解得b=3，故答案为：310．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10=110．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=105°．【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0]．故答案为：．[﹣，0]．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M是从集合到集合的一个函数，①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合是封闭的（填“是”或“否”）；若函数f （x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=f（x）=x，x∈Q．【解答】解：设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，∴x+y=m+n+a+b=（m+a）+（n+b），m+a，n+b∈Q，即f（x+y）=f（x）+f（y），∴xy=（m+n）（a+b）=3ma+（mb+an）+bn=（mb+an）+（bn+3ma），mb，an，bn，3ma∈Q，∴f（xy）=f（x）•f（y），∴上述定义下，集合是封闭的，当f（x）=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，∴f（m+n）=m+n=f（m）+f（n），f（mn）=mn=f（m）•f（n），故答案为：是，f（x）=x，x∈Q三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．（13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：，，（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]=35.5，（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41．因为=，，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得8（5分）以上（含85分）的频率为，乙获得8（5分）以上（含85分）的频率为．因为f2＞f1，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8（0分）”为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．∴，k=0，1，2，3．所以变量ξ的分布列为：ξ0123P．（或．）17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD，设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，所以AF∥OG，OG=AF．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．…（5分）解：（Ⅱ）（i）由已知，AF∥BE，AB⊥BE，所以AF⊥AB．因为二面角D﹣AB﹣E为直二面角，所以平面ABCD⊥平面ABEF．所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD，AF⊥AB．四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD．所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）．因为AB=BE=2AF=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2），F（0，0，1），所以．设平面CDE的一个法向量为n=（x，y，z），由得即取x=1，得n=（1，0，1）．设直线AC与平面CDE所成角为θ，则，因为0≤θ≤90°，所以θ=30°．即直线AC与平面CDE所成角的大小为30°．…（9分）（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），则，因为，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．因为B（0，2，0），所以．又，所以，解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．（另解）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），则，因为，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．因为B（0，2，0），所以．设平面DEF的一个法向量为=（x0，y0，z0），则，由，得取x0=1，得=（1，﹣1，2）．由，即（2﹣2λ，2λ﹣2，2λ）=μ（1，﹣1，2），可得解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．…（14分）18．（13分）已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：设P（x0，y0），则．所以直线PA与PB的斜率乘积为．…（4分）（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．①当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，由得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=36k2m2﹣4（3k2+2）（3m2﹣6）＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…（13分）19．（14分）设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（1，+∞），．当a=1时，f'（2）=4a+2=6，f（2）=4a+3=7．所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）．即y=6x﹣5．…（4分）（Ⅱ）函数g（x）的定义域为R，由已知得g'（x）=x（e x+2a）．①当a=0时，函数g（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，因为e x+2a＞0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=﹣1，g（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x ﹣1取，显然x 0＜0且g （x 0）＞0所以g （0）g （1）＜0，g （x 0）g （0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a ＜0时，由g'（x ）=x （e x +2a ）=0，得x=0，或x=ln （﹣2a ）． ⅰ） 当，则ln （﹣2a ）＞0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：x（﹣∞，0）（0，ln （﹣2a ））ln （﹣2a ） （ln （﹣2a ），+∞） g'（x ） + 0 ﹣ 0+ g （x ）↗﹣1↘↗注意到g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． ⅱ） 当，则ln （﹣2a ）=0，g （x ）在（﹣∞，+∞）单调递增，函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． 若，则ln （﹣2a ）≤0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：x（﹣∞，ln （﹣2a ））ln （﹣2a ） （ln （﹣2a ），0） 0 （0，+∞）g'（x ） + 0﹣ 0 + g （x ）↗↘﹣1↗注意到当x ＜0，a ＜0时，g （x ）=（x ﹣1）e x +ax 2＜0，g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． 综上，a 的取值范围是（0，+∞）．…（9分）（Ⅲ）证明：g （x ）﹣f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ln （x ﹣1）﹣x ﹣1．设h （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ln （x ﹣1）﹣x ﹣1，其定义域为（1，+∞），则证明h （x ）≥0即可． 因为，取，则，且h'（2）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（1，+∞）上单增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（1，2），且．当1＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）≤g（x）．…（14分）20．（13分）设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i （1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a i+a j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a i+a j=a k，则称数列A m是“好数列”．（Ⅰ）当m=6，n=100时，（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列A m是“好数列”，且m是偶数，证明：．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ）∵m=6，n=100，数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，∴x=89，y=100，或x=100，y=89，数列：11，78，90，x，97，y也是一个“好数列”．…（3分）（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89，100两项，若剩下两项从90，91，…，99中任取，则都符合条件，有种；若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，则另一项必对应90，91，…，99中的一个，有10种；若取68≤a≤77，则79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好数列”必超过6项，不符合；若取a=67，则11+a=78∈A6，另一项可从90，91，…，99中任取一个，有10种；若取56＜a＜67，则67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好数列”必超过6项，不符合；若取a=56，则b=67，符合条件，若取a ＜56，则易知“好数列”必超过6项，不符合； 综上，a ，b ，c ，d 共有66种不同的取值． …（7分）证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”a 1，a 2，…，a m 各项互不相同，所以，不妨设a 1＜a 2＜…＜a m ． 把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n +1即可． 用反证法，假设存在，使a j +a m +1﹣j ≤n ，因为数列单调递增，所以a m ﹣j +1＜a 1+a m ﹣j +1＜a 2+a m ﹣j +1＜…＜a j +a m ﹣j +1≤n ， 又因为“好数列”，故存在1≤k ≤m ，使得a i +a m +1﹣j =a k （1≤i ≤j ），显然a k ＞a m +1﹣j ，故k ＞m +1﹣j ，所以a k 只有j ﹣1个不同取值，而a i +a m +1﹣j 有j 个不同取值，矛盾． 所以，每一对和数都不小于n +1，故，即．…（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域Rxa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
朝阳区高二数学(理)期末试卷
（考试时间 100 分钟 满分 120 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项） 1．圆 x 2 y 2 4 被直线 x 1 截得的弦长为（
1 1 A． a b c 2 2 1 1 C． a b c 2 2
）
1 1 B． a b c 2 2 1 1 D． a b c 2 2
D1 → b A1 → c D → a B1 C
C1
M
A B
1
7．若由方程 x2 y 2 0 和 x2 y b 2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实
x y 21 4
2
） C．
x2 y 2 1 16 4
B． x 2 y 2 4
D．
y 2 x2 1 16 4
6．如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AC 与 BD 的交点为 M ，设 A1 B1 a ， A1 D1 b ，
A1 A c ，则下列向量中与 B1M 相等的向量是（
PC 与平面 ABCD 所成角的正切值为_________．
2
p 2 (p )
D
C p 4 (p )
P 1 (p )
A
B
p 3 (p )
16．如图，正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1 ， N 为 CD1 中点， M 为线段 BC1 上的动点， （ M 不与 B ， C1 重合）有四个命题： ① CD1 ⊥ 平面 BMN ； ② MN ∥平面 AB1 D1 ； ③平面 AA1CC1 ⊥ 平面 BMN ； ④三棱锥 D MNC 的体积有最大值． 其中真命题的序号是_________．
2017-2018学年北京市朝阳区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
D．x+ ）
y﹣6＝0
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）“a＝3 是“复数 z＝（a2﹣9）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5 分）甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛甲能获得一等奖的概率是 ，乙能
获得一等奖的概率是 ，甲乙两人是否获得一等奖互不影响，则甲乙两人中至少有一人
D．“丙在第 3 小组，丁在第 4 小组”或“丁在第 3 小组，甲在第 4 小组
二、填空题本大题共 6 小题每小题 5 分共 30 分答案写在题卡上
11．（5 分）二项式（x﹣ ）6 展开式中的常数项是
．
12．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为
（θ 为参数，r＞0），
直线 l 的方程为 x﹣y﹣3＝0，若直线 l 与圆 C 相切，则 r＝
A．﹣2
B．2
C．0
D．﹣1
3．（5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若
直线 l 的极坐标方程为
＝3，则直线 l 的直角坐标方程为（ ）
A． x+y﹣3＝0 B． x+y﹣6＝0 C．x+ y﹣3＝0 4．（5 分）曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭图象的面积是（
伍分到编号为 1，2，3，4 的四个小组中作为种子队（每组有且只有一个种子队）．A，B，
C，D 四位学生进行如下预测：
A 预测：乙队在第 1 小组，丙队在第 3 小组；
B 预测：乙队在第 2 小组，丁队在第 3 小组；