函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)PPT
2.函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的相关概念
周期
2
初相 振幅
φ
A
值域 [-A+b,A+b]
【点拨】 (1)各参数的意义 ①A:振幅,表示振动时物体离开平衡位置的最大距离, 决定函数的最大值、最小值.
②ω:T= 2 称为周期,它表示振动一次所需的时间,即
函数y的最小正周期. f= 1 称为振动的频率,它表
23
23
所以函数y=sin( 1 x 的 )图像可由函数y=sin x的1图
23
2
像向左平移 2个单位得到.
3
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示, 如果A>0,ω>0,|φ|< ,则 ( )
2
A.A=4
B.ω=1
C.φ=
6
D.B=4
【解析】选C. A 4 0 2，B 4 0 2，1 T 5 ，
2
2
4 12 6 4
所以T ， 2，
2 ，所以 .
6
2
6
3.用“五点法”作函数y=sin (2x ) 的图像时,选取的
3
五个关键点的坐标是________.
【解析】令2x- =0,解得x= ,可得五个关键点的坐标
3
6
依次是 ( ,0),(5 ,1),( 2 ,0),(11 , 1),( 7 ,0).
22 2 2 T 2 (7 ) ，
12 12
所以 2 2，k 1 [5 ( 1)] 1，
T
22 2
所以y=3 sin(2x+φ)+1,
2
将 ( ，代5)入得:
12 2
3 sin( ) 1 5，
26
2
所以sin ( =)1,
6
令 ，得 .
6
2
3
所以y的表达式是y=3 sin(2x ) 1.
【变式训练】函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0，ω>0， |φ|< )的图像如图所示,则y的表达式是 ( )
2
A.y 3 sin(2x ) 1
2
3
B.y 3 sin(2x ) 1
2
3
C.y 3 sin(2x ) 1
2
3
D.y sin(2x ) 1 3
【解析】选A. 1 [5 ( 1)] 3，
3
的图像向左平移 个单位长度得到的,而非 个 单位
6
3
长度.
【自我纠正】y=3sin(2x 的) 图像是由y=3sin2x的图
3
像向左平移 个单位长度得到的.
6
6
D.向右平行移动 个单位长度
6
2.如何由y=sinx的图像得到y= 2cos( 1 x ) 的图像?
24
世纪金榜导学号70034029
【审题路线图】1.把函数y= sin(2x 变 形) ⇒和y=sin2x比
3
较⇒利用平移的规律⇒得到平移的大小和方向.
2.利用诱导公式把余弦转化为正弦⇒把所得函数的解析
平移
3
个单位;将y= sin(x ) 的图像缩短至原来的 1
3
2
则变为y= sin(2x )，变换倍数为 1 .
3
②上下平移、伸缩变换针对的是y,上下平移的规律是 “加上减下”,如由y=sinx向上平移1个单位,变换为 y=sinx+1;上下伸缩的倍数为A. 提醒:在三角函数的图像变换中,先伸缩后平移变换的 平移量为 | | 个单位,先平移后伸缩变换的平移量为
3
像经过怎样的变换得到的?
【失误案例】y=3sin(2x+ )的图像是由y=3sin2x的图
3
像向左平移 个单位长度得到的.
3
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处.
提示:没有平移正确的单位长度.由y=3sin (2x )
3
3sin[2(x得 y)=] 3sin
6
的(2图x 像是) 由y=3sin2x
(4)注意由哪一个函数向哪一个函数平移,平移的函数 顺序不能出错.
【拓展延伸】已知两个函数的解析式,判断其图像间的 平移关系的步骤: (1)将两个函数解析式化简成y=Asinωx与 y=Asin(ωx+φ),即A、ω及名称相同的结构.
(2)找到ωx→ωx+φ,变量x“加”或“减”的量,即平
移的单位为 | | .
24
24
把y= 2cos( 1 x ) 的图像向左平移π个单位.
24
【方法技巧】利用图像变换作图的技巧 (1)已知变换前后的解析式求变换方式时,较简洁的作 法是:若ω=1,则可以先进行左右平移变换,再进行其他 的变换;若ω≠1,则先进行左右伸缩变换,再进行其他 的变换.
(2)对于函数y=Acos(ωx+φ)的图像平移规律与函数 y=Asin(ωx+φ)的图像平移规律相同. (3)确定平移方向、单位时要先提取ω,即ωx+φ= (x ) 后观察x的变化,确定平移方向及单位.
式变形⇒利用平移的规律⇒得到平移的大小和方向.
【解析】1.选D.由题意,为得到函数y= sin(2x－ )
3
sin[2(x－ )]，只需把函数y=sin2x的图像上所有的点
6
向右平行移动 个单位长度.
6
2.因为y= 2cos( 1 x ) 2cos( 1 x )
24
24
2cos( 1 x ) 2sin( 1 x )，
2 33
的图像.
【解析】列表:
描点画图(如图所示):
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像变换
【典例】1.(2016·四川高考)为了得到函数y= sin(2x－ )
3
的图像,只需把函数y=sin2x的图像上所有的点( )
A.向左平行移动 个单位长度
3
B.向右平行移动 个单位长度
3
C.向左平行移动 个单位长度
|φ|个单位,两者不一样,应特别注意.
【自我检测】
1.函数y= sin( 1 x )的图像可由函数y=sin 1 x的图
23
2
像( )
A.向左平移 2 个单位得到
3
B.向右平移 个单位得到
3
C.向左平移 个单位得到
6
D.向左平移 个单位得到
3
【解析】选A.y=sin(1 x ) sin[1 (x 2)]，
B.0，，，3， 42 4
D.0，，，，2 632 3
2.(2017·大同高一检测)用“五点法”作出函数 y=2sin (2x ) 的简图,并指出该函数的单调区间.
3
【审题路线图】1.令2x依次等于正弦曲线五个关键点 的横坐标⇒解方程可得. 2.利用正弦曲线的五个关键点⇒列表⇒在坐标系中描出 五个关键点⇒用平滑的曲线连接五个点.
§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
与性质(一)
1.A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响 (1)φ对y=sin(x+φ),x∈R的图像的影响
左 右
(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图像的影响
缩短 伸长
(3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响
伸长 缩短
2
3
【补偿训练】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图 像如图所示,则ω=________.
【解析】由题图可知,f(x)的周期T=4× ，
3
即T=4，
3
故ω=
2 T
2 4
3. 2
答案: 3 3
2
【核心素养培优区】
【易错案例】三角函数的图像变换 【典例】函数y=3sin(2x+ )的图像是由y=3sin2x的图
2
数倍,所以ω的值不可能是6.
类型三 已知函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像求解析式
【典例】(2017·惠州高一检测)若函数f(x)= Asin(ωx+φ)+b(其中A>0,ω>0,|φ|< )的图像
2
如图所示.
世纪金榜导学号70034030
(1)求函数f(x)的解析式. (2)求S=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)的值.
24
2cos( 1 x ) 2cos[ 1 (x ) ]，
2 42
2
4
所以只需把y= 2cos( 1 x的 图) 像向左平移π个单位.
24
2.从典例2中得到的函数图像再得出y= 2cos( 1 x )的
24
图像应如何变换?
【解析】因为y= 2cos( 1 x ) 2cos( 1 x )，所以只需
12 12
所以函数的单调递减区间为 [ k, 7(k∈kZ]);单
12 12
调递增区间为 [ 5 k, (k∈kZ]).
12 12
【方法技巧】“五点法”作图列表的方法
作函数y=Asin(ωx+φ)+b在一个周期 [a，a 2] 上的图
像.
(1)计算相位,将x=a,x=a+ 2 代入ωx+φ,计算出相位
2
2
所以S=1+(3 1 1 ×15) 04=2017.
22
【方法技巧】已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像求 解析式 (1)A:由最大值或最小值确定A. (2)ω:由图中已知相位的差确定周期,从而求ω.
(3)φ:一般情况下,求出A,ω后,利用曲线上一点求φ, 如已知曲线与x轴的交点x0,则令ωx0+φ=kπ,k∈Z,得 φ=-ωx0+kπ,k∈Z,再利用φ的范围求φ的值. 提醒:(1)确定周期时必须是两个运动状态完全一致的 点的横坐标的差才是一个周期或周期的整数倍. (2)确定φ时必须借助φ的范围才能唯一确定.
合集下载
函数y=Asin(ωx+φ)图像变换优质课课件
振动控制
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
函数y=Asin(ωχ+φ) 课件(1)高中数学人教A版2019选择性必修一册
点 B相对于点 A 始终落后
24
则甲 、 乙距离地面的高度差ℎ = 1 − 2 =55 sin（
=55 sin（
15
−
）+
2
sin（
利用 + = 2
ℎ=110 sin
当
15
−
sin（
48
15
−
15
13
）+65．
24
15
−
rad， 此时乙距离地面的高度为2 =55sin（ t-
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
典例解析
例１
1
画出函数 y=2sin（3x- 6 ）的简图 ．
解 ： 先画出函数y=sinx的图象 ； 再把正弦曲线向右平移 6 个单位长度 ，
得到函数的图象 ； 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的
1
3
倍 ， 得到函数 的图象 ；
1
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 ２ 倍 ， 这时的曲线就是函数y=2sin（3x- 6 ）
那么点 P 的纵坐标 y就等于 sinx ． 以 （ x ， y ） 为坐标描点 ， 可得正弦函数 y =sinx
的图象 ．
6
在单位圆上拖动起点0 ， 使点 0 绕点 1 旋转 到1 ， 你发现图象有什么
变化 ？如果使点0 绕点 1 旋转
φ=
6
,
6 3
,-
，
3
或者旋转一个任意角 φ呢
ｍ ， 求在转动一周的过程中 ， H关于t 的函数解析式 ；
24
则甲 、 乙距离地面的高度差ℎ = 1 − 2 =55 sin（
=55 sin（
15
−
）+
2
sin（
利用 + = 2
ℎ=110 sin
当
15
−
sin（
48
15
−
15
13
）+65．
24
15
−
rad， 此时乙距离地面的高度为2 =55sin（ t-
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
典例解析
例１
1
画出函数 y=2sin（3x- 6 ）的简图 ．
解 ： 先画出函数y=sinx的图象 ； 再把正弦曲线向右平移 6 个单位长度 ，
得到函数的图象 ； 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的
1
3
倍 ， 得到函数 的图象 ；
1
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 ２ 倍 ， 这时的曲线就是函数y=2sin（3x- 6 ）
那么点 P 的纵坐标 y就等于 sinx ． 以 （ x ， y ） 为坐标描点 ， 可得正弦函数 y =sinx
的图象 ．
6
在单位圆上拖动起点0 ， 使点 0 绕点 1 旋转 到1 ， 你发现图象有什么
变化 ？如果使点0 绕点 1 旋转
φ=
6
,
6 3
,-
，
3
或者旋转一个任意角 φ呢
ｍ ， 求在转动一周的过程中 ， H关于t 的函数解析式 ；
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
1 2
参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
3
参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 课件
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(3)由 y＝sin(2x－34π)知，
x
0
π
3π
5π
7π
8
8
8
8
π
2x－34π
－34π
－π2
0
π 2
π
5π 4
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是
相位、初相概念理解错误
典例 4 函数 y＝2sin(－2x＋π3)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋π3，π3
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z) 故函数的单调递增区间是[kπ＋π8，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时函数有最小值－1．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(3)由 y＝sin(2x－34π)知，
x
0
π
3π
5π
7π
8
8
8
8
π
2x－34π
－34π
－π2
0
π 2
π
5π 4
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是
相位、初相概念理解错误
典例 4 函数 y＝2sin(－2x＋π3)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋π3，π3
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z) 故函数的单调递增区间是[kπ＋π8，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时函数有最小值－1．
y=asin(ωxφ)的图象变换PPT课件
则
由
韦
达
定
理：xx11
x2
x2
4k 4(ak
b),
又 过S、R点的切线方程分别为：
4 y 2 x1 x x12 ,4 y 2 x2 x x22 ,
联立
并
解 之 得
x y
x1 x2 k
22
1 4
x1 x2
ak
(k为 常 数) b
消 去k, 得 : ax 2 y 2b 0,
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
进y=而A得sin到0（五ω个x关+φ键）2点大作致出图函像数的方法，32
2
是作此类函数图像的主要方法.
78《圆锥曲线背景下的 最值与定值问题》
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式故B点 在 直 线2ax y b 0上.
[例4] 设 双 曲 线x2 y2 1上 两 点A、B, AB
2 中点M (1,2).
(1) 求直线AB的方程; (2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲 线 交 于C、D两 点, 那 么A、B、C、D是 否 共 圆, 为 什 么 ？
人教高中数学必修四1.5函数y=Asin(ωxφ)的图像课件
横向
y=f(x)
y=f(ax)
【智勇大冲关-----初级】
合作探究
【智勇大冲关-----中级】
1.已知函数y 3sin(x )的图象为C.
5
为了得到函数y 3sin(2x )的图象, 只要
5
把C上所有的点 B
( A)横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1 倍, 纵坐标不变
解：可逆向思考如下
y 1 sin x 2
向右平移 个单位
y
1 2
s
in(x
2
)
横坐标变为本来的一半 即得解析式为y 1 sin(2x )
2
2
3、已知函数y 1 cos(2x )的图像为C，为了得到
5
3
B 函数y 1 sin(2x 2 )的图像， 只需把C上所有点( )
5
3
(A)向左平移 个单位长度 分析：
沿x轴
平移
φ
ω
个单位
y sin(x )
y sin(x )
纵坐标 变为本来的A倍
纵坐标 变为本来的A倍
得y A sin(x )图象,再由周期性扩充到 R上
【智勇大冲关-----高级】
2、函数f(x)的横坐标伸长到本来的两倍，再向左平
移 个单位，所得到的曲线是
的图象，试
求函数y=f(x)的解析式.
3
(B)向右平移 个单位长度 12
(C)向左平移 个单位长度 12
(D)向右平移 个单位长度 6
课堂感悟
➢ 1、“五点法”作函数图象 ——注意取好关键点；
➢ 2、正弦曲线变换得到函数的图象 ——顺序可任意，平移要注意；
➢ 3、余弦曲线变换得到函数的图象 ——作法全相同.
人教A版高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象-课件
三 、 教学目标
１.知识与能力目标：
理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ) 图象的影响；揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与 正弦曲线的变换关系，
２.过程与方法目标：
结合具体函数图象的变化，领会由简单到复杂 ，由特殊到一般的化归思想，通过A、ω、φ变化 与函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的关系，加深对数 形结合思想的理解。
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y Asin( x )在A=1，ω=1， 0 的情况.
下面就来探索 、、A 对函数
y Asin( x )
的图象的影响.
***检测复习***
y sin x, x [0,2 ]的图象
合
函数y=sinx(>0)图象:
作 探
究
y=sinx 横坐标变为本来的1/倍 y=sinx
纵坐标不变
小试牛刀
2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ B ）
A. 横坐标伸长到本来的3倍 ，纵坐标不变 B.横坐标缩小到本来的1/3倍 ，纵坐标不变 C.纵坐标扩大到本来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到本来的1/3倍，横坐标不变
1 sin x 0
2
1 2
0
1 2
0
函数 y 2sin x、y 1 sin x与y sin x 的图象
2
间的变化关系.
y
自
2
主 学
1
习
O
3
2
x
2
-1
y 1 sin x
-2
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
4
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
函数y=Asinωxφ的图象
2023函数y=asinωxφ的图象pptcontents •函数y=asinωxφ的简介•函数y=asinωxφ的图象•函数y=asinωxφ的应用•其他类型的三角函数图象•对于学习函数的建议目录01函数y=asinωxφ的简介1asinωxφ的定义与性质23asinωxφ是正弦型函数，其中ω和φ是常数。
asinωxφ的定义域为x ∈ (-∞,+∞)，值域为y ∈ [-1,1]。
函数y=asinωxφ的周期为2π/ω。
数学表达式为y=asin(ωx+φ)，其中a为振幅，ω为角频率，φ为初相。
表达式中的ωx+φ表示将自变量x乘以角频率ω，再加上初相φ。
函数y=asinωxφ的数学表达式当a>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较大的正弦型曲线。
当a<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较小的正弦型曲线。
当a=1时，函数y=asinωxφ的图象呈现标准的正弦型曲线。
当ω>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较小的正弦型曲线。
当0<ω<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较大的正弦型曲线。
函数y=asinωxφ的图象及性质02函数y=asinωxφ的图象图形描述函数$y=asin\omega x\varphi$的图象是一个正弦曲线，随着$\omega$的增大，曲线的振幅逐渐增大，周期逐渐减小。
变化趋势当$x$逐渐增大时，$y$的值先逐渐增大，到达最大值后逐渐减小，当$y$达到最小值时，$x$的值也达到最大值。
函数y=asinωxφ的图象及变化趋势周期性定义函数$y=asin\omega x\varphi$的图象呈现周期性变化，周期是$\frac{2\pi}{\omega}$。
周期性变化每个周期内的图形完全相同，只是相位相差$\frac{\pi}{\omega}$，随着$x$增大，相位逐渐增大，新的周期逐渐开始。
函数y=asinωxφ的周期性变化函数$y=asin\omega x\varphi$的最大值是$1$，最小值是$-1$。
5.4函数y=Asin(ωxφ)的图象与性质(第2课时)课件高一上学期数学
y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度得
3
2
π π
2π
y=3sin[2(x-2 )+ 3 ]=3sin(2x- 3 ).
π
2π
令- +2kπ≤2x2
3
≤
π
+2kπ,k∈Z,
2
π
7π
π
7π
则 6 +2kπ≤2x≤2kπ+ 6 ,k∈Z,12 +kπ≤x≤12 +kπ,k∈Z,
π
7π
∴函数在[12 +kπ, 12 +kπ](k∈Z)上单调递增.
π
2π
同理,令2 +2kπ≤2x- 3
≤
3π
+2kπ,k∈Z,
2
7π
13π
可得函数在[12 +kπ, 12 +kπ](k∈Z)上单调递减.故选
B.
规律方法
根据函数图象变换解析式求函数单调性的方法
(1)首先根据函数图象变换方法准确地求出函数的解析式;
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则:将解析式先化简,并注意复合函
1
π
2
3
+1.
π
− ≤2kπ+π(k∈Z),
3
2π
8π
4kπ+ ≤x≤4kπ+ (k∈Z),
3
3
故函数 g(x)的单调递减区间是 4π +
2π
8π
,4π +
3
3
(k∈Z).
变式探究
本例(2)中,若改为“将 f(x)的图象向右平移
π
φ(0<φ< )个单位长度,再将得到
3
2
π π
2π
y=3sin[2(x-2 )+ 3 ]=3sin(2x- 3 ).
π
2π
令- +2kπ≤2x2
3
≤
π
+2kπ,k∈Z,
2
π
7π
π
7π
则 6 +2kπ≤2x≤2kπ+ 6 ,k∈Z,12 +kπ≤x≤12 +kπ,k∈Z,
π
7π
∴函数在[12 +kπ, 12 +kπ](k∈Z)上单调递增.
π
2π
同理,令2 +2kπ≤2x- 3
≤
3π
+2kπ,k∈Z,
2
7π
13π
可得函数在[12 +kπ, 12 +kπ](k∈Z)上单调递减.故选
B.
规律方法
根据函数图象变换解析式求函数单调性的方法
(1)首先根据函数图象变换方法准确地求出函数的解析式;
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则:将解析式先化简,并注意复合函
1
π
2
3
+1.
π
− ≤2kπ+π(k∈Z),
3
2π
8π
4kπ+ ≤x≤4kπ+ (k∈Z),
3
3
故函数 g(x)的单调递减区间是 4π +
2π
8π
,4π +
3
3
(k∈Z).
变式探究
本例(2)中,若改为“将 f(x)的图象向右平移
π
φ(0<φ< )个单位长度,再将得到