幂函数与函数的图象变化
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数与指数函数是高等数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍幂函数和指数函数的定义、性质以及它们在不同领域的应用。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。
幂函数的定义域为正实数集。
当a>0时，幂函数是严格递增的；当a<0时，幂函数是严格递减的。
特别地，当a=0时，幂函数为常函数。
幂函数的图像可以分为几种不同的情况。
当a>1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当a<0时，幂函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。
二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a为底数，x为自变量。
指数函数的定义域为实数集。
当底数a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。
特别地，当底数a=1时，指数函数为常函数。
指数函数的图像也有几种不同的情况。
当底数a>1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当底数a<0时，指数函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。
三、幂函数与指数函数的应用1. 科学领域幂函数与指数函数在科学领域的应用非常广泛。
在物理学中，幂函数与指数函数可以描述天体运动、物体的增长规律等。
在化学中，幂函数与指数函数可用于描述化学反应速率、物质的衰变等。
2. 经济领域在经济学中，幂函数与指数函数常用于描述经济增长、人口增长等问题。
其中，指数函数可以用来描述指数增长，而幂函数则可以用来描述多项式增长。
3. 网络领域在网络传输中，幂函数与指数函数可以用于描述网络带宽的分配、传输速度的控制等问题。
指数函数在网络拓扑中也有广泛的应用，如指数递增的网络节点连接数量等。
根据幂函数的增减性知识点及题型归纳总结
根据幂函数的增减性知识点及题型归纳总
结
一、幂函数的增减性知识点
1. 幂函数的定义
幂函数是指以x为变量、以正常数a为底数的函数f(x) = a^x （a>0且a≠1）。
2. 幂函数的图像特点
- 当a>1时，幂函数的图像为增函数，即随着x的增大，f(x)的值也随之增大。
- 当0<a<1时，幂函数的图像为减函数，即随着x的增大，f(x)的值逐渐减小。
- 幂函数的图像都通过点(0,1)。
3. 幂函数的增减性
- 当a>1时，幂函数是严格递增函数，即对于任意的x1和x2（x1<x2），都有f(x1)<f(x2)。
- 当0<a<1时，幂函数是严格递减函数，即对于任意的x1和x2（x1<x2），都有f(x1)>f(x2)。
二、幂函数的题型归纳总结
1. 计算函数值
给定幂函数f(x) = a^x，计算特定x值对应的函数值，即求解f(x)。
2. 求解定义域和值域
给定幂函数f(x) = a^x，求解函数的定义域和值域。
3. 比较大小
给定两个幂函数f(x) = a^x和g(x) = b^x，比较它们在特定区间的大小关系。
4. 求解方程
给定幂函数f(x) = a^x，求解方程f(x) = k的解。
5. 绘制函数图像
根据给定的幂函数，绘制函数的图像。
注意：幂函数的变量x可以是实数，题目中可能会限定x的取值范围。
以上是根据幂函数的增减性的知识点及常见题型的归纳总结。
希望对你的学习有帮助！。
幂函数的图像与性质
图象都经过点（ 图象都经过点（1，1）
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 函数图象的变化趋势与指数有什么关系
幂函数在(0,+∞) １.幂函数在(0,+∞)都 幂函数在(0,+∞)都 有定义, (1,1)点 有定义,且都过 (1,1 点; ２.在x=1的右侧，越在 x=1的右侧 的右侧， 上方的图像对应的幂 函数的k值越大； 函数的k值越大； 轴与x=1之间相反。 x=1之间相反 在y轴与x=1之间相反。
幂函数的性质与图像？ 幂函数的性质与图像？
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 函数图象的变化趋势与指数有什么关系
在第一象限内， 在第一象限内， 增大而上升。 当k>0时，图象随 增大而上升。 时 图象随x增大而上升 当k<0时，图象随 增大而下降 时 图象随x增大而下降
3、思想与方法 、
数形结合 寓数于形,赋形于数 互相利用 相得溢彰. 寓数于形 赋形于数,互相利用 相得溢彰 赋形于数 互相利用,相得溢彰
练 习
y=x
I
−
1 2
y=x
G
2 3
y=x
E
4 3
y= x
B
−3
y=x
C
−2
y = x
y
幂函数九个基本图像
幂函数九个基本图像幂函数的图像和性质图表幂函数的图像：幂函数的性质：一、正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；二、负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
扩展资料一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
参考资料：百度百科—幂函数幂函数的图像和性质幂函数是基本初等函数之一。
一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时，定义域为(0，+∞) ），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。
特别，当n=1时为整数指数幂。
正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数的定义幂函数是一种特殊的函数，其形式为f(x) = ax^b，其中a 和b都是实数，且a不等于0。
在幂函数中，x是自变量，b 是幂指数，a是幂函数的系数。
2. 幂函数的图像根据幂函数的定义，可以推断出幂函数的图像特征： - 当幂指数b为正数时，幂函数呈现上升趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值也趋近于无穷大；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于零。
- 当幂指数b为负数时，幂函数呈现下降趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值趋近于零；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于无穷大。
- 当幂指数b为零时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。
3. 幂函数的性质幂函数具有以下性质： - 幂函数的定义域为实数集，值域依赖于a的正负性质。
- 幂函数在定义域上是连续的。
- 当幂指数b为正偶数时，幂函数的值始终为正数。
- 当幂指数b为正奇数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a 的正负性。
- 当幂指数b为负数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a的正负性。
- 幂函数在x=0处存在一个驻点，即当x=0时，幂函数的导数为0。
- 当b>0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而增加；当b<0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而减小。
4. 幂函数的应用幂函数在数学和物理中有广泛的应用，例如： - 在生物学中，幂函数常被用来描述生物体量和身高的关系，以及种群增长和资源利用的关系。
- 在经济学中，幂函数常被用来描述产出与投入的关系，以及利润与销售量的关系。
- 在物理学中，幂函数常被用来描述力与位移的关系，以及电力消耗与电流的关系。
5. 幂函数的求导根据幂函数的定义，我们可以得出幂函数的导数公式： - 对于f(x) = ax^b，其中a不等于0且b不等于0，幂函数的导数为f’(x) = abx^(b-1)。
其中b-1为幂指数减一。
在求幂函数的导数时，需要注意幂指数b的取值范围，以及系数a的正负性。
4.1幂函数的性质与图像
−1
1/2 1/3 …
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9
4
3
y=x
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
k>1 0<k<1
x
小结
1、幂函数的定义 及图象特征? 及图象特征? k>0,在(0,+∞)上为增函数; k>0,在(0,+∞)上为增函数; 上为增函数 2、幂函数的性质 k<0,在(0,+∞)上为减函数 k<0,在(0,+∞)上为减函数 3、思想与方法 、 图象过定点(1,1) 图象过定点
小结
作业: 作业
106页1,3 页
成功始于方法 巩固才能提高
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
幂函数、指数函数、对数图像及性质
质
x>1时, y>0
x>1时, y<0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
x
小
x
指数函数的图象和性质 y a
图 象 性 值域:
y
x
(a 0且a 1)
a>1
y 1 o
0<a<1
1 o R (0,&#义域:
过定点: 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1, 当x<0时，y>1. 质 当x<0时，0<y<1. 单调性：是R上的增函数 单调性：是R上的减函数 奇偶性： 非奇非偶 奇偶性： 非奇非偶
1. 幂函数的图像
y x, y x , y x ,
2 3
y
y x , y x
的图象.
1 2
y x3 y x2 y x
1
yx
1
1 2
yx
1
O1
y x 2
x
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，
并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a＞0，则幂函数图象过原点， 并且在区间 [0,＋∞)上是增函数；
3、对数函数的图像
y log2 x y log0.5 x y lg x
y log0.1 x
1
对数函数的图象和性质
a>1 图 象
o y (1, 0) x
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
幂函数运算知识点总结
幂函数运算知识点总结一、幂函数的定义幂函数是指数函数的一种特殊形式，其定义为f(x) = ax^n，其中a和n分别为实数且n为正整数。
幂函数的定义域为实数集合，值域为非负实数集合。
当n为偶数时，幂函数的图像呈现“上凸”的形状；当n为奇数时，幂函数的图像呈现“上凹”的形状。
二、幂函数的图像特点1. 当n为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凹，在第二象限和第四象限上凸。
2. 当n为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凸，在第二象限和第四象限上凹。
3. 当n为1时，幂函数的图像为直线y=ax，且通过原点。
三、幂函数的性质1、对任意实数a，b，c（a≠0,1）；n，m为正整数，有a^0=1,a^m*a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^(mn),(a*b)^m=a^m*b^m,(a/b)^m=a^m/b^ma^m/a^n=a^(m-n)2、a≠0,1时，当0<a<1时，a^m叫做小于1的幂，a^(−m)=1/a^m；大于1的幂。
a^m>1, 当m>1时 a^m>1, 当m<1时 a^m <1.0^0=1,0^m=0 (m>0).四、幂函数的运算规律1. 幂函数与常数的乘积：y=kx^n(k为常数)，则y=kx^n是一条幂函数的图像，图像基本形状不变，只经过纵向压缩或纵向拉伸。
若k>1，则图像纵向压缩；若0<k<1，则图像纵向拉伸。
2. 幂函数的平移：若对f(x)=x^n加常数c，则其图像向上平移c个单位；若对f(x)=x^n减常数c，则其图像向下平移c个单位。
3. 幂函数的镜像：幂函数关于y轴对称时，原函数的图像将对称于y轴；幂函数关于x轴对称时，原函数图像将对称于x轴。
4. 幂函数的复合函数：将两个幂函数进行复合运算时，其结果仍为幂函数。
五、幂函数的求导幂函数的导数运算利用幂函数的性质和指数函数的导数运算法则，以及利用导数的乘法法则与链式法则。
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第 七 节 幂函数与函数的图象变换
2019/2/22
2019/2/22
重点难点 重点： ①幂函数的定义、图象与性质． ②函数图象三种基本变换规则． 难点： ①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关 系． ②利用基本变换规则作函数图象
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一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝ xα 的函数叫幂函数 (α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3， ，－1,0，－ ，－2 时的幂函 2 2 数
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a＋ 1<0 0>a＋ 1>3－ 2a 或 3－ 2a>0
，
幂函数的图象
[例 2]
(文)如果函数 f(x＋ 1)是偶函数，那么函数 y )
＝ f(2x)的图象的一条对称轴是直线(
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A． x＝－ 1
B． x＝ 1
1 1 C． x＝－ D． x＝ 2 2 解析：∵ f(x＋ 1)为偶函数，∴将 f(x＋ 1)的图象向
答案：B
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若函数 y ＝ f(x) 与 y ＝ g(x) 的图象分别如图，则 f(x)· g(x)的图象可能是 ( )
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解析：由 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知 f(x)· g(x) 为奇函数， x∈(－ 3,0)时， f(x)>0， g(x)>0， 所以 f(x)g(x)>0， 故选 C.
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1 答案：0， 2
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(理 )(2010· 山东临沂 )已知函数
1 f(x)＝ x－ log3x，若 5
x0 是方程 f(x)＝ 0 的解，且 0<x1<x0，则 f(x1)的值( A．恒为正值 C．恒为负值 B．等于 0 D．不大于 0
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2．识图 绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本 功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、 奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点， 另外有无渐近线， 正、 负值区间等都是识图的重要方面 ， 要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来 确定这些参数．
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2．由函数 y＝ f(x)的图象变换成 y＝ g(x)的图象，变 换顺序为①→②时，由 y＝ g(x)的图象变换成 y＝ f(x)的图 象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.
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3．在研究幂函数 y＝ xα 的图象、性质时，应考虑 α 的三种情况： α>0，α＝ 0 和 α<0.幂函数的图象一定出现 在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴 相交时，交点一定是原点．
－ m 3
<(3－
的 a 的取值范围．
分析： 先根据条件确定 m 的值，再利用幂函数的单 调性求 a 的范围．图象关于 y 轴对称说明此幂函数为偶 函数，在 (0，＋∞ )上单调递减，说明指数为负，故应从 指数小于 0 入手求解．
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解析： ∵函数在 (0，＋∞ )上递减， ∴ m2－ 2m－ 3<0，解得－ 1<m<3. ∵ m∈ N＋ ，∴ m＝ 1,2. 又函数图象关于 y 轴对称，∴ m2－ 2m－ 3 是偶数． 而 22－ 2× 2－ 3＝－ 3 为奇数， 12－ 2× 1－ 3＝－4 为 偶数，∴ m＝ 1.
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∵ y＝ x
－
1 3
在 (－ ∞， 0)和(0，＋ ∞)上均为减函数，
－ 1 3
∴ (a＋ 1)
<(3－ 2a)
－
1 3
等价于 a＋ 1>3－ 2a>0 或 0>a
＋ 1>3－ 2a 或 a＋ 1<0<3－2a. 2 3 解得 a<－1 或 <a< . 3 2 故
2 3 a 的范围为 aa<－1或3<a<2 .
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一、数形结合的思想 函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察 图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数 形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质， 应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函 数关系；函数关系决定了函数图象的性质．
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2．图象：(只作出第一象限图象 )
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幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根 据对称性作出． 幂函数 y＝ xα(α∈ R)的图象如下表：
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q α＝ p
α<0
0<α<1
α>1
p、q 都是 奇数
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α＝
q p
α<0
0<α<1
α>1
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解析： (1)∵ 0<0.71.3<1,1.30.7>1，∴ 0.71.3<1.30.7 考察幂函数 y＝ xm 由(0.71.3)m<(1.30.7)m 知 y＝ xm 为 (0，＋∞ )上的增函数，∴ m>0. (2)指数函数 y＝ 0.8x 是减函数，∴ 0.80.7>0.80.8 又幂函数 y＝ x0.8 在第一象限为增函数 ∴ 0.80.8>0.70.8，∴ 0.80.7>0.70.8.
⑤ y＝ |f(x)|的图象可将 y＝ f(x)的图象在 x 轴下方的部 分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分不变． ⑥ y＝ f(|x|)的图象可将 y＝f(x)，x≥ 0 的部分作出，再 利用偶函数的图象关于 y 轴的对称性， 作出 x＜ 0 的图象．
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(3)伸缩变换 ① y＝ Af(x)(A＞0)的图象， 可将 y＝ f(x)图象上所有点 的纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标不变而得到． ② y＝ f(ax)(a＞ 0)的图象，可将 y＝ f(x)图象上所有点 1 的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变而得到． a
答案：C
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数形结合的思想
[例 4]
(文)若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0，且
a≠1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 ________．
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解析： 由图可知，ⅰ)当 a>1 时， 2a>2，不成立． 1 ⅱ )当 0<a<1 时， 0<2a<1⇒0<a< . 2 1 综上所述， a 的取值范围是 0<a< . 2
二、图形变换方法 作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图 是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换， 作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记 基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特 征．
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幂函数的单调性
[例 1] (1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求 m 的范围． (2)比较大小：0.80.7 与 0.70.8.
减
函数．
(3)α＝ 0 时 y＝ x0， 表示过(1,1)点平行于 x 轴的直线(除 去 (0,1)点)．
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二、函数的图象与图象变换 1．画图 描点法 ①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论 函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域 )； ④列对应值表 (尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与 坐标轴的交点 )；⑤描点，连线．
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图象变换法 (1)平移变换 ①左右平移：y＝f(x－ a)的图象，可由 y＝f(x)的图象 向左 (a<0)或向右 (a>0)平移 |a|个单位而得到． ②上下平移：y＝f(x)＋ b 的图象， 可由 y＝f(x)的图象 向上 (b>0)或向下 (b<0)平移 |b|个单位而得到．
p 为奇 数， q 为 偶数 p 为偶 数， q 为 奇数
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3.性质： (1)当 和
(1,1)
点；
且在第一象限都是 增 函数； 当 0<α<1 时曲线上凸； 当 α>1 时，曲线下凸； α＝ 1 时，为过 (0,0)点和 (1,1)点的 直线． (2)当 α<0 时，幂函数图象总经过 (1,1) 点，且在第一 象限为
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幂函数 y＝ x 的值为 ( )
m2＋ 3m
(m∈Z)的图象如下图所示，则 m
A．－ 3<m<0 B．－ 1 C．－ 2 D．－ 1 或－2
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解析： ∵ y＝ xm 3m<0，∴－ 3<m<0
2＋ 3m
在第一象限为减函数，∴ m2 ＋
∵ m∈ Z，∴ m 的可能值为－ 2，－ 1. 代入函数解析式知，当 m＝－ 1 和－ 2 时，函数都是 y＝ x－ 2，为偶函数，故选 D.
)
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解析： 构造函数 y＝ 2－x 与 y＝ 3－x2，由图象可知两 函数图象有两个交点， 故方程 2－x＋ x2＝ 3 有 2 个实数根， 所以选 A.
答案：A
2019/2/22
(理)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数．当 x∈[0,1]时， f(x)＝ x，那么在区间 [－ 1,3]内，关于 x 的方程 f(x)＝ kx＋ k＋ 1(k∈ R 且 k≠－ 1)有四个根， 则 k 的取值范围是 ( A． (－ 1,0) 1 C． (－ ， 0) 3 1 B． (－ ， 0) 2 1 D． (－ ， 0) 4 )
答案：D
2019/2/22