幂函数图象规律
幂函数图像总结
幂函数图像是数学中最常见的图像之一，它以指数形式表示，其标准形式为y = ax^n，其中a和n为实数。
幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。
首先，幂函数图像的定义域和值域都是实数，因此它们的图像可以是任何实数的函数。
其次，幂函数图像的图像具有指数性质，其图像的斜率随着x的增加而增加。
此外，当a>0时，幂函数图像具有单调性，当a<0时，其图像具有双曲线形状，并且具有极值点。
此外，幂函数图像的x轴和y轴的对称性也是一个重要的性质。
如果a>0，则图像具有y 轴对称性；如果a<0，则图像具有x轴对称性。
最后，幂函数图像的图像具有不变性，即当x和y满足y = ax^n时，它们的图像具有相同的形状。
总之，幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。
它们的定义域和值域都是实数，它们的图像具有指数性质，它们的图像具有单调性和双曲线形状，它们的图像具有y轴和x轴对称性，它们的图像具有不变性。
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质一、相关内容1、形如αx y =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
2、幂函数的图像0<α10<<α1>α第一象限图像其他象限图像根据定义域和奇偶性判断性质总结1、幂函数的图像一定在第一象限，不在第四象限2、图像过定点（1，1）3、当0=α时，表示与X 轴平行，过（1，1），不过（0，1）的两条射线二、基础练习1、判断下列哪些是幂函数（1）xy 2.0= （2）21x y = （3）x y -=3 （4）1-=x y （5）x y 4= （6）5x y =2、画出下列函数的图像（1）43x y = （2）34x y =（3）76-=x y （4）31x y =（5）x y = （6）98x y =3、若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是_________4、若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5、幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是____________6、函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______7、已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是___________8、在32521,2,,y y x y x x y x x===+=四个函数中，幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、已知幂函数()y f x =的图象过点2(2,)2，则(4)f 的值为（ ）A ．1B ． 2C ．12D ．8 10、幂函数y ＝xm 2－3m －4(m ∈Z)的图象如下图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或311、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12、幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( )A 、一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1) 13、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定。
幂函数的图像及性质
函数，∴由 (a ?1)3 ? (3? 2a)3 ，得a-1<3+2a 即a>-4 .
∴所求a的取值范围是 (－4，＋∞)．
幂函数的图像及性质
【变形训练】
1、已知幂函数 y ? (mm2 ? ? 1)xm2?2m?3 ，当x∈
(0，＋ ∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么 ？奇偶性如何？单调性如何？
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为 (0，＋∞)， ∴函数 f(x) 在[1，＋ ∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为 f(1)＝2.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2、已知幂函数 y=xp-3 (p∈N*）的图象关于 y轴
对称，且在 (0，＋∞)上是减函数，求满足
p
p
(a ? 1) 3 ? (3 ? 2a ) 3 的a的取值范围 ．
解：函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如
下：
任f(x取1)－x1、f(xx22)∈＝(0x，212 ＋? x∞222)，? 且2(xxx21122<?xx2x22，12)
?
2(x1
? x2)(x2 x12 x22
?
x1)
幂函数的图像及性质
【典型例题】
∵0<x 1<x2，∴ x1＋x2>0，x2－x1>0， x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 .
解：∵函数 y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p －3<0，即 p<3 ，
又∵ p ∈N*，∴ p ＝1，或 p ＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于 y轴对称，∴ p－3是偶数，
高考数学第一轮复习幂函数图像与性质
幂函数的性质与图像 幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x= （3）2y x= （4）1y x-= （5）3yx=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数， 在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练： 已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
幂函数与指数函数的图像变换解析
幂函数与指数函数的图像变换解析幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在自然科学、工程技术和经济管理等领域中有着广泛的应用。
本文将从图像的角度，对幂函数和指数函数的图像变换进行解析和讨论。
首先，我们来了解一下幂函数的图像变换。
幂函数的一般形式可以表示为 y = ax^b，其中 a 和 b 是实数，且a ≠ 0。
当 b 为正数时，图像呈现上升趋势；当 b 为负数时，图像呈现下降趋势。
1. 幂函数的图像拉伸和压缩：对于 y = ax^b 这样的幂函数，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。
这是因为 a 的变化会改变函数值的幅度，即放大或缩小函数的纵坐标。
另外，对于 x 的变化，当 b > 1 时，图像在原点附近的斜率更陡，表示函数在原点的增长速度更快；当 0 < b < 1 时，图像在原点附近的斜率更缓，表示函数在原点的增长速度更慢。
2. 幂函数的图像平移：幂函数的图像平移与一般的函数平移类似。
假设有一个幂函数 y = ax^b，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。
当 c > 0 时，图像将沿负 x 轴方向平移 c 个单位；当 c < 0 时，图像将沿正 x 轴方向平移 c 个单位。
总结起来，幂函数的图像变换主要包括拉伸和压缩、以及在平面上的平移。
接下来，让我们讨论指数函数的图像变换。
指数函数的一般形式可以表示为 y = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1。
1. 指数函数的图像拉伸和压缩：对于指数函数 y = a^x，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。
与幂函数不同的是，指数函数的 x 坐标的变化不会改变函数的斜率，而会改变函数值的幅度。
2. 指数函数的图像平移：指数函数的图像平移也与一般的函数平移类似。
假设有一个指数函数 y = a^x，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。
高中数学之幂函数的图像
幂函数的图像一、幂函数的模型与奇偶性幂函数的模型为nm x=y 和nm x—=y ，其中m ∈Z +,n ∈Z +.所以n m 有四种可能的情况，即偶偶、奇偶、奇奇、偶奇。
(-x))-((x)f x x x f ====偶偶偶偶偶偶(-x))-((x)f x x x f ====奇偶奇偶奇偶由上可知，在nm中，分子m 为偶，幂函数必为偶函数。
奇奇奇奇xx f ==(x))(--)-()-((-x)x f x x x f ====奇奇奇奇奇奇由上可知，在nm中，分子m 和分母n 都为奇，幂函数必为奇函数。
偶奇偶奇xx x f ==)(其中，0>奇x 0>⇒x 。
由上可知，在nm中，分子m 为奇，分母n 为偶，)(x f 只允许0>x 所以)(x f 只在x 轴正半轴一侧，第一象限有图像，这种函数为非奇非偶函数。
综上所述，我们得出一个幂函数图像奇偶性的口诀：分子为偶必为偶函数；分子分母都为奇，才为奇函数；分子为奇分母为偶，才为非奇非偶函数。
因为)(x f 和)(1x f 有相同的奇偶性，所以nm x=y 和nm x—=y 遵循相同的奇偶性规律。
二、幂函数的图像类型 在幂函数nm x=y 和nm x—=y ，m ∈Z +,n ∈Z +中。
我们可知0>nm，0<nm—。
我们由多次画图经验可知：（一）当0>nm时，nm x=y在第一象现为抛物线形增函数。
①当m<n 时，即10<<nm时，nm x=y在第一象限的图像唯x 轴，如下图所示：②当m=n 时，即1=nm时，nm x=y在第一象限的图像为x 轴正半轴与y 轴正半轴的角平分线。
如下图所示：③当m>n 时，即1>nm时，nm x=y在第一象限的图像唯y 轴,如下图所示：（二）当0<-m，nm x—=y 在第一现象为曲线形减函数。
①当n<m 时，即01<-<-nm时，所以nx-=y在第一象限的图像离y 轴较远，离x 轴较近。
幂函数图像及性质知识点总结(最新)
幂函数图像及性质知识点总结
一、幂函数图像及性质
1、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
（1）图像都经过点（1,1）（0,0）；
（2）函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
（3）在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。
2、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
（1）图像都通过点（1,1）；
（2）图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
（3）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
3、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
1、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
二、什么是幂函数
幂函数属于基本初等函数之一，一般y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
【幂函数图像及性质知识点总结】
1。
幂函数的特征
幂函数的特征
幂函数是基本初等函数之一，其形式为f（x）=x^n，其中n 为实数。
幂函数有三个主要特征：定义域、值域和图像。
1. 定义域：幂函数的定义域为所有实数。
这意味着无论我们选择什么实数值作为x，幂函数都将给出一个有意义的输出。
2. 值域：幂函数的值域为无穷大。
这意味着幂函数的输出可以是无限大的正数或负数。
3. 图像：幂函数的图像通常在第一象限内呈上升趋势，然后下降。
当指数大于0时，图像在第一象限内上升；当指数小于0时，图像在第二象限内下降。
此外，幂函数的图像关于y轴对称，如果指数是偶数，则还关于x轴对称。
当n >0时，幂函数展现出以下性质：首先，图像经过点（1,1）（0,0）；其次，在区间[0,+∞）上，函数的图像是增函数；另外，在第一象限内，n >1时，导数值逐渐增大；当n等于1时，导数为常数；而在0< n <1的情况下，导数值逐渐减小，趋近于0。
值得注意的是，当n <0时，幂函数y=x^ n呈现出不同的特性。
其图像仍然通过点（1,1），但在区间（0，+∞）上是减函数。
此外，如果n为负偶数，如X-2，该函数是偶函数，其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），随着自变量的增大，函数值趋向于无穷大或无穷小。
综上所述，幂函数的性质丰富多样，与其指数n的取值紧密
相关。
对于不同的n值，幂函数可能在区间端点处的取值、增减性、奇偶性以及渐近线等方面表现出不同的特点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
幂函数图象有规律
幂函数()n y
x n Q 的图象看似复杂，其实很有规律。
假如我们能抓住这些规律，那
么幂函数图象问题就可迎刃而解。
那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。
2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。
3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。
4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。
5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。
2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。
3．各个象限内图象分布之规律：设p
n
q
，,p q 互质，,p Z q N 。
1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。
2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。
3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。
4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。
5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。
知识点：幂函数的图象特征:
（1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．
先根据函数特征画出第一象限图象；
① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0[+∞上是增函数．
③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减
函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
（2）如果幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内． （3）常见幂函数性质
y=x
y=x 2
y=x 3
y=x 2
1
y=x 1-
定义域 值域 奇偶性
单调性 定点
例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）
；（8）
；（9）。
解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E ，C ，A ，G ，B ，I ，D ，H ，F 。
例1.下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=x
x
B.y=3x 2
C.y=x 2
1+1 D.y=x
3
-
练习1：已知函数22
21
(1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式．
练习2：若函数29
()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．
题型二：幂函数性质
例2：下列命题中正确的是（ ）
A ．当0α=时，函数y x α
=的图象是一条直线
B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C ．幂函数的y x
α
=图象不可能在第四象限内
D ．若幂函数
y x
α
=为奇函数，则在定义域内是增函数
练习3：如图，曲线c1, c2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限的图象，那么一定有（ ）
A ．n<m<0
B ．m<n<0
C ．m>n>0
D ．n>m>0 练习4：．（1）函数y ＝5
2x 的单调递减区间为（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（－∞，0）
C ．［0，＋∞)
D ．（－∞，＋∞）
（2）．函数y ＝x 4
3-在区间上 是减函数．
（3）．幂函数的图象过点(2,41), 则它的单调递增区间是 ． 题型三：比较大小
.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）433.2，4
34.2; （2）5631.0，5
635.0； （3）2
3)2(-
，2
3)
3(-
；
（4）2
11
.1-，2
19
.0-．
.
2.设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：
则a 的值为（ ）
（A ）1
（B ）－1
（C ）
2
5
1-- （D ）
2
5
1+-
3.图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） Ａ．3
12
y x =
- (02)x ≤≤
第1题图
Ｂ．33
122y x =
-- (02)x ≤≤
Ｃ．3
12
y x =-- (02)x ≤≤
Ｄ．11y x =--
(02)x ≤≤
题型3：函数的图象变换．
1.函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ） （A ）0,1<>b a （B ）0,1>>b a （C ）0,10><<b a （D ）0,10<<<b a
2.将函数)1lg()(x x f -=的图象 （ ）
（A ）沿x 轴向右平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （B ）沿x 轴向左平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （C ）沿y 轴向上平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （D ）沿y 轴向下平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 3．若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于 对称．
题型4：函数图象应用
3.已知定义在R 上的函数)(x f 关于原点对称，它在),0(+∞上的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集为 ． 4．已知定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)的函数f (x )是偶函数，并且在(－∞,0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f (x )
x
<0的解集是（ ）．
A ．(－3,0)∪(0,3)
B ．(－∞,－3)∪(0,3)
C ．(－∞,－3)∪(3,＋∞)
D ．(－3,0)∪(3,＋∞)
5.函数)(x f y =的图象与函数2()log (0)g x x x =>的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为（ ） （A ）21
()(0)log f x x x
=
> （B ）21
()(0)log ()
f x x x =
<-
（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<
x
y
o
2。