高中数学第一章导数及其应用复习课件新人教A版选修2-2
（III）由已知得 f ′( x) > 3m ，即 mx − 2( m + 1) x + 2 > 0 .又 m < 0 所 ） 又
2
2 2 2 2 2 以 x − ( m + 1) x + < 0 ,即 x − ( m + 1) x + < 0, x ∈ [ −1,1] ① 即 m m m m 1 2 2 其函数开口向上,由题意知 设 g ( x ) = x − 2(1 + ) x + ,其函数开口向上 由题意知①式恒成立 其函数开口向上 由题意知①式恒成立, m m
第三章 导数及其应用复习小结
本章知识结构
函数的瞬时变化率
导数概念
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导
导数
导数运算
导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、 函数的极值、最值
导数应用
曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题
一．知识串讲 曲线的切线
以曲线的切线为例，在一条曲线 ： 以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x) 上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y) 上取一点 ， △ ， △ 是曲线C上与点 临近的一点，做割线 是曲线 上与点P临近的一点 做割线PQ 上与点 临近的一点， 沿曲线C无限地趋近点 ，当点Q沿曲线 无限地趋近点 时，割线 当点 沿曲线 无限地趋近点P时 PQ便无限地趋近于某一极限位置 ，我们 便无限地趋近于某一极限位置PT， 便无限地趋近于某一极限位置 就把直线PT叫做曲线 的在点 处的切线。 就把直线 叫做曲线C的在点 处的切线。 叫做曲线 的在点P处的切线
2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数 在[a，b]上必 ．存在性：在闭区间 ， 上连续函数 上连续函数f(x)在 ， 上必 有最大值与最小值． 有最大值与最小值． 3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间 ，b]上最 ．求最大（ 在闭区间[a， 上最 值的方法：函数 在闭区间 值求法： 值求法： 求出f(x)在(a，b)内的极值； 内的极值； ① 求出 在 ， 内的极值 将函数f(x)的极值与 ，f(b)比较，其中较大的一个是 的极值与f(a)， 比较， ② 将函数 的极值与 比较 最大值，较小的一个是最小值 最大值，较小的一个是最小值.
割 线 T 切 线 x
返回
定理 一般地，函数y 在某个区间(a,b) (a,b)内 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 f′(x)>0， y=f（ 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增 内单调递增； 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） f′(x)<0， y=f（ 在这个区间(a,b)内单调递减。 (a,b)内单调递减 在这个区间(a,b)内单调递减。
2 （II）由（I）知， f ′( x) = 3mx − 6(m + 1) x + 3m + 6 = 3m( x − 1) x − 1 + ） ） m
2
2 的变化如下表： 当 m < 0 时,有 1 > 1 + ,当 x 变化时 f ( x) 与 f ′( x) 的变化如下表： 有 当 变化时, m
返回
当点Q沿着曲线无限接近点 当点Q x→0时 割线PQ PQ如果有一 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT. PT.则我们把直线 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点 处的切线 称为曲线在点P 切线. PT称为曲线在点P处的切线.
y=f Q (x)
设切线的倾斜角为α 设切线的倾斜角为α,那 α P 么当Δx→0时 割线PQ PQ的 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. 切线的斜率. f (x0 +∆x) − f (x0 ) ∆y ' = lim 即: k切线 = f (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
（I）求 m 与 n 的关系表达式； 的关系表达式； ） 的单调区间； （II）求 f ( x) 的单调区间； ） （ III）当 x ∈ [ −1,1] 时 ,函数 y = f ( x) 的图象上任意一 ） 函数 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围 求 的取值范围.
函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f' x)=0 )=c ( )=0 2.若f(x)=x n，则f' x)=nx n-1 (n ∈ R) )=x ( )=nx 3.若f(x)=sinx，则f' x)=cosx )=sinx sinx， ( )=cosx 4.若f(x)=cosx，则f (x)=-sinx )=cosx cosx， )=-sinx 5.若f(x)=a ，则f (x)=a ln a )=a )=a 6.若f(x)=e ，则f (x)=e )=e )=e
1．导数的定义 对函数 导数的定义：对函数 导数的定义 对函数y=f(x)，在点 ，在点x=x0处给自变量 x以增量△x，函数 相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 以增量△ ，函数y相应有增量 相应有增量△ 以增量 △ － ， 存在， 若极限 lim ∆y = lim f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 存在，则此极限称为
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点 0处的导数的几何意 ．导数的几何意义：函数 在点x 在点 处的切线的斜率， 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 就是曲线 在 处的切线的斜率 y=f(x)在点 0，f(x0))处的切线斜率为 ＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ 在点P(x 处的切线斜率为k＝ 在点 处的切线斜率为 ． ＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 在点 处的切线方程为 y−y0=f ’(x0)·(x－x0)． − － ． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间 ．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程 关于时间 关于时间t 的函数为： 对于时间t的导数 的导数， 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间 的导数， ， 即v(t)=s’(t).
∆x → 0
∆x
∆x → 0
∆x
f(x)在点 在点x=x0处的导数，记为 ’(x0)，或y|x = x ； 处的导数，记为f 在点 ，
0
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间 ，b)内每一点都可导， ．导函数：如果函数 在区间(a， 内每一点都可导 内每一点都可导， 在区间 就说y=f(x)在区间 ，b)内可导．即对于开区间 ，b)内每一个 在区间(a， 内可导 即对于开区间(a， 内每一个 内可导． 就说 在区间 确定的x 都相对应着一个确定的导数f 确定的 0值，都相对应着一个确定的导数 ’(x0)，这样在开区 ， 内构成一个新函数， 间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做 ， 内构成一个新函数 把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内 在 ， 内 的导函数．简称导数．记作 的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’. 或 即f ’(x)=y’= lim f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆x → 0 ∆x
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 [a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断 则它必有最大值和最小值. 必有最大值和最小值 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
a x1
x f ′( x)
f ( x)
2 −∞,1 + m
−
2 1+ m
0 极小值
2 1 + ,1 m
1
(1, +∞ )
−
+
0 极大值
2 2 故由上表知,当 单调递减,在 单调递增, 故由上表知 当 m < 0 时 , f ( x) 在 −∞,1 + 单调递减 在 1 + ,1 单调递增 m m
[ f (x) ± g(x)] = f ′(x) ± g′(x)
法则2:两个函数的积的导数, 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 2:两个函数的积的导数 函数, 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
[ f (x) g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
法则3:两个函数的积的导数, 法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 3:两个函数的积的导数 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 函数, 数的平方. 数的平方.即:
f (x) ′ f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) (g(x) ≠ 0) g(x) = 2 [ g(x)]
g
f(a)
x2
0
g
x4 x3 b x 返回
f(x2)
函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 5(05 山东 19)已知 x = 1 是函数 已知 的一个极值点， f ( x) = mx − 3(m + 1) x + nx + 1 的一个极值点，其中
3 2
m, n ∈ R, m < 0 ，
2
2 2 g (−1) < 0, 1 + 2 + + < 0, 4 ⇒ 所以 解之得 − < m 又 m < 0 所以 m m 3 g (1) < 0. −1 < 0.
高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳总结课件 新人教A版选修2-2
• [例4] 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0 处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x 的取值范围为(1,3)．
• (1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；
• (2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x 的最大值．
• [解析] (1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c • ＝3a(x－1)(x－3)(a<0)， • ∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数， • 在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数， • 在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数． • 因此f(x)在x0＝1处取极小值－4，在x＝3处
• 特别要注意写单调区间时，区间之间用 “和”或“，”隔开，绝对不能用“∪” 连接．
• 2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)的导数 f′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递 增；f′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单 调递减，求函数的单调区间转化为解不等 式f′(x)>0或f′(x)<0.
[解析] (1)a＝－1 时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，
＋∞)．
f′(x)＝x2＋xx2－2，x∈(0，＋∞)，
因此 f′(2)＝1，
即曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 1.
又 f(2)＝ln2＋2， 所以 y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为 y－(ln2＋ 2)＝x－2，即 x－y＋ln2＝0. (2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－x a－1， 所以 f′(x)＝1x－a＋a－x2 1＝－ax2－xx＋2 1－a x∈(0， ＋∞)．
函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.1.1、2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(4)在公式ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定 值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
平均变化率为
fx2－fx1
___x_2_－__x1___
②曲线割线的 斜率
刻画函数值在
区间 [x_1_，__x_2_]_
上变化的快慢
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 ①瞬时速度：物
刻画函数值在
的瞬时变化率是 lim
体在某一时刻
ΔΔyx＝Δ_lix_m→_0_f__x_0＋__Δ_ΔΔ_xxx_→－_0_f_x_0
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
为 g×2＋12g×0.1＝4210g.
(4)由(2)得物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为 g×2＝2g.
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第一章 导数及其应用
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求函数f(x)在某点处的导数
已知f(x)＝x2＋3. (1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数．
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.7.2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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1．A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车 开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达 24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车， 速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车．试求：
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1．一辆汽车以 v＝3t2 的速度行驶，这辆汽车从 t＝0 到 t ＝3 这段时间内所行驶的路程为( )
A．13
B．1
C．3
D．27
3
解析：
s＝ 3t2dt＝t3| 0
30＝27，故选D.
答案： D
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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5
(2)当t＝5时，点P离开原点的位移s2＝0(8t－2t2)dt
＝4t2－23t3| 50＝530.
∴点P在x轴正方向上距原点530处．
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程
4
5
s3＝0(8t－2t2)dt－4(8t－2t2)dt
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2．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋
ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1 处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e
B．e
C．
D．e－1
1
1
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教A版选修
高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2-2 知识网络专题探究专题一导数的几何意义及其应用1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x)0)处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用，利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系，在求解参数问题中经常用到．【例1】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．提示：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程 解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率k ＝0|x x y ='＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3x 02＋4＝0. ∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0.∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝x 20＝4， ∴x 0＝±2.∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.专题二 利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ，e x，－x 3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f ′(x )的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．【例2】若a ≥－1，求函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)的单调区间． 解：由已知得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝ax －1x ＋1(a ≥－1)， (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增．综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 上单调递减，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增．【例3】若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)内为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意当x ∈(1,4)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )＞0. 故4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 因此a 的取值范围是[5,7]．专题三 利用导数求函数的极值和最值1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根．(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号： 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值． 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．即导数为零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．【例4】(1)函数f (x )＝1x ＋2x 2＋1x 3，求y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12上的最值； (2)若a ＞0，求g (x )＝1x ＋2x 2＋ax3的极值点．解：(1)f ′(x )＝－(x ＋1)(x ＋3)x4， 令f ′(x )＞0，得－3＜x ＜－1，令f ′(x )＜0，得x ＜－3，或－1＜x ＜0，或x ＞0， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12时，x ，f ′(x )，f (x )的变化如下表：(2)g ′(x )＝－x 2＋4x ＋3ax 4，设u ＝x 2＋4x ＋3a ，Δ＝16－12a ， 当a ≥43时，Δ≤0，即g ′(x )≤0，所以y ＝g (x )没有极值点．当0＜a ＜43时，x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a ＜0.∴g (x )的递减区间为(－∞，x 1)，(x 2,0)，递增区间为(x 1，x 2)． ∴有两个极值点x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a . 【例5】已知f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R .(1)若a ＝0，求函数y ＝f (x )在点(1，f (x ))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2－ln x ， 所以f ′(x )＝2x －1x⇒f ′(1)＝1，f (1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x －y ＝0. (2)因为函数在[1,2]上是减函数，所以f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1,2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≤0，h (2)≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，得a ≤－72.(3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)．②当1a≥e 时，g ′(x )＜0在(0，e]上恒成立，所以g (x )在(0，e]上单调递减．g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．③当0＜1a ＜e 时，令g ′(x )＜0⇒0＜x ＜1a，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增．所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3. 专题四 利用导数证明不等式从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f (x )＞g (x )，则构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证φ(x )＞0即可，由此转化成求φ(x )最小值问题，借助于导数解决．【例6】已知函数f (x )＝x 2ex －1－13x 3－x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解：(1)f ′(x )＝x (x ＋2)(ex －1－1)，由f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.当－2＜x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0； 当x ＜－2或0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的，在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．(2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0， 所以设h (x )＝ex －1－x .h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0得x ＝1，则当x ＜1时，h ′(x )＜0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减，因此当x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＞1时，h ′(x )＞0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0，故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )． 专题五 导数的应用 解决优化问题的步骤(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．【例7】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3＜x ＜6)．从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 专题六 定积分的应用由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和．【例8】如图所示，求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)，故S ＝1⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋31⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝1⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋31⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝3222136x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231|＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 专题七 恒成立问题 解决恒成立问题的方法(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )max ≤m . (2)若关于x 的不等式f (x )≥m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )min ≥m . (3)导数是解决函数f (x )的最大值或最小值问题的有力工具． 【例9】已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0， 即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .又当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x ∈(－∞，－3]，∴a ≥－3.(2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3， 即mx ≤2x ·ln x ＋x 2＋3. 又x ＞0，∴m ≤2x ·ln x ＋x 2＋3x.令h (x )＝2x ·ln x ＋x 2＋3x，h ′(x )＝(2x ln x ＋x 2＋3)′·x －(2x ln x ＋x 2＋3)·x ′x2＝(2ln x ＋2＋2x )x －(2x ln x ＋x 2＋3)x2＝2x ＋x 2－3x2， 令h ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3(舍)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )min ＝h (1)＝4， 即m 的最大值为4.。
高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教A版选修2_2
f'(x)=2x-4
−
6 ������
=
2������ 2 -4������ -6,
������
令f'(x)>0,得x>3;令f'(x)<0,得0<x<3,
所以f(x)的增区间是(3,+∞),减区间是(0,3).
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六
综合应用
(2)由题意知
f'(x)=2x-4
=
-������
������ 2-2������+������������ (������ 2+������)2
,
由题意知 f'(-c)=0,即得 c2k-2c-ck=0.
∵c>0,易知
k≠0,∴c=1
+
2 ������
.
(*)
由f'(x)=0,得-kx2-2x+ck=0.
由根与系数的关系知,函数f(x)的另一个极值点为x=1.
y0-y1=f'(x1)(x0-x1).① 又y1=f(x1),② 由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六
综合应用
应用
已知曲线
y=
1 3
������
3
+
4 3
,
求斜率为4
的曲线的切线方程.
提示:切点的坐标→切线的斜率→点斜式求切线方程
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六
综合应用
应用 1 已知函数 f(x)=ln x− (������-1)2.
2
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
高中数学第一章导数及其应用1.7变化率问题课件新人教A版选修22
[b
f
(x)－g(x)]
dx
图④中，f(x)>g(x)>0，面积S＝____a ______________；
[b
f
(x)－g(x)]
dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积S＝__a___________________．
2．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时
1．由直线x＝0、x＝23π、y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于( A )
A．3
B．32
C．1 [解析]
D．12 所求面积S＝022π2sinxdx＝－2cosx203π来自＝－2(－12－1)＝3．
2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为( C )
bv(t)dt 间区间[a，b]上的定积分，即s＝__a_________．
3．变力做功 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方 向移动了sm，则力F所做的功为W＝Fs． 如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b．则变
bF(x)dx 力F(x)做的功W＝___a _______．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．7 定积分的简单应用
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”．定积分这种 “和的极限”的思想，在数学、物理、工程技术、 其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普 遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求”和 的极限”的数学结构是一样的，那么如何用积分的 方法求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题呢？
高中数学第一章导数及其应用1.2.1几个常用函数的导数
• 对于C：例如：f(x)＝sinx＋x不是周期函数，当f′(x)＝cosx ＋1为周期函数，故C错误，
• 对于D：例如：f(x)＝x2为偶函数，则f′(x)＝2x为奇函数， 故D错误，
• 故选B．
4．若直线 y＝－x＋b 为函数 y＝1x的图象的切线，求 b 及切点坐标． [解析] 设切点坐标为(x0，y0)， 因为 y′＝1x′＝－x12，所以切线斜率为 k＝－x120． 所以切线方程为 y－x10＝－x120(x－x0)即 y＝－x120x＋x20 ．
[解析] (1)①(sinx)′＝cosx，①错；②(x53)′＝53x23，②错；③(log3x)′＝xl1n3， ③错；④(lnx)′＝1x，④对，故选 B．
(2)①y′＝(－3)′＝0； ②y′＝(x4)′＝4x3； ③y′＝(2x)′＝2xln2； ④y′＝(log5x)′＝xl1n5； ⑤y′＝[cos(π2－x)]′＝(sinx)′＝cosx．
• 『规律总结』 求基本初等函数的导数
• (1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则 直接利用公式求导．
• (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式， 则通过恒等变换对解析式进行化简或变化形后求导，如根 式要化成指数幂的形式求导．
〔跟踪练习 1〕 求下列函数的导数：