高中数学第一章计数原理3第一课时组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
第 一 课 时 第 一 章 §3 组 合
考点一 把握热点考向
考点二 考点三
组 合 与 组 合 数 公 式
应用创新演练
§ 3
组合
第一课时
组合与组合数公式
组合的有关概念
[例 1]
给出下列问题：
(1)从 a，b，c，d 四名学生中选两名学生完成一件工作，有多 少种不同的安排方法？ (2)从 a， b， c， d 四名学生中选两名学生完成两件不同的工作， 有多少种不同的安排方法？
答案：91
n m－1 m 4．证明：Cn ＝ Cn－1 . m
n－1！ n m－1 n 证明：∵m· Cn－1 ＝m· m－1！[n－1－m－1]！ n！ ＝ [m· m－1！]n－m！ n！ ＝ ＝Cm n， m！n－m！ n m－1 m ∴Cn ＝ Cn－1 成立. m
38－n≤3n， (3)∵ 3n≤21＋n，
∴9.5n 3n 28 30 2 1 ∴C38 3n ＋C21＋n＝C30＋C31＝C30＋C31
－
30×29 ＝ ＋31＝466. 2×1
[一点通]
(1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公
式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变 形，选择最恰当的公式计算． (2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化 简，再用组合数的阶乘形式证明．
(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中 取出 3 个球，取法种数是 7×6×5 3 C7＝ ＝35. 3×2×1 (12 分)
[一点通]
解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组
(5)组合问题，由于 4 本数学书是相同的，不同的分配方法取决于 从 5 个学生中选择哪 4 个人，这和顺序无关． (6)排列问题，因为 5 种工作是不同的，一种分工方法就是从 5 种 不同的工作中选出 4 种，按一定的顺序分配给 4 个人，它与顺序 有关．
有关组合数的计算与证明
[例 2]
－
4 3 3 199 求值：(1)C10 －C7 A3；(2)C98 ＋ C 100 200；
简单的组合应用题
[例 3] 黑球．
(12 分)一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个
(1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种 取法？ (3)从口袋内取出 3 个球， 使其中不含黑球， 有多少种取法？
[思路点拨]
先判断是不是组合问题，再用组合数公式
[一点通]
区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键
是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合 问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换 元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排 列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．
1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题． (1)设集合 A＝{a，b，c，d}，则集合 A 的含有 3 个元素的子 集有多少个？ (2)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种 不同的可能？ (3)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种 不同的可能？ (4)会场有 50 个座位， 要求选出 3 个座位有多少种方法？若选 出 3 个座位安排 3 个客人入座，又有多少种方法？
(5)把 4 本相同的数学书分给 5 个学生，每人至多得一本，有多少 种分配方法？ (6)4 个人去干 5 种不同的工作， 每人干一种， 有多少种分工方法？
解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”． (2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元 素做加法时，与两个元素的位置无关． (3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不 一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同 “排队”，与顺序有关．
2．若 C2 n＝28，则 n 的值为 A．9 C．7 B． 8
(
)
D．6 n！ nn－1 2 解析：∵Cn＝ ＝ ＝28， 2 2！n－2！
∴n(n－1)＝56，即 n＝8.
答案：B
5 6 12 3．若 C4 ， C ， C 成等差数列，则 C n n n n 的值为________．
5 6 解析：由已知，得 2Cn ＝C4 ＋ C n n，
n！ n！ n！ 所以 2· ＝ ＋ ， 5！n－5！ 4！n－4！ 6！n－6！ 整理，得 n2－21n＋98＝0，解得 n＝7 或 n＝14. 要求 C12 n 的值，故 n≥12，所以 n＝14， 于是 14×13 12 2 C14＝C14＝ ＝91. 2×1
(3)a，b，c，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少 场？ (4)a，b，c，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结 果？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ [思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的
这些元素是否与顺序有关．
[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序， 是组合问题； (2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题； (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺 序，是组合问题； (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．
n 3n (3)C38 ＋ C 3n 21＋n.
[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决．
[精解详析]
4 (1)原式＝C10 －A3 7
10×9×8×7 ＝ －7×6×5＝210－210＝0. 4×3×2×1 100×99 98 199 2 1 (2)C100＋C200＝C100＋C200＝ ＋200 2 ＝4 950＋200＝5 150.
写出结果，最后求值．
[精解详析] (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球，取法种数 是 8×7×6 3 C8＝ ＝56. 3×2×1 (4 分)
(2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球，于是还要从 7 个白球 中再取出 2 个，取法种数是 7×6 1 2 C1C7＝ ＝21. 2×1 (8 分)
考点一 把握热点考向
考点二 考点三
组 合 与 组 合 数 公 式
应用创新演练
§ 3
组合
第一课时
组合与组合数公式
组合的有关概念
[例 1]
给出下列问题：
(1)从 a，b，c，d 四名学生中选两名学生完成一件工作，有多 少种不同的安排方法？ (2)从 a， b， c， d 四名学生中选两名学生完成两件不同的工作， 有多少种不同的安排方法？
答案：91
n m－1 m 4．证明：Cn ＝ Cn－1 . m
n－1！ n m－1 n 证明：∵m· Cn－1 ＝m· m－1！[n－1－m－1]！ n！ ＝ [m· m－1！]n－m！ n！ ＝ ＝Cm n， m！n－m！ n m－1 m ∴Cn ＝ Cn－1 成立. m
38－n≤3n， (3)∵ 3n≤21＋n，
∴9.5n 3n 28 30 2 1 ∴C38 3n ＋C21＋n＝C30＋C31＝C30＋C31
－
30×29 ＝ ＋31＝466. 2×1
[一点通]
(1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公
式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变 形，选择最恰当的公式计算． (2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化 简，再用组合数的阶乘形式证明．
(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中 取出 3 个球，取法种数是 7×6×5 3 C7＝ ＝35. 3×2×1 (12 分)
[一点通]
解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组
(5)组合问题，由于 4 本数学书是相同的，不同的分配方法取决于 从 5 个学生中选择哪 4 个人，这和顺序无关． (6)排列问题，因为 5 种工作是不同的，一种分工方法就是从 5 种 不同的工作中选出 4 种，按一定的顺序分配给 4 个人，它与顺序 有关．
有关组合数的计算与证明
[例 2]
－
4 3 3 199 求值：(1)C10 －C7 A3；(2)C98 ＋ C 100 200；
简单的组合应用题
[例 3] 黑球．
(12 分)一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个
(1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种 取法？ (3)从口袋内取出 3 个球， 使其中不含黑球， 有多少种取法？
[思路点拨]
先判断是不是组合问题，再用组合数公式
[一点通]
区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键
是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合 问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换 元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排 列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．
1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题． (1)设集合 A＝{a，b，c，d}，则集合 A 的含有 3 个元素的子 集有多少个？ (2)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种 不同的可能？ (3)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种 不同的可能？ (4)会场有 50 个座位， 要求选出 3 个座位有多少种方法？若选 出 3 个座位安排 3 个客人入座，又有多少种方法？
(5)把 4 本相同的数学书分给 5 个学生，每人至多得一本，有多少 种分配方法？ (6)4 个人去干 5 种不同的工作， 每人干一种， 有多少种分工方法？
解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”． (2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元 素做加法时，与两个元素的位置无关． (3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不 一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同 “排队”，与顺序有关．
2．若 C2 n＝28，则 n 的值为 A．9 C．7 B． 8
(
)
D．6 n！ nn－1 2 解析：∵Cn＝ ＝ ＝28， 2 2！n－2！
∴n(n－1)＝56，即 n＝8.
答案：B
5 6 12 3．若 C4 ， C ， C 成等差数列，则 C n n n n 的值为________．
5 6 解析：由已知，得 2Cn ＝C4 ＋ C n n，
n！ n！ n！ 所以 2· ＝ ＋ ， 5！n－5！ 4！n－4！ 6！n－6！ 整理，得 n2－21n＋98＝0，解得 n＝7 或 n＝14. 要求 C12 n 的值，故 n≥12，所以 n＝14， 于是 14×13 12 2 C14＝C14＝ ＝91. 2×1
(3)a，b，c，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少 场？ (4)a，b，c，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结 果？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ [思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的
这些元素是否与顺序有关．
[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序， 是组合问题； (2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题； (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺 序，是组合问题； (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．
n 3n (3)C38 ＋ C 3n 21＋n.
[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决．
[精解详析]
4 (1)原式＝C10 －A3 7
10×9×8×7 ＝ －7×6×5＝210－210＝0. 4×3×2×1 100×99 98 199 2 1 (2)C100＋C200＝C100＋C200＝ ＋200 2 ＝4 950＋200＝5 150.
写出结果，最后求值．
[精解详析] (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球，取法种数 是 8×7×6 3 C8＝ ＝56. 3×2×1 (4 分)
(2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球，于是还要从 7 个白球 中再取出 2 个，取法种数是 7×6 1 2 C1C7＝ ＝21. 2×1 (8 分)
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高中数学 第1章 3组合课件 北师大版选修23
第二类：甲、乙都入选，第一步：选甲、乙，有 C22种选法．第 二步：从除去甲、乙、丙之外的 7 人中再选 1 人，有 C17种选法．根 据乘法原理，不同选法的种数为 C22·C17＝7.
综上，根据加法原理，不同选法的种数为 42＋7＝49.
3．Cmn ＋1＋Cmn －1＋2Cmn 等于(
)
A．Cmn＋＋21
1.组合的定义
一般地，从__n_个__不__同__的__元__素__中___，__任__取__m_(_m_≤_n_)_个__元__素__为__一__组__，
Hale Waihona Puke 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
2．组合数公式
C
m n
＝
___A__mm __
＝
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 计数原理
第一章 §3 组 合
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
• 1.通过实例，理解组合的概念． • 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际
问题．
• 本节重点：组合的概念． • 本节难点：组合数的两个性质.
B．Cmn＋2
C．Cmn＋＋11
D．Cmn＋1
[答案] A
[解析] 原式＝(Cmn ＋1＋Cnm)＋(Cmn ＋Cmn －1)
＝Cmn＋＋11＋Cmn＋1
＝Cmn＋＋21
4．C22000190＝________，C212＋C312＝________. [答案] 2010 286 [解析] C22000190＝C22001100－2009＝C12010＝2010，C212＋C312＝C313＝ 3！1×3！10！＝286.
综上，根据加法原理，不同选法的种数为 42＋7＝49.
3．Cmn ＋1＋Cmn －1＋2Cmn 等于(
)
A．Cmn＋＋21
1.组合的定义
一般地，从__n_个__不__同__的__元__素__中___，__任__取__m_(_m_≤_n_)_个__元__素__为__一__组__，
Hale Waihona Puke 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
2．组合数公式
C
m n
＝
___A__mm __
＝
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 计数原理
第一章 §3 组 合
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
• 1.通过实例，理解组合的概念． • 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际
问题．
• 本节重点：组合的概念． • 本节难点：组合数的两个性质.
B．Cmn＋2
C．Cmn＋＋11
D．Cmn＋1
[答案] A
[解析] 原式＝(Cmn ＋1＋Cnm)＋(Cmn ＋Cmn －1)
＝Cmn＋＋11＋Cmn＋1
＝Cmn＋＋21
4．C22000190＝________，C212＋C312＝________. [答案] 2010 286 [解析] C22000190＝C22001100－2009＝C12010＝2010，C212＋C312＝C313＝ 3！1×3！10！＝286.
高中数学选修2-3优质课件：组合与组合数公式
第十五页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝ 120××19＝45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的 选法．
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
第六页，编辑于星期一：点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
第十页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
)
A．4 或 9
B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8
时，解得 x＝9.
答案：A
第十八页，编辑于星期一：点 三十六分。
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝ 120××19＝45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的 选法．
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
第六页，编辑于星期一：点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
第十页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
)
A．4 或 9
B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8
时，解得 x＝9.
答案：A
第十八页，编辑于星期一：点 三十六分。
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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知识梳理
典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
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典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
2019高中数学第一章计数原理1.3组合课件北师大版
不同元素中取出m个元素的一个组合.
一二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时, n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ������nm
组合数 乘积式 公式 阶乘式
������nm
=
������nm ������mm
=
n(n-1)(n-2)…(n-m + m!
1)
������nm
抽调方法.
方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C160种选法; 考虑选取 1 名外科专家参加,有C41 ·C65种选法; 没有外科专家参加,有C66种选法.所以共有: C160 − C41 ·C65 − C66=185 种抽调方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答.
名的选法有C42种,
根据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62
·C42
=
6×5 2×1
×
4×3 2×1
=90
∴C������������
=
������+ 1 ������+1
C������������++11
=
������ ������-������
C������������-1.
探究一
一二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时, n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ������nm
组合数 乘积式 公式 阶乘式
������nm
=
������nm ������mm
=
n(n-1)(n-2)…(n-m + m!
1)
������nm
抽调方法.
方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C160种选法; 考虑选取 1 名外科专家参加,有C41 ·C65种选法; 没有外科专家参加,有C66种选法.所以共有: C160 − C41 ·C65 − C66=185 种抽调方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答.
名的选法有C42种,
根据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62
·C42
=
6×5 2×1
×
4×3 2×1
=90
∴C������������
=
������+ 1 ������+1
C������������++11
=
������ ������-������
C������������-1.
探究一
北师大版高中数学选修2-3课件：1.3 组合(共62张PPT)
考点类析
考点一 组合数性质的应用 10
考点类析
[答案] (1)B (2)D
考点类析
考点类析
考点类析
考点类析
考点二 简单的组合应用题 [导入] 从17人中任选11人参加一项活动,这是 组合 问题,其方法有
种.
考点类析
例2 如果一名足球教练要从 17名队员中任选1名守门员和 10名队员参加一场足球比赛, 那么这名足球教练有多少种 不同的安排方案?
解：选正、副组长时要考虑顺序，所以是排列 问题，排列数是 A29＝72，所以正、副组长的选 法有 72 种．选代表参加会议不用考虑顺序问题， 所以是组合问题，组合数是 C29＝36，所以选代 表参加会议，不同的选法有 36 种．
备课素材
2．利用公式法计算和证明
m＋1 [例 2] 求证：Cmn ＝n－m·Cmn ＋1.
新课导入
[导入二]问题导入 在日常生活中，我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征？ 它们与排列问题有什么不同吗？ 问题一：从a，b，c，d这四个元素中任意取出两个，共有多少种取法？ 问题二：某次团代会，要从候选人a，b，c，d，e这5人中选出3人担任代 表，有多少种选法？
预习探究
知识点一 组合及其特点
备课素材
1．细解组合的定义 (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同 元素中进行m次不放回地抽取； (2)抽取的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组 合的本质．根据组合的定义，只要两个组合中的元素相同，不管元素的顺 序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是 不同的组合，这一点与两个集合相等有类似之处．
【拓展】若从4名男生和5名
1.3 第一课时 组合与组合数公式 课件(北师大选修2-3)
n－m 用C m 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、 n ＝C n m m－1 下标的特征，灵活运用Cm . n＋1＝Cn ＋Cn
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(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有 多少种不同的选法？ 问题1：(1)与(2)相同吗？为什么？ 提示：不相同，(1)中选法是有顺序的，是排列问题； 返回
(2)中选法没有顺序，不是排列问题． 问题2：请写出(2)中所有可能的结果． 提示：甲乙，甲丙，乙丙． 问题3：从你班56名同学选7名同学组成班委，有顺序
2 2 提示：C6 ＝C1 ＋ C 5 5.
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组合数的性质
m 1．Cn ＝
n－m Cn ；
m 2．Cn ＋1＝
m 1 C Cm n ＋ n .
－
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1．组合的特点： 只取不排． 组合要求n个元素是各不相同的，被取出的m个元素也是 不相同的，且m≤n. 2．组合的特性： 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素 没有位置的要求． 3．相同的组合： 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管 顺序如何，就是相同的组合．
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[一点通]
解简单的组合应用题，要首先判断它是
不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成 一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
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5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2
名男工去支援另一施工队，不同的选法有
A．C3 10种
1 C．A2 7A3种 3 B．A10 种 1 D．C2 7C3种
理解教材 新知 第 1 部 分 第 一 章
知识点一 知识点二
知识点三
§3 把握热点 考向 考点一 考点二 考点三 应用创新 演练
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(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有 多少种不同的选法？ 问题1：(1)与(2)相同吗？为什么？ 提示：不相同，(1)中选法是有顺序的，是排列问题； 返回
(2)中选法没有顺序，不是排列问题． 问题2：请写出(2)中所有可能的结果． 提示：甲乙，甲丙，乙丙． 问题3：从你班56名同学选7名同学组成班委，有顺序
2 2 提示：C6 ＝C1 ＋ C 5 5.
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组合数的性质
m 1．Cn ＝
n－m Cn ；
m 2．Cn ＋1＝
m 1 C Cm n ＋ n .
－
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1．组合的特点： 只取不排． 组合要求n个元素是各不相同的，被取出的m个元素也是 不相同的，且m≤n. 2．组合的特性： 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素 没有位置的要求． 3．相同的组合： 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管 顺序如何，就是相同的组合．
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[一点通]
解简单的组合应用题，要首先判断它是
不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成 一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
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5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2
名男工去支援另一施工队，不同的选法有
A．C3 10种
1 C．A2 7A3种 3 B．A10 种 1 D．C2 7C3种
理解教材 新知 第 1 部 分 第 一 章
知识点一 知识点二
知识点三
§3 把握热点 考向 考点一 考点二 考点三 应用创新 演练
2019_2020学年高中数学第一章计数原理3组合第一课时组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
[解析] (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为 A210＝90. (2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的 区别，组合数为 C210＝45. (3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组 合数为 C210＝45. (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的， 是有顺序区别的，排列数为 A210＝90. (5)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为 C310＝120. (6)是排列问题．因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为 A310＝ 720.
②
由①得33n8－≥n38≥－0n，， 解此不等式组得129≤n≤38； 由②得32n1＋≥n0，≥3n， 解此不等式组得 0≤n≤221. ∴129≤n≤221. 又∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C3208＋C3301＝466.
(1)公式 Cmn ＝nn－1n－m2！…n－m＋1(n∈N＋，m∈N，m≤n)一般用于 求值计算． (2)公式 Cmn ＝m！nn！ －m！一般用于化简、证明或 m，n 较大的计算． (3)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即 Cmn 中的 n 为正整数，m 为自然数，且 n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行 检验，将不符合的解舍去．
(3)解法一 C37－C26＝7×36！×5－62×！5＝35－15＝20. 解法二 C37－C26＝C36＝63××52××41＝20. 答案：(1)35 (2)120 (3)20
探究一 排列、组合概念的辨析
[例 1] 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10 个人相互各写一封信，共写了多少封信？ (2)10 个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (4)10 支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (5)从 10 个人里选 3 个代表去开会，有多少种选法？ (6)从 10 个人里选出 3 个不同学科的课代表，有多少种选法？
高中数学第1章计数原理1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修23
①由 1,2,3,4 构成的双元素集合；②5 个队进行单循环足球比赛的分组情况；
③由 1,2,3 构成两位数的方法；④由 1,2,3 组合无重复数字的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
【解析】 ①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关．
【答案】 C
第四页，共32页。
教材整理 2 组合数的概念、公式、性质
第十九页，共32页。
探究 2 从含有队长的 10 名排球队员中选出 6 人参加比赛，共有多少种选 法？
【提示】 共有 C610＝160××59××48××37××26××15＝210(种)选法． 探究 3 在探究 2 中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有 多少种选法？由探究 2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？ 【提示】 若队长必须参加，共 C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共 C69 ＝84(种)选法． 由探究 2、3 发现从 10 名队员中选出 6 人可分为队长参赛与队长不参赛两 类，由分类加法计数原理可得：C610＝C59＋C69. 一般地：Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票 价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为 C23＝3×2 2＝3.
【答案】 3
第七页，共32页。
2．C26＝________，C1187＝________. 【解析】 C26＝6×2 5＝15， C1187＝C118＝18. 【答案】 15 18
第三十页，共32页。
5．已知 C4n，C5n，C6n成等差数列，求 Cn12的值． 【解】 由已知得 2C5n＝C4n＋C6n， 所以 2·5！nn！－5！＝4！nn！－4！＋6！nn！ －6！， 整理得 n2－21n＋98＝0， 解得 n＝7 或 n＝14， 要求 Cn12的值，故 n≥12，所以 n＝14， 于是 C1142＝C214＝142× ×113＝91.
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
复习课件
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学选修2-3精品课件：1.2.2 组合(一)
1.已知 C2n＝10，则 n 的值等于( B )
A.10
B.5 C.3 D.2
1234
2.给出下列问题：
1234
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，
有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结
解 小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队 的任两支球队都要比赛一次， 所以小组赛共要比赛 2C26＝30(场). 半决赛中甲组第一名与乙组第二名或乙组第一名与甲组第
二名主客场各赛一场，共要比赛 2A22＝4(场). 决赛只需比赛1场，即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).
∴129≤n≤221，∵n∈N*，∴n＝10，
∴C33n8－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝320× ×129＋31＝466.
(3)证明：Cmn ＝n－n mCmn－1. 证明 n－n mCmn－1＝n－n m·m！nn－ －11－！m！
n！ ＝m！n－m！＝Cnm.
第一章——
1.2.2 组合(一)
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简 单的组合问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.排列与组合有什么联系和区别？ 答 排列与组合都是从n个不同元素中取出m个不同元素； 不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素 是有顺序的.组合是选择的结果，排列是先选再排的结果.
Cmn ＝AAmmmn ＝nn－1n－m2！…n－m＋1计算；