中学数学(高中)学科竞赛集锦 (24)
中学数学(高中)学科竞赛集锦 (14)
2020年1月9日截屏〖供题一：贵州六盘水罗勇〗
浙江诸暨杨岸杰
〖供题二：项成天〗求数列(){}n n 312⋅+的前n 项和浙江宁波简洁
〖供题三：河南洛阳张海涛〗
浙江宁波简洁
〖供题四：天津冯晨〗
浙江宁波简洁
〖供题五：四川成都李鑫〗（第3小题）
河南郑州万方
〖供题六：江苏苏州崔峰〗
浙江丽水廖忠龙
四川南充张涛
浙江台州蔡利兵
〖供题七：江西九江陶智〗
〖供题八：黑龙江大庆王启民〗问：已知椭圆14
:22=+y x C ，P（0，m ）是y 轴正半轴上一动点，若以P 为圆心任意长为半径的圆与椭圆C 至多有两个交点，则m 的取值范围是（）浙江宁波刘念
浙江宁波刘念（点差法）
〖供题九：浙江杭州魏朝翰〗
（利用最大角原理解）
〖供题十：浙江台州方敏〗问：斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，点P是平面α上的动点且满足∠PAB＝60°，则动点P的轨迹是（）
A、直线
B、抛物线
C、椭圆
D、双曲线的一支
浙江台州张学军
〖供题十一：浙江兰溪薛小君〗
〖供题十二：四川南充张涛〗
浙江台州陈益
〖供题十三：浙江宁波茹威豪〗问：多项式函数的解析式能不能变形算出对称轴呀？或者对称中心。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。
以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。
1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。
解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。
由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。
2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。
解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。
sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。
3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。
给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。
解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。
当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。
4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。
解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。
5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。
高中数学竞赛试题及解题答案
高中数学竞赛试题及解题答案在高中数学竞赛中，试题是考察学生数学思维和解决问题的能力的重要手段。
下面将为大家提供一部分高中数学竞赛试题及解题答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用数学知识。
一、整数与多项式试题1：已知多项式P(x)满足P(x)=x^3-5x^2+ax+b，其中a、b均为整数。
若多项式P(x)除以(x-1)得到余数4，则多项式P(x)除以(x+2)的余数为多少？解题思路：我们知道，多项式f(x)除以x-a的余数等于把a带入f(x)中所得到的值。
那么，题目中给出了P(x)除以(x-1)的余数为4，即P(1)=4，我们可以将1代入P(x)中，得到一个方程。
同理，题目要求求解P(x)除以(x+2)的余数，即P(-2)=？根据题意，我们有以下方程：P(1) = 4，即1^3 - 5(1^2) + a(1) + b = 4P(-2) = ?，即(-2)^3 - 5((-2)^2) + a(-2) + b = ?解题步骤：1. 代入P(1)的方程求解：1 - 5 + a + b = 4化简得 a + b = 82. 代入P(-2)的方程求解：-8 - 20 - 2a + b = ?化简得 -2a + b = ?将两个方程合并求解可得：-2a + b = a + b - 16当两边消去b时，可得：-2a = a - 16a = -8将a代入第一个方程a + b = 8，可得：-8 + b = 8b = 16因此，通过计算可得多项式P(x)除以(x+2)的余数为-16。
试题2：已知整数序列a1, a2, a3, ...，其中a1 = 1，a2 = 2，an = an-1 + an-2（n ≥ 3）。
求证：对于任意正整数n，任务子序列a1, a2, ..., an中必定存在一个数可以被11整除。
解题思路：根据题意，我们需要证明对于任意正整数n，序列a1, a2, ..., an中必定存在一个数可以被11整除。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
中学数学(高中)学科竞赛集锦 (16)
2020-1-11群日记供题一：上海闵行王黎
解题人：上海沈树德
供题二：江苏镇江桃子老师
解题人：浙江诸暨杨岸杰
供题三：浙江温州倪
解题人：浙江杭州金侃
供题四：吉林敦化孙林
解题人：浙江龙游廖昌平+热心网友迎风飞扬
供题五：浙江台州金伟军
解题人1:浙江温州洪逸风
解题人2:浙江台州陈益
解题人3:陕西宜君李巍军
供题六：浙江余姚沈才立
解题人1：浙江宁波翁树祥
解题人2：浙江慈溪王金平
供题七：浙江绍兴陈波
解题人：浙江慈溪王金平
供题八：浙江台州于胜斌
解题人1：浙江嵊州陈志远
供题九：浙江绍兴高飞
供题十：浙江温州姜珊珊
解题人：浙江温州卢宇
供题十一：浙江温州姜珊珊
解题人：浙江温州洪逸风
供题十二：浙江台州方敏
供题十三：浙江衢州潘立耀
供题十四：山西常群
解题人：
供题十五：浙江余姚蒋科杰
供题十六：浙江嘉兴王晓晓
解题人：浙江诸暨杨岸杰。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
中学数学(高中)学科竞赛集锦 (19)
2020-1-18群日记供题一：浙江嘉兴王营
解题人：湖南娄底周雄
供题二：浙江嘉兴王营
解题人1：浙江台州黄原锦
解题人2：湖南娄底周雄
供题三：浙江嘉兴王营
解题人：浙江衢州陈言
供题四：浙江嘉兴王营
解题人：湖南娄底周雄
供题五：浙江嘉兴王营
解题人：浙江衢州陈言
供题六：浙江温州章峰
解题人：陕西宜君李巍军
解题人：浙江兰溪张昊
供题七：浙江宁波李述
供题八：浙江宁波刘念
解题人：江西上饶熊辉金
供题九：安徽芜湖周超
解题人：浙江宁波简洁
供题十：上海沈树德
解题人1：江西上饶熊辉金
解题人2：浙江宁波简洁
供题十一：温州倪阿亮
解题人1：浙江丽水叶宇鹏
解题人2：浙江上虞戴刚锋
供题十二：浙江上虞戴刚锋
解题人：湖北武汉丁昊旻
供题十三：浙江台州侯飞
解题人：浙江诸暨杨岸杰
供题十四：江西九江陶智
供题十五：河南洛阳张雷
供题十六：浙江台州李进
解题人2：帅琪
解题人3：浙江诸暨杨岸杰。
2024年上海高三数学竞赛试题及答案
2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。
的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。
— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。
曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。
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2019-12-26群日记
〖供题一：河南洛阳张海涛〗
已知0a >，0b >，21a b +=，则22
4221a b a b +++的最小值为（）（注：除了权方没有好方法了？）
浙江宁波简洁：
浙江金华周江波
胡不归
〖供题二：江西九江陶智（群题征解）〗
〖供题三：浙江宁波于楠〗
〖供题四：江西九江陶智〗（昨天的折线距离再补一个解析）
浙江宁波王国勇（换元或平移坐标系）
〖供题五：浙江台州方敏〗
浙江东阳郭扬文：
供题六：浙江温州卢宇
解题人：江苏苏州崔锋
文献提供
供题7：广东东莞彭曦
此题延伸：
供题人自答：
横空出世惊为天人无数人膜拜叹服的解答——浙江温州林熙皓
居然还有后续：
供题8：浙江省杭州市颜米司
解题人1：浙江杭州罗彪
解题人2：浙江义乌李耀华
解题人3：浙江兰溪张昊
供题9：山西运城王丽
解题人：浙江兰溪张昊
供题10：浙江衢州颜志荣
解题人1：浙江绍兴高飞
解题人2：浙江绍兴赵灿
供题11：浙江杭州李磊
解题人：浙江义乌鲁明明
供题12：福建漳州林晓峰
江西九江陶智提问：
与此题计算量差不多解几题还有没有？（浙江考题范围内）
供题13：浙江绍兴李宇轩
折线距离的题型补充：。