图搜索与问题求解

（2，1），（2，2），（2，3）
（3，1），（3，2），（3，3）
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3.1.3 梵塔问题的状态空间（2）
A B 1 2 3 S0：（1，1）
A
1 2 3 S1：（1，2） A B 1 2 3 S4：（2，2） B A
A
1 2 3 S2：（1，3）
B
A
1 2 3 S3：（2，1）
3 1 1 S10 1 1 1 S18 3 1 0 S26 1 1 0 3 0 1 S11 1 0 1 S19 3 0 0 S27 1 0 0 2 3 1 S12 0 3 1 S20 2 3 0 S28 0 3 0 2 2 1 S13 0 2 1 S21 2 2 0 S29 0 2 0 2 1 1 S14 0 1 1 S22 2 1 0 S30 0 1 0 2 0 1 S15 0 0 1 S23 2 0 0 S31 0 0 0
q01
p01 p10 p02 S1 (3,2,1) q02 q01 S19 (3,0,0) p01 p20 S2 S26 (3,1,1) q20 (1,1,0)
q10
q11 p11
q11 S31 (0,0,0)
p11 p01 q01 p02 q02
S10 (1,1,1) S14 (0,1,1) S13 (0,2,1)

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n（n≥3）阶梵塔问题
n阶梵塔问题的操作集合表示为： F={Rk(i,j) | i,j={1,2,3}，k={1，2，„，n}} 全部可能状态数为3n个，最佳解长度为2n-1。 三阶梵塔问题状态图

S0=(1,1,1)
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Sg2=(3,3,3)
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Sg1=(2,2,2)
25
3.1.4 重排九宫问题和隐式图（1） 例3.8重排九宫问题（八数码难题）
2 8 1 3 4 1 8 7 6 2 3 4 5 X1 X2 X3 X8 X0 X4
7 6
5
X7 X6 X5
目标棋局 将棋局用向量A＝(X0，X1 ， X2 ， X3 ， X4 ， X5 ， X6 ， X7 ， X8)
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第3章 图搜索与问题求解
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 状态图知识表示（状态图搜索问题求解） 状态图搜索 与或图知识表示（与或图搜索问题求解 ） 与或图搜索 博弈树搜索
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3
3.1 状态图知识表示
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 状态、操作和状态空间 修道士和野人的状态空间 梵塔问题的状态空间 重排九宫问题和隐式图 问题求解的基本框架
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3.1.2 修道士和野人问题的状态空间（2） 解：先建立问题的状态空间。问题的状态可以用 一个三元数组来描述： S＝(m, c, b) m：左岸的修道士数 c：左岸的野人数 b：左岸的船数 右岸的状态不必标出，因为： 右岸的修道士数m’＝3－m 右岸的野人数c’＝3－c 右岸的船数b’=1-b
(S2, S3), (S3, S2),
G：Sg
(S4, S7), (S7, S4), (S4, S5), (S5, S4), (S5,
S6), (S6, S5), (S5, S8), (S8, S5), (S8, S9), (S9, S8), (S9, Sg)｝ 迷宫问题规则集描述了图中所有节点和边。类似于 这样罗列出全部节点和边的状态图称为显式状态图， 或者说状态图的显式表示。
A
B
1 2 3 S5：（2，3）
B
A 1 2 3 S6：（3，1）
A
B 1 2 3 S8：（3，3）
21
1 2 3 S7：（3，2）
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3.1.3 梵塔问题的状态空间（3）
转换规则：A（i，j）表示金盘A从第i号杆移到j号杆 B（i，j）表示金盘B从第i号杆移到j号杆 A（1，2），A（1，3）， A（2，1） A（2，3），A（3，1）， A（3，2） B（1，2），B（1，3）， B（2，1） B（2，3），B（3，1）， B（3，2） 初始状态（1，1），目标状态（3，3） 梵塔问题用状态图表示为： <{(1,1)},{A(1,2),„，B(3,2)},{(3,3)}>
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3.1.1状态、操作和状态空间（1）
例3.1走迷宫
走迷宫问题就是从该有向图的初始节点出发，寻找目 标节点的问题，或者是寻找通向目标节点的路径问题。
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3.1.1 状态、操作和状态空间（2）
例3.2八数码难题(重排九宫问题)
2 8
1
3
4
1 8
2
3 4
7 6
5
7
6
5
初始棋局
目标棋局
棋局作为节点，相邻节点通过移动数码一个一个产生 出来，所有节点由它们的相邻关系连成一个有向图。 以上两个问题抽象来看，都是某个有向图中寻找目标 或路径的问题，在人工智能技术中，把这种描述问题 的有向图称为状态空间图，简称状态图。
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3.1.1 状态、操作和状态空间（3）
操作集F＝{p01, p10,p11,p02,p20,q01,q10,q11, q02,q20}
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3.1.2 修道士和野人问题的状态空间（5）
p02 S0 (3,3,1)
q02 p01
q01 p11 q11
S18 (3,1,0) S17 (3,2,0) S21 (2,2,0)
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3.1.1 状态、操作和状态空间（8）
补充例1 三枚钱币，能否从下面状态翻动三次后 出现全正或全反状态。
正 正 正
反
正
反
反
反
反
初始状态θ s
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目标状态集合{θ0, θ7}
12
3.1.1 状态、操作和状态空间（9）
引入一个三元组(q0,q1,q2)来描述总状态，钱币正面为0，反面 为1，全部可能的状态为： Q0=(0,0,0) ; Q1=(0,0,1); Q2=(0,1,0) Q3=(0,1,1) Q6=(1,1,0) ; Q4=(1,0,0); Q5=(1,0,1) ; Q7=(1,1,1)。
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3.1.3 梵塔问题的状态空间（4）
1,1
A(1,3)
2,1
A(2,1)
3,1
B(1,2)
B(3,1)
A(3,2)
3,3
2,3
3,2
A(3,2)
1,3
1,2
2,2
A(2,1)
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B(1,3)
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A(1,3)
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n（n≥3）阶梵塔问题
假设金片Pk从小片到大片按下标k顺序编号， 即k=1，2，3，„，n，n阶梵塔问题状态空间 可用矢量表示为： (P1, P2, P3,„, Pk,„, Pn) Pk表示第k个金片穿在编号为Pk的宝石针上， Pk={1，2，3} 初始状态 S0=(1,1,1,„,1,„,1) 目标状态 Sg1 =(2,2,2,„,2,„,2) Sg2 =(3,3,3,„,3,„,3)
Qs O1 S1 O2 S2 O3 S3 O4 … On Qg
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3.1.1 状态、操作和状态空间（7）
例 3.7 迷宫问题的状态图表示。
S：So F：｛(So, S4), (S4, So), (S4, S1), (S1, S4), (S1,S2), (S2, S1),
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3.1.1 状态、操作和状态空间（6）

状态空间中问题求解



在状态空间表示法中，问题求解过程转化为在图中 寻找从初始状态Qs出发到达目标状态Qg的路径问题， 也就是寻找操作序列的问题。 状态空间的解为三元组< Qs, a, Qg > Qs ：某个初始状态 Qg ：某个目标状态 a：把Qs变换成Qg的有限的操作序列 状态转换图
p10 q10 q01 q02 S30 (0,1,0) p02 p01
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p01 S12 (0,3,1) q01
q20 S29 S5 (0,2,0) p20 (2,2,1)
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3.1.3 梵塔问题的状态空间（1） 例3.9 二阶梵塔问题 一号杆有A、B两个金盘， A小于B。要求将AB移至三号杆，每次只可移动 一个盘子，任何时刻B不能在A上。 用二元组（SA ，SB ）表示状态，SA 表示A所在 杆号，SB表示B所在杆号，全部状态如下： （1，1），（1，2），（1，3）
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3.1.2 修道士和野人问题的状态空间（4）
操作符 p01 p10 p11 p02 p20 q01 q10 q11 q02 q20 条 件 b=1, m=0或3, c≥1 b=1, (m=3,c=2)或(m=1,c=1) b=1, m=c, c≥1 b=1, m=0或3, c≥2 b=1, (m=3,c=1)或(m=2,c=2) b=0, m=0或3, c≤2 b=0, (m=0,c=1)或(m=2,c=2) b=0, m=c, c≤2 b=0, m=0或3, c≤2 b=0, (m=0,c=2)或(m=1,c=1) 动 作 b=0, c=c-1 b=0, m=m-1 b=0, m=m-1, c=c-1 b=0, c=c-2 b=0, m=m-2 b=1, c=c+1 b=1, m=m+1 b=1, m=m+1, c=c+1 b=1, c=c+2 b=1, m=m+2