与或图搜索问题

f
0
0 1
d b
0 3
m h
1
1
n e
k i
-3 1
6
a
0
c
-3
3
g
5 4
6
j
0
5
-3
3 3
-3
0
2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
α-β剪枝
极大节点的下界为α。 极小节点的上界为β。 剪枝的条件：
后辈节点的β值≤祖先节点的α值时， α剪枝 后辈节点的α 值≥祖先节点的β值时， β剪枝
α-β剪枝的其他应用
故障诊断
A 风险投资
B
C
D
1
极大
1
b
0
极小
6
a
0
3
1
0
-3
3
-3
-3
-2
1
-3
6
-3
0
5
-3
3 3
-3
0
2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
5 α-β剪枝
设某博弈问题如下图所示，应用极小极大方法进行搜索。假设搜索的 顺序为从下到上，从左到右。当计算完a的值为0后，由于b是极大节 点，马上就可以知道b的值大于等于0。接下来求c的值。由于c是极小 节点，由d的值为-3，知道c的值小于等于-3。而a和c都是b的子节点， 所以即便不扩展节点e，也可以知道b的值一定为0了。所以在这种情 况下，没有生成节点e的必要。同样，在知道b的值为0后，由于k是极 小节点，所以立即知道k的值要小于等于0。而通过节点f、g，知道h 的值至少为3。这样即便不扩展A所包围的那些节点，也能知道k的值 一定为0。所以A包围的那些节点也没有生成的必要，不管这些节点取 值如何，都不影响k的值。如果在搜索的过程中，充分利用这些信息， 不就可以少生成很多节点，从而提高搜索的空间利用率吗？α-β过程 正是这样一种搜索方法。
2 AO*算法
第一阶段：图生成过程，即扩展节点。 对于每一个已经扩展了的节点， 算法都有一个指针，指向该节点的后 继节点中，耗散值小的那个连接符。图生成过程，就是从初始节点出 发，按照该指针向下搜索，一直到找到一个未扩展的节点为止。然后 扩展该节点。从下面的讨论可以知道，这实际上扩展的是一个耗散值 最小的局部图。 第二阶段：耗散值计算过程。 这是一个逆向的计算过程。设n为最新被扩展的节点，该节点有m个 外向连接符连接n的所有后继节点。则根据耗散值的计算公式，可以 计算出节点n相对于每一个外向连接符的耗散值。从中选择一个最小 值作为n的耗散值。并标记一个指针指向产生最小耗散值的外向连接 符。对于n的父节点，进行同样的计算。重复这一过程，直到初始节 点s为止。这时，从s出发，选择那些指针所指向的连接符得到的局部 图，为当前耗散值最小的局部图。 当连接符全部为1－连接符时，局部图就是一个路径，选择一个耗散 值最小的局部图扩展
与或图搜索
一个问题可以有几种求解方法，只要其中一种 方法可以求解问题，则该问题被求解。也就是 说，对求解该问题来说，方法之间是"或"的关 系。但在用每一种方法求解时，又可能需要求 解几个子问题，这些子问题必须全部求解，才 可能用该方法求解原始问题。也就是说，这些 子问题之间是"与"的关系。此类问题可以用与 或图来表示。
简记为：
极小≤极大，剪枝 极大≥极小，剪枝
α-β剪枝（续）
f
0 0 1
d b
0 3
m h
1
1
n e
k i
-3 1
6
a
0
c
-3

g
5 4
6
j
0
5
-3
3 3
-3
0
2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
改进方法
若β值比α值大不了多少或极相近，这时也可以进行剪枝，以便有 条件把搜索集中到会带来更大效果的其他路径上 不严格限制搜索的深度，当到达深度限制时，如出现博弈格局有 可能发生较大变化时（如出现兑子格局），则应多搜索几层，使 格局进入较稳定状态后再中止，这样可使倒推值计算的结果比较 合理，避免考虑不充分产生的影响，这是等候状态平稳后中止搜 索的方法。 当算法给出所选的走步后，不马上停止搜索，而是在原先估计可 能的路径上再往前搜索几步，再次检验会不会出现意外，这是一 种增添辅助搜索的方法。 对某些博弈的开局阶段和残局阶段，往往总结有一些固定的对弈 模式，因此可以利用这些知识编好走步表，以便在开局和结局时 使用查表法。只是在进入中盘阶段后，再调用其他有效的搜索算 法，来选择最优的走步。
3 博弈树搜索
博弈问题
双人 一人一步 双方信息完备 零和
博弈问题为什么可以用与或图表示
当轮到我方走棋时，只需从若干个可以走的棋 中，选择一个棋走就可以了。从这个意义上说， 若干个可以走的棋是“或”的关系。 轮到对方走棋时，对于我方来说，必须能够应 付对手的每一种走棋。这就相当于这些棋“与 "的关系。
能解节点
终节点是能解节点 若非终节点有“或”子节点时，当且仅当其子 节点至少有一能解时，该非终节点才能解。 若非终节点有“与”子节点时，当且仅当其子 节点均能解时，该非终节点才能解。
不能解节点
没有后裔的非终节点是不能解节点。 若非终节点有“或”子节点，当且仅当所有子 节点均不能解时，该非终节点才不能解。 若非终节点有“与”子节点时，当至少有一个 子节点不能解时，该非终节点才不能解。
与或图搜索
初始节点s a c b
目标 目标
在普通图中，目标用一个节点表达，而在与或 图中，目标则表现为一个节点的集合，该集合 中由一些子目标节点组成。值得指出的是，解 图不一定要求到达目标集中的每一个子目标节 点，而只要求解图的端节点是目标集中的节点 即可。也就是说，解图中的端节点是目标集的 子集即可
…... n1 n2 i个 ni
• 解图： 初始节点
目标 目标
在与或图是无环（即不存在这样的节点---其后 继节后同时又是它的祖先）的假定下，解图可 递归定义如下： 定义：一个与或图G中，从节点n到节点集N的 解图记为 ， 是G的子图。 ①若n是N的一个元素，则 由单一节点组成； ②若n有一个指向节点{n1，…，nk}的外向连 接符K，使得从每一个ni到N有一个解图 （i=1，…，k），则 由节点n，连接符K，及 {n1，…，nk}中的每一个节点到N的解图所组 成； ③否则n到N不存在解图。
分钱币问题
对方先走 （6,1） （7） （5,2） （3,2,2） （4,3）
（5,1,1） （4,2,1）
（3,3,1）
（4,1,1,1） （3,1,1,1,1） （2,1,1,1,1,1）
（3,2,1,1）
（2,2,2,1） 我方必胜
（2,2,1,1,1）
中国象棋
一盘棋平均走50步，总状态数约为10的161次 方。 假设1毫微秒走一步，约需10的145次方年。 结论：不可能穷举。
4 极小极大过程
模拟的就是人的这样一种思维过程。当轮到我方走棋 时，首先按照一定的搜索深度生成出给定深度d以内 的所有状态，计算所有叶节点的评价函数值。然后从 d-1层节点开始逆向计算：对于我方要走的节点（用 MAX标记，称为极大节点）取其子节点中的最大值为 该节点的值（因为我方总是选择对我方有利的棋）； 对于对方要走的节点（用MIN标记，称为极小节点） 取其子节点中的最小值为该节点的值（对方总是选择 对我方不利的棋）。一直到计算出根节点的值为止。 获得根节点取值的那一分枝，即为所选择的最佳走步
1 基本概念
与或图是一个超图，节点间通过连接符连接。 K-连接符：
…...
K个
耗散值的计算
若解图的耗散值记为k（n，N），则可递归计算 如下： ①若n是N的一个元素，则k（n，N）＝0； ②若n是一个外向连接符指向后继节点{n1，…， ni}，并设该连接符的耗散值为Cn，则 n k(n, N) = Cn+k(n1, N)+…+k(ni, N) 其中：N为终节点集
目标
n7
目标
n7(0)
红色：5 黄色：6
AO*算法与A算法区别
AO*算法不能像A算法那样，单纯靠评价某一个节点来 评价局部图。 由于k-连接符连接的有关子节点，对父节点能解与否以 及耗散值都有影响，因而显然不能象A算法那样优先扩 展其中具有最小耗散值的节点。 AO*算法仅适用于无环图的假设，否则耗散值递归计算 不能收敛，因而在算法中还必须检查新生成的节点已在 图中时，是否是正被扩展节点的先辈节点。 AO*算法没有OPEN和CLOSED表，而AO*算法只用一 个结构G，它代表到目前为止已明显生成的部分搜索图， 图中每一个节点的h（n）值是估计最佳解图，而不是估 计解路径。
普通图搜索的情况
s
n
f(n) = g(n) + h(n) 对n的评价实际是对从s到n这条路径的 评价
与或图: 对局部图的评价
初始节点
c
a
b 目标 目标
AO*算法举例
n0 n1 n2 n4
初始节点
n3
n5
n6
n8
其中： h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0 设：K连接符 的耗散值为K
目标
n7
目标
n0 n1 n2
初始节点
n1(2) n4
n0
初始节点
n4(1)
n3
n5
n5(1)