2020年江苏省苏州市高考数学(3月份)模拟试卷 含解析
江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷
江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知，为虚数单位，且，则=________.2.已知集合，，则________．3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为________．4.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________.5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为________.6.函数的定义域为________.7.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为________．9.公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________．10.在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为________11.将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为________．12.己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是________.13.如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为________.14.记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是________.二、解答题（共11题；共100分）15.已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD ，E ，F分别是棱AB，PC的中点.求证：（1）EF //平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD ．17.如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程.（2）当时，求的面积.18.如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？19.已知函数，.（1）当时，①求函数在点处的切线方程；②比较与的大小;（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．20.若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“ 数列”？说明理由；（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．21.已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值．22.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．23.已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.24.如图，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱与所成的角的大小；（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.25.设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．答案解析部分一、填空题1.【答案】42.【答案】{1}3.【答案】854.【答案】85.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】5610.【答案】11.【答案】12.【答案】[-4,0]13.【答案】814.【答案】二、解答题15.【答案】解：（I）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，又，即，∴，故16.【答案】（1）解：如图，取的中点，连接，，是棱的中点，底面是矩形，，且，又，分别是棱，的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面（2）解：，点是棱的中点，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面17.【答案】（1）解：因为直线过点，且斜率.所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示椭圆的方程为（2）解：由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积18.【答案】（1）解：以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系．设，则，，．因为，所以直线的方程为，即，因为圆与相切，所以，即，从而得，在直线的方程中，令，得，所以，所以当时，，设锐角满足，则，所以关于的函数是，定义域是（2）解：要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．令，得，设锐角，满足，得．列表：减极小值增所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．19.【答案】（1）解：①当时，，，，又，切线方程为，即；②令，则，在上单调递减．又，当时，，即；当时，，即；当时，，即（2）证明：由题意，，而，令，解得．，，在上有唯一零点．当时，，在上单调递减，当，时，，在，上单调递增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，则，在上恒成立，在上单调递减，又，，．在上单调递增，20.【答案】（1）解：当时，又，所以．所以当时，，而，所以时，不是数列中的项，故数列不是为“ 数列”（2）解：因为数列是公差为的等差数列，所以．因为数列为“ 数列”所以任意，存在，使得，即有．①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，（3）解：由题意，所以，又因为，且数列为“ 数列”，所以，即，所以数列为等差数列．设数列的公差为，则有，由，得，整理得，①．②若，取正整数，则当时，，与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．同样根据②式可得，所以．又，所以．经检验当时，①②两式对应任意恒成立，所以数列的通项公式为21.【答案】（1）解：设，则，，即，解得，则（2）解：设矩阵的特征多项式为，可得，令，可得或22.【答案】解：把直线方程化为普通方程为．将圆化为普通方程为，即．圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.23.【答案】解：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“ ”，故常数的取值范围是24.【答案】（1）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，.，故与棱所成的角是（2）解：为棱中点，设，则.设平面的法向量为，，则，故而平面的法向量是，则，解得，即为棱中点，其坐标为25.【答案】（1）解：当时，，又，所以.（2）解：即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．。
2020届江苏省苏州市高三下学期3月调研数学试题(解析版)
2020届江苏省苏州市高三下学期3月调研数学试题一、填空题1．已知{}1,3,4A =， {}3,4,5B =，则A B =I ________． 【答案】{3,4}【解析】由题意，得{3,4}A B =I .2．若复数z 满足(12)34i z i +=-+(i 是虚数单位)，则||z =_______. 【答案】5【解析】化简得到12z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(12)34i z i +=-+，则()()()()341234510121212125i i i iz i i i i -+--++====+++-，故5z =.故答案为：5. 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3．执行如图所示的算法流程图，输出的S 的值是________.【答案】7【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：0,1S n ==；1,2S n ==；3,3S n ==；7,4S n ==，结束，输出7=S .故答案为：7. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力. 4．若数据2,,2,2x 的方差为0，则x = ． 【答案】2【解析】试题分析：由题意的，数据不变，所以x =2． 【考点】1．方差的意义；5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________． 【答案】310【解析】由题设可得从5个小球中取两个的取法有（12）（13）（14）(15)（23）（24）（25）（34）（35）（45）共10种取法，其中和为3或6 的有（12）（24）（15）共3种，故所求事件的概率是310P =．应填答案310．点睛：解答本题的关键是运用列举法列举出取出2个小球的所有可能情况，即10n =，再列举出符合条件的可能数字，即3m =，然后再运用古典概型的计算公式算出其概率310P =． 6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内(假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗)，正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为________.【解析】计算圆锥的体积为12V π=，根据体积相同计算球半径. 【详解】设圆锥底面半径为r ，则26r ππ=，3r =，4h ==，故21123V r h ππ==，设球的半径为R ，则34123V R ππ==，解得R =.【点睛】本题考查了圆锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力.7．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.【答案】6【解析】计算双曲线22154x y-=的左焦点为()3,0-，再利用准线方程计算得到答案. 【详解】双曲线22154x y-=的左焦点为()3,0-，即32p-=-，故6p=.故答案为：6.【点睛】本题考查了双曲线的焦点和抛物线的准线，意在考查学生的综合应用能力.8．在ABC∆所在的平面上有一点P，满足PA PB PC AB++=u u u r u u u r u u u r u u u r，则PA PBPB PC⋅⋅uu u r uu u ruu u r uuu r=____【答案】12-【解析】AB PB PA=-u u u r u u u r u u u r，代入PA PB PC AB++=u u u r u u u r u u u r u u u r即可得到2PC PA=-u u u r u u u r，所以三点P，A，C共线，所以可画出图形，根据向量的数量积的定义式并结合图形即可求得PA PBPB PC⋅⋅uu u r uu u ruu u r uuu r．【详解】解：PA PB PC AB++=u u u r u u u r u u u r u u u r；∴PA PB PC PB PA++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴2PC PA=-u u u r u u u r；P∴，A，C三点共线，如图所示：∴||2||PCPA=u u u ru u u r；()cos cos cos12cos cos cosPA PB APB PA APB PA APB PA PBPB PC PB PC CPB PC APB PC APBπ⋅∠∠∠⋅∴====-⋅⋅∠-∠-∠u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：12-．【点睛】考查向量的减法运算，共线向量基本定理，向量的数量积，属于中档题． 9．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________． 【答案】1ln2+ 【解析】【详解】 设切点为()mlnm m ，1ln y x '=+, 1ln x m y m ==+'∴()()y mlnm 1m m ln x -=+- 即()y 1m m ln x =+-，又2y kx =-∴12lnm km +=⎧⎨=⎩，即1ln2k =+故答案为1ln2+点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线y =与椭圆C 交于,A B 两点，若OA OB ⊥，则椭圆离心率的值等于________.【答案】2【解析】根据对称性得到,33B b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简得到答案. 【详解】OA OB ⊥，根据对称性不妨取,33B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，2222313ba +=， 得到222a b =，故2c e a ===.故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212a =，且当2n ≥时，1na 为n S 和1n S -的等差中项，则32S 的值为________. 【答案】8【解析】化简得到2212n n S S --=，故{}2nS 是首项为2，公差为2的等差数列，22n S n =，得到答案.【详解】当2n ≥，1122n n n n n S S a S S --+==-，即2212n n S S --=， 当2n =时，224S =，满足22212S S -=，故{}2nS 是首项为2，公差为2的等差数列，故22n S n =，故328S =.故答案为：8. 【点睛】本题考查了数列求和，确定{}2nS 是首项为2，公差为2的等差数列是解题的关键.12．设α，θ为锐角，tan tan (1)a a θα=>，若θα-的最大值为4π，则实数a 的值为________.【答案】3+【解析】计算()1tan 1tan tan a a θααα--=≤+1=，得到答案. 【详解】()()21tan tan tan 1tan 11tan tan 1tan tan tan a a a a αθαθαθαααα----===≤+++当1tan tan a αα=，即tan aα=1=，解得3a =+故答案为：3+. 【点睛】本题考查了和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点，且AB =若直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=u u u r u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为________.【答案】[22---+【解析】设AB 中点为(),M x y ，设(),P t t -，计算得到()()2221x a y -+-=，根据PA PB OC +=u u u r u u u r u u u r 得到21a x ty t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，代入计算得到答案. 【详解】设AB 中点为(),M x y ，设(),P t t -，AB =2r =，故1MC ===()()2221x a y -+-=.()()22,,2PA PB PM x t y t OC a +==-+==u u u r u u u r u u u u r u u u r ，故21a x ty t ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，代入方程得到()22112a t t ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即()222204a t a t +-+=，()22220a a ∆=--≥，解得[22a ∈---+.故答案为：[22---+. 【点睛】本题考查了向量运算，圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14．已知函数()xf x e =，若函数2()(2)()2|2|()ag x x f x a x f x =--+-有6个零点，则实数a 的取值范围为________.【答案】2,121e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭【解析】函数零点等价与()()22222x x x a x e F x e a -+--=的零点，设()2xx e t -=，求导根据单调性画出图像，()222,02,0t at a t K t t at a t ⎧+-≥=⎨--<⎩，有4个零点且满足12340e t t t t -<<<<<，计算得到答案. 【详解】22()(2)()2|2|(2)2|2|()x xa ag x x f x a x x a x f x e e=--+-=--+-， 函数零点等价与()()22222x x x a x e F x e a -+--=的零点， 设()2xx e t -=，则()'1xt x e =-，故函数y t =在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 且当1x =时，t e =-，画出()2xy t x e ==-的图像，如图所示：()222,02,0t at a t K t t at a t ⎧+-≥=⎨--<⎩，原函数有6个零点，则只需()K t 有4个零点且满足12340e t t t t -<<<<<，故2122440440a a a a ⎧∆=+>⎨∆=+>⎩， 解得0a >或1a <-；且343420t t a t t a +=->⎧⎨=->⎩，解得0a <，且对称轴满足0e t a -<=<，()0K e ->，解得2021e a e -<<-.综上所述：2,121e a e ⎛⎫∈-- ⎪-⎝⎭.故答案为：2,121e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数零点问题，换元画出函数图像是解题的关键.二、解答题15．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin()sin 1A B C -+=. （1）求sin cos A B 的值； （2）若2a b =，求sin A 的值.【答案】（1）12；（2 【解析】（1）1sin()sin sin()sin()A B C A B A B =-+=-++，展开化简得到答案. （2）根据正弦定理sin 2sin A B =，1sin 22B =，根据角度范围得到12B π=，计算得到答案. 【详解】（1）因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=， 从而1sin()sin sin()sin()A B C A B A B =-+=-++(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )A B A B A B A B =-++2sin cos A B =，故1sin cos 2A B =； （2）由2a b =及正弦定理得，sin 2sin A B =， 故1sin cos 2sin cos sin 22A B B B B ===， 且sin 2sin 1A B =„，所以1sin 2B „，又易得a b >，从而A B >，故0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 即20,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以26B π=，即12B π=，此时sin 2sin 2sin 2sin cos cos sin 124646462A πππππππ⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ； （2）求证：1AN A B ⊥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，通过中位线定理求证四边形1PMNB 是平行四边形，进而求证；（2）连接1AB ，，设法证明11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，进而证明1A B ⊥平面1AB N ，求得1A B AN ⊥. 【详解】解：（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P Q 分别是,AC AB 的中点，//PM BC ∴，且12PM BC =，在直三棱柱11t ABC A B C -中， 11//BC B C ，11BC B C =， N Q 是11B C 的中点，∴1PM B N =，且1//PM B N ，∴四边形1PMNB 是平行四边形，1//MN PB ∴， 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A .（2）如图，连接1AB ，由111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ︒∠=，1AB AA =可知，111B C BB ⊥，1111B C A B ⊥，1111BB B A B =I ， ∴11B C ⊥平面11A B BA ，111B C A B ∴⊥，又Q 侧面11A B BA 为正方形，11A B AB ∴⊥，1111AB B C B ⋂=，1A B ∴⊥平面11AB C ， 又AN ⊂平面11AB C ，1A B AN ∴⊥【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，并且点21,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为k (k 为常数)的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，交x 轴于点(,0)P m ，Q 为直线2x =上的任意一点，记QA ，QB ，QP 的斜率分别为1k ，2k ，0k .若1202k k k +=，求m 的值.【答案】（1）2212x y +=.（2）1m =【解析】（1）点2⎛ ⎝⎭在此椭圆上，根据椭圆定义计算得到答案.（2）直线:()l y k x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()02,Q y ，联立方程得到222121222422,1212mk k m x x x x k k-+==++，代入式子整理得到()12122(2)40x x m x x m -+++=，解得答案.【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为(1,0)F，点1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在此椭圆上.所以21a c ===，所以1,1c a b ====，所以椭圆方程为2212x y +=.（2）由已知直线:()l y k x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()02,Q y ，由22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22222124220k x mk x k m +-+-=. 所以222121222422,1212mk k m x x x x k k-+==++. 因为1020012012,,222y y y y y k k k x x m--===---且1202k k k +=， 所以10200122222y y y y y x x m--+=---，整理得()01221120222k km y m x x ⎛⎫--++=⎪---⎝⎭， 因为点()02,Q y 不在直线l 上，所以020k km y --≠， 所以122110222m x x ++=---，整理得()12122(2)40x x m x x m -+++=， 将2122412mk x x k +=+，221222212k m x x k -=+代入上式解得1m =，所以1m =. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中斜率的关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G ．为参观方便，现新修建两条道路CA 、CB ，分别与圆O 相切于D 、E 两点，同时与PQ 分别交于A 、B 两点，其中C 、O 、G 三点共线且满足CA ＝CB ，记道路CA 、CB 长之和为L ．（1）①设∠ACO ＝θ，求出L 关于θ的函数关系式()L θ；②设AB ＝2x 米，求出L 关于x 的函数关系式()L x ．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【答案】（1）① ()4040sin =2sin cos L AC θθθθ+=其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭②()322800=400x x L x x +- 其中()20,x ∈+∞（2）当51sin θ-时，()L θ取得最小值，新建道路何时造价也最少【解析】(1) ①根据直角三角形得20sin CO θ=，即得2020sin CG θ=+，再根据直角三角形得2020sin sin cos AC θθθ+=，最后根据()=2L AC θ 得结果. ②根据三角形相似得32400400x xCA x +=- ，即得结果，(2) 选择（1），利用导数求最值，即得结果. 【详解】解：（1）①在Rt CDO ∆中，ACO θ∠=，所以20sin CO θ=，所以2020sin CG θ=+ 在Rt AGC ∆中20202020sin sin cos cos sin cos CG AC θθθθθθ++===，所以 ()4040sin =2sin cos L AC θθθθ+=，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，②设AC y =，则在Rt AGC ∆中CG =Rt CDO ∆与Rt AGC ∆相似得，CO OD CA AG =,20x=，即2020x y =，即()20+x y =，即=()()2400+x y x x y -=，化简得32400400x x CA y x +==-，()322800=2400x xL x CA x +=- 其中()20,x ∈+∞ （2）选择（1）中的第一个函数关系式()()401+sin 4040sin =2=sin cos sin cos L AC θθθθθθθ+=研究.()()()()()()223222240cos sin cos 1sin cos sin 40sin +sin cos =sin cos sin cos L θθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-+--⎣⎦'=()()()()()()()32322222240sin +2sin 140sin sin sin 140sin 1sin sin 1==sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ-++-++-=令()=0L θ'，得sin θ.令0sin θ当0(0,)θθ∈时，()0L θ'<，所以()L θ递减； 当0(,)2πθθ∈时，()0L θ'>，所以()L θ递增，所以当sin θ时，()L θ取得最小值，新建道路何时造价也最少 【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '>或()0f x '<求单调区间；第二步：解()0f x '=得两个根12,x x ；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．19．设()x f x ae a =-，2()g x ax x =-(a 为与自变量x 无关的正实数).（1）证明：函数()f x 与()g x 的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k ，使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，若存在，求出k 的取值范围，否则说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）存在ln 212k -⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，理由见解析. 【解析】（1）计算0(0)0,(0)0f ae a g =-==，再计算(0,0)O 处的切线得到答案.（2）假设存在，存在实数k 使得ln x k e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立，1()ln ,,2x h x e x x x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】（1）因为0(0)0,(0)0f ae a g =-==，所以2(),()x f x ae a g x ax x =-=-的图像存在一个公共的定点(0,0)O . 因为()x f x ae '=，()2g x a x '=-，所以(0)f a '=，(0)g a '=， 所以在定点(0,0)O 处有一条公切线，为直线y ax =. （2）假设存在实数k ，使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立， 即存在实数k 使得ln x k e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立. 令1()ln ,,2xh x e x x x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，则1()ln 2,,2xh x e x x ⎡⎫'=--∈+∞⎪⎢⎣⎭， 令1()ln 2,,2xm x e x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，则111(),,2x xxe m x e x x x -⎡⎫'=-=∈+∞⎪⎢⎣⎭， 因为0,0xx e >>，且,xy x y e ==在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以xy xe =在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增，因为112121210,11022e e e --=<⋅->，所以存在唯一实数01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得0010x x e -=，即()00m x '=，且00x x e -=， 所以()h x '在0x 处取得最小值()00000ln 2ln 2x x x h x e x e e -'=--=--1201322022x e x e =+->+-==>， 所以()ln xh x e x x x =--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ln 21()22h x h -⎛⎫>=+⎪⎝⎭，因为ln x k e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立，所以ln 212k -≤+，故存在ln 212k -⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立. 【点睛】本题考查了公切线问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20．定义：对于一个项数为()*2,m m m N ∈…的数列{}na ，若存在*k N∈且k m <，使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”.例如：因为321=+，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：（1）判断数列2，4-，6，8-是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{}n a 共有r 项(3r …，且r 为奇数)，11a =，{}n a 的前n 项和n S 满足1(1)(1)(1)n n nS n S n n n r +=+++-„.判断{}n a 是不是“等和数列”，并证明你的结论.（3）{}n b 是公比为q 项数为()*,3m m N m ∈…的等比数列{}n b ，其中2q ≥.判断{}n b 是不是“等和数列”，并证明你的结论.【答案】（1）数列2，4-，6，8-是“等和数列”，理由见解析（2）{}n a 不是“等和数列”，证明见解析.（3）{}n b 不是“等和数列”，证明见解析. 【解析】（1）直接根据定义得到答案. （2）化简得到111n nS S n n+-=+，计算2n S n =，假设存在k 使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等，222k r =，根据奇偶性得出矛盾.（3）设n B 为{}n b 的前n 项和，假设{}n b 是“等和数列”，化简得到21k mq q -=，计算21k m q q -<，得出矛盾.【详解】（1）∵2(4)6(8)+-=+-，∴数列2，4-，6，8-是“等和数列”. （2）由*1(1)(1),n n nS n S n n n N +=+++∈，两边除以(1)n n +，得111n nS S n n+=++， 即111n nS S n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且111S =，11n S n n n =+-=， 所以2n S n =，假设存在k 使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等，即k r k S S S =-，所以2k r S S =∴222k r =在中，因为r 为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边22k 一定是偶数， 所以不可能有解，从而假设错误，{}n a 不是“等和数列”. （3）设n B 为{}n b 的前n 项和，假设{}n b 是“等和数列”， 则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立，即2k m B B =，于是()()1121111k m b q b q qq--=--成立，即21k mq q -=因为2q …，所以1212kk k q q q +-<„，又m k >，即1m k ≥+，所以1k mq q +„，所以21k m q q -<，与21k mq q -=产生矛盾.所以假设不成立，即{}n b 不是“等和数列”. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的对于数列公式方法的综合应用.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .【答案】1102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线220x ay bx y +++-=，对比得到答案.【详解】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.22．如图, 在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点．（1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角A CE B --的余弦值．【答案】（1）45（2）5【解析】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，()1,2,0BC =-u u uv ，利用向量夹角公式即可得到结果；（2）求出平面ACE 与平面BCE 的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】因为DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，所以可以以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.因为1AC AD ==，2AB =，所以()0,0,0A ，()1,0,0C ，()0,2,0B ，()0,0,1D ， 因为点E 为线段BD 的中点，所以10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，()1,2,0BC =-u u uv ，所以·4cos ,5554AE BC AE BC AE BC〈〉===-⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ， 所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为45. （2）设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =，因为()1,0,0AC =u u u v ，10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，所以1·0n AC u u u v =，1·0n AE =u u u v ，即0x =且102y z +=，取1y =，得0x =，2z =-，所以()10,1,2n =-是平面ACE 的一个法向量． 设平面BCE 的法向量为()2,,n x y z =，因为()1,2,0BC =-u u u v ，10,1,2BE u u u v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2·0n BC =u u u v ，2·0n BE =u u u v，即20x y -=且102y z -+=，取1y =，得2x =，2z =， 所以()22,1,2n =是平面BCE 的一个法向量．所以121212cos ,5n n n n n n ⋅〈〉===-． 由图可知二面角为钝角，所以二面角A CE B --的余弦值为5-. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.23．在自然数列1,2,3,,n L 中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求3(1)P ； （2）求440()k P k =∑；（3）证明11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.【答案】（1）3；（2）24；（3）证明见详解，!n ； 【解析】（1）直接列举求解；（2）4(4)1P =，4(3)0P =，2442(2)(0)616P C P ==⨯=，1443(1)(0)428P C P ==⨯=，4444444(0)(1)(2)(3)(4)9P A P P P P =----=，其实()440k P k =∑44A =；（3）由关系式()()0kn n n kP k C P-=，结合11kk nn kC nC--=，可证得()()11n n nn k k kP k n P k --===∑∑，进而通过构造()0nnk kP k =∑的递推关系式求通项或者直接有()()1111!nn n nn n k k kP k n P k nAn ----=====∑∑；【详解】（1）因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3， 所以()313P = （2）()()()()()()444444401234k P k P P P P P ==++++∑011112433424=C C C +C C +C +0+1=9+8+6+0+1=24；（3）把数列1,2,,n ⋅⋅⋅中任取其中k 个元素位置不动， 则有kn C 种； 其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置， 则有()()0kn n n k P k C P -=，故()()00n nknnn k k k kP k kCP -===∑∑，又因为11k k n n kC nC --=，所以()()()()11111000.n nn n k knnn k n n k n k k k k kP k kCP n C Pn P k -------=======∑∑∑∑，令()0,nn nk a kP k ==∑则1,nn ana -=且1 1.a =于是23411231234n n n a a a a a a a a na --⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 左右同除以2341n a a a a -⋅⋅⋅，得234!n a n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯= 所以()0!nnk kP k n ==∑【点睛】本题考查排列和组合，涉及其运算性质，属综合困难题. 24．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标． 【答案】P 点的直角坐标为()0,0【解析】将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标。
2020年高考模拟试卷江苏省高考数学全真模拟测试试卷(3月份) 含解析
2020年高考数学全真模拟试卷（3月份）一、填空题1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|1＜x＜2，x∈R}，则A∩B＝．2．设z﹣2i＝，则|z|＝．3．函数f（x）＝的定义域为．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为．5．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），且它的一条渐近线与直线l：x+y＝0垂直，则双曲线C的标准方程为．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．7．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．9．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝，则有＝．10．已知x∈（0，），tan x＝，则＝．11．已知点A（3，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则＝．12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为．13．已知函数，g（x）＝k（x+1），若方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC，CD上，＝λ，＝μ，若2λ+μ＝，则•的最小值．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．17．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．18．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2．直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|＝|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．19．已知函数f（x）＝a（lnx+）﹣（x＞0）．（Ⅰ）若a＝0，求函数g（x）＝﹣xf（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，求证：x1+x2＜2lna．20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）＝2011．（1）求f（）的值．（2）数列{a n} 满足：a n＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1），求数列{}的前n项和S n．（3）若T n＝++…+，证明：．参考答案一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|1＜x＜2，x∈R}，则A∩B＝{x|1＜x＜2，x∈R}．解：集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|1＜x＜2，x∈R}，A∩B＝x|1＜x＜2，x∈R}，2．设z﹣2i＝，则|z|＝1．解：∵z﹣2i＝＝，∴z＝2i﹣i＝i，则|z|＝1．故答案为：1．3．函数f（x）＝的定义域为．解：要使函数f（x）＝有意义则sin x﹣1≥0即sin x≥1而sin x≤1∴sin x＝1即x＝2kπ+，k∈Z∴函数f（x）＝的定义域为故答案为：4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为﹣6．解：由S n＝2n﹣1，得a1＝S1＝1，当n≥2时，，a1＝1适合上式，∴．则b n＝a n2﹣7a n+6＝．∴当a n＝4时．故答案为：﹣6．5．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），且它的一条渐近线与直线l：x+y＝0垂直，则双曲线C的标准方程为x2﹣＝1．解：∵双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），∴c＝2，∵它的一条渐近线与直线l：x+y＝0垂直，∴•（﹣）＝﹣1，即b＝a，∵c2＝a2+b2，∴a＝1，b＝，∴双曲线C的标准方程为x2﹣＝1，故答案为：x2﹣＝1．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5×＝2，高二学生抽取：5×＝2，高三学生抽取：5×＝1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，∴事件A的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为﹣6或2．解：f′（x）＝，由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），所以函数的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．又因为圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心坐标为（1，﹣2），半径为3，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则，解得a＝﹣6或2．故答案为：﹣6或2．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3．解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i＝1．第一次执行循环体后：a＝1，b＝8，不满足条件a＞b，故i＝2；第二次执行循环体后：a＝3，b＝6，不满足条件a＞b，故i＝3；第三次执行循环体后：a＝6，b＝3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故答案为：39．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝，则有＝﹣2．解：如图，∵，∴．故答案为：﹣2．10．已知x∈（0，），tan x＝，则＝．解：∵x∈（0，），tan x＝＝，sin2x+cos2x＝1，∴sin x＝，cos x＝．则＝＝2sin x＝，故答案为：．11．已知点A（3，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则＝．解：焦点为F（0，1），过点M作准线的垂线MH，则FM＝MH，如图：所以＝＝＝＝＝＝．故答案为：．12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为12．解：设矩形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，则△AA1E的面积为，∵＝＝2，∴Sd＝12，V＝Sd＝12．故答案为：12．13．已知函数，g（x）＝k（x+1），若方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣]．解：当x≤0时，f（x）＝xe x，所以f′（x）＝（x+1）e x，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜0时f′（x）＞0，即函数f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，在（﹣1，0）为增函数，方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根等价于函数f（x）的图象与直线y＝kx+1有两个不同的交点，又函数f（x）与函数y＝kx+1的图象的位置关系如图所示，则实数k的取值范围是﹣，故答案为：（﹣，﹣]．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC，CD上，＝λ，＝μ，若2λ+μ＝，则•的最小值3．解：∵＝λ，＝μ，2λ+μ＝，∴•＝（+）•（+）＝（+λ）•（+μ）＝（+λ）•（+μ），＝（1+λμ）•+λ||2+μ||2＝（1+λμ）×2×2×（﹣）+4（λ+μ），＝﹣2﹣2λμ+4λ+4μ，＝﹣2﹣2λ（﹣2λ）+4λ+4（﹣2λ），＝4λ2﹣9λ+8＝4（λ﹣）2+，∵λ∈[0，1]，μ＝﹣2λ∈[0，1]，∴λ∈[，1]，当λ＝1取的最小值，最小值为3，∴•的最小值3，故答案为：3．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝，（2）由余弦定理可得，＝，所以b2+c2＝1+bc≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S＝＝．16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（2）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．17．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．解：如图所示，设台风移动M处的时间为th，则|PM|＝20t，依题意可得∠APM＝60°﹣30°＝30°，在三角形APM中，由余弦定理可得AM2＝PA2+PM2﹣2•PA•PM•cos30°＝3002+（20t）2﹣2×300×20t×，依题意该城市受台风侵袭等价于AM≤100，即AM2≤30000，∴90000+400t2﹣6000t≤30000，化简得：t2﹣15t+150≤0，解得5≤t≤10．所以该城市受台风侵袭的时间为10﹣5＝5（h）．18．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2．直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|＝|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．解：（Ⅰ）因为2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝，所以b＝1，所以椭圆E的方程为；（Ⅱ）直线y＝kx+m（k＞0）与椭圆联立，可得（4k2+1）x2+x8mk+4m2﹣4＝0．设D（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，又M（﹣，0），N（0，m），由|CM|＝|DN|得x1+x2＝x M+x N，所以﹣＝﹣，所以k＝（k＞0）．所以x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣2．因为直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），所以﹣≤﹣2m≤且m≠0，所以（）2＝[]2＝＝＝＝，所以＝＝﹣1﹣．又因为＝﹣1﹣在[﹣，0），（0，]上单调递增，所说义7﹣4＝≤≤＝7+4且≠1，即7﹣4≤≤7+4且≠1，所以∈[7﹣4，1）∪（1，7+4]．19．已知函数f（x）＝a（lnx+）﹣（x＞0）．（Ⅰ）若a＝0，求函数g（x）＝﹣xf（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，求证：x1+x2＜2lna．解：（Ⅰ）当a＝0时，，则，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴函数g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；（Ⅱ），依题意，x1，x2是函数y＝e x﹣ax在（0，2）上的两个零点，由e x﹣ax＝0得，，由（Ⅰ）可知，问题等价于g（x）＝a在（0，2）上有两个零点，由（Ⅰ）知，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，且当x→0时，g（x）→+∞，，由图象可知，；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，x1，x2为在区间（0，2）上的两个根，且0＜x1＜1＜x2＜2，由可知，，则，∴x1+x2＝2lna+ln（x1x2），要证x1+x2＜2lna，即证ln（x1x2）＜0，即证0＜x1x2＜1，由对数平均不等式可知，将相减可得，x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，∴，∴，因此0＜x1x2＜1，∴x1+x2＜2lna．20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）＝2011．（1）求f（）的值．（2）数列{a n} 满足：a n＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1），求数列{}的前n项和S n．（3）若T n＝++…+，证明：．解：（1）由于函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）＝2011，令得：，所以；（2）令，则.①又②两式相加得：，即有．∴＝（n+1）a n，当a＝1时，和S n．＝2+3+…+n+1＝n（n+3）；当a≠1时，和S n＝2a+3a2+..+（n+1）a n，③aS n＝2a2+3a3+..+（n+1）a n+1，④③﹣④可得，（1﹣a）S n＝2a+a2+..+a n﹣（n+1）a n+1＝a+﹣（n+1）a n+1，化简可得+﹣．则；（3）证明：∵，∴，即有T n＝++…+＜[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝•（1﹣）＜．。
【精品高考数学】2020年3月普通高考(江苏卷)全真模拟卷(3)+答案
2020年3月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（3）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．全集U =R ，{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<<，则()U C A B ⋃=____________ 2．i 是虚数单位，复数67i12i+=+___________.3．函数1y x -=的定义域是___________. 4．阅读图中的程序框图，若输入10a =，则输出_________.5．为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的1260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研．如果从丙校的900份试卷中抽取了45份试卷，那么这次调研共抽查的试卷份数为___________ .6．现有5个女生和3个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是________（结果用分数表示）. 7．已知,x y 为非零实数，()ππ,42θ∈，且同时满足：①sin cos y x θθ=，② 22103x y xy =+，则cos θ的值等于______．8．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=o ，则实数k 的值为__________．9．已知一元二次函数22y x kx k =++-，它的图象与x 轴的两个交点为A 、B ，则线段AB 最短时，实数k 的取值为__________.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，420S =，则11nk kS ==∑___________． 11．已知O 是锐角ΔABC 的外接圆圆心, cos cos 60,2,sin sin B C A AB AC mAO C B︒∠=+=u u uv u u u v u u u v 则实数m 的值为_____.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在双曲线C 上，若5PF a =，120PFO ∠=︒，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率为 ．13．下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________. ① 函数()tan f x x =是周期为π的偶函数； ② 若是第一象限的角，且，则；③是函数的一条对称轴方程；④ 在(,)22ππ-内方程tan sin x x =有3个解.14．已知点P 是曲线214x y =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且,2PA AC PA AD ⊥==，四边形ABCD 满足,1//,BC AD AB AD AB BC ⊥==，F 为侧棱PC 上的任意一点.（1）求证：平面AFD ⊥平面PAB .（2）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由.16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B -=. （1）求B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边上一点，且sin 3BDC?，求BD . 17．如图1，已知正方形铁片A B C D ''''边长为2a 米，四边中点分别为E ，F ，G ，H ，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD （两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD 的四边折起，使E ，F ，G ，H 四点重合，记为P 点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO ⊥底面ABCD ，O 为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD 的边长为2x 米.（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S ； （2）请写出正四棱锥的体积V 关于x 的函数，并求V 的最大值.18．已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为2，设直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，坐标原点O 到直线l .（1）求椭圆C 的方程.（2）过点(3,0)D 且斜率不为零的直线l '交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 19．已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅰ）若不等式()f x ax ≥对任意π[0,]2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，向量(1)n x b =v ，，(1)n n y a S =-v，，y x //． （1）若2n b =，求数列{}n a 通项公式； （2）若2n nb =，20a =． ①证明：数列{}n a 为等差数列； ②设数列{}n c 满足32n n n a c a ++=，问是否存在正整数l ，(m l m <，且2l ≠，2)m ≠，使得l c 、2c 、m c 成等比数列，若存在，求出l 、m 的值；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）理科附加题21．已知矩阵1211,,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦向量2y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若,A B αα=求实数,x y 的值. 22．曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为：(cos 2sin )6ρθθ-=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最小值、并求取最小值时的P 点坐标.23．某市一批养殖专业户投资石金钱龟养殖业，行业协会为了了解市场行情，对石金钱龟幼苖销售价格进行调查。
江苏省2020年3月高三第一次在线大联考数学试题含答案解析
数学 第1页（共14页） 2020年3月高三第一次在线大联考（江苏卷）数学I（满分：160分 考试时间：120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{|125}=∈-<A x x R ，{2,1,1,2}=--B ，则=I A B ____________．2．设复数z 满足(1i)42i +=-z ，其中i 是虚数单位，若z 是z 的共轭复数，则=z ____________．3．国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19，则这五位同学答对题数的方差是____________．4．函数()ln(1)=-f x x ____________．5．如图是一个算法的流程图，若输出y 的值是5，则输入x 的值为____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)作倾斜角为135︒的直线l ，已知直线l 与圆2220+-=x y x 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于____________．7．某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E 和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是____________．8．已知x 为实数，向量(2,1)=-a ，(1,)=x b ，且⊥a b ，则|2|+=a b ____________．9．已知π4cos()25-=-α，且π(,0)2∈-α，则2π2cos )4+-αα的值是____________． 10．有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三。
数学-2020届3月第三次在线大联考(江苏卷)(考试word版)
2020年3月高三第三次在线大联考（江苏卷）数学I 试卷（满分：160分 考试时间：120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{2,}A b =，{2,3,5}B =，{2,3}A B =I ，则实数b 的值为 ． 2．i 是虚数单位，复数z 满足2ii 32iz +=-，则z = ． 3．已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的焦距为10，则a = ．4．某单位A ，B ，C 三个部门的人数分别为240，80，160，为了解他们在“钉钉”平台上打卡的情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为36的样本，则应从B 部门中抽取的人数为 ． 5．执行如图所示的伪代码，则输出的s = ．6．将一枚质地均匀且各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a 和b ，则点(,)a b 在直线2y x =上的概率为 ．7．已知函数3log ,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若()(27)0f m f +=，则实数m 的取值等于 ．8．已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1410,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.若6k a b =，则k = ．9．设实数,a b 满足22341,a ab b -+=则2a b +的最大值为 ． 10．在直角三角形ABC 中，已知一个锐角为π12，顶点A 、B 、C 在一个半径为6的球面上，且斜边过球O 的球心，P 为球面上一点，若PA PB PC ==,则三棱锥P ABC -的体积是 ．11．已知平面四边形ABCD 中，||4,BC =u u u r 22||||8AB AD -=u u u r u u u r ，且1,2AC BD ⋅=-u u u r u u u r 则||CD =u u u r ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为圆O :221x y +=上一点，且位于第一象限，直线2A P 交y 轴于点M ，直线21A B 交直线2B P 于点N ，连接MN .设直线2B P 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ,则12112k k -的值是 ．13．已知锐角ABC △的面积为1，内角A ,B ,C 所对的边分别为,,,a b c 且,a b c >>则()()a b c a b c +--+的取值范围是 ．14．已知函数3e ,1,()(1),1,xx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩若函数()()()g x f x ax a =-∈R 有2个零点，则a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，点E 在棱PD 上，,AE CD ⊥PB PD ⊥，平面ABE ⊥平面,PAD CD ∥平面.ABE（1）求证：CD ∥平面PAB ； （2）求证：PD ⊥平面P AB .如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，且点11(,)3B y -在第二象限，点C 在第三象限.（1）若,AOB BOC ∠=∠求点C 的坐标；（2）若,,AOB BOC COA ∠∠∠的弧度数成等差数列，求cos COA ∠的值.17．（本小题满分14分）由于多种因素影响，某地猪肉价格节节攀升，该地方政府为落实“迅速采取有力措施稳定生猪生产，确保猪肉供应和市场基本稳定”这一重要指示，决定对宰杀生猪的定点厂家提供政府补贴，平衡猪肉的市场价格.设猪肉的市场价格为x 元/千克，政府补贴为a 元/千克，根据市场调查，当1636x ≤≤时，猪肉市场日供应量p 万千克近似地满足关系：368(1636,0)10p x a x a =+-≤≤≥，日需求量q 万千克近似地满足关系：22880(1636,).(4)q m x m x =+≤≤∈+R 已知猪肉市场价格为26元/千克时，日需求量为13.2 万千克，定义猪肉市场日供应量与日需求量相等时的市场价格为猪肉市场的平衡价格. （1）将政府补贴a 表示为市场平衡价格x 的函数，并求出该函数的值域； （2）为使市场的平衡价格不高于28元/千克，政府补贴应至少为每千克多少元? 18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,,F F 点A 是椭圆上的任意一点，12||||AF AF ⋅的最大值为4，且椭圆C 的两条准线间的距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）设点3(,)(0)2P t t <是椭圆上一点，圆2223:(1)(0).2E x y r r ++=<<①若直线:10m x y -+=，直线n 过点P ，且n m ⊥，直线n 被圆E 6r 的值. ②过点P 作两条直线12,l l 与圆E 相切且分别交椭圆于点M ,N ，求直线MN 的斜率.已知函数2()ln (0)f x x x ax a =-+>.（1）求出一个a 的值，使得曲线()y f x =与x 轴相切，并求此时切点的坐标； （2）讨论函数()f x 在区间(0,1)上的零点个数. 20．（本小题满分16分）若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a ⋅⋅⋅=成立，则称数列{}n a 是“Q 数列”. （1）已知数列{}n a 的通项公式为1*2(),n n a n n -=+∈N 证明：数列{}n a 不是“Q 数列”.（2）已知在数列{}n b 中，*12(1)()3(1)(,1),n n q b b b q n q -++⋅⋅⋅+=-∈≠N 试问：是否存在常数q 使得数列{}n b 是“Q 数列”？若存在，求出q 的值（写出两个即可）；若不存在，请说明理由.数学Ⅱ（附加题）（满分：40分考试时间：30分钟）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知α∈R ，矩阵111α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值为2.（1）求α的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1-A .B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点ππ(1,),),36A B 圆C 经过点A ，圆心C 为直线π1sin()62ρθ+=与极轴的交点.（1）求圆C 的极坐标方程;（2）若P 是圆C 上一动点，求线段PB 长度的最大值. C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1||1|1x x x ++->.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α.（1）若α的各数位上数字不重复，求α是偶数的概率；（2）若α的各数位上数字可以重复，记随机变量X 表示各数位上数字是0的个数，求X 的分布列及数学期望.23．（本小题满分10分）已知0()(1)(),()nn k n n k f x k x n f x +*==+∈∑N 的展开式中含n x 的项的系数记为n S .（1）求3;S（2）求证：221(1)C .n n n S n ++=+2020年3月高三第三次在线大联考（江苏卷）数学 全解全析1．3 【解析】由{2,3}A B =I ,可知2A ∈且3A ∈，所以3b =. 2．2i - 【解析】由题意得2i 23i z +=+，则2i z =+，那么2i z =-.3．4 【解析】因为双曲线的焦距为10，所以5c =，因为2222,9,a b c b +==所以216,a =又0a >，所以 4.a = 4．6 【解析】由题意得，应从B 部门中抽取的人数为8036624080160⨯=++.5．21 【解析】执行题中的伪代码，可知：第一次循环，3,2;s i ==第二次循环，7,3;s i ==第三次循环，13,4;s i ==第四次循环，21,5,s i ==此时终止循环.故输出s 的值是21.6．18 【解析】根据题意易知(,)a b 的所有可能情况有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个，若点(,)a b 在直线2y x =上，则2b a =，而满足2b a =的(,)a b 的情况有：（1,2），（2,4），共2个,故所求概率为18.7．127或2- 【解析】∵33log ,0,()(27)log 273,1,0,x x f x f x x >⎧=∴==⎨-≤⎩又()(27)0,f m f +=()(27) 3.f m f ∴=-=-当0m >时，由3()log 3,f m m ==-得1;27m =当0m ≤时，由()13,f m m =-=-得 2.m =- 8．94 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为数列{}n a 的各项均不相等，所以0d ≠，因为1410,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项，所以24110,a a a =即2111(3)(9),a d a a d +=+得13,a d =所以(2)k a k d =+，易知等比数列{}n b 的公比4162,3a dq a d===所以561296,b a d =⋅=所以(2)96,94.k d d k +== 9．【解析】因为22341a ab b -+=，所以22413,a b ab +=+所以2272(2)171(),22a b a b ab ++=+≤+⨯即2(2)8,a b +≤解得2a b -+≤当且仅当a b ==2a b +取得最大值10．36 【解析】因为斜边过球O 的球心,所以直角三角形ABC 所在的圆是过球心的一个大圆,所平面ABC 上的射影为ABC △的外心O ,连接PO ,则PO ⊥平面ABC ,且6,PO =所以P ABC V -=11．3 【解析】解法一：()()AC BD AD DC BC CD ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =2AD BC AD CD DC BC CD ⋅+⋅+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12=-①，又2()()AC BD AB BC BA AD AB AB AD BC BA ⋅=+⋅+=-+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r BC AD +⋅u u u r u u u r 12=-②，①+②得22()()AD BC CD DC BC CD AB AB AD BC BA AD ⋅++⋅--+⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1=-，∴221AD BD DC BC CD AB AB AD BC BD ⋅+⋅--+⋅+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，22()()1AD BD AB CD AB BC BD DC ∴⋅+--+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,22221AD BC CD AB ∴+--=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，又||4,BC =u u u r 22||||8AB AD -=u u u r u u u r ，2||9,|| 3.CD CD ∴==u u u r u u u r解法二：∵22||||8AB AD -=u u u r u u u r ，∴22()()8,AC CB AC CD +-+=u u u r u u u r u u u r u u u r 即2222228AC CB AC CB AC CD AC CD ++⋅---⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,222()8CB AC CB CD CD ∴+⋅--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2228.CB AC DB CD ∴+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r又||4,BC =u u u r 12AC BD ⋅=-u u u r u u u r ，2||9,|| 3.CD CD ∴==u u u r u u u r12．12- 【解析】解法一：由题意可知212(1,0),(0,1),(0,1)A B B -，因为直线2B P 的斜率为1k ，所以直线2B P的方程为11y k x =+，由12211y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得211221121(,),11k k P k k --++则直线2A P 的方程为111(1),1k y x k -=-+令0,x =则111,1k y k -=+即111(0,)1k M k -+，易知直线21A B 的方程为1,y x =-由111y x y k x =-⎧⎨=+⎩，得11112(,)11k N k k +--， 所以直线MN 的斜率1111121111112211k k k k k k k k +---+==+-，所以12111.22k k -=- 解法二：由题意可知212(1,0),(0,1),(0,1)A B B -,设0000(,),01,01P x y x y <<<<，则0101y k x -=,所以直线2B P 的方程为0011.y y x x -=+易知直线21A B 的方程为1,y x =-则由00111y x y y x x =-⎧⎪-⎨=+⎪⎩，得000000021(,)11x x y N x y x y +--+-+,易知直线2A P 的方程为00(1).1y y x x =--则00(0,),1y M x -又22001,x y +=所以00201,1x y k x +-=-则12111.22k k -=-13． 【解析】因为ABC △是锐角三角形，且,a b c >>所以π2A B C >>>,故ππ.32A <<记ABC △的面积为,()(),S T a b c a b c =+--+则由三角形的面积公式及余弦定理可得1sin ,2S bc A =22222(1cos ),T a b c bc bc A =--+=-所以4(1cos )sin T A T S A -==4=⋅22sin 24tan 22sin cos22A A A A = 43(,4)∈. 14．227e (,)(e,){}44-∞-+∞U U 【解析】当1x ≥时,2e e (1)(),()0,x x x f x f x x x -'==≥所以()f x 在[1,)+∞上单调递增，作出()y f x =的大致图象如图所示：①当直线y ax =与曲线e (1)x y x x =≥相切时，设切点为111e (,)x A x x .由1x ≥时，e ()x f x x =，2e (1)(),x x f x x -'=得121e x x =1121e (1),x x x -解得12x =，此时2e .4a =结合图象可知，当2e 4a =时，若1x ≥，则方程()f x ax =有1个根，若1x <，则方程()f x ax =也有1个根.故()()g x f x ax =-在R 上有2个零点.因为(1)e f =，所以曲线e (1)xy x x=≥的左端点的坐标为(1,e)，由图象可知，当e a >时，()()g x f x ax =-有2个零点.②当直线y ax =与曲线3(1)(1)y x x =--<相切时，设切点为322(,(1)),B x x --由332(1)3y x x x =--=-+ 31x -+，得223633(1)y x x x '=-+-=--，所以32222(1)3(1),x x x --=--解得212x =-，此时27.4a =-由图可得，当274a <-时，直线y ax =与曲线3(1)(1)y x x =--<有2个不同的交点，即()()g x f x ax =-有2个零点.综上可得，当274a <-或e a >或2e 4a =时，函数()()g xf x ax =-()a ∈R 有2个零点.15．（本小题满分14分）【解析】（1）因为CD ∥平面,ABE CD ⊂平面ABCD ，平面ABCD I 平面ABE AB =，所以.CD AB ∥（3分）因为CD ⊄平面,PAB AB ⊂平面PAB ， 所以CD ∥平面PAB .（6分） （2）因为,,CD AB AE CD ⊥∥ 所以,AB AE ⊥（8分）又平面ABE ⊥平面PAD ,平面ABE I 平面,PAD AE AB =⊂平面,ABE 所以AB ⊥平面PAD .（10分） 因为PD ⊂平面,PAD 所以,AB PD ⊥（12分）又,PB PD PB ⊥⊂平面,PAB AB ⊂平面,,PAB PB AB B =I 所以PD ⊥平面PAB .（14分） 16．（本小题满分14分）【解析】（1）设,AOB BOC α∠=∠=因为点11(,)3B y -在单位圆O 上，所以1cos .3α=-（2分）因为点B 在第二象限，所以sin α=（4分） 所以2217cos22cos 12()1,39αα=-=⨯--=-1sin 22sin cos 2()3ααα==-=（6分）所以点C 的坐标为7(,9-.（7分）（2）因为,,AOB BOC COA ∠∠∠的弧度数成等差数列，所以2,AOB COA BOC ∠+∠=∠ 又2πAOB COA BOC ∠+∠+∠=, 所以2π.3BOC ∠=（9分） 设,AOB β∠=则242π(π)π,33COA ββ∠=-+=-（10分）由题得1cos ,sin 3ββ=-=所以4cos cos(π)3COA β∠=-44cos πcos sin πsin 33ββ=+11()(23=-⨯-+=（14分）17．（本小题满分14分）【解析】（1）因为当猪肉市场价格为26 元/千克时，日需求量为13.2万千克， 所以2288013.2,30m +=解得10.m =（1分）根据题意，由232880,6810,10(4)p q x a x =+-=++得 所以24803(1636)(4)20x a x x =+-≤≤+.（3分） 设4(2040),x t t +=≤≤所以216480(2040),520ta t t =+-≤≤ 所以396010,20a t '=--<所以a 是关于t 的减函数，（5分） 所以当20t =时，max 166171555a =+-=；当40t =时，min 216480403,540202a =+-= 所以函数24803(1636)(4)20x a x x =+-≤≤+的值域为317[]25，.（7分） （2）由（1）得24803(1636),28(4)20x a x x x =+-≤≤=+时248028331,3,3220160a =+-=（10分） 由（1）易知a 是关于x 的减函数，所以欲使28,x ≤则需331.160a ≥（13分） 答：要使市场的平衡价格不高于28元/千克，政府补贴应至少为331160元/千克.（14分） 18．（本小题满分16分）【解析】（1）易知221212||||||||().2AF AF AF AF a +⋅≤=由题意知24a =，所以2a =，（2分）又椭圆C 的两条准线间的距离为8，所以228a c =，解得1c =，故23b =. 所以所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（4分） （2）由点3(,)2P t 是椭圆上一点得，223()2143t +=，所以1,t =±又0t <，所以1,t =-即3(1,)2P -.（6分）①因为直线:10m x y -+=，直线n 过点P ，且,n m ⊥ 所以直线n 的方程为3(1)2y x -=-+，即102x y +-=，（7分）又直线n 被圆E ，所以2221|1|,r --+=得r .（9分） ②显然直线12,l l 的斜率存在且不为0，分别设为12,k k ，由于直线12,l l 与圆2223(1)(0)2x y r r ++=<<相切，所以12k k =-.（10分）由题意得直线113:(1)2l y k x -=+，联立方程，得2211433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，可得222111133(34)8()4()12022k x k k x k +++++-=，（12分）设1122(,),(,)M x y N x y ，则1112138()2134k k x k +-=-+，即211121412334k k x k --+=+, 同理211221412334k k x k -++=+，则211121222112486,,3434k k x x x x k k --+-=+=++（14分） 所以2111211211122118612()2()23434k k y y k x x k k k k k -+-=++=+=++， 所以直线MN 的斜率121211122112341.24234k y y k k k x x k -+===---+ 故直线MN 的斜率为1.2-（16分）19．（本小题满分16分）【解析】（1）2121()2,x ax f x x a x x-++'=-+=设切点坐标为(,0)b ，则切线的斜率为221()b ab f b b-++'=，（2分）易知2()0,0ln ,f b b b ab '==-+且所以2ln 10b b +-=，注意到2()ln 1h b b b =+-在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =. 所以可知1a b ==满足以上两个等式，（4分）所以当1a =时，曲线()y f x =与x 轴相切，此时切点的坐标为(1,0).（5分）（2）对于方程22210,80x ax a ∆-++==+>，则两根分别为00x =>，10x =<.（6分）①当01x =时，1,a =当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增.因为(1)0,f =所以当01x <<时，()0f x <恒成立，即()f x 无零点.（8分） ②当01(1)0,1x f a '>>>时，，当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增， 因为1(1)10,0e e 1,a f a --=-><<<所以22(e )e e (e 1)e 0,a a a a a f a a a -----=--+=--< 所以()f x 在(0,1)上有1个零点.（12分） ③当001x <<时，(1)0,01,f a '<<<当00x x <<时，()0,f x '>当01x x <<时，()0,f x '<所以()f x 在(0,1)上的最大值2max 0000()()ln ,f x f x x x ax ==-+ 又20021,ax x =-所以222000000()ln 21ln 1,f x x x x x x =-+-=+-由（1）知2ln 1y x x =+-在(0,1)上单调递增，且1x =时，0,y =所以0()0,f x < 所以()f x 在(0,1)上无零点，综上，当01a <≤时，()f x 无零点；当1a >时，()f x 有一个零点.（16分） 20．（本小题满分16分）【解析】（1）假设数列{}n a 是“Q 数列”，则对任意正整数n ，总存在正整数m 满足011(12)(22)(2)n m n a -++⋅⋅⋅+=，（1分） 取1,n =存在1m =满足条件，（2分）取2,n =存在正整数2,m ≥满足01(12)(22),m a ++=即1182,82.m m m m --=+-= 因为2,m ≥所以186,22,m m --≤≥ 所以1226m -≤≤，所以23,m =或（4分） 因为2131822832---≠-≠且，所以假设不成立，故数列{}n a 不是“Q 数列”.（6分） （2）因为*12(1)()3(1)(,1),n n q b b b q n q -++⋅⋅⋅+=-∈≠N 所以1*121(1)()3(1)(,2,1),n n q b b b q n n q ---++⋅⋅⋅+=-∈≥≠N 所以1*(1)3()(,2,1),n n n q b q q n n q --=-∈≥≠N 所以1*3(,2,1),n n b q n n q -=∈≥≠N （8分）又1(1)3(1)(1)q b q q -=-≠，所以13,b =所以13(*,1).n n b q n q -=∈≠N 所以(1)12(1)21233n nn n n nb b b q q-++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅==，（10分）若{}n b 是“Q 数列”，则对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得(1)1233n nn m q q--=成立，即(1)(1)123n nm nq----=成立，（12分） ①当(1)(1)1,2n n m n ---=-即(1)2n nm +=时,可取3q =，此时满足题意；（14分） ②当(1)(1)1,2n n m n ---=-即2(1)34(2)122n n n n m n --+=+-=≥时，可取1,3q =此时满足题意. 综上，存在常数3q =或13q =使得数列{}n b 是“Q 数列”.（16分）注：常数q 可取其他值，只要正确均给分，少写一个，扣1分. 21A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解析】（1）矩阵A 的特征多项式为11()(1)()11f λλλλαλα-==--+--，（2分） 则(2)0,f =解得3α=.（5分） （2）由（1）知矩阵1113-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以det()13(1)14,=⨯--⨯=A 所以13144.1144-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A （10分） 21B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解析】（1）在π1sin()62ρθ+=中，令0,θ=得1,ρ=所以圆心C 的坐标为（1,0）.（2分）连接AC ，因为圆C 经过点π(1,),3A所以圆C 的半径||1AC =，（4分） 于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为2cos .ρθ=（5分） （2）连接,,OB BC在OBC △中，||BC ==（8分）所以PB 1.（10分） 21C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）【解析】当1x ≤-时，原不等式可化为2(1)(1)1x x x --+->，解得31;2x -<≤-（3分）当11x -<<时，原不等式可化为2(1)(1)1x x x ++->，解得112x -<<-或01x <<；（6分）当1x ≥时，原不等式可化为2(1)(1)1x x x ++->， 解得 1.x ≥（9分）综上，原不等式的解集为31{|22x x -<<-或0}x >.（10分）22．（本小题满分10分）【解析】（1）由0,1,2,3,4组成的五位数共有5454A A 96-=（个）,其中是偶数的，第一类，个位是0，有44A 24=（个）;（2分）第二类，个位是2或4，有113233C C A 36=(个)，所以α是偶数的概率为24365.968P +==（5分） （2）因为首位一定不为0，第2位至第5位，各数位上数字为0的概率均是15，且相互独立，所以X 1~(4,).5B （6分）所以4411()C ()(1),0,1,2,3,4,55i ii P X i i -==-=所以X 的概率分布列为（8分）14()4.55E X =⨯=（10分）23．（本小题满分10分）【解析】（1）当3n =时，4563()(1)2(1)3(1)f x x x x =+++++，其展开式中含3x 的项的系数为3333456C 2C 3C 4206084.S =++=++=（4分）（2）因为1()!()!C (1)(1)C ,!!(1)!(1)!nn n k n k n k n k k k n n k n k n +++++=⋅=+⋅=+⋅-⋅+ 122()(1)2(1)(1)(1),n n n k n n f x x x k x n x +++=++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++（6分）所以()n f x 的展开式中含n x 的项的系数为122C 2C C C n n n nn n n n k n S k n +++=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1111122(1)(C C C C )n n n n n n n k n n +++++++=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+21112232(1)[(C C )C C ]n n n n n n n n n +++++++=++++⋅⋅⋅+211332(1)[(C C )C ]n n n n n n n +++++=+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅2122(1)(C C )n n n n n ++=++221(1)C .n n n ++=+（10分）。
2020年高考模拟江苏省常熟市(3月份)高考数学模拟试卷 含解析
2020年高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤1，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤0}，则A∩B＝．2．某校高一、高二、高三学生数之比为2：3：4，现用分层抽样方法抽取n位同学参加志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则n＝．3．有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正品的概率是．4．若执行如图的程序框图，则输出的k值是．5．复数（其中i是虚数单位）的虚部是．6．已知α∈（0，），且2sin（α﹣）＝3cos（α+），则α＝．7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为8．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的两个交点（原点除外）连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为．9．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，则四棱锥的侧面积是．10．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*），则a2019+a2020＝．11．已知函数f（x）＝，若，则x＝．12．若对于给定的正实数k，函数f（x）＝的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是．13．已知平面四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，DA＝3，•＝10，则BC＝．14．设函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）的两个极值点分别为x1，x2，若≤﹣2恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，点D，E，F分别为AB1，CC1，BC中点．（1）求证：DF∥平面ACC1A1；（2）求证：EF⊥平面B1AF．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sin2B＝6sin A cos B，求△ABC的面积．17．江南某湿地公园内有一个以O为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线l1，l2，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A﹣B﹣C（如图，A在B右侧）．其中，BC与圆O相切于点Q，OA⊥l1，OA＝30米．设∠CBP＝θ，θ满足．（1）试将木栈道A﹣B﹣C的总长表示成关于θ的函数L（θ），并指出其定义域；（2）求木栈道A﹣B﹣C总长的最短长度．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上一点（1，）与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，过椭圆C上一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆E：+＝1交于A、B两点（A，B均不在坐标轴上），设O为坐标原点，过O的射线OP与椭圆E交于点Q．（1）若|OQ|＝λ|OP|，求实数λ的值；（2）当P为（1，）时，若四边形OAQB的面积为12，试求直线l的方程．19．（16分）构造数组，规则如下：第一组是两个1，即（1，1），第二组是（1，2a，1），第三组是（1，a（1+2a），2a，a（2a+1），1），…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈（0，1）．设第n组中有a n个数，且这a n个数的和为S n（n∈N*）．（1）直接写出a n+1与a n的关系式，并求a n和S n；（2）已知a＝，，T n是数列{b n}的前n项和，H n是数列{T n}的前n项和．若对任意n∈N*，H2n﹣1∈{x|＜x＜}，求所有满足条件的正整数k的值．20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax，g（x）＝e x．（1）设F（x）＝，①当a＝﹣1时，求曲线y＝F（x）在点（1，F（1））处的切线方程；②当a＞0时，求证：对任意x∈（0，+∞）恒成立．（2）讨论G（x）＝f（x）•g（x）的极值点个数．参考答案一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卷相应位置上．1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤1，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤0}，则A∩B＝{﹣1，0}．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤1，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．2．某校高一、高二、高三学生数之比为2：3：4，现用分层抽样方法抽取n位同学参加志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则n＝27．【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值．解：由题意可得n•＝12，∴n＝27，故答案为：27．3．有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正品的概率是．【分析】基本事件总数n＝＝6，两件产品均为正品包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出两件产品均为正品的概率．解：有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，基本事件总数n＝＝6，两件产品均为正品包含的基本事件个数m＝＝3，∴两件产品均为正品的概率p＝＝．故答案为：．4．若执行如图的程序框图，则输出的k值是4．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出k的值．解：模拟执行如图的程序框图，如下；n＝3，k＝0，n不是偶数，n＝10，k＝1，n≠8；n是偶数，n＝5，k＝2，n≠8；n不是偶数，n＝16，k＝3，n≠8；n是偶数，n＝8，k＝4，n＝8；退出循环，输出k＝4．故答案为：4．5．复数（其中i是虚数单位）的虚部是﹣1．【分析】先对已知复数进行化简，然后结合虚部定义即可求解．解：∵＝＝﹣（i﹣i2）＝﹣1﹣i虚部为﹣1．故答案为：﹣16．已知α∈（0，），且2sin（α﹣）＝3cos（α+），则α＝．【分析】根据三角函数的诱导公式，进行转化求解即可．解：∵α+﹣（α﹣）＝，∴α+＝（α﹣）+，则2sin（α﹣）＝3cos（α+）＝3cos（+α﹣）＝﹣3sin（α﹣），即5sin（α﹣）＝0，即α﹣＝kπ，则α＝+kπ，k∈Z，∵α∈（0，），∴当k＝0时，α＝，故答案为：．7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为3【分析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故答案为：3．8．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的两个交点（原点除外）连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为．【分析】由抛物线及双曲线的对称性可得渐近线与抛物线的交点关于x轴对称，再由题意可得交点所在的直线为x＝代入抛物线的方程求出交点坐标，进而求出渐近线的斜率，再由双曲线的渐近线方程与双曲线的方程的关系可得a，b的关系，由a，b，c的关系求出双曲线的离心率．解：由抛物线及双曲线的对称性可得，渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的两个交点关于x轴对称，由题意可得交点所在的直线为x＝，代入抛物线的方程可得|y|＝p，即渐近线的斜率为＝2，所以可得＝2，所以离心率e＝＝＝，故答案为：．9．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，则四棱锥的侧面积是4+4．【分析】利用直角三角形面积计算公式即可得出．解：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，PB⊥BC，PD⊥CD．∴四棱锥的侧面积S＝×2+×2×2×2＝4+4．故答案为：4+4．10．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*），则a2019+a2020＝4041．【分析】依题意，可求得数列{a n﹣a n﹣1}是以3﹣2＝1为首项，1为公比的等比数列，继而可得数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求得答案．解：∵a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*）①，∴2a2＝2（a1+1）＝6，∴a2＝3．由①得：a n﹣1a n＝2（S n﹣1+1）（n≥2，n∈N*）②，①﹣②得：a1＝2，a n（a n+1﹣a n﹣1）＝2[（S n+1）﹣（S n﹣1+1）]＝2a n（n≥2，n∈N*），又a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣1＝2（n≥2，n∈N*）③，∴a n+2﹣a n＝2（n∈N*）④，④﹣③得：∴a n+2﹣a n+1＝a n﹣a n﹣1（n≥2，n∈N*），又a n≠a n﹣1（n≥2，n∈N*），∴数列{a n﹣a n﹣1}是以3﹣2＝1为首项，1为公比的等比数列，∴a n﹣a n﹣1＝1（n≥2，n∈N*），∴数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1．∴a2019+a2020＝2020+2021＝4041，故答案为：4041．11．已知函数f（x）＝，若，则x＝3．【分析】根据题意，先分析函数f（x）的值域，对于，先结合函数的值域分析f（x）的值，进而分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，当x≤1时，y＝2x，有0＜y≤2，当x＞1时，y＝x，有y＜0，若，必有f（x）≤1，则有2 f（x）＝，解可得f（x）＝﹣1，则有x＝﹣1，解可得x＝3；故答案为：312．若对于给定的正实数k，函数f（x）＝的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是（0，）．【分析】根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．解：根据题意得：2﹣1＝1＜|OC|＜1+2＝3，设C（x，），∵|OC|＝≥，∴＜3，即0＜k＜，则k的范围为（0，）．故答案为：（0，）．13．已知平面四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，DA＝3，•＝10，则BC＝4．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，用、、和表示和，计算即可．解：平面四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，DA＝3，•＝10，则＝（+）•（+）＝•+•+•+•＝﹣•+（•+•）+•＝﹣•+•+•＝﹣•+（+）•+•（+）＝﹣•++•+•+＝﹣•++•（+）+•+＝﹣•++•+（•+•）+＝﹣2•+++（﹣）•＝﹣2•++﹣，即12＝﹣2×10+32+﹣22，解得＝16，即||＝4；所以BC＝4．故答案为：4．14．设函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）的两个极值点分别为x1，x2，若≤﹣2恒成立，则实数a的取值范围是a≥e+．【分析】由函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为x1，x2，可知f（x）不单调，利用导数求得a的范围，运用韦达定理可得a＝x1+x2＝x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）＝﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的范围．解：∵函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为x1，x2，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，令g（x）＝x2﹣ax+1，其判别式△＝a2﹣4．当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．当a＜﹣2时，△＞0，g（x）＝0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．当a＞2时，△＞0，设g（x）＝0的两个根x1，x2都大于零，令x1＝，x2＝，x1x2＝1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，∴a的取值范围是（2，+∞）．则a＝x1+x2＝x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）＝﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）＝+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴＝﹣﹣1+a•＝﹣2+a•．若≤﹣2恒成立，则﹣2+a•≤﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1＝，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）＝﹣x+•lnx（x＞1），F′（x）＝﹣﹣1+•，记x1′＝[﹣]，x2′＝[+]，F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）＝0，F（e）＝0，∴当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）＝x22﹣ax2+1＝0，得a＝x2+≥e+（a＝x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，∴a的取值范围是a≥e+．故答案为：a≥e+．二、解答题：共6小题，共90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，点D，E，F分别为AB1，CC1，BC中点．（1）求证：DF∥平面ACC1A1；（2）求证：EF⊥平面B1AF．【分析】（1）连结A1B，A1C，推导出D是A1B中点，从而DF∥A1C，由此能证明DF ∥平面ACC1A1．（2）推导出AB＝AC，AF⊥BC，BB1⊥AF，从而AF⊥平面BCC1B1，进而AF⊥EF，推导出BB1⊥BC，从而四边形BCC1B1是矩形，推导出△B1BF∽△FCE，从而EF⊥B1F，由此能证明EF⊥平面B1AF．【解答】证明：（1）连结A1B，A1C，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形，∵平行四边形对角线互相平分，D是AD1中点，∴D是A1B中点，又F是BC中点，∴DF∥A1C，∵DF⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴DF∥平面ACC1A1．（2）△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵F是BC中点，∴AF⊥BC，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴BB1⊥AF，∵BC∩BB1＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，∵EF⊂平面BCC1B1，∴AF⊥EF，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BB1⊥BC，侧面BCC1B1是平行四边形，∴四边形BCC1B1是矩形，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，∴BC＝，∵F是BC中点，E是CC1中点，∴△B1BF∽△FCE，∴∠BFB1＝∠CEF，∠BB1F＝∠CFE，∵∠BB1F+∠BFB1＝∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠BFB1+∠CFE＝90°，∴EF⊥B1F，∵AF∩B1F＝F，∴EF⊥平面B1AF．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sin2B＝6sin A cos B，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求ab＝1，利用余弦定理可得a+b＝2，联立方程即可得解a，b的值．（2）由已知可求得cos B＝0，或sin B＝3sin A，分类讨论，当cos B＝0时，可得B＝，求得a，利用三角形的面积公式即可求解；当sin B＝3sin A时，由正弦定理可得b＝3a，进而根据余弦定理，三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵S△ABC＝ab sin C＝＝，∴ab＝1，∵由c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab＝1，∴a+b＝2，∴解得a＝b＝1．（2）∵sin2B＝6sin A cos B，即2sin B cos B＝6sin A cos B，∴2cos B（sin B﹣3sin A）＝0，可得cos B＝0，或sin B＝3sin A，当cos B＝0时，由于B∈（0，π），可得B＝，又．可得a＝，S△ABC＝ac sin B＝＝；当sin B＝3sin A时，由正弦定理可得b＝3a，又c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝7a2＝1，可得a＝，b＝，S△ABC＝ab sin C＝＝．∴三角形的面积为或．17．江南某湿地公园内有一个以O为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线l1，l2，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A﹣B﹣C（如图，A在B右侧）．其中，BC与圆O相切于点Q，OA⊥l1，OA＝30米．设∠CBP＝θ，θ满足．（1）试将木栈道A﹣B﹣C的总长表示成关于θ的函数L（θ），并指出其定义域；（2）求木栈道A﹣B﹣C总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A﹣B﹣C的总长表示成关于θ的函数L（θ），由AB＞0且BC＞0求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A﹣B﹣C总长的最短长度．解：（1）过Q分别向AO和l1作垂线，垂足为H，M，由题意可得，∠QOH＝θ，∴QH＝20sinθ，OH＝20cosθ，则AH＝MQ＝30﹣20cosθ．在直角三角形BMQ中，BM＝．∴AB＝AM﹣BM＝QH﹣BM＝20sinθ﹣．又BC＝，∴L＝BC+AB＝（0＜θ＜）．∵AB＞0且BC＞0，∴，令，则θ∈（）．∴定义域为（）；（2）由L（θ）＝，得，θ∈（）．令L′（θ）＝0，得cos，∵＜，∴当cos时，．故木栈道A﹣B﹣C总长的最短长度为米．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上一点（1，）与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，过椭圆C上一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆E：+＝1交于A、B两点（A，B均不在坐标轴上），设O为坐标原点，过O的射线OP与椭圆E交于点Q．（1）若|OQ|＝λ|OP|，求实数λ的值；（2）当P为（1，）时，若四边形OAQB的面积为12，试求直线l的方程．【分析】（1）由题意可知c＝1且，从而求出椭圆C的方程，再把点P，Q再把代入椭圆方程，即可求出λ的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线过点（1，）知k+m＝①，分别联立直线l与椭圆E和椭圆C的方程，利用韦达定理得到所以S△AQB＝2S△AOB＝|m||x1﹣x2|＝|m|＝12，化简得4k2+3＝m2②，由①②即可解得k和m的值，从而求出直线l的方程．解：（1）椭圆C的右焦点坐标为（1，0），且，又a2﹣b2＝1，a＞b＞0，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为：，设P（x0，y0），则Q（λx0，λy0），由得：，又λ＞0，故λ＝2；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线过点（1，）知k+m＝①，由得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，有，且，，由得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，因为，所以4k2+3≥m2，所以S△AQB＝2S△AOB＝|m||x1﹣x2|＝|m|＝12，化简得[2（4k2+3）﹣m2]2＝（4k2+3）2，得4k2+3＝m2②，由①②解得：k＝﹣，m＝2，所以直线l的方程为：y＝﹣x+2．19．（16分）构造数组，规则如下：第一组是两个1，即（1，1），第二组是（1，2a，1），第三组是（1，a（1+2a），2a，a（2a+1），1），…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈（0，1）．设第n组中有a n个数，且这a n个数的和为S n（n∈N*）．（1）直接写出a n+1与a n的关系式，并求a n和S n；（2）已知a＝，，T n是数列{b n}的前n项和，H n是数列{T n}的前n项和．若对任意n∈N*，H2n﹣1∈{x|＜x＜}，求所有满足条件的正整数k的值．【分析】（1）a1＝2，a n+1＝2a n﹣1，化为：a n+1﹣1＝2（a n﹣1），数列{a n﹣1}为等比数列，可得：a n，S1＝2，S n+1＝S n+2a（S n﹣1），可得：S n+1﹣1＝（2a+1）（S n﹣1），S1﹣1＝1．利用通项公式可得S n．（2）b n＝，可得T n＝．可得H2n﹣1＝T1+T2+……+T2n﹣3+T2n﹣1＝﹣．可得﹣＜H2n﹣1≤﹣．根据对任意n∈N*，H2n﹣1∈{x|＜x＜}，即可得出．解：（1）a1＝2，a n+1＝2a n﹣1，化为：a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}为等比数列，可得a n﹣1＝2n﹣1，可得：a n＝1+2n﹣1，S1＝2，S n+1＝S n+2a（S n﹣1），可得：S n+1﹣1＝（2a+1）（S n﹣1），S1﹣1＝1．∴S n﹣1＝（2a+1）n﹣1，解得：S n＝1+（2a+1）n﹣1．（2）b n＝，∴T n＝．∴H2n﹣1＝T1+T2+……+T2n﹣3+T2n﹣1＝﹣﹣﹣……﹣＝﹣＝﹣．∴﹣＜H2n﹣1≤﹣．∵对任意n∈N*，H2n﹣1∈{x|＜x＜}，∴≤﹣，＞﹣，解得0＜k≤．∴正整数k＝1，2，3．20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax，g（x）＝e x．（1）设F（x）＝，①当a＝﹣1时，求曲线y＝F（x）在点（1，F（1））处的切线方程；②当a＞0时，求证：对任意x∈（0，+∞）恒成立．（2）讨论G（x）＝f（x）•g（x）的极值点个数．【分析】（1）①将a＝1代入，求出切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程；②只需证a＞0时，h（x）＝2e x+e（a﹣x2）＞0对任意x＞0都成立，利用导数求其最值即可得证；（2）G（x）只有一个极值点或三个极值点，令，当G（x）只有一个极值点时，φ（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即φ（x）为单调减函数或者φ（x）极值同号，分类讨论即可得解，同理可求当G（x）有三个极值点时的情况．解：（1），，①当a＝﹣1时，，∴切线方程为；②证明：即证对任意x＞0，，只需证a＞0时，h（x）＝2e x+e（a﹣x2）＞0对任意x＞0都成立，h′（x）＝2e x﹣2ex，h''（x）＝2e x﹣2e，令h''（x）＝0得x＝1，且x∈（0，1）时，h''（x）＜0，h′（x）单减，x∈（1，+∞）时，h''（x）＞0，h′（x）单增，∴h′（x）＞h′（1）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上单增，∴h（x）＞h（0）＝2+ae＞0，∴当a＞0时，对任意x∈（0，+∞）恒成立．（2），∴G（x）只有一个极值点或三个极值点，令，当G（x）只有一个极值点时，φ（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即φ（x）为单调减函数或者φ（x）极值同号，（i）φ（x）为单调减函数时，φ′（x）＝﹣x2﹣2x+a≤0在R上恒成立，则△＝4+4a ≤0，解得a≤﹣1；（ii）φ（x）极值同号时，设x1，x2为极值点，则φ（x1）φ（x2）≥0，φ′（x）＝﹣x2﹣2x+a＝0有解，则a＞﹣1，且，＝，同理φ（x2）＝（（a+1）x2+a），∴，化简得，∴（a+1）2（﹣a）+a（a+1）（﹣2）+a2≥0，解得﹣1＜a≤0，∴当a≤0时，G（x）只有一个极值点；当G（x）有三个极值点时，φ（x1）φ（x2）＜0，同理可得a＞0，综上，当a≤0时，f（x）有且仅有一个极值点；当a＞0时，f（x）有三个极值点．。
江苏省苏州市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】 【分析】由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】 解：∵41i =，∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-， 则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题.2．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 3．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值. 【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦，所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π． 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A．210B．2613C．1313D．1310【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E与AF所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB的中点为O，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF=-=-u u u r u u u r.所以异面直线1A E与AF所成角的余弦值为118242642213A E AFA E AF⋅-==⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.5．已知双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．102【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C【解析】 【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 7．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ）A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 直接将1zi i=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【详解】 解：将1zi i=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+z =故选：A 【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.8．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】 【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.10．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v分拆，设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
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2020年高考数学（3月份）模拟试卷一、填空题.1．已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝．2．若复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．3．执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是．4．若数据2，x，2，2的方差为0，则x．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为．7．若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为．8．在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则＝．9．已知直线y＝kx﹣2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为．10．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线y＝b与椭圆C交于A，B两点，若OA⊥OB，则椭圆离心率的值等于．11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，则S32的值为12．设α，θ为锐角，tanθ＝a tanα（a＞1），若θ﹣α的最大值为，则实数a的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，则实数a的取值范围为．14．已知函数f（x）＝e x，若函数g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣+2a|x﹣2|有6个零点，则实数a的取值范围为．二、解答题：共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A﹣B）+sin C＝1．（1）求sin A cos B的值；（2）若a＝2b，求sin A的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F （1，0），并且点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点P（m，0），Q为直线x＝2上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为k1，k2，k0．若k1+k2＝2k0，求m的值．18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．19．（16分）设f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a为与自变量x无关的正实数）．（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．20．（16分）定义：对于一个项数为m（m≥2，m∈N*）的数列{a n}，若存在k∈N*且k＜m，使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为3＝2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，﹣4，6，﹣8是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{a n}共有r项（r≥3，且r为奇数），a1＝1，{a n}的前n项和S n满足nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{a n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{b n}是公比为q项数为m（m∈N*，m≥3）的等比数列{b n}，其中q≥2．判断{b n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．三、【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2＝0，求矩阵A．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．求直线l与曲线C交点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数，且，求证：x+4y+9z≥10．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．25．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）＝n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．参考答案一、填空题：共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}2．若复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．【分析】先利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z到最简形式，再利用复数的模的定义求出|z|．解：因为复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），∴z＝＝＝1+2i；∴|z|＝＝；故答案为：．3．执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是7．【分析】这是一个递推问题，因为只需算到n＝3，所以可以逐项列举计算．解：n＝1时，S＝2×0+1＝1n＝2时，S＝2×1+1＝3n＝1时，S＝2×3+1＝7因为n≤3时停止循环．故S＝7．故答案为：74．若数据2，x，2，2的方差为0，则x＝2．【分析】由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到＝0，解得x＝2；故答案为：2．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件共有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52＝10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故答案为：6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为．【分析】由已知先求出圆锥的底面半径及高，求出圆锥的体积即为球的体积，然后根据球体积公式即可求解．解：由题意可知，圆锥的底面周长6π＝2π•OA，OA＝5，所以OA＝3，PO＝＝4，所以圆锥的体积V＝＝12π，设球的半径r，则＝12π，所以r＝．故答案为：7．若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为6．【分析】由双曲线方程求得左焦点坐标，代入抛物线的准线方程求解p．解：由双曲线，得a2＝5，b2＝4，则，则双曲线的左焦点为（﹣3，0），抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则，p＝6．故答案为：6．8．在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则＝．【分析】由可得，则．即可求解＝﹣．解：由可得，则．＝||||cos∠APB，＝||||cos（π﹣∠APB）＝﹣2||||cos∠APB 则＝﹣．故答案为：﹣．9．已知直线y＝kx﹣2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为1+ln2．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y＝xlnx求导数得y′＝lnx+1，从而得到切线的斜率k＝lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y＝（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出关于x0、k的方程组，解之即可得到实数k的值．解：设切点为（x0，x0lnx0），对y＝xlnx求导数，得y′＝lnx+1，∴切线的斜率k＝lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y＝（lnx0+1）x﹣x0，与直线y＝kx﹣2比较，得：，故k＝1+ln2，故答案为：1+ln2．10．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线y＝b与椭圆C交于A，B两点，若OA⊥OB，则椭圆离心率的值等于．【分析】直线与椭圆的方程联立求出A，B的坐标，由OA⊥OB可得＝0，求出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出离心率．解：联立方程组可得＝，所以x＝a，所以A（﹣a，），B（，），因为OA⊥OB，所以＝0，所以﹣a a+（）2＝0，可得a2＝2b2，所以离心率e＝＝＝故答案为：11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，则S32的值为8【分析】运用等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得S n2，进而得到S n，即可得到所求值．解：正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，可得S n+S n﹣1＝＝，即为S n2﹣S n﹣12＝2，可得{S n2}是首项、公差均为2的等差数列，即有S n2＝2n，由题意可得S n＝，n∈N*，则S32＝＝8，故答案为：8．12．设α，θ为锐角，tanθ＝a tanα（a＞1），若θ﹣α的最大值为，则实数a的值为．【分析】由题意利用两角和差的的三角公式解：tan（θ﹣α）＝＝＝＝，因为α，为锐角，所以（当且仅当时，取等号），因为a＞1，所以≤，所以tan（θ﹣α）最大值为，又因为θ﹣α的最大值为，所以tan＝，即2＝a﹣1，解得a＝3+2，故答案为：3+2．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，则实数a的取值范围为．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（a，2），半径r＝2，求出圆心C到AB的距离为1，设P（x，﹣x），由向量等式可得AB的中点M的坐标，再由|CM|＝1列关于x的方程，由直线l上存在点P，使得+＝，利用判别式大于等于0求得实数a的取值范围．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（，），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（a，2），半径r＝2，圆心C（a，2）到AB的距离|CM|＝，直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，设P（x，﹣x），则（x1﹣x，y1+x）+（x2﹣x，y2+x）＝（a，2），∴，得，即M（x+，﹣x+1），∴|CM|＝，整理，得2x2+（2﹣a）x+，∵直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，∴△＝≥0，解得．故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x，若函数g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣+2a|x﹣2|有6个零点，则实数a的取值范围为．【分析】可以先对e x|x﹣2|整体换元，转化为一元二次方程首先有两个正根t1，t2，然后令，转化为y＝ti与y＝e x|x﹣2|各有三个交点的问题．解：对于g（x）＝0，令t＝|x﹣2|e x，∴t2+2at﹣a＝0①有两个正根t1，t2．做出t＝|x﹣2|e x的图象如右图：（∵，∴，∴x≥2时，t′＞0；1＜x＜2时，t′＜0；x＜1时，t′＞0．∴该函数在（﹣∞，1）递增，在（1，2）上递减，在（2，+∞）递增，且t＞0恒成立．且当y＝t i与t＝|x﹣2|e x各有三个交点时，满足题意，据图可知方程①在（0，e）上有两个不等实根时即可，令h（t）＝t2+2at﹣a，∴，解得．故答案为：．二、解答题：共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A﹣B）+sin C＝1．（1）求sin A cos B的值；（2）若a＝2b，求sin A的值．【分析】（1）利用三角形内角和定理与两角和与差的正弦公式，即可求出sin A cos B的值；（2）利用正弦定理把a＝2b化为sin A＝2sin B，再利用（1）的结论求出B的值，从而求出sin A的值．解：（1）△ABC中，A+B+C＝π，∴sin（A﹣B）+sin C＝sin（A﹣B）+sin（A+B）＝（sin A cos B﹣cos A sin B）+（sin A cos B+cos A sin B）＝2sin A cos B＝1，∴sin A cos B＝；（2）△ABC中，a＝2b，∴sin A＝2sin B，∴sin A cos B＝2sin B cos B＝sin2B＝，∴2B＝或2B＝，∴B＝或B＝；∴sin B＝或sin B＝，∴sin A＝2sin B＝或sin A＝2sin B＝（不合题意，舍去）．综上，sin A＝．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．【分析】（1）取AB的中点P，连结PM、PB1推导出四边形PMNB1是平行四边形，从而MN∥PB1，由此能证明MN∥平面ABB1A1．（2）推导出BB1⊥面A1B1C1，从而面ABB1A1⊥面A1B1C1推导出B1C1⊥B1A1，从而B1C1⊥面ABB1A1，进而B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，推导出AB1⊥A1B，从而A1B ⊥面AB1N，由此能证明A1B⊥AN．【解答】证明：（1）取AB的中点P，连结PM、PB1，因为M、P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC且PM＝BC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N．…所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，…而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．…（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面A1B1C1，又因为BB1⊂面ABB1A1，所以面ABB1A1⊥面A1B1C1，…又因为∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1，面ABB1A1∩面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥面ABB1A1，…又因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂面AB1N，所以A1B⊥面AB1N，…而AN⊂面AB1N，所以A1B⊥AN．…17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F （1，0），并且点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点P（m，0），Q为直线x＝2上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为k1，k2，k0．若k1+k2＝2k0，求m的值．【分析】（1）根据焦点坐标可得c＝1，利用椭圆定义可得，结合a2＝b2+c2，解出b即可；（2）设直线l：y＝k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），与椭圆方程联立，结合Q不在直线l上，可整理得到2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，利用根与系数关系，带入即可计算出m的值．解：（1）因为椭圆C的两个焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点在此椭圆上．所以，所以，所以椭圆方程为；（2）由已知直线l：y＝k（x﹣m），设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），由得（1+2k2）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0．所以．因为且k1+k2＝2k0，所以，整理得，因为点Q（2，y0）不在直线l上，所以2k﹣km﹣y0≠0，所以，整理得2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，将，代入上式解得m＝1，所以m＝1．18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【分析】（1）①根据正弦定理和解直角三角形即可求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②利用三角形相似，即可得到x﹣20x＝20y，整理化简即可，（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），利用导数求出函数的最小值即可．解：（1）①在Rt△CDO中，∠ACO＝θ，所以CO＝，所以CG＝+20，在Rt△AGC中，AC＝＝＝，所以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），②设AC＝y，则在Rt△AGC中，CG＝，由Rt△AGC和Rt△CDO相似可得＝，即＝，即x﹣20x＝20y，即x＝20（x+y）即x＝20，即x2（y﹣x）＝400（x+y），化简可得AC＝y＝，L（x）＝．其中x∈（20，+∞）；（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），在L′（θ）＝[cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]，＝（1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]，＝（1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），令L′（θ）＝0，解得sinθ＝，令sinθ0＝，当θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数L（θ）单调递减，当θ（θ0，）时，L′（θ）＞0，函数L（θ）单调递增，∴当sinθ＝时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少19．（16分）设f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a为与自变量x无关的正实数）．（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．【分析】（1）由f（0）＝g（0）＝0，及f'（0）＝g'（0）＝a，即可得证；（2）先假设存在，则k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立，构造函数，接下来只需要利用导数判断函数h（x）在上是否存在最小值即可．解：（1）证明：因为f（0）＝ae0﹣a＝0，g（0）＝0，所以f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2的图象存在一个公共的定点O（0，0）．因为f'（x）＝ae x，g'（x）＝a﹣2x，所以f'（0）＝a，g'（0）＝a，所以在定点O（0，0）处有一条公切线，为直线y＝ax．（2）假设存在实数k，使得对任意的恒成立，即存在实数k使得k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立．令，则，令，则，因为x＞0，e x＞0，且y＝x，y＝e x在上单调递增，所以y＝xe x在上单调递增，因为，所以存在唯一实数，使得，即m'（x0）＝0，且，所以h'（x）在x0处取得最小值＝，所以h（x）＝e x﹣xlnx﹣x在上单调递增，所以，因为k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立，所以，所以存在使得对任意的恒成立．20．（16分）定义：对于一个项数为m（m≥2，m∈N*）的数列{a n}，若存在k∈N*且k＜m，使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为3＝2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，﹣4，6，﹣8是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{a n}共有r项（r≥3，且r为奇数），a1＝1，{a n}的前n项和S n满足nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{a n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{b n}是公比为q项数为m（m∈N*，m≥3）的等比数列{b n}，其中q≥2．判断{b n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．【分析】（1）四项数列举例即可．（2）由nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）构造数列{}，进而求出S n＝n2，再由“等和数列”的定义检验即可．（3）由等比数列与等和数列的公式和定义找出成立，即2q k ﹣1＝q m再由q，k，m的范围和大小关系判断即可．解：（1）∵2+（﹣4）＝6+（﹣8），∴数列2，﹣4，6，﹣8是“等和数列”．（2）由，两边除以n（n+1），得，即，所以，数列为等差数列且，，所以，，假设存在k使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等，即S k＝S r﹣S k，所以2S k＝S r∴2k2＝r2*在*中，因为r为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边2k2一定是偶数，所以*不可能有解，从而假设错误，{a n}不是“等和数列”．（3）设B n为{b n}的前n项和，假设{b n}是“等和数列”，则存在k∈N*且k＜m，使得B k＝B m﹣B k成立，即2B k＝B m于是成立，即2q k﹣1＝q m因为q≥2，所以2q k﹣1＜2q k≤q k+1，又m＞k，即m≥k+1，所以q k+1≤q m，所以2q k﹣1＜q m，与2q k﹣1＝q m产生矛盾．所以假设不成立，即{b n}不是“等和数列”．三、【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2＝0，求矩阵A．【分析】设直线上任意一点，算出其在变换下对应的点，代入直线方程，与直线对应，求出参数，可得．解：设P（x，y）是直线x+y﹣2＝0上任意一点，其在矩阵A＝对应的变换下得到，对应的点为（x+ay，bx+2y）仍在直线上，所以得x+ay+bx+2y﹣2＝0，与x+y﹣2＝0比较得，解得，故A＝．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．求直线l与曲线C交点P的直角坐标．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标．解：直线l的极坐标方程为（ρ∈R），转换为直角坐标方程为．曲线C的参数方程为（α为参数），整理得，转换为直角坐标方程为x2＝2y．所以，整理得，解得x＝0或2，①当x＝0时，y＝0，②当x＝2时，y＝6，所以直线与曲线的交点的坐标为P（0，0）和P（2，6）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数，且，求证：x+4y+9z≥10．【分析】由x，y，z均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；【解答】证明：因为x，y，z均为正数，所以x+1，y+1，z+1均为正数，由柯西不等式得，当且仅当（x+1）2＝4（y+1）2＝9（z+1）2时，等式成立．因为，所以，所以x+4y+9z≥10．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．【分析】以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1）分别求出，的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）分别求出平面AEC与平面BEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣CE﹣B的余弦值．解：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点，∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），E（0，1，），（1），，∵cos＜＞＝＝，∴异面直线AE与BC所成角的余弦值为；（2），．设平面AEC与平面BEC的一个法向量分别为，．由，取z1＝﹣2，可得；由，取z2＝﹣2，可得．∴cos＜＞＝＝．由图可知，二面角A﹣CE﹣B为钝二面角，∴二面角A﹣CE﹣B的余弦值为﹣．25．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）＝n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）＝3；（2）解：＝；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k 个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n＝na n﹣1，且a1＝1．于是a2a3a4…a n﹣1a n＝2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n＝2×3×4×…×n＝n!∴．。