初等数论教案9

第六节 孙子定理及其应用举例教学目的：1、熟练掌握孙子定理内容及证明； 2、会用孙子定理求解一次同余方程式组. 教学重点：用孙子定理求解一次同余方程式组. 教学课时：4课时 教学过程在我国古代《孙子算经》中有：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问：物有几何？对于“物不知其数”问题，程大位在《直指算法统宗》(《算法统宗》1593年)一书中给出了如下的求解歌诀： 三人同行七十稀， 五树梅花卄一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知.如果我们设所求的物为x 个，则“物不知其数”等价于求解下面的同余式组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x .将上面的同余式组推广，我们可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡)(mod )(mod )(mod 2211k k m a x m a x m a x(1)本节主要讨论同余方程组(1)的解问题. 定理1(孙子定理) 设m 1, m 2, , m k 是正整数，(m i , m j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (2)记m = m 1m 2 m k ，M i =im m ，1 ≤ i ≤ k ，则存在整数M i '（1 ≤ i ≤ k ），使得M i M i ' ≡ 1 (mod m i )， (3)M i M i ' ≡ 0 (mod m j )，1 ≤ j ≤ k ，i ≠ j ， (4)并且i ki i i M M a x '≡∑=10(mod m ) (5)是同余方程组(1)对模m 的唯一解，即若有任意的x 使方程组(1)成立，则x ≡ x 0 (mod m ). (6)继《孙子算经》之后，南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题. 德国数学家高斯﹝K.F. Gauss.公元1777-1855年﹞于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理. 公元1852年，英国基督教士伟烈亚士﹝Alexander Wylie 公元1815-1887年﹞将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲，公元1874年马蒂生﹝L.Mathiesen﹞指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理也称为“中国的剩余定理”﹝Chinese remainder theorem﹞.证明由式(2)，有(M i, m i) = 1，因此利用辗转相除法可以求出M i'与y i ，使得M i M i'+y i m i = 1，即M i'满足式(3)和式(4). 由式(3)与式(4)，对于1 ≤i≤k，有x0≡a i M i M i'≡a i (mod m i)，1 ≤i≤k.若x也使式(1)成立，则x≡x0(mod m i)，1 ≤i≤k，因此x≡x0(mod [m1, m2, , m k]).但是，由式(2)可知[m1, m2, , m k] = m，这就证明了式(6).证毕.定理2在定理1的条件下，若式(1)中的a1, a2, , a k分别通过模m1, m2, , m k的完全剩余系，则式(5)中的x0通过模m1m2 m k的完全剩余系.证明略.定理3同余方程组(1)有解的充要条件是a i≡a j (mod (m i, m j))，1 ≤i, j ≤n. (7)证明必要性是显然的.下面证明充分性.当n = 2时，由前一节例8可知充分性成立.假设充分性当n = k 时成立.假设式(7)当n = k + 1时成立.我们来考虑同余方程组x ≡ a i (mod m i )，1 ≤ i ≤ k + 1.由前一节例8，存在b k ，使得x ≡ b k (mod [m k ，m k +1])满足同余方程组x ≡ a k (mod m k )，x ≡ a k + 1 (mod m k + 1).在同余方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡+--]),[(mod )(mod )(mod 1k 1111k k k k m m b x m a x m a x中，由式(7)有a i ≡ a j (mod (m i , m j ))，1 ≤ i , j ≤ k - 1，因此，若能证明a i ≡b k (mod (m i , [m k , m k +1]))，1 ≤ i ≤ k - 1. (8)则由归纳假设就可以证明充分性. 由b k 的定义，有a k ≡b k (mod m k )，a k + 1 ≡ b k (mod m k + 1) (9)而且，由于假设式(7)当n = k + 1时成立，所以，对于1 ≤ i ≤ k - 1有a i ≡ a k (mod (m i , m k ))，a i ≡ a k + 1 (mod (m i , m k + 1))，由此及式(9)得到，对于1 ≤ i ≤ k - 1，有a i ≡b k (mod (m i , m k ))，a i ≡ b k (mod (m i , m k + 1)).因此a i ≡b k (mod [(m i , m k ), (m i , m k + 1)]).由上式及第一章的例题，就得到式(8). 证毕.定理4 设m = m 1m 2 m k ，其中m 1, m 2, , m k 是两两互素的正整数，f (x )是整系数多项式，以T 与T i （1 ≤ i ≤ k ）分别表示同余方程f (x ) ≡ 0 (mod m ) (10)与f (x ) ≡ 0 (mod m i ) (11)的解的个数，则T = T 1T 2…T k .证明 因为同余方程(10)等价于同余方程组f (x ) ≡ 0 (mod m i )，1 ≤ i ≤ k . (12)对于每i （1 ≤ i ≤ k ），设同余方程(11)的全部解是)()(2)(1,,,i Ti i ix x x x ≡(mod m i )， (13)则同余方程组(12)等价于下面的T 1T 2…T k 个方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≡≡≡)(mod )(mod )(mod )(2)2(1)1(21k k j j j m x x m x x m x xk， (14)其中)(i j ix 通过式(13)中的数值，即通过同余方程(11)的全部解.由孙子定理，对于选定的每一组{)()2()1(,,,21k j j j kx x x }，同余方程组(14)对模m 有唯一解，而且，由定理2，当每个)(i j ix 通过(13)式中的值时，所得到的T 1T 2…T k 个同余方程组(14)的解对于模m 都是两两不同余的.证毕.由定理4及算术基本定理，我们知道，解一般模的同余方程可以转化为解模为素数幂的同余方程.例1 求整数n ，它被3，5，7除的余数分别是1，2，3. 解 n 是同余方程组n ≡ 1 (mod 3)，n ≡ 2 (mod 5)，n ≡ 3 (mod 7)的解.在孙子定理中，取m 1 = 3，m 2 = 5，m 3 = 7，m = 3⋅5⋅7 = 105，M 1 = 35，M 2 = 21，M 3 = 15， M 1' = -1，M 2' = 1，M 3' = 1，则n ≡ 1⋅35⋅(-1) + 2⋅21⋅1 + 3⋅15⋅1 ≡ 52 (mod 105)，因此所求的整数n = 52 + 105t ，t ∈Z . 例2 解同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-≡≡≡)11(mod 2)mod7(1x)6(mod 2)5(mod 1x x x . 练习：解同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)13(mod 2)mod15(1x)7(mod 2)4(mod 1x x x . 例3 解同余式组⎪⎩⎪⎨⎧-≡≡≡)mod25(1x )8(mod 2)15(mod 1x x .练习：判别同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)13(mod 2)mod15(1x)6(mod 1)3(mod 1x x x 是否有解？若有解，求出其解.例4 解同余式)mod1155(55619x ≡.例5 解同余式组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)mod25(134x )8(mod 53)15(mod 32x x .例6 解同余方程5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 60). (15)解 因为60 = 3⋅4⋅5，所以，同余方程(15)等价于同余方程组5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 3) (16) 5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 4) (17) 5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 5). (18)分别解同余方程(16)，(17)，(18)得到解x 1(1) ≡ 1，x 2(1) ≡ -1 (mod 3)，x1(2)≡ 1，x2(2)≡-1 (mod 4)，x1(3)≡ 1 (mod 5)，这样，同余方程(15)的解x可由下面的方程组决定：x≡a1 (mod 3)，x≡a2 (mod 4)，x≡a3 (mod 5)，其中a1 = 1或-1，a2 = 1或-1，a3 = 1.利用孙子定理，取m1 = 3，m2 = 4，m3 = 5，m = 60，M1 = 20，M2 = 15，M3 = 12，M1' = 2，M2' =-1，M3' = 3，则x≡ 40a1- 15a2+ 36a3 (mod 60).将a1，a2，a3所有可能的取值代入上式，得到方程(15)的全部解是x1≡ 40⋅1- 15⋅1 + 36⋅1 ≡ 1 (mod 60)，x2≡ 40⋅(-1)- 15⋅1 + 36⋅1 ≡-19 (mod 60)，x3≡ 40⋅1- 15⋅(-1) + 36⋅1 ≡ 31 (mod 60)，x4≡ 40⋅(-1)- 15⋅(-1) + 36⋅1 ≡ 11 (mod 60).7、小结8、作业P62：ex22。