“一次函数”中的数学思想方法(一)
数学 专题：解析一次函数中的分类讨论问题
一次函数中的分类讨论问题分类讨论是是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，同时也体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中考试题中占有十分重要的位置。
在一次函数学习过程中，除了首先要运用数形结合的思想方法去深刻理解和掌握一次函数的有关概念外，还要使学生学会用分类讨论的思想去研究一次函数的解题方法和技巧，做到不重复解和不漏解，现举例加以说明。
一、遇到有坐标轴名称不明确的需要讨论例1：已知正比例函数y=k1x和一次函数y=k2x+b的图象都经过点P（－2，1），且一次函数y=k2x+b 的图象与y轴交点坐标是A（0，3），求直线y=k1x和直线y=k2x+b与坐标轴围成的三角形的面积。
分析：由已知条件可以求出正比例函数和一次函数的解析式，但求两条直线与坐标轴围成的三角形的面积，并没有指明是与x轴围成的三角形的面积，还是与y轴围成的三角形的面积。
所以需要进行分类讨论。
二、遇到有点的位置不明确时需要讨论例2：在平面直角坐标中，已知点A（－3，0），B（2，6），在x轴上有一点C，满足SΔABC=12，试求点C的坐标。
三、遇到有两个量大小关系不明确时需要讨论例3：已知一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点；直线l经过原点，与直线AB交于C点；直线l把ΔAOB的面积分成2：1两部分，试求直线l的解析式。
四、遇到有几个相等线段位置不确定时需要讨论例4：已知一次函数y=43x+4的图象分别交x、y轴于A、B两点，C为x轴上一点，且ΔABC为等腰三角形，求C点的坐标。
分析：要在x轴上求一点C，使ΔABC为等腰三角形。
由于没有指明哪一个角为顶角（或哪一条边为底边），所以要分⑴点A为顶角；⑵点B为顶角；⑶点C为顶角三种情况进行分类讨论。
五、遇到有一次函数y=kx+b中k或b的符号不确定时需要讨论例5：一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且SΔAOb=4，OA：OB=1：2，试求一次函数的解析式。
中考数学复习专题讲座五数学思想方法(含详细参考答案)
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。例1 10．（2012•德州）已知
A．3 B．，则a+b等于（）C．2 D．1
考点：解二元一次方程组。810360
专题：计算题。
分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．
解答：解：，
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故选A．
点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．
则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．
一次函数解题思路十大技巧
一次函数解题思路十大技巧函数是数学中最重要的概念之一，其思想在各个范畴都有广泛的应用。
一次函数研究的主要内容包括一次函数的性质、函数图形的变形、函数表与图像的解释以及一些题型的解题方法。
在解决一次函数问题时，应当从综合的角度出发，多方位考虑，而不能单一考虑。
这里我将简单介绍一次函数解题的十大技巧：1、定义域和值域：在解题前，要牢记一次函数的定义域和值域，否则可能会错误地求得函数的值，得出会产生失误的结果。
2、函数图像：通常，一次函数图形可以让我们了解函数的走势，而且可以更直观而理解概念，因此解题时应该充分利用函数图形，以确定问题的答案。
3、把握函数的性质：一次函数有从左到右性和凹凸性，应根据这些特性来把握函数性质。
4、求函数值：在一次函数解题中，我们可以根据函数表或函数法求函数值，求函数值时要特别注意函数的定义域和值域的范围。
5、求函数的导数：求函数的导数可以帮助我们更完善地理解函数，也可以用于定义函数的性质，求函数的导数时可以使用多种方法，如斜率、泰勒展开式和极限等。
6、求函数的极限：求函数的极限可以帮助我们获得函数的性质，如函数的单调性和最值的确定等，求函数的极限式要善于利用联立方程和定理等计算技巧。
7、解方程：在许多一次函数解题中，都有相关的方程，因此解决方程的能力是解决一次函数解题的关键所在，一般来说，可以使用对应的求解公式或解析解或等价变换等。
8、根据题目确定函数：若一次函数解题中函数未给出要求，则可以根据题目内容进行确定，它可以根据图形特征、斜率的大小等来确定函数的形式。
9、多种方法求解答案：一次函数中的许多题型都比较灵活，可以采取多种方法求解答案，如：构图法、函数法、物理关系法等。
10、综合分析：解决一次函数解题问题时，不能只依赖一种方法，而要从总体上综合考虑，结合函数导数、极限、导图、图表等多种方法，得出有效的答案。
总之，一次函数解题要求考虑定义域，值域，坐标方程，凹凸性等，而解决的关键即是要掌握函数的性质，妥善运用这十大技巧，在解决一次函数解题问题时一定会得出最满意的答案。
一次函数中常用的数学思想
Ｂ 场馆
５０ ｏ
甲 地
６０ ０
乙 地
关键 是 找 出所 有 的 方 案．
Ａ 场馆 曰 场馆
台 — — 台
— — 台 — — 台 解 决 一 次 函数
问题 中 ， 们还会 用 到其他 的数学思 想方 法 ， 转化思 想 、 我 如 方
（） ２ 依题 意 ：
２ Ｏ ＋１ ３ ０≤２ ２ ０． Ｏ ９０ ００
一
般 是 联 立 关 系式 ． 方程 组 ． 解
三 、 学建 模思 想 数
例３ （ｏ １ ２ ｌ 年广东深圳 ） 甲乙两地工厂分别生产 １台 、５ ７ ｌ 台 同一种 型号 的检测设 备 ，全部 运往Ａ、 两个 大运 场馆 ． Ｂ 馆需要
式 中还 应 注 意 自变量 的取 值 范 围． 外 求 两 函数 图像 的 交点 时 ． 另
一
馆 馆
台 （７ ） １ 台
（８ 台 １一 ） （一 ） ３ 台
ｙ ８０ ＋ ０ （ ７ ｘ＋ ０ （ ８ｘ ＋ ０ （－ ）２ ０＋ ９０ ． ＝ ０ｘ ５０ １－ ）７ ０ １一 ）６ ０ｘ ３ ＝ ０ ｘ １３ ０
是 １一 １ ）（一 ） 函数关系式只需对 照费用计 算即可 ； ５ （８ － ｘ ３ 台， 第
２ ， 问 注意列不等式组来求 的取值范围 ， 容易漏掉下面的三个 不
图３
等式． 结果还要列明方 案 ； 问 ， 第３ 综合运用一次函数的增减性求
最 值 比较 简 便 ． 解 ：１如 表 （）
２ ０ ３ １ ３＝ ９０ （ ） ０ × ＋ ９ ０ １９ ０ 元 ． 点评 ： 于 最佳 方 案 设 计 问 题 ． 问题 中所能 提 供 的 方 案 往 对 其 往 不唯 一 ． 们 可 以通 过 结 合 一 次 函数 的 增 减 性 来加 以确 定 ， 我 其
一次函数中蕴含的数学思想方法
一次函数中蕴含的数学思想方法所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，他在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学教学中提出问题、解决问题过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。
掌握数学思想方法，就是掌握数学的精髓，因此要使学生领悟、掌握和熟练地使用数学思想方法，不是机械的传授。
下面我就在一次函数教学中用到哪些数学思想方法谈谈个人的一些做法：一、数形结合思想方法“数无形，太少直观，形无数，容易精微”。
“数形融合”就是数学中最重要的，也就是最基本的思想方法之一，就是化解许多数学问题的有效率思想。
利用“数形融合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简，并使抽象化显得直观。
例如：一次函数y=-x+5图象不经过哪一象限？数学分析一：根据图象性质，k＜0,b＞0过一二四，即为不过三象限。
数学分析二：若忘了一次函数图象性质，可以作出此函数的图象，问题就迎刃而解了。
这就是利用了数形融合思想方法。
三、分类思想方法当一个问题因为某种量的情况相同而有可能引发问题的结果不同时，须要对这个量的各种情况展开分类探讨，比如一次函数y=kx+b的图象经过哪几个象限，这时就要分后四类探讨：(1)当k＞0,b＞0时，图象经过一二三象限；(2)当k＞0,b＜0时，图象经过一三四象限；(3)当k＜0,b＞0时，图象经过一二四象限；(4)当k＜0,b＜0时，图象经过二三四象限。
四、整体思想方法整体思想从问题的整体性质启程，注重对问题的整体结构的分析和改建，辨认出问题的整体结构特征，擅于用“内置”的眼光，把某些式子或图形看作一个整体，把握住它们之间的关联，展开存有目的.的、有意识的整体处置。
整体思想方法在代数式的化简与表达式、解方程（组）、几何解证等方面都存有广为的应用领域，整体代入、共振砌乘坐处置、整体运算、整体设元、整体处置等都就是整体思想方法在求解数学问题中的具体内容运用。
一次函数详细讲义
1变量和函数一、变量1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量二、函数1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
注意：①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。
②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。
③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取值可以相同．例如:函数2(3)y x=-中，2x=时，1y=；4x=时，1y=．2.函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数4确定自变量的取值范围（1）分母不为0（2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。
注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
部编数学八年级下册专题25一次函数中数学思想方法(解析版)含答案
专题25 一次函数中数学思想方法（解析版）类型一数形结合思想1．（2022春•高邑县期中）如图是变量y与x之间的函数图象，则函数y的取值范围是（ ）A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．0≤y≤3D．1≤y≤3思路引领：观察函数图象纵坐标的变化范围，然后得出答案即可．解：根据函数图象给出的数据可得：自变量y的取值范围是0≤y≤3；故选：C．总结提升：本题考查了函数自变量的取值范围，熟记函数概念并准确识图是解题的关键．2．（2022•博望区校级一模）函数y=ax(x b)2的图象如图所示：其中a、b为常数．由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0思路引领：由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b的正负，由x＞0时的函数图象判断a的正负．解：∵y=ax(x b)2，∴x的取值范围是x≠b，由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，由图可知，当x ＞0时的函数图象位于x 轴的下方，∴当x ＞0时，y ＜0，又∵当x ＞0时，（x ﹣b ）2＞0，∴a ＜0，故选：B ．总结提升：本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．3．（2022•天津模拟）如图，直线y =―13x +b 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y ＝x 交于点E ，点E 的横坐标为3．（1）求点A 的坐标；（2）在x 轴上有一点P （m ，0），过点P 作x 轴的垂线，与直线y =―13x +b 交于点C ，与直线y ＝x 交于点D ．若CD ＝4，求m 的值．思路引领：（1）由点E 的坐标确定b 的值，求出直线AB 的解析式即可解决问题；（2）根据CD ＝4列出方程，解方程即可解决问题．解：（1）∵E 为y ＝x 与y =―13x +b 的交点，且点E 的横坐标为3，∴E （3，3），∴3=―13×3+b ，∴b ＝4，∴直线AB 的解析式为y =―13x +4，当y ＝0时，x ＝12，∴A （12，0）．（2）由题意C （m ，―13m +4），D （m ，m ），∴CD =|m ―(―13m +4)|=|43m ―4|，∴|43m ―4|=4，解得m ＝6或m ＝0．∴m ＝6或m ＝0．总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数的解析式，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题．4．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，在长方形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝10cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 的路线运动，到D 停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 点停止．若P 、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm 、2cm ，a 秒时P 、Q 两点同时改变速度，分别变为每秒2cm 、54cm （P 、Q 两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD 的面积s （cm 2）和运动时间x （秒）的图象．（1）求出a 值；（2）设点P 已行的路程为y 1（cm ），点Q 还剩的路程为y 2（cm ），请分别求出改变速度后，y 1、y 2和运动时间x （秒）的关系式；（3）求P 、Q 两点都在BC 边上，x 为何值时P 、Q 两点相距3cm ？思路引领：（1）根据图象变化确定a 秒时，P 点位置，利用面积求a ；（2）P 、Q 两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm 分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．解：（1）由图象可知，当点P 在BC 上运动时，△APD 的面积保持不变，则a 秒时，点P 在点AB 上，则12×10AP =30∴AP ＝6则a ＝6（2）由（1）6秒后点P 变速，则点P 已行的路程为y 1＝6+2（x ﹣6）＝2x ﹣6∵Q 点路程总长为34cm ，第6秒时已经走12cm ，点Q 还剩的路程为y 2＝34﹣12―54(x ―6)=592―54x （3）当P 、Q 两点相遇前相距3cm 时，592―54x ―（2x ﹣6）＝3解得x ＝10当P 、Q 两点相遇后相距3cm 时（2x ﹣6）﹣（592―54x ）＝3解得x =15413，∴当x ＝10或15413时，P 、Q 两点相距3cm 总结提升：本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x 的连续性才能直接列出函数关系式．类型二 方程思想5．（2021•海淀区校级模拟）定义：关于x 的一次函数y ＝ax +b 与y ＝bx +a （ab ≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y ＝3x +4与y ＝4x +3就是一对交换函数．（1）一次函数y ＝2x ﹣b 的交换函数是 ；（2）当b ≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是 ；（3）若（2）中两个函数图象与y 轴围成的三角形的面积为4，求b 的值．思路引领：（1）由题意可以写出一次函数y ＝2x ﹣b 的交换函数；（2）根据题意和（1）中的结果，可以求得当b ≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标；（3）根据题意和（1）、（2）的结果，可以计算出b 的值．解：（1）由题意可得，一次函数y ＝2x ﹣b 的交换函数是y ﹣bx +2，故答案为：y ＝﹣bx +2；（2）由题意可得，当2x ﹣b ＝﹣bx +2时，解得x ＝1，即当b ≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x ＝1，故答案为：x ＝1；（3）函数y ＝2x ﹣b 与y 轴的交点是（0，﹣b ），函数y ＝﹣bx +2与y 轴的交点为（0，2），由（2）知，当b ≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x ＝1，∵（1）中两个函数图象与y 轴围成的三角形的面积为4，∴|b 2|×12=4，解得b ＝6或b ＝﹣10，即b 的值是6或﹣10．总结提升：本题考查一次函数的性质、三角形的面积、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和新定义解答．6．（2022春•河东区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．现将线段AB 向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB 的对应线段CD ，连接AC ，BD ．（1）点D 的坐标为 ；（2）在y 轴上存在一点P ，连接PA ，PB ，且S △PAB ＝2，求出满足条件的所有点P 的坐标 ．思路引领：（1）由平移的性质可得D （4，2）；（2）设出P 的坐标，用S △PAB ＝S 四边形ABDC 建立方程，解方程即可；解：（1）∵点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB 向上平移2个单位，再向右平移1个单位，∴D 的坐标为（3+1，0+2），即D 的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）；（2）设点P （0，a ），则AB ＝3﹣（﹣1）＝4，PO ＝|a |，根据题意，得：12AB•PO＝2，即12×4•|a|＝2，解得a＝±1，∴P（0，1）或P（0，﹣1）．故答案为：（0，1）或（0，﹣1）．总结提升：主要考查了平移的性质，计算三角形面积的方法，解本题的关键用三角形的面积公式建立方程计算．7．（2019春•上杭县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）现将线段AB平移得到线段CD，且点A的对应点C的坐标为（0，2），连接AD．（1）直接写出点D的坐标为 ，△ABD的面积为 ；（2）平移线段AD得线段EF，点A的对应点E的坐标为E（a，b），如果x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，且点F在第一象限的角平分线上，求a，b的值．（3）点P（t，0）是x轴上位于点A右侧的动点连接PC，将线段PC向右平移得线段QD，其中点P的对应点为Q，点C的对应点为D，H是DQ的中点，如果△BDH和△PBD面积相等，求t的值．思路引领：（1）由已知可得AB＝CD＝4，OC＝2，即可求点D与三角形ABD的面积；（2）设AD向左平移m个单位，向上平移n个单位，则D点平移后F坐标（4﹣m，2+n），A平移后E 坐标（﹣1﹣m，n），根据已知条件可得4﹣m＝2+n，2（﹣1﹣m）+n＝﹣3，即可求a与b；（3）由已知条件可得Q（t+4，0），H（4+t2，1），根据△BDH和△PBD面积相等，可得BD∥PH，利用平行线的特点即可求解．解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），C的坐标为（0，2），∴AB＝CD＝4，OC＝2，∴D（4，2），∴△ABD的面积=12×4×2=4；故答案为（4，2），4；（2）设AD向左平移m个单位，向上平移n个单位，则D点平移后F坐标（4﹣m，2+n），A平移后E坐标（﹣1﹣m，n），∵点F在第一象限的角平分线上，∴4﹣m＝2+n，∴n＝2﹣m，∵E（a，b），x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，∴2（﹣1﹣m）+n＝﹣3，∴m＝1，∴n＝1，∴a＝﹣2，b＝1；（3）∵PC向右平移得线段QD，P（t，0）∴Q（t+4，0），∵H是DQ的中点，∴H（4+t2，1），∵△BDH和△PBD面积相等，∴BD∥PH，∴2=14t2，∴t＝7．S△PBD =12×PB×CO=12×（3﹣t）×2＝3﹣t，S△BDH =12×S△BDQ=12×12×BQ×CO=12×12×（t+4﹣3）×2=12×（t+1），∴3﹣t=12×（t+1），∴t=5 3．综上所述，t＝7或t=5 3．总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，图形的平移；根据平行四边形的特点，结合一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．类型三分类讨论思想8．（2021秋•和平区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤6，则kb的值为（ ）A．8B．﹣24C．8或24D．﹣8或﹣24思路引领：根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．解：∵一次函数y＝kx+b，当0≤x＜2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6，∴①k＞0，当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，∴当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝6，代入一次函数解析式y＝kx+b，得：b=―22k+b=6，解得k=4b=―2，∴kb＝4×（﹣2）＝﹣8．②当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，∴当x＝0时，y＝6，当x＝2时，y＝﹣2，代入一次函数解析式y＝kx+b得：b=62k+b=―2，解得k=―4 b=6，∴kb＝﹣4×6＝﹣24．所以kb的值为﹣8或﹣24．故选：D．总结提升：此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．9．（2022秋•裕华区校级月考）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，（如图：而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．x﹣10y﹣21（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（2）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．思路引领：（1）根据待定系数法求得即可；（2）由题意可知直线l′为y＝x+3，则与y轴交点为（0，3），两直线解析式联立成方程组解方程组求得交点坐标，然后利用勾股定理即可求得；（3）求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，∴―k+b=―2b=1，解得k=3b=1，∴直线l的解析式为y＝3x+1；（2）由题意可知直线l′为y＝x+3，画出直线l′如图，由y＝x+3可知B（0，3），由y=3x+1y=x+3解得x=1y=4，∴两直线的交点A为（1，4），∴直线l'被直线l和y轴所截线段AB=（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x=a1 3；把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；分三种情况：①当第三点在y轴上时，a﹣3+a13=0，解得a=5 2；②当第三点在直线l上时，2×a13=a﹣3，解得a＝7；③当第三点在直线l'上时，2×（a﹣3）=a1 3，解得a=17 5；∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为52或7或175．总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键．10．（2020秋•南海区月考）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用，如图2：①已知直线y=34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）CB＝CA，∠D＝∠E＝90°，再证明∠BCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD即可；（2）①过C作CD⊥x轴于D，由△CDB≌△BOA求得C坐标，从而可求AC解析式；②分三种情况，分别求出P的坐标即可．解：（1）证明：∵AD⊥ED于D，BE⊥ED于E，∴∠D＝∠E＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠D=∠E∠BCE=∠CADCB=CA，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）①过C作CD⊥x轴于D，如图：在y=34x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，∴A（0，3），B（﹣4，0），即OA＝3，OB＝4，∵线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，∴BC ＝BA ，∠ABC ＝90°，∴∠BCD ＝90°﹣∠CBD ＝∠ABO ，而∠CDB ＝∠BOA ＝90°，∴△CDB ≌△BOA （AAS ），∴CD ＝OB ＝4，BD ＝OA ＝3，∴OD ＝OB +BD ＝7，∴C （﹣7，4），设直线AC 解析式为y ＝kx +b ，则4=―7k +b 3=b ，解得k =―17b =3，∴直线AC 的解析式为y =―17x +3；②存在x 轴上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形，理由如下：∵A （0，3），B （﹣4，0），∴AB ＝5，△ABP 为等腰三角形，分三种情况：（一）若AB ＝AP ，则B 、P 关于y 轴对称，即P （4，0），（二）若AB ＝BP ，则BP ＝5，P 横坐标为﹣4+5＝1或﹣4﹣5＝﹣9，∴P （1，0）或（﹣9，0），（三）若AP ＝BP ，则P 在线段AB 垂直平分线上，∵A （0，3），B （﹣4，0），∴线段AB 中点坐标为（﹣2，32），而直线AB 为y =34x +3，∴线段AB 垂直平分线解析式为：y =―43x ―76，在y =―43x ―76中令y ＝0得x =―78，∴P （―78，0），综上所述，△ABP 为等腰三角形，P 坐标为：（4，0）或P （1，0）或（﹣9，0）或P （―78，0）．总结提升：本题考查一次函数、等腰三角形及全等三角形等综合知识，解题的关键是利用全等三角形性质求出C坐标，难点是分类讨论．类型四函数与建模思想11．（2022•方城县三模）某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y（元）．①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）思路引领：（1）设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，可得：3m+2n=1100 5m+3n=1750，即可解得A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元；（2）①由题意得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24[260﹣（200﹣x）]＝4x+10040，由x≥0200―x≥0240―x≥0260―(200―x)≥0，得0≤x≤200且x为整数；②w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，根据一次函数性质得调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是125040元．解：（1）设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，根据题意得：3m+2n=1100 5m+3n=1750，解得：m=200 n=250，答：A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元；（2）①由题意得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24[260﹣（200﹣x）]＝4x+10040，∴y与x的函数关系式为：y＝4x+10040，∵x≥0200―x≥0240―x≥0260―(200―x)≥0，∴0≤x ≤200且x 为整数；∴y ＝4x +10040（0≤x ≤200且x 为整数）；②由题意得：w ＝200×200+300×250+4x +10040＝4x +125040，∵k ＝4＞0，∴w 随x 的增大而增大，而0≤x ≤200，∴当x ＝0时，w 最小＝4×0+125040＝125040（元），此时的调运方案是：调运240件B 商品到甲地，调运200件A 商品、60件B 商品到乙地；答：调运240件B 商品到甲地，调运200件A 商品、60件B 商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是125040元．总结提升：本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．12．（2022春•固始县期末）某校计划购买A 、B 两种防疫物资共200套，要求A 种物资的数量不低于B 种物资数量的14，且不高于B 种物资数量的13，A 、B 两种物资的单价分别是150元/套、100元/套，设购买A 种物资x 套，购买这两种物资所需的总费用为y 元．（1）直接写出y 关于x 的函数关系式．（2）求总费用y 的最小值．思路引领：（1）根据题意得：y ＝150x +100（200﹣x ）＝50x +20000；（2）由A 种物资的数量不低于B 种物资数量的14，且不高于B 种物资数量的13，得40≤x ≤50，根据一次函数的性质可得总费用y 的最小值是22000元．解：（1）根据题意得：y ＝150x +100（200﹣x ）＝50x +20000，∴y 关于x 的函数关系式为y ＝50x +20000；（2）∵A 种物资的数量不低于B 种物资数量的14，且不高于B 种物资数量的13，∴14（200﹣x ）≤x ≤13（200﹣x ），解得40≤x ≤50，在y ＝50x +20000中，∵50＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴x＝40时，y取最小值，最小值为50×40+20000＝22000（元），答：总费用y的最小值是22000元．总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．13．（2022•河西区二模）假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长 14 ；游轮在乙地停留的时长 2 ；（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？思路引领：（1）根据图象可得游轮从甲地到乙地所用的时间为14小时，从乙地到丙地所用的时间为7小时，从而可求停留的时间；（2）结合（1），由图象得A（14，280），B（16，280），C（23，420），从而可求解；（3）由题意可得货轮行驶的时间为8.4小时，从而可列出一元一次方程，则可求解．解：（1）游轮从甲地到乙地所用的时间为：280÷20＝14（小时），游轮从乙地到丙地所用的时间为：140÷20＝7（小时），∵游轮从甲地到丙地共用了23小时，∴游轮在乙地停留的时间为：23﹣14﹣7＝2（小时），故答案为：14，2；（2）由（1）得：A点坐标为：（14，280），∵游轮到乙地后停留2小时，∴B的坐标为：（16，280），C的坐标为：（23，420），设OA段的解析式为：s＝kt（k≠0），∴280＝14k，解得：k＝20，∴s＝20t（0≤t≤14），AB段的解析式为：s＝280（14≤t≤16），设BC段的解析式为s＝k1t+b（k1≠0），∴16k1+b=280 23k1+b=420，解得：k1=20b=―40，∴BC段的解析式为s＝20t﹣40（16＜t≤23）；（3）由题意得，游轮出发14小时后，货轮再出发，且比游轮早36分钟到达丙地，36分钟＝0.6小时，∴货轮行驶的时间为：23﹣14﹣0.6＝8.4（小时），∴货轮的速度为：420÷8.4＝50（km/h），设货轮出发后x小时追上游轮，则游轮行驶的时间为：14+x﹣2＝（12+x）小时，∴20（12+x）＝50x，解得：x＝8，答：货轮出发8小时追上游轮．总结提升：本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是由函数图象获取准确的信息．14．（2022秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A 顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．思路引领：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，可得B（﹣2，2），求出直线AB的解析式，即可解决问题；（2）过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，求出C（﹣6，2），再由待定系数法求函数的解析式即可；（3）分两种情况讨论：当Q点AB下方时，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，再由EQ+FQ＝6，求出a＝2（舍）；当Q点在AB上方时，同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，再由EQ+FQ＝6，可求a=14 3．解：（1）如图2，过点B作BE⊥y轴于E，∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），∴OC＝2，OA＝4，∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴，∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACO＝∠CBE，在△CEB和△AOC中，∠BEC=∠AOC∠CBE=∠ACOBC=AC，∴△CEB≌△AOC（AAS），∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2，∴B（﹣2，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（4，0），B（﹣2，2），∴4k+b=0―2k+b=2，∴k=―13 b=43，∴直线AB的解析式为y=―13x+43，∵AB与y轴交点D，∴D（0，43）；（2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，∵∠CAB＝45°，∴BC＝AB，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，∵y＝2x+4与x轴的交点B（﹣2，0），A（0，4），∴CD＝2，BD＝4，∴C（﹣6，2），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴―6k+b=2 b=4，解得k=13 b=4，∴y=13x+4；（3）点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：当Q点AB下方时，如图4，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，∴AE＝FQ，EQ＝PF，∵B（6，4），∴OA＝4，CO＝6，∵点Q（a，2a﹣4），∴EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，∵EQ+FQ＝6，∴a+8﹣2a＝6，解得a＝2，∴Q（2，0），∵Q点在第一象限，∴a＝2（舍）；当Q点在AB上方时，如图5，同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，∵EQ+FQ＝6，∴a+2a﹣8＝6，解得a=14 3．综上所述：a的值为14 3．总结提升：本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题．。
一次函数中的数学思想
——一次函数中的数学思想数学思想方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，是数学知识的重要组成部分．一次函数中包含着丰富的数学思想方法，如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等．现例析如下，供同学们参考．一、数形结合思想直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合，使抽象的数形象化、直观化．化数为形，以形思数，是解决数学问题的关键．数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件，而且是培养创新意识、开发智力的重要途径．例1（2006年•陕西省）例甲、乙两车从A 地出发，沿同一条高速公路行驶至距A 地400千米的B 地，21l l 、分别表示甲、乙两车行驶路程y （千米）与时间x （时）之间的关系（如图所示）．根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求2l 的函数表达式（不要求写出x 的取值范围）（2）甲、乙两车哪一辆先到达B 地？该车比另一辆车早多长时间到达B 地？析解：（1）设2l 的函数表达式是b x k y +=2，由图像知2l 经过两点（43，0）、（434，400），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b k b k 22419400430解之得75,1002-==b k ．∴2l 的函数表达式是75100-=x y ；（2）乙车先到达B 地；∵75100300-=x ，∴415=x ．设1l 的函数表达式是x k y 1=，∵图像过点（415，300），∴801=k ，即x y 80=．当400=y 时，x 80400=，∴5=x ．∴414195=-（小时）∴乙车比甲车早41小时到达B ． 二、转化思想利用直角坐标系，可以把数量问题转化为图形问题解决；或把求点的坐标转化为求线段的长；求两个函数图象的交点转化为解方程组等问题．例2（2006年•邵阳市）百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，邵阳市在资江河隆重举行了“海洋明珠杯”龙舟赛．如图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系图象，请你根据图象回答下列问题：（1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先地位；（2）在这次龙舟比赛中，哪支龙舟队先到达终点；（3）比赛开始多少时间后，先到达终点的龙舟队就开始领先．析解：（1）1.8分钟时，甲龙舟队处于领先地位．（2）乙龙舟队先到达终点． （3）设甲龙舟队的解析式为y ＝kx ，则141000k =，2501=k ．∴甲龙舟队的解析式为y ＝250x ．设乙龙舟队 2.2分钟后的解析式b x k y +=2，则⎩⎨⎧+=+=b k b k 228.310002.2400，解得3752=k ，425-=b ， ∴乙龙舟队 2.2分钟后的解析式425375-=x y ．依题意有⎩⎨⎧-==425375250x y x y ，∴⎩⎨⎧==8504.3y x ．∴比赛开始3.4分钟后，乙龙舟队开始领先． 评注：数学中的符号语言、图形语言之间能互相转化．此题体现了从形到数，考查了识图、读图能力，从图象得到更多的与实际相联系的信息内容．三、分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，不重复、不遗漏是分类的基本原则．例3（2006年•绍兴市）某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图． 请结合图象，回答下列问题：(1)根据图中信息，请你写出一个结论；(2)问前15位同学接水结束共需要几分钟(3)小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理由．析解：（1）具有开放性，答案不唯一．锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟后，锅炉内的余水量为72升，2分钟前水流量为每分钟8升等．（2）当0≤x ≤2时，设函数解析式为y=k 1x+b 1, 把x=0,y=96和x=2,y=80代入得，⎩⎨⎧=+=.802,96111b k b 解得⎩⎨⎧=-=.96,811b k ∴y=-8x+96(0≤x ≤2)； 当x>2时，设函数解析式为y=k 2x+b 2, 把x=2,y=80和x=4,y=72代入得，⎩⎨⎧=+=+.724,8022222b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.88,422b k ∴y=-4x+88(x>2)． 因为前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），所以66=-4x+88, 解得x=5.5． 答：前15位同学接完水需要5.5分钟.(3)①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷2=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符．②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t 分钟开始接水． 当0<t ≤2时，则8（2-t ）+4[3-(2-t)]=8×2, 16-8t+4+4t=16, ∴t=1(分) ∴（2-t ）+[3-(2-t)]=3(分),符合．当t>2时，则8×2÷4=4(分)，即8位同学接完水，需4分钟，与与接水时间恰好3分钟不符．所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟．。
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“一次函数”中的数学思想方法（一）
一、函数思想
函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.
例1．利用图象解二元一次方程组⎩
⎨⎧-=+=- ② ①.5,22y x y x 分析：方程组中的两个方程均为关于x,y 的二元一次方程，可以转化为y 关于x 的函数.由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，实质上是两个y 关于x 的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解.
解：由①得y=2x-2，
由②得y=-x-5.
在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2，
y=-x-5的图象如图1所示.
观察图象可知，直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是(-1，-4).
∴原方程组的解是⎩
⎨
⎧-=-=.4,1y x 点评：解方程组通常用消元法.但如果把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解.
例2．我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了ymL 水.
（1）试写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）当滴了1620mL 水时，小明离开水龙头几小时？
分析：已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时=3600秒，∴1小时滴水3600×2滴，又∵每滴水约0.05mL ，∴每小时约滴水3600×2×0.05＝360mL.
解：（1）y 与x 之间的函数关系式为x=360x(x ≥0).
（2）当y=1620时，有360x=1620，
∴x=4.5.
∴当滴了1620mL 水时，小明离开水龙头4.5小时.
二、数形结合思想
数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用.
例3．如图2所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为A （2，0），且OA=OB ，试求一次函数的解析式.
图 1
图2
分析：通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB=OA=2，所以点B 的坐标为（0，-2），再结合A 点坐标，即可求出一次函数的关系式.
解：设一次函数的关系式为y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0).
∵OA=OB ，点A 的坐标为(2，0),
∴点B 的坐标为(0，-2).
∵点A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b ，
∴⎩⎨⎧-=+=+,20,02b b k ∴⎩
⎨⎧-==.2,1b k ∴一次函数的关系式为y=x-2.
点评：利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用.。