八年级数学相似三角形复习练习题
八年级数学相似三角形的识别练习题第二习题
第3课时 相似三角形的识别（二）课前导学：1、如图，A B C ∆中，点P 在AB 上，在下列四个条件中：①A C P B ∠=∠；②A P C A C B ∠=∠；③2A C A P AB =⋅； ④A BC P A P C B ⋅=⋅。
能满足A P C ∆和A C B ∆相似的条件是 A 、①②④ B 、①③④ C 、②③④D 、①②③(第1题)PCBAD(第2题)CBA2、如图，在A B C ∆中，点D 在AB 上，请再添加一个．．适当的条件，使ADC ∆∽ACB ∆，那么要添加的条件是 。
（只需填写满足要求的一个条件即可）随堂检测：3、给出以下条件：①A B C ∆的两个角分别是58︒和70︒，'''A B C ∆的两个角分别是58︒、52︒；②A B C ∆的两边长分别是4cm 和32cm ，夹角为40︒，'''A B C ∆的两边长分别是43、12，夹角为40︒； ③A B C ∆的边长分别是5cm 、6cm 、8cm ， '''A B C ∆的边长分别是52cm 、3cm 、4cm;④A B C ∆中，90,3,4C A C B C ∠=︒==，'''A B C ∆中，'90,''6,''8C A C B C ∠=︒==； 其中能判定A B C ∆∽'''A B C ∆的条件有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如图，要使AEF ∆∽ACB ∆，已具备条件 ，还需补充的条件是或 或 。
CFE(第4题)BA 21CD E (第5题)BA5、已知：如图，AE=AD ·AB ，且12∠=∠，求证: BCE ∆∽EBD ∆提高题:1）、A B C ∆中，AB=6，CB=8，'''A B C ∆中，''9,''12A B B C ==，则A B C ∆∽'''A B C ∆,这个结论对吗？2）、如图，线段AC 、BD 相交于点O ，要使AOB ∆∽DOC ∆，已具备条件 ，还需补充的条件是 ， 或 或 。
第4章相似三角形(压轴题45道)(原卷版)
第4单元相似三角形（压轴题45道）一．选择题（共14小题）1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．32．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN ＝y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．3．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP ；③S △AOD ＝S 四边形OECF ；其中正确结论的个数（ ）A ．1B ．3C ．2D ．04．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE 、AF 于M 、N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②；③S 四边形CGNF ＝S △ABN ；④．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、CE 分别是高和角平分线，已知△BEC 的面积是15，△CDE 的面积为3，则△ABC 的面积为（ ）A ．22.5或20B ．22.5C ．24或20D ．206．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的两点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ．下列结论：①AB 2＝BN •DM ；②AF 平分∠DFE ；③AM •AE ＝AN •AF ；④．其中正确的结论是（ ）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④7．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）A．9B．12C．15D．188．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1B．C．1D．9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（）A．B．C．6D．1010．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A．6B．5C．D．11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A．B．C．D．12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（）A．2.5B．2.8C．3D．3.214．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．二．填空题（共11小题）15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝．16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为．17．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ的最小值为．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为．19．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为．20．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．21．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为．23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．25．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．三．解答题（共20小题）26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q 同时停止运动、设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x＝时，点R恰好在AB边上．（1）填空：点R恰好经过AB边时，S的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．27．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）28．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．29．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO 上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，求点E的坐标；（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．31．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2＝OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．32．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．33．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B 出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．35．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．37．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE＝CF；①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP•AF的值；（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．38．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8cm，CD＝4cm，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒），（1）求证：△BCF∽△CDE；（2）求t的取值范围；（3）连接BE，当t为何值时，∠BEC＝∠BFC？39．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．40．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．41．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．42．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF．（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF 交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．43．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）如图①，若动点Q从点C出发，在对角线CA上以每秒3cm的速度向A 点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC上以每秒2cm的速度向点C匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜3），t取何值时，四边形ABPQ的面积最小？（2）如图②，若点Q在对角线CA上，CQ＝4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C停止．设点P运动了t秒，当t为何值时，以Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？44．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．45．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF，（1）若AD2＝BD•DC，①求证：∠BAC＝90°．②AB＝4，DC＝6，求EF．（2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF．。
初中数学相似三角形专题练习题-相似三角形的判定和应用
相似三角形的判定【知识梳理】1.相似三角形的概念：如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形2.相似比：相似三角形对应边的比叫相似比，如果两个三角形的相似比为1，则这两个三角形是全等三角形3.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
4.相似三角形判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似5.相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6.相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似7.直角三角形相似的判定定理：斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似【例题剖析】【例1】在ABC ∆和'''C B A ∆中，有下列条件（1）''''C B BC B A AB =，(2) ''''C B BCC A AC =， (3) '∠=∠A A ，(4) 'C C ∠∠=，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABC ∆∽'''C B A ∆的共有几组（ ）A. 5组B. 4组C. 3组D. 2组【例2】下列命题：（1）三边对应边成比例的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；（3）一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；（4）一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的是（ ）A. (1)(3)B. (1)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(3)(4)【例3】如图,矩形ABCD 是由三个正方形ABEG ,GEFH ,HFCD 组成的, 证明：AEF ∆∽AEC ∆笔记 思考【例4】 已知：如图，在ABC ∆中，CE BD ,分别是AB AC ,边上的高．求证：ABD ∆∽ACE ∆【例5】如图，已知AEACDE BC AD AB ==，试说明CAE BAD ∠=∠【经典习题】（A ）组1.下列各组条件中，不能判定△ABC 和△A 1B 1C 1相似的是（ ）A.11B A AB ＝11C B BC ，∠A ＝∠A 1 B. 11B A AB ＝11C B BC ＝11C A ACC. ∠C ＝∠C 1，11C B BC ＝11C A ACD. ∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 12.下列命题中，正确的是（ ）A. 所有的矩形都相似B. 所有的直角三角形都相似C. 有一个角是100°的所有等腰三角形都相似D. 有一个角是50°的所有等腰三角形都相似 3.下列命题中，真命题是（ ）A. 所有直角三角形都相似B. 所有等腰三角形都相似C.所有等腰直角三角形都相似D. 所有菱形都相似笔记 思考4.如图，点D 是ABC ∆边AC 上一点，满足∠CBD ＝∠A ，则（ ）A. △CBD ∽△BADB. △CBD ∽△CABC.△ABD ∽△ACBD. 图中没有相似三角形 5.下列命题一定正确的是（ ）A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D. 两个含有30°角的三角形一定相似 6.下列说法正确的是（）A. 相似三角形是全等三角形B.不相似的三角形可能是全等三角形C.不全等的三角形不是相似三角形 D ．全等三角形是相似三角形的特例． 7. 如图，在ABC ∆中，90BAC °∠=，AD BC ⊥，垂足为点D ，ABC ∠的平分线分别交AD .AC 于点E .F ，连结DF ，下列结论中错误的是（ ）A. ABD ∆∽ADC ∆B.BDF ∆∽DFA ∆C.BDE ∆∽BAF ∆D.ABE ∆∽CBF ∆8. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 有一个角为60°的两个等腰三角形B. 有一个角为80°的两个等腰三角形C.有一个角为90°的两个等腰三角形D. 有一个角为100°的两个等腰三角形9. 如图，已知△ABC 是直角三角形，∠C=90°，DA ⊥AB ．欲使△ABC 与△DBA 相似，除了添加角上的条件如∠ABC=∠DBA 外，还可添加一个边上的条件是 ．（只需填写一个你认为符合要求的条件）（B ） 组10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABCCBAD笔记 思考11. 已知：如图,△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E.F 是AB 边所在直线上的两点，且∠ECF ＝135° （1）求证：△ECA ∽△CFB（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域12.如图，在ABC ∆中，90CAB °∠=，CFG B ∠=∠，过点C 作CE AB ∥，交CAB ∠的平分线AD 于点E（1）不添加字母，找出图中所有相似的三角形，并证明（2）证明：FC ADCG ED=(C)组13.已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点B 为圆心，BD 长为半径画弧，交AD 于点E ．求证：AB AD AC AE ⋅=⋅ABCDE 笔记 思考14.已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，∠A=36º，AC=BC ，AC 2=AB·AD ．求证：（1）△ABC ∽△CAD ；（2）△BCD 是等腰三角形．15.如图，在直角坐标系内，A （0，6），B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P.Q 移动的时间为t 秒。
北师大版八年级数学下相似图形复习周练习题(12)
第12周每周一练 相似图形复习班级：________ 姓名：_________________ 学号：________一、选择题:1．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（ ）． A ．6：4：3 B ．3：4：6 C ．2：3：4 D ．1：2：3 2．如图，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：DF ：FB=1：1：1，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG 等于（ ）．A ．1：2：3B ．1：4：9C ．1：3：5D ．1：4：163．一个钢筋三脚架的三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，•现要做一个与其相似的钢筋三脚架，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，•则不同的截法有（ ）．A ．一种B ．二种C ．三种D ．五种4．如图，已知M 是平行四边行ABCD 的AB 边的中点，•CM•交BD•于点E ，•则图中阴影部分面积与平行四边行ABCD 面积之比为（ ）．A ．13B ．14C ．25D ．512二、填空题:5．如图，△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB=1：2，则∠MNA=______度， AN ：•NC=____________．6．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AD=2，AB=3，AE=2.4，AC=3.6，•则S △ADE ：S 四边形BCED =______________．7．平行于△ABC 的边BC 的直线平分△ABC 的面积，且把BC 边上的高AD 分为AG•、•GD 两段，则AG ：GD 的值是_______________．8．如图，在△ABC 中，AB>AC ，过AC 上一点D 作直线DE ，交AB 于E ，使△ADE•和△ABC 相似，这样的直线可作____________条． 三、解答题9．如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，•若矩形ABCD•∽矩形EABF ，AB=1，求矩形ABCD 的面积．10．如图，已知点D 在BC 上，BD ：DC=2：1，点E 在AD 上，AE ：ED=2：3，BE•的延长线交AC 于点F ，求BE ：EF 的值．11.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ．求证：BC 2=2CA ·CD ．12.已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ，求证：EF GF CF ⋅=2.A BCDF G E13．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=4cm ，BC=7cm ，∠B=60°，P•为下底BC 上一点（不与B 、C 重合），连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B ． （1）求证：△ABP ∽△PCE ；（2）在底边BC 上是否存在一点P ，使得AP ：PE =4：3，如果存在，求BP 、EC 的长；•如果不存在，请说明理由．第四章相似图形单元复习题参考答案一、选择题:1．若两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们的相似比是（ A ）．A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．1：2．252．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（ C ）．A．6：4：3 B．3：4：6 C．2：3：4 D．1：2：33．如图1，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=1：1：1，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于（C ）．A．1：2：3 B．1：4：9 C．1：3：5 D．1：4：16(1) (2)4．用放大镜看一个Rt△ABC，该三角形边长放大10倍后，下列结论正确的是（ B ）．A．∠B是原来的10倍 B．周长是原来的10倍C．∠A是原来的10倍 D．面积是原来的10倍5．一个钢筋三脚架的三边长分别为20cm，50cm，60cm，•现要做一个与其相似的钢筋三脚架，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，•则不同的截法有（ D ）． A．一种 B．二种 C．三种 D．五种6．已知b c a c a ba b c+++===k（a+b+c≠0），那么y=kx+k的图象一定不经过（ D ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如图2，已知M是平行四边行ABCD的AB边的中点，•CM•交BD•于点E，•则图中阴影部分面积与平行四边行ABCD面积之比为（ A ）．A．13B．14C．25D．512二、填空题:8．已知两个三角形对应中线之比为2：5，则它们周长的比是__2：5_．9．如图3，△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB=1：2，则∠MNA=_68_度，AN：•NC=_1：2_．10．若32,234a b c a b ca++==则=__8__．(3) (4)11．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AD=2，AB=3，AE=2.4，AC=3.6，•则S △ADE ：S 四边形BCED =__4：5_．12．平行于△ABC 的边BC 的直线平分△ABC 的面积，且把BC 边上的高AD 分为AG•、•GD 两段，则AG ：GD13．如果两个相似三角形最短边长为4：5，而且周长和为36cm ，那么这两个三角形的周长分别为_16cm ，20cm __．14．如图4，在△ABC 中，AB>AC ，过AC 上一点D 作直线DE ，交AB 于E ，使△ADE•和△ABC 相似，这样的直线可作_2 条．15．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，在他前面2m 处一块小积水块，他看到了旗杆顶端的倒影．如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度是1.5m ，那么旗杆的高度是__30_m ． 三、解答题16.试作四边形，使它和已知的四边形位似比等于1：２，位似中心为O（1）使两个图形在点O 同侧（2）使两个图形在点O 两侧如图两四边形为所求17．如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，•若矩形ABCD•∽矩形EABF ，AB=1，求矩形ABCD的面积．解：∵ 矩形ABCD•∽矩形EABF∴ABADEA AB =又E 为AD 的中点，AB=1 ∴AB ADAD AB =21 即2221AB AD = ∴2=ADO∴矩形ABCD 的面积=2=∙AD AB18．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB•上的一点，•EF•∥BC ，•并且将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 、EBCF ，若AD=4，BC=9，求AE ：EB 的值．解: ∵梯形AEFD ∽梯形EBCF, AD=4，BC=9∴EB AE BC EF EF AD == 即94EFEF =∴6=EF∴3264==EF AD∴AE ：EB=AD:EF=2:319．如图，已知点D 在BC 上，BD ：DC=2：1，点E 在AD 上，AE ：ED=2：3，BE•的延长线交AC 于点F ，求BE ：EF 的值．提示:过D 作DM ∥AC 交BF 于M易证△AEF ∽△DEM ∴EF ：EM= AE ：ED=2：3同理可证△BDM ∽△BCF ∴BM ：BF=BD ：BC=2：3由EF ：EM =2：3 得EF ：MF=2：5 由BM ：BF =2：3 得MF ：BF=1：3∴EF ：BF=2：15 ∴BE ：EF=13：220．ΔABC 为正三角形,D.B.C.E 在一条直线上,若∠DAE ＝1200,找出图中的相似三角形（写出证明过程）并探讨DB 、BC 、CE 之间的关系。
初中数学精品试卷：相似三角形基础复习
一、平行线分线段成比例（一）、比例式比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ．（二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ． 4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31，DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ， 若35=OD OC ，则BO AO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ．且AB ＝2CD ，点E 、F 分别是AB 和BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．求证：DM ＝2BM ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ） （A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FBCF；A D CEBDBCAE FE DAB CODACB OB CD AE FMBCADE（C ）BC DE ＝DC AD ； （D ）BC DE ＝ABDF． 2、已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 为AD 上的一点，且AD 2＝AB ·AF ． 求证：EF ∥CD ．3、已知：如图，AB ∥PD ，BC ∥PE ． 求证：AC ∥DE ． 1、判定三角形相似1、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABC ；2、已知：如图七，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 是AB 边所在直线上的两点， 且∠EC F ＝135°.（1）求证：△ECA ∽△CFB ；（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.针对训练：1、已知矩形ABCD ，长BC=12cm ，宽AB=8cm ，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点。
初中数学图形的相似练习题及参考答案
初中数学图形的相似练习题及参考答案相似是初中数学中的一个重要概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。
相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。
在这篇文章中，我们将介绍几道关于相似图形的练习题，并提供参考答案供大家参考。
题目一：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且比例系数为3：4。
若AB=6cm，BC=8cm，DE=12cm，求EF的长度。
解答一：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边长之比相等。
即AB/DE=BC/EF。
代入已知条件，得到以下等式：6/12=8/EF通过交叉乘法可以求解EF的长度：6*EF=12*8EF=16cm所以，EF的长度为16cm。
题目二：如果一个正方形的边长为6cm，那么和它相似的另一个正方形的边长是多少？解答二：由于两个正方形相似，所以它们的对应边长之比相等。
设另一个正方形的边长为x，则根据相似三角形的性质得到以下等式：x/6=6/6通过交叉乘法可以求解x的长度：x=6cm所以，和给定正方形相似的另一个正方形的边长也是6cm。
题目三：已知一个矩形的长为10cm，宽为5cm。
如果和它相似的另一个矩形的长为15cm，求这个矩形的宽。
解答三：根据相似矩形的性质，两个矩形的边长比相等。
设相似矩形的宽为x，则根据已知条件可以得到以下等式：10/x=15/5通过交叉乘法可以求解x的长度：10*5=15*x50=15*xx=50/15x=10/3 cm所以，这个矩形的宽为10/3 cm。
题目四：如果一个三角形的三边分别为3cm，4cm和5cm，那么和它相似的另一个三角形的三边分别是多少？解答四：根据相似三角形的性质，两个三角形的边长比相等。
设相似三角形的三边分别为x、y、z，则根据已知条件可以得到以下等式：x/3=y/4=z/5通过交叉乘法可以求解x、y、z的长度：x=3*(4/5)=12/5 cmy=4*(4/5)=16/5 cmz=5*(4/5)=20/5 cm所以，和给定三角形相似的另一个三角形的三边分别是：12/5 cm、16/5 cm和20/5 cm。
周庄中学八年级数学期末复习(12)----相似三角形期末复习1家作
周庄中学八年级数学期末复习（12）----相似三角形期末复习1家作1．下列两个三角形不一定相似的是（）（A）两个等边三角形（B）两个全等三角形（C）两个直角三角形（D）两个等腰直角三角形2．下列四组条件中,能判定△ABC与△DEF相似的是 ( )（A）∠A=45°,∠B=55°,∠D=45°,∠F=75°（B）AB=5,BC=4,∠A=45°,DE=5,EF=4,∠D=45°（C）AB=6,BC=5,∠B=40°,DE=12,EF=10,∠E=40°（D）AB=BC,∠A=50°,DE=EF,∠E=50°3．如图所示,在长为8cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是( ) A.28cm2 B.27cm2 C.21cm2D.20cm2第3题第4题第5题（第9题）4．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影BA由B点向A点走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（）（A）4.8m （B）6.4m （C）8m （D）10m5．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上一点，下列条件中，不能得到△ABP∽△EPC的是…（）（A）∠APB=∠EPC （B）∠APE的平分线垂直于BC （C）P是BC的中点（D）BP：BC=2：36．在相似的两个三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,•另一个三角形的一边长是2,则另一个三角形的周长是 ( )（A）4.5 （B）6 （C）9 （D）以上答案都有可能7．数3和12的比例中项是。
8，△ABC中，DE∥BC，若AE：EC=2：1。
则DE：BC= 。
9．如图，在△ABC中, 内接正方形EFGH，BC=20，AD⊥BC于D，AD=8，则正方形EFGH的边长为。
八年级数学相似三角形测试题附答案
八年级数学相似三角形测试题一．填空题（基础）1． 如图，ABC ∆∽MNP ∆，则它们的对应角分别是A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____；对应边成比例的是________=_________=_________;若AB =2.7cm,cm MN 9.0=,cm MP 1=,则相似比=_________,=BC _________cm .BAGFE DCBANPMC （第2题）（第1题）2． 如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有_______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相似三角形推出了比例式：ABBEAD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题3． 如图，ABC ∆和DEF ∆的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____，)()()(ACDF AB ==。
（第5题）（第4题）（第3题）CGFED CBAFEBAEFDCB A4． 如图，ABC ∆∽AEF ∆，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且)()()()()(==AF ,若ABC ∆与AEF ∆的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。
5． 如图，ABC ∆中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.6． 如图，平行四边形ABCD 中，，上的一点，是43=EC BE BC E ，于点交F BD AE =BF 的值。
及，求DF DABEcm 6 FE DCBA三．选择题1．下列命题中不正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似。
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华师大版八年级下相似三角形复习练习一、【方法指导与教材延伸】1．在数学上，把具有 形状的图形称为相似形。
2．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做，简称 。
3.已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的 ，线段a 、d 叫做比例 ，线段b 、c 叫做比例 ，线段d 叫做a 、b 、c 的 。
比例中项：如果比例内项是两条相同的线段，即 ，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
4. 比例的性质：a ∶b ＝c ∶d ⇔ ；a ∶b ＝b ∶c ⇔ 5．两个相似形的特征：对应边成比例，对应角相等；6．识别两个多边形是否相似的方法：如果两个多边形 ，那么这两个多边形相似 7．相似三角形：定义： 的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似， 记作: 。
相似比：相似三角形 的比叫相似比，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是 。
即相似比是有顺序的。
8．相似三角形的识别方法：(1)定义法： 的两个三角形相似。
(2)平行线法： 的直线和其它两边(或两边的延长线) ，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) ∵ED ∥BC ，∴△ABC ∽△AED(3) 的两个三角形相似。
(4) 的两个三角形相似。
(5) 的两个三角形相似。
(6) 对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
ABCDEABCDE3．相似三角形的识别方法的选择：(1)已知有一角相等时，可选择方法 和方法 ； (2)已知有二边对应成比例时，可选择方法 和方法 ； (3)若有平行条件时，可考虑方法 ； (4)有直角三角形时，可考虑方法 4.相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应 的比、对应 的比、对应角 的比都等于相似比． (3)相似三角形 的比等于相似比．以上各条可以概括为：相似三角形的对应 之比等于相似比． (4)相似三角形面积之比等于 ． 5．相似三角形性质的作用综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题： (1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等； (2)可用来计算周长、边长、角度等； (3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。
注意：(1)求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段．(2)有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：一、是三角形面积公式：S ＝21底×高，这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件，二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。
3．直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点．如图，由Rt △ACD ∽Rt △CBD ∽Rt △ABC ，得AC 2＝AD ·AB ， BC 2=BD ·AB ，CD 2=AD ·DB ．熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似．二 、例题选讲例1：已知线段a ＝15厘米，b ＝20厘米，c ＝75毫米，d ＝0.1米，问这四条线段成比例吗？ABCD说明：在线段求比时，线段的长度单位要统一；要同单位下，两线段的比值是无单位的正数。
例2：已知线段a ＝7，b ＝4，求线段a ＋b 与a －b 的比例中项。
说明：(1)此处是求线段的比例中项，所以只能取正值，但实际上，比例中项并不一定都是指两条线段，两个数、两个字母同样也可以求出它们的比例中项，并且比例中项也可为负。
(2)所以在求比例中项时，一定要看清是求线段的比例中项，还是两个数的比例中项，它们的结果不一样的。
例3：已知235x y z==，且3x ＋4z －2y ＝40，求x 、y 、z 的值。
说明：设k 法是有关比例式计算题中常用的方法，应学会、掌握。
例题4：判断正误，并简要说出理由 (1)两个矩形一定相似。
；(2)两个菱形都有一个角是400，那么这两个菱形相似 (3)两个正方形一定相似。
(4)有一个角相等的两个等腰梯形相似。
例题5：如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB ＝1，求矩形ABCD 的面积ABCDEF说明：运用相似多边形特征解题，应注意确定对应边、对应角，这里的AB 是大矩形的宽，那么它只能中小矩形的长，大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。
例题6：(1)、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似形三角形有 对，分别是 。
(2)、如果AD ＝5，DB ＝3，FC ＝2，则△ADE 与△ABC 的相似比是 ；如何求出BF 的长？例题7：如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，EF ∥AB ，EM ∥CD ，求EF EM ABCD+的值。
例题8：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，则图中有 对相似三角形，当△ ∽△ 时，则有AF EF BFFD=；要 AC ·CE ＝CB ·CD ，则应找哪两个三角形相似？解：例题9：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过点C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，说明：BP 2＝PE ·PF 。
解：AB D E 图(1)F M F EDBA ABC D EF AB C DE F P说明：当成比例的四条线段在同一直线上时，可用相等的线段代换的方法来分散开来，后再找相似三角形 例10．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成三块S 1、S 2、S 3，若S 1︰S 2︰S 3＝1︰4︰10，BC ＝15，求DE 、FG 的长例11如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F 。
(1)说明：△ABC ∽△FCD(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长。
A B CD E FG S 123SS三 【同步练习】 练习一一、判断题：1．所有的三角形都相似； 2．所有的梯形都相似；3．所有的等腰三角形都相似； 4．所有的直角三角形都相似； 5．所有的矩形都相似； 6．所有的平行四边形都相似； 7．大小的中国地图相似； 8．所有的正多边形都相似。
二、填空：1．延长线段AB 到C ，使BC ＝AB ，则AC ︰AB ＝ ，AB ︰BC ＝ ，BC ︰AC ＝ 2．在比例尺为1︰500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25㎝，则两地的实际距离是 。
3．已知点P 在线段AB 上，且AP ︰PB ＝2︰5，则AB ︰PB ＝ ，AP ︰AB ＝ 4．如图，已知AD AE DBEC=，AD ＝15，AB ＝40， AC ＝28，则AE ＝ 。
5．已知：线段a ＝3，b ＝2，c ＝4，则b 、a 、c 的第四比例项d ＝ ；则a 、b 、(a －b )的第四比例项是 ；3a 、(2a －b )的比例中项是 。
6．已知：数3、6，请再写出一个数，使这个数是另外两个数的比例中项，这个数是 。
7．已知：).0(,52≠+==d b d c b a 则=++d b c a 。
8．已知356x y z==，且3y ＝2z ＋6，则x ＝ 、y ＝ 。
9．把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比为 。
三、判断下列各组线段是否成比例？1．4㎝、6㎝、8㎝、2㎝； 2．1.5㎝、4.5㎝、2.5㎝、7.5㎝3．1.1㎝、2.2㎝、3.3㎝、6.6㎝； 4．2㎝、4㎝、4㎝、8㎝。
A BCDE1．已知：3x －5y ＝0，求：(1)xy ；(2)x y y-；(3)x y x +2．已知：x ︰y ︰z ＝2︰3︰4，求：32x y zx y z+-++的值。
练习二一、填空：1、如图(1)，在 中，R 在BC 的延长线上，AR 交BD 于P ，交CD 于Q ，若DQ ∶CQ ＝4∶3，则AP ∶PR ＝图(1) 图(3) 图(4)2、如图(2)，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AC 、BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则图中有 对相似形三角形；若DC ＝9，AB ＝15，则OD ∶OB ＝ ，EF ＝ 。
3、如图(3)，在△ABC 中，∠BAC ＝900，CE 平分∠ACB ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD 、CE 相交于点F ，则△AFC ∽△ 。
4、如图(4)，要使△AEF ∽△ABC ，已具备的条件是 ，还需补充的条件是或 或 。
5、如图(5)，点D 是△ABC 内一点，连结BD 并延长到E ，连结AD 、AE ，若∠BAD ＝200，AB BC AC AD DE AE==，则∠EAC ＝图(5) 图(6)6、在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，则有AD 2＝ ，ED 2＝ ，BD 2＝ 。
若DF ⊥AC ，则还有线段 是比例中项。
FOA BC D E图(2)QRPDCBAABCD ABCDE FA BCEFA BDCEA BCDEF1、如图(1)，在中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BC ＝18，E 为OD 的中点，连结CE 并延长交AD 于点F ，求DF的长。
2、如图(3)，在△ABC 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，AF 与BE 交于点O ，ED ∥AF ，交BC于点D ，求BO ∶OE 的值。
3、如图，AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠C ，试说明△BCE ∽△EBD 。
4、如图，已知AB AC BC AD AE DE ==，试说明：AB ·EC ＝AC ·BD 。
5、如图，D 是△ABC 内一点，在△ABC 外取一点E ，使∠CBE ＝∠BAD ，试说明△ABC ∽△DBEABCD OFEDC BAA BD CE12ABDCE A BDCE6、如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上，AD ＝2，试在AB 上求一点E ，使△ADE 和△ABC 相似，并求出AE 的长。
7、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3，如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，则这样的P 点有 个8、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，①当AC 、CD 、BD 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ ②当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。