2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安县高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安县高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A ．1 B ．2 C ．π D ．2π【答案】C【解析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率. 【详解】 平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2．命题：“1x ∀≥，220x x +->”的否定是( ) A ．1x ∃<，220x x +-> B ．1x ∀≥，220x x +-≤ C ．1x ∃<，220x x +-≤ D ．1x ∃≥，220x x +-≤【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项. 【详解】由于原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到否定结论而不是否定条件，所以AC 选项错误，D 选项正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.3．已知直线l 的方向向量a ＝(﹣1，1，2)，平面α的法向量b ＝(12，λ，﹣1)．若l ∥α，则实数λ的值为( )A ．﹣2B ．12-C ．52D ．25【答案】C【解析】由于线面平行，所以0a b ⋅=，利用向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于//l α，所以0a b ⋅=，即1202λ-+-=，解得52λ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的向量表示，考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题.4．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )A ．224199x y += B ．221369y x +=C ．224199x y +=或221369y x += D ．224199x y +=或224199y x += 【答案】C【解析】分成3a =或3b =两种情况，求得椭圆的标准方程.【详解】当椭圆焦点在x 轴上时，3a =，则322a b ==，所以椭圆方程为224199x y +=. 当椭圆焦点在y 轴上时，3b =，则26a b ==，所以椭圆方程为221369y x +=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆长轴、短轴关系.5．已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是( )A ．2a b +B ．11a b +C D 【答案】B【解析】令1,2a b ==，代入选项，由此判断出最大的数. 【详解】令1,2a b ==，则22113,32a b a b =+===+11a b+最大. 由于,a b 为互不相等的正实数，所以a b +>2a b <<+而222a b ab +><<.而11a b +>所以11a b+最大.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题. 6．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分， 光源放在焦点F 处．己知灯口直径为60cm ，光源距灯口的深度为40cm ，则光源到反射镜的顶点的距离为( )A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】A【解析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，由此求得光源到反射镜的顶点的距离. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，设,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则抛物线上一点的坐标为40,302p ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入抛物线方程()220y px p =>得2302402p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得10,52pp ==，所以光源到反射镜的顶点的距离为5cm . 故选：A【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查数学在实际生活中的应用，属于基础题. 7．直线12y x b =+能作为下列函数图象的切线的是( )A ．1y x=B ．2cos y x x =-C ．ln(1)y x =-D ．2x y e =-【答案】C【解析】对四个选项逐一分析函数的导函数的值能否为12，由此确定正确选项. 【详解】 对于A选项，'210y x =-<，切线的斜率不可能为12，故A 选项错误. 对于B选项，'2sin 1y x =+≥，切线的斜率不可能为12，故B选项错误.对于C 选项，'11,312y x x ===-，故切线的斜率可能为12，故C 选项正确. 对于D选项，'220x y e =-<，切线的斜率不可能为12，故D选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数导数的运算，考查切线的斜率，属于基础题.8．已知x ，y 均为正实数，且x ＋y ＝1，若1ax y+的最小值为9，则正实数a 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．80【答案】B【解析】利用“1的代换”的方法，利用基本不等式，以1ax y+的最小值为9列式，由此求得a 的值. 【详解】 依题意()111119a a y ax x y a a a x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++=++= ⎪⎝⎭，)420=，解得4a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9．设U 是全集，A ，B 均是非空集合，则“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”是“A B ＝∅”成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”时，如{}{}{}{}{}U U 1,2,3,1,2,1,2,2,3,U A C B C B C =====⊆，但{}2A B ⋂=，所以不能推出“A B ＝∅”.当“A B ＝∅”时，则A 的非空子集C 的补集UC ，必包含B ，也即“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”.故“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，BU ⊆C ”是“A B ＝∅”成立的必要不充分条件. 故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查集合子集、补集等知识的运用，属于基础题.10．设等比数列{}n a 共有2n ＋1(N n *∈)项，奇数项之积为S ，偶数项之积为T ，若S ，T ∈{100，120}，则1n a +＝( ) A ．65 B ．56C ．20D ．65或56【答案】A【解析】分别求得奇数项之积S ，偶数项之积T ，由此求得1n a +的值. 【详解】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .则()()11102421113211111n n n n nn n n n n S a a a a q a q a q a +++++++++++=⋅⋅⋅=⋅=⋅==，()2135212421111nn n n n n nn n T a a a a qa q a qa ++++-+=⋅⋅⋅=⋅=⋅==，1n S T a +=⋅ 由于{},100,120S T ∈，所以1T >，而n 为正整数，所以11n a +>，1n S T a T+=⋅>，即120,100S T ==，所以112061005n S a T +===. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等比数列的通项公式，考查分析、思考与解决问题的能力，考查运算求解能力，属于中档题.二、多选题11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 对于A选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A选项错误.对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a+=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理，考查基底的概念，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12．已知双曲线C ：2214y x -=，则()A ．双曲线C 的离心率等于半焦距的长B ．双曲线2214x y -=与双曲线C 有相同的渐近线C ．双曲线C 的一条准线被圆x 2＋y 2＝1D ．直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2 【答案】ACD【解析】根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】双曲线2214y x -=焦点在x 轴上，且1,2,a b c ===2y x =±，准线方程为25a x c =±=±.对于A 选项，双曲线C的离心率为cc a==，所以A 选项正确. 对于B选项，双曲线2214x y -=的渐近线为12y x =±，与曲线C的渐近线不相同，故B 选项错误.对于C 选项，双曲线C的一条准线方程为5x =代入221x y +=，解得5y =±，所以弦长为255=，所以C选项正确.对于D 选项，直线y kx b =+与双曲线C 的公共点个数可能为0,1,2，故D 选项正确.故选：ACD 【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题. 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则()A ．60a >B ．2437d -<<- C ．0n S <时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD【解析】将已知条件化简，根据6770,0a a a +><判断出60a >.由此判断A 是否正确.利用将已知条件转化为1,a d 的形式列不等式组，解不等式组求得d 的取值范围.由此判断B 是否正确.利用13120,0S S <>，判断出0n S <时，n 的最小值，由此判断C 是否正确.根据数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中项的符号和分子分母的变化规律，判断D是否正确. 【详解】依题意得()1123111267212,122,12602a a a a d a d S a a +=+==-=⨯=+>，而70a <，所以610,0,0a a d >><，A选项正确.且716167161240512302112470a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩，解得2437d -<<-，B 选项正确.由于113137131302a a S a +=⨯=<，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13.由上述分析可知，[]1,6n ∈时，0n a >，7n ≥时，0n a <；当[]1,12n ∈时，0n S >，当13n ≥时，0n S <.所以当[]7,12n ∈时，0,0n n a S <>，0nnS a <，且当[]7,12n ∈时，na 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项.故选：ABCD 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查数列的单调性，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.三、填空题14．已知函数()()ln f x x a x =+，()f x '是函数()f x 的导函数．若(1)(1)f f '=，则实数a 的值为_______．【答案】1-【解析】利用()()'11f f =列方程，解方程求得a 的值.【详解】 依题意()()''ln ,11x a f x x f a x+=+=+，()10f =，由()()'11f f =得10,1a a +==-.故答案为：1- 【点睛】本小题主要考查导数的计算，属于基础题.15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3m ，则该椭圆的离心率为_______．【答案】45【解析】根据题意求得2,2a c ，由此求得椭圆的离心率. 【详解】依题意可知2 2.4,23c a ==，所以椭圆离心率为2 2.44235c a ==. 故答案为：45 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的计算，属于基础题. 16．今年10月，宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160km /h ．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v (m /s )与行使时间t (s )的关系v ＝0.4t ＋0.6t 2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24m /s 时加速度为_______(m /s 2)． 【答案】7.6【解析】先求得24/m s 时对应的时间，然后利用导数求得此时的加速度. 【详解】当24v =时，20.40.624t t +=，解得6t =（负根舍去）.'0.4 1.2v t =+，当6t =时，'0.4 1.267.6v =+⨯=2/m s .故答案为：7.6 【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查数学在实际生活中的应用，属于基础题.17．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°．△ABD 中，∠ADB ＝90°，∠ABD ＝45°，且AC ＝1．将△ABD 沿边AB 折叠后，（1）若二面角C —AB —D 为直二面角，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为_______；（2）若二面角C —AB —D 的大小为150°，则线段CD 的长为_______．2【解析】作出二面角C AB D --的平面角.（1）当二面角C AB D --为直角时，判断出直线CD 与平面ABC 所成的角，解直角三角形求得线面角的正切值.（2）当二面角C AB D --大小为150时，结合余弦定理进行解三角形，由此求得CD 的长. 【详解】依题意∆ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°．△ABD 中，∠ADB ＝90°，∠ABD ＝45°，且AC ＝1．所以2,BC AB ==，2AD BD AB ===.设,E F 分别是,AB BC的中点，所以1//,2EA EB DE CE EF AC EF ======,,EF AB ⊥DE AB ⊥，所以DEF ∠是二面角C AB D --的平面角，1FB FC ==.（1）当二面角C AB D --为直角时，由于DE AB ⊥，根据面面垂直的性质定理可知DE ⊥平面ABC ，所以ECE ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角.在Rt DEC ∆中tan DE ECE CE ∠===. （2）当二面角C AB D --大小为150时，即150DEF ∠=，在三角形DEF中，由余弦定理得DF==.在三角形DBF 和三角形DBC 中，cos cos DBF DBC ∠=∠，由余弦定理得22222222BD FB DF BD BC CD BDFB BD BC +-+-=⋅⋅⋅⋅，26761444412CD +-+-=，24,2CD CD ==.故答案为：(1).217(2). 2【点睛】本小题主要考查根据二面角求线面角、线段长度，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查余弦定理，属于中档题.四、解答题 18．已知命题p ：方程2213x y m m+=-表示焦点在y 轴的椭圆；命题q ：关于x 的不等式x 2﹣mx ≤2m 2(m ＞0)的解集中恰有两个正整数解．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）判断p 是q 成立什么条件?并说明理由．【答案】（1）302m <<；（2）命题p 是命题q 成立的必要不充分条件，理由见解析.【解析】（1）利用焦点在y 轴上的椭圆的条件，求得p 为真命题时，m 的取值范围.（2）求得命题q 中m 的取值范围，由此判断p 是q 成立的必要不充分条件. 【详解】（1）由于方程2213x y m m+=-表示焦点在y 轴的椭圆，所以30m m ->>，记得302m <<.所以当p 为真命题时，302m <<. （2）不等式()2220x mx m m -≤>，即()()22220x mx m x m x m --=-+≤，由于0m >，所以不等式解得2m x m -≤≤，由于不等式()2220x mx m m -≤>的解集中恰有两个正整数解，所以223m ≤<，解得312m ≤<.所以当q 为证明题时，312m ≤<.所以命题p 是命题q 成立的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查椭圆的焦点与标准方程，考查一元二次不等式的解法，考查充分、必要条件的段，属于基础题. 19．已知数列{}n a 满足：11a =，前n 项和23n S n pn =-，N n *∈． （1）求实数p 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，121b b a =，434b a a =+．若{}n b 的前n项和为nT ，求证：数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列． 【答案】（1）2,65n p a n ==-.（2）详见解析. 【解析】（1）利用1a 求得p 的值.利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用基本元的思想求得等比数列{}n b 的首项和公比，由此求得n T ，进而证得16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列. 【详解】（1）依题意1131a S p ==-=，所以2p =.所以232n S n n =-.当2n ≥时，()()221323121n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎣⎦65n =-.11a =也符合上式，所以65n a n =-.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由1211b b a ==，得211b q =①，由434b a a =+，得3132b q =②，联立①②解得11,42b q ==，所以()()1141241146nn n T ⋅-==⋅--，所以11466n nT +=⋅.所以当2n ≥时，1111466411466nn n n T T --+⋅==+⋅，又11263T +=，所以数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以23为首项，4为公比的等比数列. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等比数列前n 项和公式，考查等比数列的证明，属于中档题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的焦点F 在y轴上，其准线与双曲线2y -213x =的下准线重合．（1）求抛物线的标准方程； （2）设A (0x ，0y )(0x ＞0)是抛物线上一点，且AF ＝52，B是抛物线的准线与y 轴的交点．过点A 作抛物线的切线l ，过点B 作l 的平行线l ′，直线l ′与抛物线交于点M ，N ，求△AMN 的面积． 【答案】（1）22x y =；（2）332【解析】（1）根据双曲线的下准线求得抛物线的准线方程，由此求得抛物线的标准方程.（2）根据抛物线的定义求得A 点的坐标，由此求得切线l 的方程，求得B 点的坐标，进而求得直线'l 的方程，由此求得弦长MN ，利用点到直线距离公式求得A 到直线'l 的距离，进而求得三角形AMN 的面积. 【详解】（1）双曲线2213x y -=的下准线方程为12y.设抛物线的标准方程为()220xpy p =>，由题意，122p -=-，所以1p =，所以抛物线的标准方程为22x y =.（2）由01522AF y =+=，得02y =，所以()2,2A .由22x y =即212y x =，得'y x =，所以抛物线在A 点处的切线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为()222y x -=-，即220x y --=.因为抛物线的准线与y 轴的交点B 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的平行线'l 的方程为122y x =-，由22122x yy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得2410x x -+=.设,M N 的横坐标分别为12,x x ，则12124,1x x x x +==，所以221244523215MN =+⋅-=⋅=.点A 到直线'1:202l x y --=的距离为213422252512d --===+，所以113321522225AMN S MN d ∆=⋅⋅=⋅⋅=.【点睛】本小题主要考查双曲线的准线方程，考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的三角形面积的求法，属于中档题.21．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，N 为AD 的中点．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段PC 上且满足PM PC λ=，直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为15，求实数λ的值．【答案】（1）10；（2）12.【解析】以A 为空间坐标原点建立空间直角坐标系. （1）利用向量法计算出异面直线PB 与CD 所成角的余弦值.（2）由PM PC λ=求得NM ，结合平面PBC 的法向量，利用直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值列方程，解方程求得λ的值. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又因为90BAD ∠=，所以,,AB AD AP 两两垂直.以A 为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.由4,2AD AP AB BC ====，N为AD 的中点，得()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,4,0A B C D ，()()0,0,4,0,2,0P N .所以()()2,0,4,2,2,0PB CD =-=-，设异面直线PB 与CD 所称的角的大小为θ，则cos cos ,20PB CD PB CD PB CDθ⋅====⋅.所以异面直线PB 与CD （2）设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，因为()()0,2,0,2,0,4BC BP ==-，由00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20240y x z =⎧⎨-+=⎩，取1z =，得2,0x y ==，所以()2,0,1n =.因为()2,2,4PC =-，所以PM PC λ=()2,2,4λλλ=-，所以()2,22,44NM NP PM λλλ=+=--.依题意cos ,NM n NM n NMn⋅=⋅()()()222444230222445λλλλλ-+==+-+-⋅，化简得2122070λλ-+=，解得12λ=或76λ=，由于M 在线段PC 上，所以12λ=.【点睛】本小题主要考查线线角的求法，考查根据线面角求参数值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 22．设等差数列{}n a 的公差d 大于0，前n 项的和为n S ．已知3S ＝18，1a ，3a ，7a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，都有k (n S ＋18)≥n a 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设22n n nS b -=(*n N ∈)．若s ，t *N ∈，s ＞t ＞1，且s t b b =，求s ，t 的值．【答案】（2）22n a n =+；（2）29k ≥；（3）2,3t s == 【解析】（1）结合等比中项的性质列方程，将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d ，由此求得{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得n S ，将不等式()18n n k S a +≥分离常数k ，利用换元法，结合基本不等式，求得k 的取值范围. （3）求得n b 的表达式，利用1n n b b +-判断出数列n b 的项的大小关系，由此确定,t s 的值. 【详解】（1）由于137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅，依题意有()()312111331826S a d a d a a d =+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，由于0d >，故方程组解得14,2a d ==，所以22n a n =+.即{}n a 的通项公式为22n a n =+. （2）由（1）得()214232n n n n S n n -=+⨯=+，由于对任意的*n N ∈，都有()18n n k S a +≥恒成立，所以222318n k n n +≥++对任意的*n N ∈恒成立.设()*222,318n f n n N n n +=∈++，令1t n =+，则()()22216161t f n g t t t t t===++++()*,2t N t ∈≥.因为168t t +≥=，当且仅当16,4t t t ==时等号成立，所以()g t 的最大值为29，即()f n 的最大值为29，此时*3n N =∈，所以实数k 的取值范围是29k ≥. （3）由条件，2322n n n n b +-=，则()()221113123222n nn n n n n n b b +++++-+--=-()()1322n n n +-+-=，所以12345b b b b b <=>>>.因为*,,1s t N s t ∈>>，所以2,3t s ==.即符合条件的,s t 的值分别为2,3t s ==. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的离心率为12，且椭圆E 的短轴的端点到焦点的距离等于2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）己知A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过x 轴上一点P （异于原点）作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆E 相交于C ，D 两点，且直线AC 与BD 相交于点Q ．①若k ＝1，求线段CD 中点横坐标的取值范围；②判断OP OQ ⋅是否为定值，并说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）①,00,77⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②为定值4，理由见解析【解析】（1）根据离心率和短轴的端点到焦点的距离列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，由此求得椭圆的标准方程. （2）①当1k =时，设直线l 的方程为y x m =+，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列不等式求得m 的取值范围.利用韦达定理以及中点坐标公式求得CD 中点的横坐标，根据m 的取值范围，求得CD 中点的横坐标的取值范围. ②将,C D 两点的坐标并代入椭圆方程进行化简.设直线l 的方程为y kx m =+，求得P 点的坐标，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理.利用直线AC 和直线BD 的方程进行化简，求得Q 点的横坐标，由此求得4OP OQ =⋅ 【详解】（1）由于椭圆离心率为12，且椭圆E 的短轴的端点到焦点的距离等于2，所以222122c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）①当1k =时，设直线l 的方程为y x m =+，()()1122,,,C x y D x y ，CD 中点坐标为()00,x y ，由22143y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22784120x mx m ++-=.所以1287mx x +=-.由()2264284120m m ∆=-->，解得m <<故CD中点横坐标为1204,2777x x m x ⎛+==-∈- ⎝⎭，当0m =时，即CD 的中点为原点时，AC 与BD 重合，不满足条件.所以线段CD中点横坐标的取值范围是0,77⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. ②OP OQ ⋅为定值，理由如下：因为,A B 分别为椭圆E 的左右顶点，所以()()2,0,2,0A B -，因为()()1122,,,C x y D x y 在椭圆上，所以2222112214343x y x y +=+=，所以221222123444y y x x ==---，所以()()121211223232,2424x x y y x y x y ++=-=---.设直线l 的方程为y kx m =+，则,0m P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，，也是要()()221212231234m k y y kx m kx m k -=++=+，又直线AC 与直线BD的方程分别为()1122y y x x =++与()2222yy x x =--，两方程相除得()()()()1212211222322224Q Q x x y x x x x y y y ++++==---()1212122434x x x x y y +++=-⋅()()()222222k m k mk m k m k m--==+-+，解得4Q k x m =-，所以OP OQ ⋅44P Q m k x x k m ⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆的离心率和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆交点坐标，考查直线和直线交点坐标，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
(试题)2019-2020第一学期通州区高二数学期末试题
通州区2019—2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷2020年1月考生须知：本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，共4页满分150分，考试时间120分钟．第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．双曲线2214x y -=的离心率是A ．2B ．5C ．2D ． 2．已知椭圆C 的两个焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，点P 为椭圆C 上一点，且1210PF PF +=，那么椭圆C 的短轴长是A ．6B ．7C ．8D ．94．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，那么8a 等于A ．16-B ．12-C ．12D ．16 5．已知点A 的坐标是()1,0-，点M 满足2MA =，那么M 点的轨迹方程是A ． 22230x y x ++-=B ．22230x y x +--=C ．22230x y y ++-=D ．22230x y y +--= 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下表给出了n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于 A ．8116 B ．278C ．8116-或8116D ． 278-或2787．已知直线1y x =-交抛物线22y x =于A ，B 两点，点O 为坐标原点，那么OAB △的面积是 A．2 B ．2C D 8．如图1所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ， 2PA AB ==，点E ，F 分别为棱PD 的三等分点，点M 为直线PD 上的动点. 当直线PB 与直线CM 所成的角为30︒时，M 点在 A ．线段PE 上 B ．线段EF 上 C ．线段FD 上 D ．PD 的延长线上图1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．当且仅当=x ______时，函数1(0)4y x x x=+>取得最小值. 10．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为2=-y ，那么该抛物线的标准方程是 ． 11．已知向量n ()2,4,2=--，m ()1,2,1=-分别是两个不同平面α，β的法向量，可得向量n 与m 的数量关系是 ，进而得到平面α与β的位置关系是 ． 12．写出满足下列条件的一个双曲线的方程： ．①焦点在x 轴上，y 轴是对称轴；②一条渐近线的方程是()2y kx k =<-.13．如图2，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．湖的一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长.图2某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整． 如图3，过O 作OH l ⊥，垂足为H ，以O 为坐标原点， 直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系. 由已知10AB =，6AC =，12BD =，计算得出9OH =，()4,3A ，()4,3B --. 图3 从而得到直线l 的方程为9y =，直线AB 的斜率为 ① .由PB AB ⊥，得直线PB 的斜率为 ② ，进而得到直线PB 的方程为 ③ ， 得到点P 的坐标为 ④ ，计算得出PB 的长为 ⑤ 百米.14.“斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列. 在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =， 21n n n a a a ++=+()n *∈N . 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若99a λ=，99S μ=()λμ∈R ,，则100a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明；证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q ()0q >的等比数列，且112a b ==，4525a a +=，334a b =． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设2n n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．16．（本题13分）已知双曲线2213y x -=，抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线的一个焦点相同，点()00,P x y 为抛物线上一点. （Ⅰ）求双曲线的焦点坐标；（Ⅱ）若P 点到抛物线的焦点的距离是5，求0x 的值．17．（本题13分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且过()0,0，()02,两点. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点()2,2P ，且与圆C 相切，求直线l 的方程.18．（本题13分）已知椭圆2214x y +=的上、下顶点分别为A ，B ， 点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过M 点作MN y ⊥轴于点N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，连接OE ，EG ，求OEG∠的大小.（Ⅰ）请指出上述解答过程中的错误之处（指出错误源头即可）；（Ⅱ）写出完整的正确的解答过程.19．（本题14分）如图5，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1A C 的中点，12AD AA ==，AB =（Ⅰ）求证：EF ∥平面11ADD A； （Ⅱ）求二面角F DE C --的余弦值；（Ⅲ）在线段11A D 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面EFD ？ 图5 若存在，求出111A MA D 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本题14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为2． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y （12x x ≥）两点. （i ）求22AF BF ⋅的最小值；（ii ）点Q 在直线l 上异于2F 的一点，且满足22QA F AQB F B=，求证：点Q 在一条定直线上.C 1D 1A 1B 1F EDC BA。
2019-2020第一学期通州区高二数学期末试题
通州区2019—2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷2020年1月考生须知：本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，共4页满分150分，考试时间120分钟．第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．双曲线2214x y -=的离心率是A ．2B ．5C ．2D ． 2．已知椭圆C 的两个焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，点P 为椭圆C 上一点，且1210PF PF +=，那么椭圆C 的短轴长是A ．6B ．7C ．8D ．94．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，那么8a 等于A ．16-B ．12-C ．12D ．16 5．已知点A 的坐标是()1,0-，点M 满足2MA =，那么M 点的轨迹方程是A ． 22230x y x ++-=B ．22230x y x +--=C ．22230x y y ++-=D ．22230x y y +--= 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下表给出了n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于 A ．8116 B ．278C ．8116-或8116D ． 278-或2787．已知直线1y x =-交抛物线22y x =于A ，B 两点，点O 为坐标原点，那么OAB △的面积是 A．2 B ．2C D 8．如图1所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ， 2PA AB ==，点E ，F 分别为棱PD 的三等分点，点M 为直线PD 上的动点. 当直线PB 与直线CM 所成的角为30︒时，M 点在 A ．线段PE 上 B ．线段EF 上 C ．线段FD 上 D ．PD 的延长线上图1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．当且仅当=x ______时，函数1(0)4y x x x=+>取得最小值. 10．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为2=-y ，那么该抛物线的标准方程是 ． 11．已知向量n ()2,4,2=--，m ()1,2,1=-分别是两个不同平面α，β的法向量，可得向量n 与m 的数量关系是 ，进而得到平面α与β的位置关系是 ． 12．写出满足下列条件的一个双曲线的方程： ．①焦点在x 轴上，y 轴是对称轴；②一条渐近线的方程是()2y kx k =<-.13．如图2，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．湖的一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长.图2某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整．14.“斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列. 在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =， 21n n n a a a ++=+()n *∈N . 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若99a λ=，99S μ=()λμ∈R ,，则100a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明；证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q ()0q >的等比数列，且112a b ==，4525a a +=，334a b =． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设2n n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．16．（本题13分）已知双曲线2213y x -=，抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线的一个焦点相同，点()00,P x y 为抛物线上一点. （Ⅰ）求双曲线的焦点坐标；（Ⅱ）若P 点到抛物线的焦点的距离是5，求0x 的值．17．（本题13分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且过()0,0，()02,两点. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点()2,2P ，且与圆C 相切，求直线l 的方程.18．（本题13分）已知椭圆2214x y +=的上、下顶点分别为A ，B ， 点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过M 点作MN y ⊥轴于点N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，连接OE ，EG ，求OEG∠的大小.（Ⅰ）请指出上述解答过程中的错误之处（指出错误源头即可）；（Ⅱ）写出完整的正确的解答过程.19．（本题14分）如图5，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1A C 的中点，12AD AA ==，AB =．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11ADDA ； （Ⅱ）求二面角F DE C --的余弦值；（Ⅲ）在线段11A D 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面EFD ？ 图5 若存在，求出111A MA D 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本题14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为2． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y （12x x ≥）两点. （i ）求22AF BF ⋅的最小值；（ii ）点Q 在直线l 上异于2F 的一点，且满足22QA F AQB F B=，求证：点Q 在一条定直线上.C 1D 1A 1B 1F EDC BA通州区2019-2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准2020年1月二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1210. 28x y = 11. 2n m =-，平行 12. 2219y x -=（答案不唯一）13. ①34，②43-，③43250x y ++=，④()13,9-，⑤15 14.1μλ-+三．解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本题13分） 解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列，12a =，4525a a +=， 所以113425.a d a d +++=所以 3.d = …………………… 2分所以()2133 1.n a n n =+-⨯=- …………………… 4分所以38.a =因为334a b =，所以31.2b = 所以211.2b q =因为12b =，0q >， 所以1.2q = …………………… 6分所以12112.22n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (8)分（Ⅱ）因为2n n c a =+，n S 是数列{}n c 的前n 项和， 所以12n n S c c c =+++12222n a a a =++++++()()12222n a a a =+++++++()23122n n n +-=+235.22n n =+ …………………… 13分16．（本题13分） 解：（Ⅰ）因为双曲线的方程为2213y x -=，所以21a =，2 3.b = …………………… 2分所以222 4.c a b =+= 所以 2.c =所以双曲线的焦点坐标为()2,0-，()2,0. …………………… 5分（Ⅱ）因为抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线的一个焦点相同，所以抛物线()220y px p =>的焦点是()2,0.所以 4.p = …………………… 9分因为点()00,P x y 为抛物线上一点，所以点()00,P x y 到抛物线的焦点的距离等于点()00,P x y 到抛物线的准线2x =-的距离. 因为P 点到抛物线的焦点的距离是5， 所以02 5.x +=所以0 3.x = …………………… 13分17．（本题13分） 解：（Ⅰ）因为圆C 的圆心在y 轴上，所以设圆C 的方程为()222.x y b r +-= …………………… 1分因为圆C 过()0,0，()02,两点， 所以()22222.b r b r ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得11.b r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的方程是()221 1.x y +-= …………………… 5分（Ⅱ）依题意，知直线l 的斜率存在. …………………… 6分因为直线l 经过点()2,2P ，所以设直线l 的方程为()22y k x -=-，即220.kx y k --+= …………………… 8分因为直线l 与圆C 相切，1.=解得0k =，或4.3k = (12)分所以直线l 的方程是2y =或42.33y x =- …………………… 13分18．（本题13分） 解：（Ⅰ）“所以直线AE 的方程为()00211y y x x +-=”处出错. …………………… 3分（Ⅱ）因为点A ，B 为椭圆2214x y +=的上、下顶点，所以()0,1A ，()0,1B -.设()()000,0M x y x ≠，所以()00,N y ，00,2x E y ⎛⎫⎪⎝⎭． 因为()0,1A ，所以直线AE 的方程为()00211y y x x --=． …………………… 4分令1y =-，得01x x y =-，所以00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． 因为()0,1B -，G 为线段BC 的中点， 所以()00,121x G y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭． …………………… 6分 所以00,2x OE y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0000,1221x x GE y y ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭． …………………… 8分因为点M 是椭圆上的一点， 所以220014x y +=，即220044x y =-． 所以()()00000012221x x x OE GE y y y ⎛⎫⋅=-++ ⎪ ⎪-⎝⎭()22200000441x x y y y =-++- ()200044141y y y -=-+-0011=0.y y =--+ ……………………12分所以OE GE ⊥． 所以90OEG ∠=︒．所以EOG ∠的大小是90.︒ …………………… 13分19．（本题14分）（Ⅰ）证明：连接1AD ，1A D 交于点O ，连接FO ，所以点O 是1A D 的中点. 又因为F 是1A C 的中点，所以OF CD ∥，12OF CD =. 因为AE CD ∥，12AE CD =，所以OF AE ∥，OF AE =. 所以四边形AEFO 是平行四边形. 所以EF AO ∥.因为EF ⊄平面11ADD A ，AO ⊂平面11ADD A ，所以EF ∥平面11ADD A . …………………… 4分（Ⅱ）解：以点A 为坐标原点，直线AB ，AD ，1AA 为分别x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， …………………… 5分因为点E ，F 分别是AB ，1A C 的中点，12AD AA ==，AB =，所以)B，()0,2,0D，2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 所以22,02DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1,1EF =.设平面EFD 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n DE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00 即,.x y y z -=⎪⎨⎪+=⎩2020令1y =，则1z =-，x = 所以()22,1,1n =-. …………………… 7分由题知，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，所以cos ,10n m ==-又因为二面角F DE C --为锐角，高二数学期末考试第11页（共4页）所以二面角F DE C --的余弦值是10…………………… 9分 （Ⅲ）解：假设在线段11A D 上存在一点M ，使得BM ⊥平面EFD .设点M 的坐标为()0,,2t .所以(),2BM t =.因为平面EFD 的一个法向量为()22,1,1n =-，所以BM 与n 不平行.所以在线段11A D 上不存在点M ，使得BM ⊥平面EFD . …………………… 14分20．（本题14分） （Ⅰ）解：因为椭圆的焦点是1F ，2F ，且122F F =，所以 1.c =因为离心率为2，所以a = 所以 1.b = 所以椭圆的方程是22 1.2x y += …………………… 3分 （Ⅱ）（i ）解：由（Ⅰ）知()21,0F ，当直线l 的斜率不存在时，2A ⎛ ⎝⎭，1,2B ⎛- ⎝⎭，所以221.2AF BF ⋅=…………………… 4分当直线l 的斜率存在时，设为k ，所以直线l 的方程可设为(1)y k x =-． 联立方程组()221,21,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，整理得()2222124220.k x k x k +-+-=高二数学期末考试第12页（共4页） 所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k -⋅=+ …………………… 5分 所以2AF =11=-，2BF =21=-. 所以()()222121211AF BF k x x x x ⋅=+⋅-++ ()22222224111212k k k k k-=+-+++ 22112k k+=+ …………………… 7分2111.212k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭当20k =时，22AF BF ⋅取最大值为1.所以22AF BF ⋅的取值范围是1,1.2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 因为当直线l 的斜率不存在时，2212AF BF ⋅=， 所以22AF BF ⋅的最小值是1.2 …………………… 9分（ii ）证明：因为点Q 在直线l 上，所以设点Q 的坐标是()(),1m k m -. 因为22QA F A QB F B=，所以点Q 一定在BA 的延长线上. 所以11221.1m x x m x x --=-- …………………… 12分所以()()12121220.m x x x x m ++-⋅-=高二数学期末考试第13页（共4页） 所以()()22222224120.1212k k m m k k-+--=++ 所以 2.m = …………………… 13分所以点Q 的坐标是()2,.k所以点Q 在定直线2x =上. …………………… 14分。
2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共计40分•在每小题给出的四个选项 中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） （4分）集合A={0 , 6, 8}的非空子集的个数为（ ）1 （4分）函数y = f +1 nx 的定义域为（ x2.（4分）下列各图中，一定不是函数的图象的是 11. 3.4.A . (0,1)B . (0 , 1]C . (1,；)1（4分）已知tan ：■ 7（0，二），则:--'■=（A .C .D .8（4分）智能主动降躁耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降躁芯片生成相等的反向的波抵消噪音（如图）y =Asin （ ）（A 0, c >0 , 0,）的振幅为1,周期为2二，初相为0，则通过听感2主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为（ ）5. .已知某噪音的声波曲线（4分）设e , e 2是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是二、多项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共计12分.在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）11 . （4分）对于给定的实数 a ，关于实数x 的一元二次不等式 a （^a ）（x 1） 0的解集可能6. A. y =sinx B . y =cosxC . y = -si n xD . y - - cosx C . e 3e 2 和 e, 3e , 3e - 2e 2 和 4e - 6e7. （4分）下列大小关系正确的是 （A4 兀 5n A . cos cos —7 82 0.2 2 0.3歹5厂1 1C . ( 2) j ：:( 3厂log 1 . 2 ::: log 1.323（4分）已知方程In x=11-2x 的实数解为 X 。
2019-2020年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案
2019-2020年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案一、 选择题（12×5分＝60分） 1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。
2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l⊥γ.3、已知、为实数,则是的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,若命题“” 是真命题,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.5，如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．326、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.37、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=09、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.; B.; C.; D..10、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.; C.4cm; D.8cm 。
2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．（4分）集合{0A =，6，8}的非空子集的个数为( ) A ．3B ．6C ．7D ．82．（4分）下列各图中，一定不是函数的图象的是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）函数y lnx =+的定义域为( )A ．(0,1)B ．(0，1]C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞4．（4分）已知1tan 7α=，4tan 3β=-，且α，(0,)βπ∈，则(αβ+= )A ．23πB ．34π C ．56π D ．74π 5．（4分）智能主动降躁耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降躁芯片生成相等的反向的波抵消噪音（如图）．已知某噪音的声波曲线sin()(0y A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<…的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为( )A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-6．（4分）设1e ，2e 是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是( ) A ．12e e +和12e e - B ．1e 和12e e + C ．123e e +和213e e +D ．1232e e -和2146e e -7．（4分）下列大小关系正确的是( ) A ．45coscos78ππ< B ．0.20.322()()33--<C ．1122--<D ．1123log log 8．（4分）已知方程112lnx x =-的实数解为0x ，且0(,1)x k k ∈+，*k N ∈，则(k = ) A ．1B ．2C ．3D ．49．（4分）函数421y x x =--的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．10．（4分）已知函数3cos()2y x ππ=+，5[6x ∈，5)()6t t >既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是( ) A ．31326t <…B ．32t > C ．31326t <…或52t > D ．52t >二、多项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共计12分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）11．（4分）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(1)0a x a x -+>的解集可能为( ) A ．∅ B ．(1,)a -C ．(,1)a -D ．(-∞，1)(a -，)+∞12．（4分）定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数(0)ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”．下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是( )A ．f 2()x x =，2()21g x x x =-+B ．f ()sin x = x ，()cos g x = xC ．f ()x ln = x ，()g x ln =2xD ．f 1()()3x x =，1()2()3x g x =13．（4分）如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1)中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则( )A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 11 个B ．满足||10OA OB -=B 共有 3 个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB = 的格点B 共有4个三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分．其中第17题共有2空，每空2分；其余题均为一空，每空4分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 14．（4分）已知集合{1A =-，0，1}，{0B =，1，2}，{1C =，3}，则()AB C = ．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，点O 为对角线AC 与BD 的交点，点E 在边CD 上，且2DE EC =，则OE = ．（用a ，b 表示）16．（4分）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(14701523)-的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 2cm ．17．（4分）请先阅读下面的材料：对于等式(0,1)b a c a a =>≠，如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即)x 的函数，记为y ，那么b y x =，是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即)x 的函数，记为y ，那么x y a =，是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即)x 的函数，记为y ，那么log a y x =，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果c 为常数e （自然对数的底），将a 视为自变量x ，则b 为x 的函数，记为y ，那么y x = ，若将y 表示为x 的函数，则y ==(0,1x x >≠．四、解答题（本大题共6小题，共计82分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面向量(2,3)a =，(2,4)b =-，(1,1)c =-． （1）求证：a b -与a c -垂直；（2）若a b λ+与c 是共线向量，求实数λ的值．19．（14分）已知函数()sin f x x =，x R ∈．现有如下两种图象变换方案：方案1：将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位长度；方案2：将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数()g x 的解析式，并解决如下问题： （1）画出函数()g x 在长度为一个周期的闭区间上的图象；（2）请你研究函数()g x 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论． 20．（14分）已知全集U R =，集合2{|2150}A x x x =--<，集合2{|(21)()0}B x x a x a =-+-<． （1）若1a =，求U A ð和B ； （2）若AB A =，求实数a 的取值范围．21．（14分）已知2sin 3α=，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈． （1）求tan α和sin 2β的值；（2）比较α与2πβ-的大小，并说明理由．22．（14分）用清水漂洗衣服上残留的洗衣液．对用一定量的清水漂洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一半，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗衣液残留在衣服上．设用x 单位量的清水漂洗一次后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数()f x ，其中0x >． （1）试规定f (0)的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数；（3）设函数3()53x f x x +=+．现有(0)c c >单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水平均分成2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由．23．（14分）设a R ∈，函数2()2x x af x a+=-．（1）若1a =，求证：函数()f x 为奇函数； （2）若0a <，判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若0a ≠，函数()f x 在区间[m ，]()n m n <上的取值范围是[2m k ，]()2n k k R ∈，求k a的范围．2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．（4分）集合{0A =，6，8}的非空子集的个数为( ) A ．3B ．6C ．7D ．8【解答】解：3个元素的集合非空子集个数为3217-=． 故选：C ．2．（4分）下列各图中，一定不是函数的图象的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由函数的定义可知，一个x 的值只能对应一个y 的值，而选项B 中一个x 的值可能对应两个y 的值，故不是函数图象， 故选：B ． 3．（4分）函数y lnx =+的定义域为( )A ．(0,1)B ．(0，1]C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：函数的定义域应满足，100x x ->⎧⎨>⎩，解得01x <<．故选：A ．4．（4分）已知1tan 7α=，4tan 3β=-，且α，(0,)βπ∈，则(αβ+= )A ．23πB ．34π C ．56π D ．74π。
2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。
江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学(含答案)
江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 1+10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC 【答案】AD13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．AB()C H ()D G EF图1 B C D EFHGA 图2图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷1． 【答案】C 2． 【答案】D 3．【答案】B 4． 【答案】C 5． 【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】BCD 12．【答案】AD 13．【答案】BCD若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3 【答案】ABC14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．【答案】9+已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．【答案】015．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．【答案】1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．【答案】c ≥216．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．【答案】)31217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．【答案】1322升 20122升18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30A ＝，a ＝8，b ＝ （1）求tan B ；（2）若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积． 【答案】19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围成的三角形的面积为定值2.已知函数()e ax f x x a -⋅＝（a ＞0）．（1）求曲线()y f x ＝在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜恒成立，求a 的取值范围． 【答案】20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．【答案】21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离；AB()C H ()D G EF图1BC DEFHGA图2（3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分（2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE⊥ 因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，AC AB ==，所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE = ································· 9分 （3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =-由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分 所以||3cos ||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E -- 14分22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝，又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1，∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，）由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b由，k OA k OB ＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b ＝4∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB ＝×d |AB |＝ו＝＝2＝16，∴4k 2+32＝64，解得k ＝±2所以直线方程为：y ＝±2x +4．---------14分23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴.所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴ . ∴. 所以存在定点使得.------14分某市城郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x =-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分已知函数)(1ln )(R a xx a x f ∈-=。
江苏省海安高级中学2019-2020学年高二数学上学期入学考试试题(含解析)
C.
3
3
D.
4
-2-
【解析】
试 题 分 析 ： 针 对 a sin A + c sin C − 2a sin C = b sin B 利 用 正 弦 定 理 边 角 互 化 可 得
a2 + c2 − 2ac = b2 ，即 a2 + c2 − b2 = 2ac ，所以 cos B = a2 + c2 − b2 = 2ac = 2 ，
4.若直线 (a + 2) x + (1 − a) y − 3 = 0 与直线 (a −1) x + (2a + 3) y + 2 = 0 互相垂直，则 a 的值为
（） A. 1 【答案】C 【解析】
B. -1
C.
D. − 3 2
由 两直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0;l2 : A2x + B2 y + C2 = 0 垂 直充要 条件 A1A2 + B1B2 = 0 得 ：
f
−
1 2
和
f
(16) 即可。
【详解】由于函数
f
(
x)
=
1
x
,
x＜0,
，
log2 x − 3, x＞0,
所以
f
−
1 2
=
1 −1
2
=
−2 ，
f
(16)
=
log2 16 − 3 =
4−2
= 1，则
f
−
1 2
f
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江苏省南通市通州、海安2019-2020学年上学期高一期末学业质量监测数学试题及参考答案
通州、海安2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1. 集合 A ＝｛ 0，6，8 ｝的非空子集的个数为A ．3B ．6C ．7D ．82. 下列各图中，一定不是函数的图象的是3. 函数11y x=-＋ln x 的定义域为 A 、（0，1） B 、（0，1］ C 、（1，＋∞） D 、［1，＋∞）4．已知tan α＝17，tan β＝－43，且α，β∈(0 ，π) ，则α＋β＝5. 智能主动降躁耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降躁芯片生成相等的反向的波抵消噪音（如图）. 已知某噪音的声波曲线y ＝Asin （x ωϕ+） （ A ＞0 ，ω＞0 ， 0 ≤2πϕ<）的振幅为1，周期为2π ，初相为 0，则通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为A.y ＝sin xB.y ＝cos xC.y ＝－sin xD.y ＝－cos x6. 设e 1，e 2 是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是A ．e 1＋e 2 和e 1－e 2B 、 e 1 和e 1＋e 2C ．e 1＋3e 2 和e 2＋3e 1D 、3e 1－2e 2 和4e 2－6e 17. 下列大小关系正确的是8. 已知方程ln x ＝11－2x 的实数解为 x0，且，则k ＝ A ．1 B ．2C ．3D ．4 9. 函数 y ＝x 4－ x 2－1的图象大致为10. 已知函数既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共计 12 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）11. 对于给定的实数a ，关于实数 x 的一元二次不等式 a (x －a )(x ＋1) ＞0 的解集可能为A 、∅B 、（－1，a ）C 、（a ，－1）D （－∞，－1）（a ，＋∞）12. 定义：在平面直角坐标系 xOy 中，若存在常数ϕ (ϕ＞0 ) ，使得函数 y ＝f (x) 的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数 y ＝g(x) 的图象重合，则称函数 y ＝f (x) 是函数 y ＝g(x) 的“原形函数”.下列四个选项中，函数 y ＝f (x) 是函数 y ＝g(x) 的“原形函数”的是A ． f (x) ＝x 2 ， g(x) ＝ x 2－2x ＋1 B ． f (x)＝sin x ， g(x)＝cos x C ． f (x) ＝ln x ， g(x)＝ln 2x D ． f (x) ＝13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， g(x) ＝213x⎛⎫ ⎪⎝⎭13. 如图，4×6 的方格纸（小正方形的边长为 1）中有一个向量OA （以图中的格点 O 为起点， 格点 A 为终点），则A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA是相反向量的共有 11 个B.满足｜OA－OB｜＝10的格点 B 共有 3 个C.存在格点 B，C，使得OA＝OB＋OCD.满足OA·OB＝1 的格点 B 共有 4 个三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分．其中第 17 题共有 2 空，每空 2 分；其余题均为一空，每空 4 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．）14．已知集合A＝｛－1，0，1 ｝， B＝｛0 ，1，2 ｝， C ＝｛ 1，3 ｝，则＝▲.15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝a，AD＝b，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，点E 在边 CD 上，且 DE＝2EC ，则OE ▲ .（用a，b 表示）16. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为▲cm2.17. 请先阅读下面的材料：对于等式a b＝ c （ a＞0 ，且a≠1），如果将a视为自变量 x，b 视为常数，c 为关于a（即 x）的函数，记为 y，那么 y＝x b，是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量 x，c 为关于 b（即x）的函数，记为 y，那么 y＝a x，是指数函数；如果将a视为常数，c 视为自变量 x，b 为关于 c（即 x）的函数，记为 y，那么 y ＝log a x ，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果 c 为常数 e （自然对数的底）， 将 a 视为自变量 x ，则 b 为 x 的函数，记为 y ，那么 x y＝ ▲ ，若将 y 表示为 x 的函数， 则 y ＝ ▲ （ x ＞0 ，且 x ≠1）. 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 82 分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面向量a ＝ ( 2，3 ) ， b ＝(－2，4 ) ， c ＝( 1，－1 ) .（1）求证： a －b 与a －c 垂直；（2）若a ＋λb 与c 是共线向量，求实数λ的值.19．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x) ＝sin x ， x ∈R .现有如下两种图象变换方案：方案 1：将函数 f (x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得 图象向左平移6π个单位长度； 方案 2：将函数 f (x) 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变 为原来的一半，纵坐标不变. 请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数 g(x) 的解析式，并解决如下问题：（1）画出函数 g(x) 在长度为一个周期的闭区间上的图象；（2）请你研究函数 g(x) 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.20．（本小题满分 14 分）已知全集U ＝R ，集合 A ＝｛x ｜x 2－2x －15＜0 ｝，集合B ＝（1）若a ＝1，求U A 和B ；（2）若 A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分 14 分）已知sinα＝.（1）求 tanα和sin 2β的值；（2）比较α与2π－β的大小，并说明理由.22．（本小题满分 14 分）用清水漂洗衣服上残留的洗衣液.对用一定量的清水漂．洗．一．次．的效果作如下假定：用 1 个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一半，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗衣液残留在衣服上.设用 x 单位量的清水漂洗一次后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数 f (x) ，其中 x ＞ 0 .（1）试规定 f (0) 的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数 f (x) 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数；（3）设函数 f (x) ＝353xx++现有c （ c ？0 ）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水平均分成 2 份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由.23．（本小题满分 14 分）设a R∈，函数（1）若a＝1，求证：函数()f x为奇函数；（2）若a＜0，判断并证明函数()f x的单调性；（3）若a≠0，函数()f x在区间上的取值范围是求ka的范围。