张伟高数基础班讲义
汤家凤高数基础班讲义
汤家凤高数基础班讲义1. 引言本讲义旨在介绍汤家凤高数基础班的课程内容和教学方法。
汤家凤高数基础班是一门为初学者设计的高等数学课程，旨在帮助学生建立扎实的高数基础，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。
2. 课程目标•掌握代数与初等函数相关知识；•理解微积分的基本概念和方法；•学会运用微积分解决实际问题；•培养逻辑思维和问题解决能力。
3. 课程大纲3.1 代数与初等函数•实数与复数•集合论与不等式•函数与映射关系•初等函数及其性质3.2 极限与连续•数列极限及其性质•函数极限及其性质•连续性及其应用3.3 导数与微分•导数的概念与计算法则•高阶导数与隐函数求导法则•微分中值定理及其应用3.4 积分与应用•不定积分与定积分•定积分的计算法则•积分中值定理及其应用3.5 微分方程•常微分方程的基本概念•一阶常微分方程及其解法•高阶常微分方程及其解法4. 教学方法4.1 理论讲解教师将通过清晰明了的语言和示例，对每个知识点进行详细讲解。
教师会引导学生理解概念、掌握基本原理，并提供相关的数学推导过程。
4.2 练习与讨论教师将提供大量练习题，并指导学生进行课堂练习和小组讨论。
通过实际操作和合作交流，加深对知识点的理解和应用能力。
4.3 解题技巧分享教师将分享一些常见的解题技巧和方法，帮助学生更好地应对考试和实践中的各种问题。
同时，鼓励学生探索不同的解题思路，培养独立思考和创新能力。
4.4 实践案例分析教师将选取一些实际问题，通过案例分析的方式，将抽象的数学知识与实际问题相结合。
通过分析和解决实践问题，加深学生对数学应用的理解和体验。
5. 学习资源•教材：《高等数学》（第三版），汤家凤、吴立宗编著•参考书：《高等数学辅导教程》，汤家凤、吴立宗编著•网上资源：汤家凤高数基础班在线课程6. 考核方式•平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；•期中考试：对前半个学期的知识进行检测；•期末考试：对全年知识进行综合考核。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第七节双曲
第七节双曲线(一)1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理一、双曲线的定义我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为||AF1|－|AF2||＝2a，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距．二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，其中焦点坐标为F1(c,0)，F2(－c,0)，且c2＝a2＋b2；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，其中焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，－c)，且c2＝a2＋b2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式．三、双曲线的几何性质方程x 2a 2－y 2b 2＝1 y 2a 2－x 2b 2＝1 图形范围 x ≤－a 或x ≥a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R 对称性 关于x 轴、y 轴及原点对称关于x 轴、y 轴及原点对称 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－a )，B 2(0，a )离心率 e ＝ca (e >1) e ＝ca (e >1) 渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b xa ，b ，c 的关系 c 2＝a 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2基础自测1．(2013·福建卷)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12B.22C ．1 D.2解析：因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为(1,0)，取一条渐近线为y ＝x ，所以点(1,0)到直线y ＝x 的距离为22. 答案：B2．(2013·北京东城区)若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r＝( )A.3 B ．2 C ．3D ．6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4＝3.答案：A3．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是____________．答案：14＋824．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.解析：因为F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，所以F 1(－10，0)，F 2(10，0)．由题意知△F 1PF 2为直角三角形，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝210.答案：2101．(2013·辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 所以点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. 所以|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案：442．(2013·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点．若在C 上存在一点P .使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为______________．解析： 在Rt △F 1F 2P ，设2c ＝|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3－1，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：3＋11．(2013·江门一模)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，则m ＝________.解析：因为在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，所以m ＞0，焦点在x 轴，所以a 2＝m ，b 2＝m 2＋4，所以c 2＝m 2＋m ＋4，又双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，所以：m 2＋m ＋4＝16，即m 2＋m －12＝0，解得m ＝3或m ＝－4(舍)．答案：32．(2013·韶关二模)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，其中F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若tan ∠PF 2F 1＝3，则双曲线的离心率为__________．解析：因为圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的半径r ＝a 2＋b 2＝c ，所以|F 1F 2|是圆的直径，所以∠F 1PF 2＝90°.依据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又因为在Rt △F 1PF 2中，t an ∠PF 2F 1＝3，即|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在直角三角形F 1PF 2中由(3a )2＋a 2＝(2c )2，得e ＝c 2a 2＝102. 答案：102。
汤家凤高数基础班讲义
汤家凤高数基础班讲义一、导论在汤家凤高数基础班中，我们将学习高等数学的基本概念和技巧。
高等数学是大学数学的核心课程之一，对于理工科学生来说尤为重要。
本讲义将帮助学生建立高数的基础知识框架，并提供实用的解题方法，以帮助学生更好地应对高数学习。
二、函数与极限1. 函数的定义与性质：函数的定义及基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 一些常见函数：介绍常见的函数类型，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等，并讲述它们的基本性质。
3. 极限的概念与性质：解释极限的概念并引入极限的性质，包括左极限、右极限、无穷大与无穷小等。
三、导数与微分1. 导数的定义与求导法则：介绍导数的定义，包括导数的几何意义和物理意义，以及常用的求导法则。
2. 高阶导数与隐函数求导：讲解高阶导数的定义，以及如何求解隐函数的导数。
3. 微分与微分中值定理：解释微分的概念，介绍微分中值定理的原理和应用。
四、积分与其应用1. 不定积分与定积分：引入不定积分与定积分的概念，讨论它们的性质和基本计算方法。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的原理和应用，解释它与积分的关系。
3. 定积分的应用：探讨定积分在曲线长度、曲面面积和体积计算中的应用。
五、级数与幂级数1. 级数的概念与性质：解释级数的概念，介绍级数的性质，如收敛性、发散性和部分和的计算方法。
2. 常见级数及其性质：介绍常见级数，如几何级数、调和级数等，并讲述它们的性质与求和方法。
3. 幂级数的收敛域：讨论幂级数的收敛域的求解方法，并举例说明。
六、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：介绍常微分方程的定义、解的存在唯一性定理，以及一阶常微分方程的基本解法。
2. 高阶常微分方程：讲解高阶常微分方程的基本概念、特解与常数变易法。
3. 稳定性与相图：介绍稳定性的概念，讨论常微分方程的相图、稳定解和解的行为。
七、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质：引入多元函数的概念，介绍多元函数的极限、连续性以及偏导数。
高数讲义第三节全微分
解答 若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微，则必有 若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不可微，则表达式 可以存在， 但它不代表函数在 ( 0, 0 ) 处的微分。
作业 习题93: 1(1, 3), 2, 4, 5
内容回顾 定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量
上述例子有两个重要性 （1）它具体说明了即使函数在某点处的各个偏 导数存在，也不能保证函数在该点可微。 （2）它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？
定理2（可微的充分条件）: 如果 z = f ( x , y ) 的偏导数
在点 ( x , y ) 的某邻域内连续，则 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微。
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。
如设 u = f ( x , y , z ) 则有
几点说明：
（1）对于一元函数，可微
可导；
（2）对于多元函数，可微一定连续，
（3）对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，
问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一 定可微？
例1
但 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。 证明：
证明： 因为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微，故
（1）令
，得
（2）令
，同理得：
所以，当函数可微时，全微分可写成 若分别取 z = x 和 z = y ，则
记
分别称为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处对 x 和 y 的偏微分。
kira 高数 2023基础精讲讲义
Kira 高数 2023基础精讲讲义一、概述1.1 简介在当前高等教育领域，高等数学是大多数学科的基础课程，对学生进行数学思维和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
Kira 高等数学2023基础精讲讲义是一套旨在帮助学生系统学习数学知识和提升数学水平的教材，本讲义在深入讲解数学基础知识的也注重对数学应用技巧的培养，力求使学生在学习高等数学的过程中能够理解数学的本质，灵活应用数学的方法。
1.2 编写目的本文旨在对Kira 高等数学2023基础精讲讲义进行全面深入的介绍，包括讲义的主要内容、教学特点、适用人裙等方面，力求为广大数学学习者提供参考和帮助。
二、Kira 高等数学2023基础精讲讲义的内容2.1 整体结构该讲义主要包括以下几个部分：数列与级数、极限、导数与微分、不定积分、定积分和曲线积分、常微分方程等。
2.2 主要内容(1) 数列与级数：介绍数列的概念、常数项数列、等差数列、等比数列等内容，讲解级数的概念和级数收敛的判别法则。
(2) 极限：深入讲解极限的定义和性质，介绍无穷大量和无穷小量的概念，探讨极限存在的条件和计算方法。
(3) 导数与微分：详细介绍导数的定义、性质和运算法则，讲解微分的概念和微分运算法则，探讨微分中值定理及其应用。
(4) 不定积分：介绍不定积分的定义和性质，讲解不定积分的计算方法和积分运算法则，探讨无理函数的积分和有理函数的积分。
(5) 定积分和曲线积分：详细介绍定积分的概念和性质，讲解定积分的计算方法和积分运算法则，探讨曲线积分的概念和计算方法。
(6) 常微分方程：介绍常微分方程的基本概念和分类，讲解一阶常微分方程和高阶常微分方程的求解方法，探讨微分方程的应用。
2.3 难点重点Kira 高等数学2023基础精讲讲义在讲解数学内容时，重点突出重难点，注重对数学概念和公式的深入剖析和精心演绎，力求帮助学生理解数学的本质，掌握数学的基本原理和运用方法。
2.4 教材特色该讲义注重理论与实践相结合，突出数学的应用性和实用性，通过大量生动具体的例题和练习题，培养学生的数学思维和解决问题的能力，引导学生通过总结经验和方法，掌握数学的应用技巧，灵活运用数学知识解决实际问题。
快速学完高等数学(基础讲义)
高等数学期末通关讲义一次搞定搞定数学1.本讲义由Mr.J学长整理，部分内容来源于网络，仅供群内同学个人打印学习使用，请勿用于商业用途。
2.讲义仅供高等数学学习不好的同学使用，谢绝学霸及学长学姐使用。
3.讲义必须配合学长讲解才能完全吸收，自己看不保证能期末通过。
4.讲座的目的是帮助数学学不好的同学找回信心，学好数学以及顺利通过期末考试而不至于复习太累甚至挂科。
5.同时更大的意义在于，为大家以后考研复习数学打一个初步基础。
6.讲座分为基础班和进阶班，每次100min。
一次性搞定数学，帮助大家节省时间。
7.此为基础班所用讲义，供零基础的同学使用学习。
8.学长的这次高等数学讲座完全免费。
听学长讲完课后请回去认真复习以及整理笔记做练习。
有任何疑问可在QQ群263973729交流。
1第一讲 函数【教学目的】掌握微积分的理论基础【教学重点】基本初等函数的简单性质，掌握三角函数之间的常用关系【内容展开】 一、函数的概念 1.函数的定义设两个变量x 和y 之间有一个对应规律,使变量x 在可取值的数集内每取一个值时，变量y 按照这个规律总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，x 的取值范围为定义域，所有函数值构成的集合称为值域. 注：定义域的求解若函数是用解析式表示的，则定义域就是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数的集合若由实际问题建立的函数，定义域就是具有实际意义的自变量取值的集合； 复杂函数的定义域，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集； 表达式与自变量的表示符号无关 2．函数的分类及表示方法基本初等函数（定义域、值域、图形、特性要非常清楚） （1）常值函数 y ＝C （常数）（2）幂函数y x α=（α为常数）（3）指数函数 x y a =（0>a 且1≠a ） （4）对数函数 log a y x =（0>a 且1≠a ） （5）三角函数 sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===（6）反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合所构成的用一个解析表达式表示的函数称为初等函数分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示 3.函数的四大特性 （1）奇偶性：（要求定义域关于原点对称）若)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数； 若)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数；2注：奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称； 常见的奇函数有：x x x x arcsin ,arctan ,tan ,sin 等； 常见的偶函数有：x x arccos ,cos 等 （2）周期性：若)()(x f T x f =+，则称T 为)(x f 的周期.由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期.注：常见的周期函数有：x x cos ,sin 以π2为周期，x x x x x 2sin ,cos ,sin ,cot ,tan 等以π为周期 （3）单调性：若)(x f 在区间I 上有定义，若I x x ∈∀21,（21x x <）总有)()(21x f x f <，则称)(x f 在I 上单调递增；若)()(21x f x f >，则单调递减. 注：一个函数的单调性取决于区间（4）有界性)(x f 在区间I 上有定义，,I x ∈∀ 都有M x f <)(，则称)(x f 在区间I 上有界，否则就无界.注：)(x f 有界与否依赖于区间I ，)(x f 在I 上有界的充要条件是既有上界又有下界. 常见的有界函数为:正弦、余弦以及四个反三角函数3第二讲 极限【教学目的】掌握微积分的理论基础 【教学重点】会套用公式求解简单极限无穷小的概念，性质及无穷小的比较，会灵活运用等价无穷小化简复杂的计算【教学难点】灵活运用等价无穷小化简复杂0的运算 【内容展开】1.极限的定义：变化过程+变化趋势；2.极限的性质：（1）函数（数列）极限存在必唯一； (2) 极限的局部保号性：1）若)0(0)(lim 0<>=→A x f x x ，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)0(0)(<>x f2）若)0(0)(≤≥x f ，且A x f =)(lim ，则)0(0≤≥A（3）极限的局部有界性：A x f x x =→)(lim 0，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有M x f ≤)(3．极限的计算（1）极限存在的两个准则定理1（单调有界准则）：若数列{}n x 满足单调上升（下降）有上界（下界），则有极限. 定理2（夹逼准则）：设数列{}n x 满足以下两个条件 1）从某项起n n n z x y ≤≤2）a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则{}n x 有极限且a x n n =∞→lim .（2）关于极限的计算 1）套用基本公式求极限C C =lim ；)()(lim 00x P x P n n x x =→；)()()()(lim000x Q x P x Q x P m n mn x x =→ （)0)(0≠x Q m 11101110lim m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b ---→∞-++++++++0 mnm n a m n b m n ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪∞>⎩ 当时＝ 当时 当时2）套用两个重要极限4利用第一个重要极限1sin lim 0=→xxx 求极限例：计算下列极限 1）x xx 3sin 2sin lim0→2） xkxx sin lim0→ 3）xx x cot lim 0→利用第二个重要极限e x xx =+→1)1(lim 求极限例：计算下列极限 1）xx x 10)1(lim -→2）x x x 3)21(lim +∞→ 3）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim 4.无穷小与无穷大（1）无穷小量定义：若()lim 0f x =，则称()f x 为无穷小量（2）无穷小的性质：有界变量乘无穷小量仍是无穷小量.在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积是无穷小. （3）无穷小的比较：设()()lim 0lim 0f x g x ==，，且()()lim f x l g x =1)0l =，称()f x 是比()g x 高阶的无穷小量，称()g x 是比()f x 低阶的无穷小量记为()()f x o g x =⎡⎤⎣⎦2)0l ≠，称()f x 与()g x 是同阶无穷小量.3)1l =，称()f x 与()g x 是等价无穷小量，记为)(~)(x g x f 4）)0()()(lim≠=c c x g x f k，称)(x f 是)(x g 的k 阶无穷小 注：（1）等价无穷小有个良好的性质可用定理表示如下：定理3：设)(~)(1x f x f ，)(~)(1x g x g ，若)()(l i m11x g x f 存在，则)()(lim )()(lim 11x g x f x g x f =. 该定理表明求的极限时，可对分子分母分别做等价代换其结果将保持不变，此结论可使得计算简单许多.（2）常见的等价无穷小（)0→x5xx x x e x x x x x x x αα~1)1(21~cos 11~)1ln(~arctan ~tan ~arcsin ~sin ~2-+--+（3）等价无穷小不能滥用，一般建议应用于乘除法因子中做等价代换. 例:计算下列极限)3sin 11sin3(lim 0x xx x x +→ )3sin 11sin3(lim x xx x x +∞→ xx x x 30sin sin tan lim-→ 112cos 1lim20-+-→x x x （4）无穷大量定义：任給0M >，当x 变化一定以后，总有()f x M >，则称()f x 为无穷大量，记()lim f x =∞.（5）无穷小和无穷大的关系： 1)若∞=)(lim x f ，则0)(1lim=x f ； 2)若0)(lim =x f ，且0)(≠x f ，则∞=)(1limx f .6第三讲 连续【教学目的】掌握微积分的理论基础 【教学重点】连续的定义以及间断点的类型 【教学难点】连续与间断的判定 【内容展开】1．函数在某点连续的定义：定义1：设函数)(x f 在)(0x U δ内有定义, 且0lim 0=∆→∆y x ,此时就称函数)(x f 在点0x 连续,并称0x 为)(x f 的连续点.否则称0x 为)(x f 的间断点.定义2：设函数)(x f 在)(0x U δ内有定义，如果有)()(lim 00x f x f x x =→，那么就称)(x f 在0x 处连续，否则在0x 处间断.注：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=-+→→→，即)(x f 在0x 处连续的充要条件是既要左连续又要右连续.2.间断点的类型1）第一类间断点：左右极限都存在的点.若左极限等于右极限，称此时的间断点为第一类的可去间断点（可通过修改或者补充原函数的定义使此类间断点变成连续点）；若左极限不等于右极限，称此时的间断点为第一类中的跳跃间断点. 2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在,若∞=→)(lim 0x f x x ，则称0x 是)(x f 的无穷间断点.例：判定下列函数在给定点处的连续性，若不连续请指明间断点的类型，若是可去间断点请修改或者补充原函数的定义使其成为连续点1） ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=010001)(x x x x x x f 0=x 2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=02sin )(x x xx x f 0=x3）xx f 1)(=0=x 【教学总结】本部分主要涉及微积分的基本理论，介绍了什么是函数，我们要研究的函数都有哪些；介绍了什么是极限，有什么性质，都该如何去计算等；介绍了连续与间断的定义，如何利用定义表明这个点是函数的连续点还是间断点.7第四讲 导数与微分【教学目的】理解导数的定义，会利用几何意义建立切线（法线）方程，会求简单函数的导数，并能利用导数借助于洛必达法则求解未定式的极限【教学重点】导数的定义和几何意义借助于求导法则求导数 掌握洛必达法则【教学难点】借助于求导法则求导数，洛必达法则 【内容展开】一、导数与微分概念1.导数的定义（增量比的极限）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00y f x x f x ∆=+∆-，如果极限()()0000limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称此极限为函数()f x 在0x 处的导数，记作()0f x '或()00x x x x df x dyy x x dxdx =='= ，，等，并称函数()y f x =在点0x 处可导，如果上面的极限不存在，则称函数()y f x =在点0x 处不可导.注：()f x 在点0x 处可导()f x ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等. 2.导数的几何意义：如果函数()y f x =在点0x 处导数()0f x '存在，则在几何上()0f x '表示曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线的斜率，于是有切线方程()()()000y f x f x x x '-=-法线方程：()()()()()000010y f x x x f x f x '-=--≠' 3.求导法则1)基本求导公式：80)(='C x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' xx x 22cos 1sec )(tan =='221(cot )csc sin x x x'=-=-x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -='a a a x x ln )(=' a x xaln 1)(log =' 211)(arcsin x x -=' 211)(arccos x x --='211)(arctan x x +=' 211)cot (x x arc +-='2）四则运算的求导法则设v u ,均为x 的可导函数，则v u v u '±'='±)( uv v u uv '+'=')(2v uv v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ （0≠v ） 3）复合函数的求导法则设)(),(x u u f y ϕ==均可导，则)]([x f y ϕ=可导，且dxdudu dy dx dy =即y 对x 的导数等于y 对中间变量的导数乘以中间变量对x 的导数，可见要学好复合函数的导数得学会分析复合函数的形成过程. 4）隐函数的求导法则设()y y x =是由方程()0F x y =，所确定，求y '的方法如下：把()0F x y =，两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y '的表达式. 5）反函数的求导法则设()y f x =的反函数()x g y =，两者皆可导，且0)(≠'y g dydxdx dy 1=6）分段函数的求导：分段函数分段求，分段点处定义求 4.洛必达法则： 定理1：设（1）)(0)(lim 0∞=→x f x x )(0)(lim 0∞=→x g x x（2）在0x 的某去心邻域内)(),(x g x f 都可导，且满足)()()(lim∞=''→a x g x f x x ，其中0)(≠'x g 则，=→)()(limx g x f x x )()()(lim 0∞=''→a x g x f x x9例：计算下列极限30sin lim x x x x -→30)sin(sin sin lim x x x x -→xnx e x +∞→lim x x x ln lim+∞→xx x ln lim 0+→ )tan 11(lim 0xx x -→二、微分1.微分的定义：设函数()y f x =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-有下面的表达式()()()00y A x x o x x ∆=∆+∆∆→ 其中()0A x 与x ∆无关，()o x ∆是0x ∆→时比x ∆高阶的无穷小，则称()f x 在0x 处可微，并把y ∆中的主要线性部分()0A x x ∆称为()f x 在0x 处的微分，记以0|x x dy =或()0x x df x =.2.可微的计算：定理2：)(x f y =在0x 处可微的充要条件是)(x f y =在0x 处可导且x x f dyx x ∆'==)(00.【教学总结】本部分讲述了导数的定义和常用的求导法则，能够根据导数解决曲线在某点的切线和法线方程，利用导数和洛必达的法则求解未定式的极限.第五讲 不定积分【教学目的】理解原函数和不定积分的定义，会求不同类型函数的不定积分 【教学重点】原函数的不定积分的定义第一换元法，第二换元法，分部积分法【教学难点】第一换元法 【内容展开】一、原函数与不定积分的概念与性质 1．原函数与不定积分的概念设函数()f x 和()F x 在区间I 上有定义，若()()F x f x '=在区间I 上成立．则称()F x 为()f x 在区间I 的原函数，()f x 在区间I 中的全体原函数称为()f x 在区间I 的不定积分，记以()f x dx ⎰.其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式.2.性质：分析性质和运算性质（1）()()F x dx F x C'=+⎰或()()dF x F x C=+⎰（2） ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰或()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰（3） ()()kf x dx k f x dx=⎰⎰（4）()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰二、基本积分公式⎰+=C kx kdx ⎰+-=C x xdx cos sin ⎰+=C x xdx sin cos C x xdx +-=⎰cos ln tan C x xdx +=⎰sin ln cot C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec Cx x xdx +-=⎰cot csc ln csc ⎰+=Cx xdx x sec tan sec Cx xdx x +-=⎰csc cot csc x x tan sec2=⎰ Cx dx x +-=⎰cot csc 2Cx dx x +=+⎰arctan 112Cx dx x+=-⎰arcsin 112三、不定积分积分法1.第一换元法的基本原理()()()()()()u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰令()()F u C F x Cϕ=+=+⎡⎤⎣⎦注：目的是化为能带基本积分公式的方法 例：计算下列不定积分dxe ex x⎰+1dxx x ⎰21sindxxx ⎰sin dxx x ⎰2ln dx x x ⎰2cos sin ⎰xdx x cos sin dx x x⎰-2arccos 1100 dxx x ⎰-212．第二换元法的基本原理()()()()()()1x t f x dxf t t dt G t C G x C ϕϕϕϕ=-'⎡⎤=+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰令，其中()1t x ϕ-=为()x t ϕ=的反函数.注：是一种化繁为简的方法，主要的目的是为了去掉被积函数中的根号例：计算下列不定积分dxx a ⎰-22)0(>a ⎰+22x a dx )0(>a ⎰+xx dx 13.分部积分法的基本原理设()()u x v x ，均有连续的导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰例：计算下列不定积分⎰xdx x sin ⎰xdxx arctan ⎰xdx x ln xdx e x sin ⎰⎰xdx arctan ⎰-dx xe x4.有理函数积分法的基本原理 （1）有理函数的相关定义：有理函数是指两个多项式的商表示的函数 mm m nn n b x b x b a x a x a x Q x P ++++++=-- 110110)()(其中n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 为常数，且00≠a ，00≠b .如果分子多项式)(x P 的次数n 小于或等于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为真分式；如果分子多项式)(x P 的次数n 大于或等于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为假分式. 利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和. （2）定理：若上面定义中的)(x Q 可以被因式分解成s l k q px x b x a x b x Q )()()()(20++--= （)042<-q p则++++++++++++++-++-+-++-++-+-=sll k k q px x Q x P q px x Q x P q px x Q x P b x B b x B b x B a x A a x A a x A x Q x P )()()()()()()()()()(2112222211221221例:求下列不定积分⎰+-dx x x 6512⎰++dx x x )1)(1(12【教学总结】本部分主要涉及不定积分定义与计算，要求能掌握不定积分的三大核心计算方法，第一换元法，第二换元法，分部积分法例：计算下列定积分dxx x ⎰202cos sin πdx x a a⎰-022 )0(>a3.定积分的分部积分法原理⎰⎰-=babab a vduuv udv 例：计算下列定积分⎰e xdx x 1lndx ex⎰1【教学总结】本部分涉及了定积分的概念和性质，要理解定积分的定义为以后的定积分应用打下基础，会利用牛顿莱布尼茨计算定积分的值.第六讲 定积分【教学目的】理解定积分的定义和性质，掌握定积分的计算方法 【教学重点】定积分的定义和性质定积分的计算方法【教学难点】定积分的定义 【内容展开】一、定积分的概念与性质1．定义：设函数],[)(b a x f 在上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间[]b a ,分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x - 各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x .在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i i i i x x ≤≤-εε1(),作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积),,,2,1()(n i x f i i =∆ε并作出和∑=∆=ni iixf S 1)(ε.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ε怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分),记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =∑=→∆ni i i x f 1)(lim ελ,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, []b a ,叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abaduu f dt t f dx x f )()()(函数可积（定积分存在）的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积.定理2 设],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个间断点，则],[)(b a x f 在上可积. 2．定积分的性质为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：（1） 当b a =时，0)(=⎰ba dx x f （2） 当b a >时，-=⎰badx x f )(⎰abdxx f )(性质1：函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即=±⎰dx x g x f ba)]()([±⎰badx x f )(⎰badxx g )(性质2 ：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即=⎰badx x kf )(k⎰badx x f )( (k 是常数)性质3 ：如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，则=⎰badx x f )(⎰+cadx x f )(⎰bcdxx f )(注意：我们规定无论c b a ,,的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质4 ：如果在区间[]b a , 上，则,1)(≡x f =⎰ba dx x f )(ab dx ba-=⎰性质5 ：如果在区间[]b a ,上，则,0)(≥x f0)(≥⎰badx x f )(b a <推论1 如果在[]b a ,上，则),()(x g x f ≤≤⎰badx x f )(⎰badx x g )( （b a <）推论2≤⎰badx x f )(⎰badxx f )(性质6 ：“设M 与m 分别是函数],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则≤-)(a b m ≤⎰badx x f )()(a b M - （b a <）二、定积分的计算 1.牛顿莱布尼茨公式 设)(x f 在[]b a ,上连续，则)()()()(a F b F x F dx x f bab a -==⎰2.定积分的换元法原理设)(x f 在[]b a ,上连续，函数)(t x ϕ=满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，则dtt t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)())(()(练习例1 239lim 3x x x →--.例2 2322lim 3x x x x →-+-.例32x →.例4 2237lim 24x x x x x →∞+--+.例5lim x . . 例6)limx x →+∞.例7 25lim 35n nn nn →∞-+.例8（1）()2lim ln sin x x π→（2）()lim ln arctan x x →+∞例9 求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim . 例10 求下列极限（1）1lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）()0ln 1lim x x x →+ （3）01lim x x a x →-（4）()2sin 0lim 1xx x →+ （5）()211lim 2x x x +→-+例11（1）x x x 5sin 2tan lim→（2）x x x x 3sin lim 30+→（3）1cos 1)1(lim 3120--+→x x x （4）30sin tan lim x x x x -→例12（1）0x → （2）4x π→例13 xx a x )1(log lim )1(0+→ 3sin 0(2)lim(12)x x x →+例14 设211(),()1412x x x x f x x x x x x φ≤≤⎧⎧==⎨⎨>+>-⎩⎩，求复合函数)]([x f ϕ.例15 求下列函数的极限.（1）xx x πsin 1lim 21-→（2）xx xx 1)321(lim +++∞→例16 求)1)(1(sin )1()(-++=x x x xx x f 的间断点，并判别其类型.。
(完整word版)高等数学讲义(一)
高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
武忠祥高数基础篇和辅导讲义
武忠祥高数基础篇和辅导讲义
武忠祥是中国著名的数学家，他的高数基础篇和辅导讲义在中国数学教育领域中具有重要的地位。
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