北师大版初等数论初步教材分析

《初等数论初步》教材分析北师大版选修4—6一、整体分析数论是研究整数性质的一个分支，初等数论以算术方法为主要方法。

它是一门古老而基础的数学，它的问题浅显易懂，只需掌握一些基本的数学知识，初学者便可理解它的许多重要内容，感受它的简洁与优美。

数论中一些问题的解决对现代数学地发展起到了推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。

尤其在20世纪后期，随着计算机技术和信息科学的发展，人类进入了信息时代，数论在信息安全中作出了重要贡献。

在本专题中，我们将学习有关整数和整除的知识，探索运用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会一些重要的思想方法，了解我们古代数学的一些重要成就，可以更好地锻炼学生的思维能力，形成较好的数学基础。

1、教育价值（1）有助于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。

随着新课改的不断深入，初等数论的知识和思想方法，一方面体现在日常教学中，一方面出现在竞赛中。

初等数论是为对数学有一定兴趣的学生而设置的，本书中所涉及的内容，体现了数学中一些重要的思想方法，有助于提高学生对数学的科学价值、应用价值和文化价值的认识。

（2）有助于学生终身的发展，扩展学生的数学视野。

（3）有助于提高学生的数学素养。

学生明确数学的基本结构；整数集对于加法、减法和乘法运算是封闭的，但对除法不封闭，因而研究整数之间的除法成了数论中的重要部分；同余是初等数论的一门语言，会依据余数的不同将所有整数分类等等。

所有这些知识的学习都将会有助于提高学生的数学素养。

2、内容结构基本内容初等数论大体上包括两个方面的内容，一个是整除理论，另一个是同余理论。

整除理论是初等数论的基础，它是在带余除法的基础上建立起来的，整除理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论。

同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念和方法。

从历史来看，求解不定方程是推进数论发展的最重要的课题，它是建立在整除理论和同余理论上来进行求解。

从某种程度上可以说，初等数论是数学中“理论与实践”相结合得最完美的基础课程，近代数学中许多重要的思想、概念、方法与技巧都是从整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。

章节安排本书总共有三章，分别是带余除法与数的进位制、可约性、同余。

课时安排如下。

第一章带余除法与数的进位制1整除与带余除法 2课时1.1整除1.2带余除法2二进制 1课时课题学习 1课时第二章可约性1素数与合数 2课时1.1素数的判别1.2素数的个数2最大公因数与辗转相除法 1课时3算术基本定理及应用 2课时3.1算术基本定理3.2最小公倍数与算术基本定理的应用4不定方程 1课时第三章同余1同余及其应用 3课时1.1同余1.2同余的性质1.3整除的判断—弃九法2欧拉定理 2课时2.1剩余类2.2欧拉定理.费马小定理3同余方程（组） 2课时3.1同余方程（组）3.2孙子定理复习小结 1课时3、教学建议（1）重视对学生数学学习过程的评价。

教师在教学中应重视学生提出问题、解决问题、勤于思考、积极创新的学习过程，并在过程中注重学生独立思考、独立解决问题以及与他人合作的团队精神。

剩余类环中会出现零因子，可以开阔学生关于运算的眼界，但是理解可能稍难点，是否安排探索，教师可以酌情处理。

（2）重视知识的系统归纳的学习方法。

数论的知识比较零碎，随着学习的深入，学生容易对知识理解产生混淆，所以教师应注重培养学生系统归纳学习的能力，探索知识的内在联系和本质，提高分析问题的能力。

（3）介绍数论领域的名人进行教学。

教学的目的是培养学生对数论的兴趣，树立正确的三观。

教师可以适时地介绍欧拉、费马等数学家的事迹，激发学生对数学的探索欲望。

（4）重视从特殊到一般的数学思想和推导方法。

（5）将数论知识和方法与其他知识学习联系起来，进行对比教学。

例如可以将勾股定理与费马小定理进行对比教学，更有利于开拓学生眼界，增加学生学习的兴趣，使学生更好的理解领会所学知识。

（6）恰当使用信息技术。

随着科学技术的发展，信息技术的使用也越来越多地渗透到各个学科中，恰当地运用信息技术，会使学生更好理解所学内容。

二、分章分析第一章带余除法与数的进位制教学目标1、知识与技能（1）通过整除、因数和倍数的概念，认识整除的性质。

（2）通过实例，经历带余除法的过程，掌握带余除法。

（3）了解二进制和十进制两种计数方式，并能进行二进制和十进制的转化。

2、过程与方法在教学过程中，要让学生理解数学思想，有意识培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力、表达交流的能力和数学逻辑推理的能力。

3、情感态度与价值观在学习过程中体会数学美，提高学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。

教材分析整除是数论的一个基本内容，是对整数除法运算的一个总结。

相对来说，这部分知识容易被学生所接受，也容易忽视对它的深入思考，因此教材对这部分内容进行了全方位、多角度地深入引导。

带余除法是初等数论中最重要、最直接、最基本的工具，教科书从余数除法，通过数轴引出带余除法，并给出了一个简洁直观的证明。

作为对带余除法的一个深刻理解与应用，教科书引入了整数分类的概念，这样既使学生深刻理解带余除法的本质，又把对自然数进行奇偶的分类上升到了一个理论的高度，也为后面的同余奠定了基础。

通过实例，让学生了解不同的计数方式，因为我们最熟悉最了解的是十进制，因此在学习过程中，从十进制的角度介绍二进制，通过它们的区别与联系来研究二进制，使学生更易接受，为了更加直观地表示二进制，教科书还设置了阅读材料。

教学建议重视运用整数性质解决问题的过程。

由于整除的整式是学生在操作上比较熟悉，理论上比较生疏的内容，所以教师可以只讲一些主要的方法和性质，其他一些性质可以由学生讨论或自主探索完成。

多项式整除的方法和性质与整数的整除性质几乎完全同理，可以安排学生进行探索。

多项式的竖式除法是一个实行多项式除法的有效方式，与整数的竖式除法类似，可以作为附录列出。

第二章可约性教学目标1、知识与技能（1）理解素数和合数的概念。

（2）了解判断素数的方法—“筛法”。

（3）掌握“素数的个数是无穷多个的”，并会证明。

（4）通过实例，经历辗转相除法的过程，掌握辗转相除法。

（5）掌握算术基本定理，理解算术基本定理唯一性的证明。

（6）探索公因数和公倍数的性质，并利用算术基本定理推导最小公倍数的性质。

（7）理解互素的概念，了解素数与互素的区别。

（8）不定方程是数论中一个重要的课题，本章通过实例理解一次不定方程的模型及求解。

2、过程与方法通过本章的学习，要让学生对一些重要的数学思想方法有较好的认识，特别是“从特殊到一般”的归纳思想和反证法的思想。

3、情感态度与价值观让学生初步认识到初等数论的简单应用，培养学生学习的耐心和信心。

教材分析本章的内容既有一定的独立性，又和数论中其他理论有着千丝万缕的联系。

引进了素数的概念，素数理论是数论中最有趣的的一个分支，有着许多的猜想，几乎都是由经验得到，再由数学家证明的，但是有些猜想现在也没得到证明，如哥德巴赫猜想。

提出了最大公约数的概念，以及利用辗转相除法求最大公约数的方法，辗转相除法是带余除法的发展。

研究素数的性质是数论的核心问题之一，对于素数和合数的关系介绍了著名的算术基本定理，通过定理的证明，让学生认识在初等数论中到如何利用基本概念证明问题。

在数论中，不定方程也是重要内容。

教科书给出了一次不定方程的模型，并给出了利用辗转相除法求解一次不定方程。

教学建议重视从特殊到一般的数学思想及推导方法。

第三章同余教学目标1、知识与技能（1）理解同余和剩余类的概念及意义。

（2）探索同余的性质。

（3）探索剩余类的运算性质，并理解它的实际意义，理解剩余类的运算和传统数的运算的异同。

（4）了解整除判别法，会利用弃九法检查整数加法、乘法的计算错误。

（5）通过实例，理解一次同余方程组的模型。

（6）通过孙子定理的证明，能够运用它解一些简单的同余方程组。

（7）理解欧拉定理及证明，理解欧拉定理的推论—费马小定理。

（8）了解数论在密码中的应用—公开密钥。

2、过程与方法通过本章的学习，让学生对数学上的一些重要思想方法有所认识，如同余分类的思想、运算的思想。

3、情感态度与价值观让学生体会数论在实际生活中的作用，了解中国古代数学家为数学发展所作出的贡献，帮助学生树立学好数论的信心，使他们遇到困难时，发挥坚韧不拔、克服困难的精神。

教材分析本章在前两章的基础上进一步学习数论中的基本概念和基本技能，进而学习和掌握有关数论中的一些重要定理，如欧拉定理，费马小定理和孙子定理，使我们的学习得到一次升华。

同余理论是本章的核心内容，教科书通过图解的方式使其尽量直观化、简单化，使学生更容易接受，这也是学习抽象问题的基本方法。

弃九法是同余理论的一个简单应用，是一个有效的方法，教师应通过具体实例，帮助学生验证这种方法，激发学生的学习兴趣。

欧拉定理、费马小定理和孙子定理都是数论中重要的定理，要引导学生理解这些定理及定理的证明。

教科书通过实例、图表、简化形式等方式给出定理的来龙去脉，使学生容易理解，学会应用这些定理。

教学建议重视培养运用所学知识解决实际问题的能力。