平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图
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梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
弯矩的正负
N10 ×2 12 kN· m （由4-4截面右侧计算） ×1 M 4 q×2×1 FB ×2 4 ×2
7.10
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩
从以上 1-1 、 2-2 截面的剪力值可以看出， 在集中力 作用处的两侧截面的剪力值将发 F 的大小； F
生突变，突变值就等于该集中力
7.16
§7.3 剪力图与弯矩图
例7.3
图7.14a所示简支梁AB，在C点受集中力F作用，试列出梁的
F b C x2 l FS + Fb/l x Fa/l Fab/l + _ FB B x FA a x1
剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 y
解
1）求支反力 由平衡方程得
A
Fb FA l
(c) (d)
FB B x
3）绘制剪力图和弯矩图
x Fa/l Fab/l + _
M
7.18
x
§7.3
剪力图与弯矩图
式（b）表示在AC段内的弯矩图是一条向右上方倾斜的斜直线， Fab 决定。 由 x 0, M 0; xa, M l 而式（d）表示在BC段内的弯矩图是一条向右下方倾斜的斜直线，
l ql l q l 2 ql 2 l 将 x 代入弯矩计算公式得 M ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 （此即抛物线顶点的纵坐标，即可绘出抛物线，也就是梁的弯矩图。
由剪力图与弯矩图可以很方便地看出：
ql 最大剪力发生在两端截面的内侧，其绝对值为 FS max ； 2 ql 2 最大弯矩发生在中截面， M max 。 8
(a x2 l )
(d )
Meb/l
7.21
§7.3
梁的平面弯曲
3 VB左 YA 2 qa 1 M B左 qa 2 2
3 VA右 YA qa 2 M A右 qa 2
例2
15
二简易法 梁的内力计算的两个规律： （1）梁横截面上的剪力V，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
qa 2
B
q C a
Y 0 :
YB YA qa 0
3a M A 0 : YB a qa qa 2 0 2 3 YA 2 qa 5 YB qa 2
13
（2）计算各截面内力
A右截面
qa MA右
2
B左截面 A
qa
2
B右截面 MB左 B
F2
C
YA 外伸梁 YB
9
二、梁的内力（剪力和弯矩)
x m n M P 力平衡：V - P = 0 力矩平衡：M + P(l-x) = 0 l 剪力：V = P 是一集中力,作用 线过截面形心,与截面相切.
V
P
弯矩：M = - P(l-x) 是一内力 偶矩,作用面在纵向对称面内.
（按左半边梁，能算出V、M吗？）
l a 2 M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
x 0.462m
21
18
FQC Fy FAy 2kN M c M O FAy 2m M e 2kN 2m 8kN m 4kN m
FQB 左 F FBy 2kN 4kN 2kN M B左 F 2m 2kN 2m 4kN m FQB 右 F 2kN M B右 F 2m 2kN 2m 4kN m
3 VA右 YA qa 2 M A右 qa 2
例2
15
二简易法 梁的内力计算的两个规律： （1）梁横截面上的剪力V，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
qa 2
B
q C a
Y 0 :
YB YA qa 0
3a M A 0 : YB a qa qa 2 0 2 3 YA 2 qa 5 YB qa 2
13
（2）计算各截面内力
A右截面
qa MA右
2
B左截面 A
qa
2
B右截面 MB左 B
F2
C
YA 外伸梁 YB
9
二、梁的内力（剪力和弯矩)
x m n M P 力平衡：V - P = 0 力矩平衡：M + P(l-x) = 0 l 剪力：V = P 是一集中力,作用 线过截面形心,与截面相切.
V
P
弯矩：M = - P(l-x) 是一内力 偶矩,作用面在纵向对称面内.
（按左半边梁，能算出V、M吗？）
l a 2 M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
x 0.462m
21
18
FQC Fy FAy 2kN M c M O FAy 2m M e 2kN 2m 8kN m 4kN m
FQB 左 F FBy 2kN 4kN 2kN M B左 F 2m 2kN 2m 4kN m FQB 右 F 2kN M B右 F 2m 2kN 2m 4kN m
第16章 弯 曲
2）集中力偶
集中力偶是将通过微小梁段作用在梁上的力偶，近似地简化为一个集中力偶，如图 16-4 中所示 的力偶矩 M。
1.2梁的计算简图
2．载荷的简化
作用在梁上的载荷可以简化为以下三种形式。
3）分布载荷
分布载荷是沿着梁的轴线方向在一定长度上连续分布且垂直于轴线的力系，其大小一般用载 荷集度表示，单位为 N/m 或 kN/m。如果该力系是均匀分布的，则此时的分布载荷称为均布载荷， 如图 16-4 中所示的均布载荷 q。
实际工程问题中，梁的轴线一般为直线，绝大多数梁的横截面上都有 1 根或 2 根对称轴，如 图 16-3 所示。
图16-3
1.1 平面弯曲的概念
由横截面的纵向对称轴和梁的轴线所组成的平面，称为纵向对称面，如图 16-4 所示。如果梁 上的所有外力（包括约束反力）都作用在这个对称面内，那么梁变形后，其轴线也将变成这个对 称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。平面弯曲是最常见、最简单的弯曲变形。 本章仅讨论直梁的平面弯曲问题。
02 梁的剪力和弯矩
2 梁的剪力和弯矩
为了进一步研究梁的强度和刚度问题，当作用于梁上的外力确定后，可以采用截面法来分析 梁任意截面上的内力。此时内力包括剪力和弯矩。
如图 16-6（a）所示的简支梁，受到主动力 F 的作用，下面通过求解距离梁的左端为 x 处的横 截面 m-m 上的内力来研究剪力和弯矩。
图16-4
1.2梁的计算简图
1．支座的简化
根据支座对梁约束作用的不同，可将支座简化为活动铰支座、固定铰支座和固定端约束三种 基本形式。其中，活动铰支座和固定铰支座在第 1 章静力学基础中的约束和约束反力部分已有介 绍，此处不再赘述；固定端约束使梁既不能向任何方向移动，也不能转动，其约束反力包括两个 正交分力和一个力偶。
集中力偶是将通过微小梁段作用在梁上的力偶，近似地简化为一个集中力偶，如图 16-4 中所示 的力偶矩 M。
1.2梁的计算简图
2．载荷的简化
作用在梁上的载荷可以简化为以下三种形式。
3）分布载荷
分布载荷是沿着梁的轴线方向在一定长度上连续分布且垂直于轴线的力系，其大小一般用载 荷集度表示，单位为 N/m 或 kN/m。如果该力系是均匀分布的，则此时的分布载荷称为均布载荷， 如图 16-4 中所示的均布载荷 q。
实际工程问题中，梁的轴线一般为直线，绝大多数梁的横截面上都有 1 根或 2 根对称轴，如 图 16-3 所示。
图16-3
1.1 平面弯曲的概念
由横截面的纵向对称轴和梁的轴线所组成的平面，称为纵向对称面，如图 16-4 所示。如果梁 上的所有外力（包括约束反力）都作用在这个对称面内，那么梁变形后，其轴线也将变成这个对 称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。平面弯曲是最常见、最简单的弯曲变形。 本章仅讨论直梁的平面弯曲问题。
02 梁的剪力和弯矩
2 梁的剪力和弯矩
为了进一步研究梁的强度和刚度问题，当作用于梁上的外力确定后，可以采用截面法来分析 梁任意截面上的内力。此时内力包括剪力和弯矩。
如图 16-6（a）所示的简支梁，受到主动力 F 的作用，下面通过求解距离梁的左端为 x 处的横 截面 m-m 上的内力来研究剪力和弯矩。
图16-4
1.2梁的计算简图
1．支座的简化
根据支座对梁约束作用的不同，可将支座简化为活动铰支座、固定铰支座和固定端约束三种 基本形式。其中，活动铰支座和固定铰支座在第 1 章静力学基础中的约束和约束反力部分已有介 绍，此处不再赘述；固定端约束使梁既不能向任何方向移动，也不能转动，其约束反力包括两个 正交分力和一个力偶。
工程力学
18:48 16
5qa Q1 R A 4
7qa 0得 R B 4
由截面法得内力结论： 梁任意截面上的剪力等于截面一侧梁上所有横向外力 的代数和。左侧梁上向上的外力为正(右侧梁上向下的外 力为正)，反之为负。 梁任意截面上的弯矩等于截面一侧梁上所有外力对 截面形心取矩的代数和。左侧梁上顺时旋转的弯矩为正 (右侧梁上逆时旋转弯矩为正)，反之为负。
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0 M
斜直线
x M x
(-)
M
(+)
(-)
18:48
截面上的内力值
x
22
q
A
x
B
l
Fs
ql R A RB 2
ql Fs ( x) R A qx qx 2
RA
ql 2
RB
(0 x l )
ql 2
ql x M ( x) x qx 2 2
M
q l2 8
q ql l x 2 2 8
| Q | max F | M | max Fl
梁上集中荷载及支座处内力有以下特点
（1）集中力作用处，剪力无定值，定突变，变化的大小就是该处集中力的数 值。当该处集中力向上作用时，从左邻到右邻剪力的数值增加。 当该处集中力向下作用时，从左邻到右邻剪力的数值减小。 （2）集中力偶作用处，弯矩无定值，定突变，变化的大小就是该处集中力偶的 数值。当该集中力偶顺时转时，从左邻到右邻弯矩的数值增加。 当该集中力偶逆时转时，从左邻到右邻弯矩的数值减小。 （3）在两端的铰处或自由端，只要该处无集中力偶，则两端内侧截面的M=0。 若该处有集中力偶Me作用，则梁端内侧面或自由端内侧面M=Me （4）最大弯矩可能发生在 a)集中力作用处 b)集中力偶作用处
5qa Q1 R A 4
7qa 0得 R B 4
由截面法得内力结论： 梁任意截面上的剪力等于截面一侧梁上所有横向外力 的代数和。左侧梁上向上的外力为正(右侧梁上向下的外 力为正)，反之为负。 梁任意截面上的弯矩等于截面一侧梁上所有外力对 截面形心取矩的代数和。左侧梁上顺时旋转的弯矩为正 (右侧梁上逆时旋转弯矩为正)，反之为负。
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0 M
斜直线
x M x
(-)
M
(+)
(-)
18:48
截面上的内力值
x
22
q
A
x
B
l
Fs
ql R A RB 2
ql Fs ( x) R A qx qx 2
RA
ql 2
RB
(0 x l )
ql 2
ql x M ( x) x qx 2 2
M
q l2 8
q ql l x 2 2 8
| Q | max F | M | max Fl
梁上集中荷载及支座处内力有以下特点
（1）集中力作用处，剪力无定值，定突变，变化的大小就是该处集中力的数 值。当该处集中力向上作用时，从左邻到右邻剪力的数值增加。 当该处集中力向下作用时，从左邻到右邻剪力的数值减小。 （2）集中力偶作用处，弯矩无定值，定突变，变化的大小就是该处集中力偶的 数值。当该集中力偶顺时转时，从左邻到右邻弯矩的数值增加。 当该集中力偶逆时转时，从左邻到右邻弯矩的数值减小。 （3）在两端的铰处或自由端，只要该处无集中力偶，则两端内侧截面的M=0。 若该处有集中力偶Me作用，则梁端内侧面或自由端内侧面M=Me （4）最大弯矩可能发生在 a)集中力作用处 b)集中力偶作用处
平面弯曲—梁的内力(建筑力学)
∑Fy=0 FQ1 ＋ FP=0 FQ1=－FP =－100kN (负剪力)
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN
第10章 1,2弯曲的概念及梁的计算简图
14
[例1] 求下列图示梁的内力方程并画出内力图 ] F A L F M 解：①求支反力
FAY = F ; M = FL
B
FAY
15
F A L M
F S ( x) = FAy = F
M ( x) = FAY x − M = F ( x − L)
B
②写出内力方程
FAY
FS ( x)
x
FS(x)
M(x)
l
F S
–
M
b Me l
2 集中力偶作用处 剪力无变化。 集中力偶作用处, 剪力无变化。
⊕
a Me l
–
x
18
[例4] 例 A
q B
l
结论: ★ ★结论 1 受均布力 剪力图是斜直线， 受均布力,剪力图是斜直线， 剪力图是斜直线 弯矩图为抛物线； 弯矩图为抛物线；
F ql/2 S
⊕
–
M
ql2/8 ⊕ ql/2
§10–1.2 弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
1. 弯曲（bending): 弯曲（ 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢
的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁(beam) (beam)。 构件通常称为梁(beam)。
11
二、剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
内力方程：内力与截面位置坐标（ ）间的函数关系式。 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
内力方程包括： 内力方程包括：
FS = FS ( x )
剪力方程 弯矩方程
M = M (x) 剪力图和弯矩图： 2. 剪力图和弯矩图： 剪力图 弯矩图
[例1] 求下列图示梁的内力方程并画出内力图 ] F A L F M 解：①求支反力
FAY = F ; M = FL
B
FAY
15
F A L M
F S ( x) = FAy = F
M ( x) = FAY x − M = F ( x − L)
B
②写出内力方程
FAY
FS ( x)
x
FS(x)
M(x)
l
F S
–
M
b Me l
2 集中力偶作用处 剪力无变化。 集中力偶作用处, 剪力无变化。
⊕
a Me l
–
x
18
[例4] 例 A
q B
l
结论: ★ ★结论 1 受均布力 剪力图是斜直线， 受均布力,剪力图是斜直线， 剪力图是斜直线 弯矩图为抛物线； 弯矩图为抛物线；
F ql/2 S
⊕
–
M
ql2/8 ⊕ ql/2
§10–1.2 弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
1. 弯曲（bending): 弯曲（ 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢
的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁(beam) (beam)。 构件通常称为梁(beam)。
11
二、剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
内力方程：内力与截面位置坐标（ ）间的函数关系式。 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
内力方程包括： 内力方程包括：
FS = FS ( x )
剪力方程 弯矩方程
M = M (x) 剪力图和弯矩图： 2. 剪力图和弯矩图： 剪力图 弯矩图
平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图
C
A
B D
2m
4m
2m
QB左 RB 3.5KN QB右 0
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各
横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程
和弯矩方程 。
即：
Q = Q (x )
M = M（x）
剪力图和弯矩图 绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出 梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。 剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
RB
P1a l
P2b
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
P=50KN yC ' yC
mA
XA
AE
C
xc ' xc
xc ' xc
RA
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§7—2 梁的内力· 弯矩图
一、梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
P
m
A
B
m x
a
P
m
用截面法假想地在
A
B
m
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(3) 几种超静定梁
(例题1) (例题2)
例1: 计算悬臂梁的支反力。
q
P
A
C
B
l2
l2
l
RA
A mR
3l 4
q
C
l
ql
P
2
B
解: 求梁的支反力 RA 和 mR 。
由平衡方程得： y 0,
R
A
ql 2
P0
M A 0,
mR
ql 2
3l 4
Pl
0
RA
A mR
3l 4
q
C
l
ql
P
2
B
解得：
处横截面处的剪力和弯矩。
b
P1 P2 a
A
CD
B
E
F
c
d
l
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
解:
mA 0
RBl P1a P2b 0
mB 0 RAl P1(l a) P2 (l b) 0
b
RA
a
A
E
c
P1 P2
RB
C
D
B
F
d
l
解得：
RA
P1 (l
a)
l
P2 (l
b)
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯 曲称为非对称弯曲。
1 。支座的简化
II . 梁的计算简图
在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁
（1） 固定端
R Hm
（2）固定铰支座
R
R
H
( 3 ) 可动铰支座
2， 工程中常用到的静定梁 悬臂梁 简支梁 外伸梁
RA
ql 2
P
mR
Pl
3ql 2 8
(例题2)
例2：计算图所示多跨静定梁的支反力
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m
K
B
1m
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m B
K 1m
分析：先将中间铰 C 拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB 的支反力。
l
B
F
d
y 0, QF RB 0
QF RB -
解得：
mF 0, M F RBd 0
M F RB d +
例题4
例题4： 图示简支梁受线性变化的分布荷载作用， 最大荷载集度为 q0 。试计算梁在 C 点处横截面上的 剪力和弯矩
q0
A
B
C
a l
RA 解：求梁的支反力 RA 和 RB
M E 0 RB (l c) P1(a c) P2 (b c) M E 0
解得：
QE RA +
M E RAc +
b
RA
a
E c
P1 P2
RB
QF
RB
C
D
F
B MF
d
l
B
F
d
计算 F 点横截面处的剪力 QF 和弯矩 MF 。
b
RA
a
E c
P1 P2
RB
QF
RB
C
D
F
B MF
d
RB
P1a l
P2b
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE RA
+
M E RAc +
QE
RA
ME
A
E
C
取右段为研究对象
QE
RA
ME
A
E
C
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
P1
P2
RB
Ec
D
B
a- c
ME
b- c
l- c
QE
RA
ME
A
E
C
QE
P1
P2
RB
Ec
D
B
a- c
ME
b- c
l- c
y0
QE RB P1 P2 0
再将副梁 CB 的两个支反力 XC ，YC 反向， 并分别加在主梁 AC 的 C 点处，求出 AC 的支反力。
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m B
K 1m
xC
C yC
q 20KN m D
M=5KN.m KB
RB
xC
C yC
q 20KN m D
M=5KN.m KB
内容提要
§7-1 平面弯曲的概念及计算简图 §7-2 梁的内力 · 弯矩图 §7-3 弯曲时的正应力和强度计算
§7-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
I. 弯曲的概念
弯曲变形 受力特征： 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系
（有时还包括力偶）。 变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
梁： 以弯曲变形为主的杆件。
M
的转向则与取右段梁为 研究对象所示相反。
m
M
P
RB
Qm
B
2, Ｑ和 M 的正负号的规定 剪力符号
使dx 微段有 左端向上而右端向下 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为正 。或使dx微段有顺时针
转动趋势的剪力为正。
+m
Q
Q
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
由平衡方程得
a
P
m
A
B
y 0 RAQ 0
m
x
可得 Q = RA
Q 称为 剪力
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
由平衡方程
a
P
m
mC 0
A
B
m x
M RAx 0
可得 M=RAx
此内力偶称为 弯矩
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。 其上剪力的指向和弯矩
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
纵向对称面 ： 包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线 的平面称为 纵向对称面
平面弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的 平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为 对称弯曲。
纵向对称面
A
P1
P2
梁的轴线
B
RA
RB
梁变形后的轴线
与外力在同一平
面内
RB
解：（1）研究CB梁，由平衡方程
X 0, XC 0
mB 0, yC 5 20 3 2.5 5 0
y 0, RB 20 3 yC 0 X C 0, yC 31kN, RB 29kN
（2）研究 AC 梁，由平衡方程 X 0, X A 0
y 0, RA 50 31 81kN
P=50KN yC ' yC
mA
XA
AE
C
xc ' xc
xc ' xc
RA
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§7—2 梁的内力· 弯矩图
一、梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
P
m
A
B
m x
aபைடு நூலகம்
P
m
用截面法假想地在
A
B
m
横截面mm处把梁分
x
为两段，先分析梁左段。
转动趋势的剪力为负。
-m
m
dx
弯矩符号
+ Mm
M
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时，
横截面m-m 上的弯矩为正；
m （受拉）
当dx 微段的弯曲上凸
_
（即该段的下半部受压）时，
横截面m-m 上的弯矩为为负。
m
m （受压）
例题3 例题4
例题3： 为图示梁的计算简图。已知 P1、P2，且 P2 > P1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知。试求梁在 E 、 F 点