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离散数学ch11[1]群
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正规子群与商群
定义设H是群G的子群。如果a∈G 定义 都有Ha=aH,则称H是G的正规子群 正规子群,记作 正规子群 H G。 任何群G都有正规子群,因为G的两个平 凡子群,即G和{e},都是G的正规子群。 如果G是阿贝尔群,G的所有子群都是正 规子群。
正规子群与商群
正规子群的实例
设A={1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的双射函数。 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令G={f1,f2,…,f6},则G关于函数的复合运算构成 群。 G的全体子群是：
群的分解 :陪集定义 陪集定义
例2:设A={1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的双射函数。其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令G={f1,f2,…,f6},则G关于函数的复合运算构成群。 考虑G的子群H={f1,f2}。做出H的全体右陪集如下： Hf1={f1f1,f2f1}={f1,f2}=H Hf2={f1f2,f2f2}={f2,f1}=H Hf3={f1f3,f2f3}={f3,f5} Hf4={f1f4,f2f4}={f4,f6} Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f3} Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f4}
离散数学--第十章群，环，域
离散数学--第⼗章群，环，域群基本定义设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为⼆元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群（代数系统的前提不要忘，详情可看第九章）如果半群中有单位元==> 含⼳半群|独异点含⼳半群还有逆元==>群通常记作G群中的⼆元运算可交换==>交换群|阿贝尔群Klein四元群特征：1. 满⾜交换律2. 每个元素都是⾃⼰的逆元3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素平凡群只有单位元有限群群中元素有限⼦群如果把群看成集合，⼦群就是⼦集中能满⾜群定义的⼀个集合（可以有多个集合）群是代数系统，最基本要满⾜封闭性！真⼦群就类似真⼦集⼦群判定定理：设G为群，H是G的⾮空⼦集. H是G的⼦群当且仅当∀a,b∈H 有ab−1∈H（感觉很懵逼）证必要性显然. 只证充分性. 因为H⾮空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa−1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b−1∈H. 再利⽤给定条件得a(b−1)−1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的⼦群.⽣成⼦群：设G为群，a∈G，令H={a k| k∈Z}，则H是G的⼦群，称为由 a ⽣成的⼦群，记作<a>例如：Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有⽣成⼦群是：<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.则偏序集< L(G), ⊆ >称为G的⼦群格就相当于⼦群先变成偏序集然后就满⾜了格的定义？因为是⼦群所以叫⼦群格？右（左）陪集设H是G的⼦群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}称Ha是⼦群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.相当于右（左）乘a所得的集合？循环群设G是群，若在G中存在⼀个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的⽣成元。
离散数学第5章 群
因为映射复合不满足交换律，所以<EA; >不是阿贝尔群。
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈G，
a0=e, a n 1 a n a ( n = 0, 1 , 2, …) 规定（a-1)0=e, 再定义
a (a ) a a a
n
1 n
1
1
1
另外，加法运算是可交换的，因此<I；+>是一个阿贝尔群。
例 <Q-{0}；· >是一个群，单位元是1，每一个有理数q的
逆元是1/q。
另外，乘法运算是可交换的，因此< Q-{0}；· >是一个阿贝尔群。
例 令EA =. f | f : A A 是 双 射
,则
E A ; 是 一 个 群
第5章
群
本章在上一章代数系统一般概念的基础上，着重介绍几种
典型的代数系统：半群、独异点和群、子群。讨论这些代数系
统中的特殊元素以及这些代数系统具有的性质。
主要内容如下：
5.1 5.2 5.3 5.4 半群和独异点 群的定义 群的性质 子群及其判别
5.1 半群和独异点
一、半群
定义5-1
二元运算，如果
因此（a
4c= 4b）
a
4 (b 4c)，即 4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是0，1和3互为逆元，2的逆元是2。 所以<Z4； 4>是一个群。
定义5-8: 如果群<G; * >的运算*是可交换的，则称该群
为交换群或阿贝尔群。
例 <I；+>是一个群，单位元是0，每一个整数i的逆元是-i。
所以3也是其生成元。
离散数学(二)群和子群
推论：
−1 −1 −1 −1 (a1 ∗ a 2 ∗ ... ∗ a n ) −1 = a n ... ∗ an ∗ ∗ a ∗ a −1 2 1
二、群的性质与结构
由定理4可得出以下结论： 一阶群仅有一个，二阶群仅有一个, 三阶群仅一个, 五阶群仅有一个， 四阶群仅有两个，六阶群仅有两个。
* e
e e
(3) G 关于*存在么元e；
(4) G中每个元素关于*存在逆元, 即对每一a∈G, 存在一个元素a-1, 使a-1 * a = a * a-1 = e。 则称代数系统<G, *>为群。
(2) G上运算*可结合：对所有的a,b,c∈G有，(a*b)*c=a*(b*c)
一、半群、独异点和群
对群 <G , *>， (1) 若运算*是可交换，则称该群为可交换群, 或称阿贝尔群。 (2) 若G是无限集，则称<G , *>为无限群 (infinite group) 若 G是有限集，则称<G , *>为有限群 (finite group) 有限群G的基数|G|称为群的阶数。 例1 (1) <I, +,0>是阿贝尔群，无限群 (2) 代数<Nk, +k, [0]>是阿贝尔群, 这里x-1=k-x。 但代数<Nk, ×k ,[1] >不是群, 因为0元素没有逆元。
a0 = e a n +1 = a n ∗ a a − n = ( a −1 ) n
由以上定义可知, 对任意m、k∈I, am, ak都是有意义的,另外群中 结合律成立, 不难证明以下指数定律成立:
a m ∗ a k = a m+k ( a m ) k = a mk
二、群的性质与结构
离散数学群与子群-PPT
解:由题意,R上得二元运算★得运算表如上所示,由表知,运算★在R上就 是封闭得。
对于任意a, b, cR,(a★b)★c表示将图形依次旋转a, b和c,而 a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a,而总得旋转角度都就是 a+b+c(mod 360),因此(a★b)★c= a★(b★c),即★运算满足结合性。
a
b
c
d
b
d
a
c
定理5、4、4 群〈G,*〉得运算表中任一行(列)得元素都就是G中元 素得一个置换。且不同行,不同列得置换都不同。 证明 首先,证明运算表中得任一行或任一列所含G中得一个元素不可能多 于一次。用反证法,如果对应于元素a∈G得那一行中有两个元素都就 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。
其次,要证明G中得每一个元素都在运算表得每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G得那一行,设b就是G中得任一元素,由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a得那一行中。
再由运算表中没有两行(或两列)相同得事实,便可得出:<G,*>得运算表中 每一行都就是G得元素得一个置换,且每一行都就是不相同得。同样得 结论对于列也就是成立得。
结果都等于另一个元素, ) 3) G中任何元素得逆元就就是她自己; 。 故〈G,*〉为一个群。 此外,运算就是可交换得,一般称这个群为克莱因(Klein)四元群,简称四元群。
思考练习
已知:在整数集 I 上得二元运算定义为:a,b∈I,
a b=a+b-2
证明:< I , >为群。
么元为:2 逆元:x-1＝4-x
离散数学群与子群
一、群得概念
《离散数学课件》群与环3
7/34
定理的证明(续)
设G=(g)是一个n阶有限循环群，则gn=e，且对于任意的小于n 的正整数m，gm≠e。所以，对于任意的小于n大于等于0的二个 整数m1，m2，若m1≠m2，则gm1≠gm2。 即 G={g, g2, ..., gn-1, g0=e}， 而模n的整数加群为 (Zn，)， 这里Zn={0, 1, 2, ..., n-1}。 作映射φ ，对于任意的i ∊ Zn， φ( i)=gi。 显然φ是一个满射且也是一个单射，即φ是一个双射。 对于任意的i，j ∊ Zn， 若i+j ≤ n-1， φ (i j)=φ (i+j)=gi+j =gi ∘ gj=φ(i)∘φ(j)， 若i+j ≥ n， φ (i j)=φ (i+j-n)=gi+j-n=gi+j-n∘gn =gi+j=gi ∘ gj=φ(i)∘φ(j) 。 所以φ也即是同构映射，从而 (Zn， )同构于(G，∘)。
A2={0, 3}，
A3={0, 2, 4}，
和Z6本身。
14/34
例 S3= { (1), (12), (23), (13), (123), (132)}
S3的所有子群为: {(1)}
∘ (1) (12) (13) (23) (123) (132)
(1)
(12) (13) (23)
(1)
(12) (13) (23)
25/34
由子集A生成的子群(A)
设(G，· )是一个群，Ø≠A⊆G， 设想给出G的一个子群A’，有性质： ◆A’ ⊇A， ◆且若有B是G的子群，B⊇A，则B⊇A’。 这样的子群A’称为由子集A生成的子群，记 (A)=A’。
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循环群
定理的证明(续)
设G=(g)是一个n阶有限循环群，则gn=e，且对于任意的小于n 的正整数m，gm≠e。所以，对于任意的小于n大于等于0的二个 整数m1，m2，若m1≠m2，则gm1≠gm2。 即 G={g, g2, ..., gn-1, g0=e}， 而模n的整数加群为 (Zn，)， 这里Zn={0, 1, 2, ..., n-1}。 作映射φ ，对于任意的i ∊ Zn， φ( i)=gi。 显然φ是一个满射且也是一个单射，即φ是一个双射。 对于任意的i，j ∊ Zn， 若i+j ≤ n-1， φ (i j)=φ (i+j)=gi+j =gi ∘ gj=φ(i)∘φ(j)， 若i+j ≥ n， φ (i j)=φ (i+j-n)=gi+j-n=gi+j-n∘gn =gi+j=gi ∘ gj=φ(i)∘φ(j) 。 所以φ也即是同构映射，从而 (Zn， )同构于(G，∘)。
A2={0, 3}，
A3={0, 2, 4}，
和Z6本身。
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例 S3= { (1), (12), (23), (13), (123), (132)}
S3的所有子群为: {(1)}
∘ (1) (12) (13) (23) (123) (132)
(1)
(12) (13) (23)
(1)
(12) (13) (23)
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由子集A生成的子群(A)
设(G，· )是一个群，Ø≠A⊆G， 设想给出G的一个子群A’，有性质： ◆A’ ⊇A， ◆且若有B是G的子群，B⊇A，则B⊇A’。 这样的子群A’称为由子集A生成的子群，记 (A)=A’。
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循环群
离散数学教程-王元元-第12章 群环域
语言<，并置>，其中||=n。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.2.1 群及其基本性质
定义12.3 称代数结构<G,>为群，如果 （1）<G, >为一半群。 （2）<G, >中有幺元e。 （3）<G, >中每一元素都有逆元。 简言之，群是每个元素都可逆的独异点。
群的载体常用字母G表示，G也常用于表示一个群。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
定理12.3 设<S,>为一半群,那么 (1) 存在<S,>到<SS,◦ >的半群同态h。 (2) <S,>在含有幺元时同构于<h(S),◦>, 后者是<SS,◦ >的一个子代数。 证 证(1)：定义函数h:S→SS：对任意aS，h(a)= fa fa：S→S 定义如下: 对任意xS， fa(x)= ax 即将S中的一个元素a影射到一个线性变换fa。现证h为一同态。 对任何元素a,bS ， h(ab)＝fab (l2－1) 而对任何xS，fab(x)= abx = fa(fb(x))= fa◦fb (x)，故fab= fa◦fb ,
由此及式(l2－1)即得 h(ab)= fab = fa◦fb ＝h(a)◦h(b)
证(2)：只需证明a,bS，如果a≠b，则fa≠fb。因为<S,>含有幺元 e，a*e=a≠b*e=b，所以存在xS，fa(x)≠fb(x)，定理得证。
离散数学 第12章 群、环、域 12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
（4）S由A生成，即S中元素或者为e, 或者为A的成员，或者 为
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.2.1 群及其基本性质
定义12.3 称代数结构<G,>为群，如果 （1）<G, >为一半群。 （2）<G, >中有幺元e。 （3）<G, >中每一元素都有逆元。 简言之，群是每个元素都可逆的独异点。
群的载体常用字母G表示，G也常用于表示一个群。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
定理12.3 设<S,>为一半群,那么 (1) 存在<S,>到<SS,◦ >的半群同态h。 (2) <S,>在含有幺元时同构于<h(S),◦>, 后者是<SS,◦ >的一个子代数。 证 证(1)：定义函数h:S→SS：对任意aS，h(a)= fa fa：S→S 定义如下: 对任意xS， fa(x)= ax 即将S中的一个元素a影射到一个线性变换fa。现证h为一同态。 对任何元素a,bS ， h(ab)＝fab (l2－1) 而对任何xS，fab(x)= abx = fa(fb(x))= fa◦fb (x)，故fab= fa◦fb ,
由此及式(l2－1)即得 h(ab)= fab = fa◦fb ＝h(a)◦h(b)
证(2)：只需证明a,bS，如果a≠b，则fa≠fb。因为<S,>含有幺元 e，a*e=a≠b*e=b，所以存在xS，fa(x)≠fb(x)，定理得证。
离散数学 第12章 群、环、域 12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
（4）S由A生成，即S中元素或者为e, 或者为A的成员，或者 为
6.2-群的定义(离散数学)
理解群的定义
元数为1的群仅有 的群仅有1个 例. ① 元数为 的群仅有 个 * e e e
② 元数为 的群仅有 个 元数为2的群仅有 的群仅有1个 *
e a e e a a a e
6.2.3 群的性质--（1） 群的性质--（
定理6.2.1 群的单位元素是唯一的,任意元 群的单位元素是唯一的, 定理 素的逆也是唯一的。 素的逆也是唯一的。即,设（G， ）是一个群， ， ）是一个群， 中恰有一个元素1适合 则G中恰有一个元素 适合 = a1 = a,而且对 中恰有一个元素 适合1a 而且对 于任意a恰有一个元素 a-1适合 aa-1 =a-1a=1。 于任意 恰有一个元素 。 证明： 都是单位元素， 证明：若1和1’都是单位元素，则1’=11’=1， 和 都是单位元素 ， 故1’=1。 。 若b和c都有 -1的性质，则 和 都有a 的性质， 都有 b=b1=b(ac)=(ba)c=1c =c，故b=c。 ， 。
a b 是否为群。 1,-1}关于普通乘法运算是否构成 G={1,-1}关于普通乘法运算是否构成 一个群？ 一个群？ G={1, -1, i, -i}关于普通乘法运算是 i}关于普通乘法运算是 否构成一个群？ i=(否构成一个群？其中 i=(-1)1/2.
理解群的定义
例. 群中不可能有零元。 群中不可能有零元。 证明：设(G, *)是群，其单位元是1， 证明： 是群，其单位元是 ， 是群 当│G│=1，它的唯一元素视为单位元。 ，它的唯一元素视为单位元。 当 G>1， 用反证法 。 假设 （ G， *） 有零 ， 用反证法。 假设（ ， ） 则对 ∈ ，都有x*θ θ 元θ，则对x∈G，都有 θ=θ*x=θ ≠ 1，即 θ ， 不存在x∈ ，使得x*θ θ 不存在 ∈G，使得 θ=θ*x=1， ， 亦即， 无逆元，这与 是群矛盾 是群矛盾。 亦即，θ无逆元，这与G是群矛盾。