2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题含答案
北京大学2023年中学生数学科学夏令营第一天测试题
一、设正整数3n ≥，证明：北京大学2023
年中学生数学科学夏令营测试题
1arccos π是无理数．二、对于正整数n ，定义()S n 为0到1n -中所有整数在十进制中数码和之和，证明：若正整数m n ≥，则
()()()S m n S m S n n +≥++．
三、如图，在ABC D 中，BC 是最长边．设AC 的中垂线与直线,BC AB 分别交于点,D E ，B 关于此中垂线的对称点为F ．设AB 的中垂线与直线,BC AC 分别交于点,J K ，C 关于此中垂线的对称点为L ．设,BL CF 交于点N ，BJL D 的外接圆与直线JN 交于另一点R ．CDF D 的外接圆与直线DN 交于另一点Q ．过N 作BC 的平行线交直线EK 于点P ，设M 是,FL BC 的交点，l 是ABC D 外接圆平行于BC 的直径，证明：,,QR MP l
交于一点．
四、将20232023⨯的方格表黑白染色，使得每个22⨯的小正方形中均有至少一个黑色单位方格，且每个黑色方格均在一个22⨯的黑色小正方形（四个单位方格均为黑色）中．记i a 为第i 行中的黑色方格数，i b 为第i 列中的黑色方格数，求 2023221()i i i a b =-∑最大值．。
2015年北京大学优秀中学生体验营数学试题及答案
6、已知n∈N∗，求证：
7、已知a,b,c是三角形的三条边之长，k为实数，且ak+bk=ck，求证：k<0或k>1．
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题
参考答案
1、
2、( )
提示：利用余弦定理和三角形的三边关系．
3、
提示：齐次化，有
于是所求的最大值为 ．
4、f(x)=8x3−6x+1
提示：利用三倍角公式及1−2sin(3⋅100)=0构造．
5、
7、记
若c不为最大边，则由
得
于是k>1．综上，原命题得证．
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题
文科做前5题，理科做后5题，每题20分，满分100分．
1、设 ，求 的值．
2、已知D为三角形ABC的边BC上的一点，BD:DC=1:2，AB:AD:AC=3:k:1，求k的取值范围．
3、已知正实数a,b,c满足a+b+c=1，求 的最大值．
4、构造整系数多项式函数f(x)，使f(sin100)=0．
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案
第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。
2018年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考答案
二、填空题 1．已知实数 a, b, c, d 满足 5a=4，4b=3，3c=2，2d=5，则(abcd)2018=______． 答：1． 解：化 5a=4，4b=3，3c=2，2d=5 为对数，有 ln 4 ln 3 ln 2 ln 5 ， a log5 4 , b , c , d ln 5 ln 4 ln 3 ln 2 所以
2018 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第 2页 共6页
6 ． 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 若 存 在 两 不 等 实 数 x1, x2 R ， 使 得 x +x f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称函数 f (x)具有性质 P．那么以下函数： f( 1 2) 2 2
2018 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第 4页 共6页
6. 在 3×3 的“九宫格”中填数， 使每行、 每列及两条对角线上 的三数之和都相等，有 3 个方格已经填的数分别为 4, 7, 2018，如右 图，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和为______． 答：−11042.5． 解： 将其余 6 个格子标上字母， 如右下图， 由 a+2018+b=4+7+b
1 ( x 0) ① f ( x) x ； 0 ( x 0)
② f ( x) x 2 ；
③ f ( x) x 2 1 ；
④ f ( x) x3
中，不具有性质 P 的函数为 （A）①． 答：B． 解：具有性质 P 的函数的特点是：存在一条直线与函数图象有三个交点，且其中 一个是另外两个交点的中点. 画图可知①、③、④都是具有性质 P 的函数，②不具备有 三个交点，②是不具有性质 P 的函数 （B）②． （C）③． （D）④．
北京大学中学生数学奖挑战赛解答及评分标准
,100 ）
k 1 k 1 2k 99 100 k
若 k 49 ，则有 f i 100 100 k 99 98
i 1
100
容易算出当 k 66 时取到最小值 8350，此时
两问各15在正方形的边界和内部给出若干个点以这些点和原正方形的顶点为顶点将正方形划分为若干个小三角形不允许出现一个小三角形的顶点在另一个小三角形的边上
北京大学中学生数学奖 个人能力挑战赛——解答
每题 30 分，满分 120 分 评分以 5 分一档
1. 已知实数 a1 , a2 ,
, a6 满足 a1 a2 a3 a4 a5 a6 2014 ，试求
a2 a5 a1 a3 a4 a6 2 ， a3 a6 a2 a4 a1 a5 2 ．
故
1i j 6
a
i
a j 10 ，
1i j 6
ai a j 最小值为 10060．
1i j 6
ai a j 的最小可
能值． （其中 x 表示不超过 x 的最大整数） 简答：最小值为 10060．
1i j 6
ai a j 2014 5
1 i j 6
a
i
aj
而由 a1 a2 a3 a4 a5 a6 为整数，故 a1 a2 a3 a4 a5 a6 2 ． 类似可得 a2 a3 a4 a5 a6 a1 2 ， a1 a4 a2 a6 a3 a5 2 ，
2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题 含答案(精品范文).doc
【最新整理，下载后即可编辑】北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年6月23日本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.1.已知a 、b 、c 为整数，且对任意正整数m 、n ，存在整数x 满足如下关系：()2mod .ax bx c m n ++≡求所有满足要求的三元整数组(),,a b c .2.已知实数122018,,,a a a 两两不同，存在t 满足11i i a t a ++=（1,2,,2018i =，并规定20191a a =）.求实数t 的可能取值的个数.3.给定正整数n 、k .有一个密码锁，它有n 个按钮，编号分别为1n .打开该锁的密码是长度为k 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k 个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n =，2k =，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？4.如图，ABC ∆中AB AC ≠.点A 所对应的旁切圆圆J 分别与直线BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F .点M 是线段BC 的中点.点S 在线段JM 上，且满足AS DS AE +=.求证：MS BD CD SJ ⋅=.试卷答案本试卷共4题1.设()2f x ax bx c =++，注意()()()mod f x f x n n ≡+，故本题只需对任意正整数n ，()()()0,1,,1f f f n -组成模n 的完全剩余系.下证0a =，1b =-或1.若0,1a b +≠±，取n a b =+，则()()()01mod f f n ≡，矛盾. 若0a b +=，则()2f x ax ax c =-+，此时()()01f f =，这也不可能. 故1a b +=-或1.当1a b +=时，0a ≠，则1641241248a b a a b +≥-+≥-=. 取164n a b =+，则()()()04mod f f n ≡，矛盾.故0a =. 类似当1a b +=-时，取164n a b =+，可得0a =.故()(),0,1a b =或()0,1-.注意对任意正整数m 、n ，同余方程()mod x c m n +≡和()mod x c m n -+≡显然有解.故()(),,0,1,a b c k =或()0,1,k -，k Z ∈.2.由已知有11i i a t a +=-，不动点方程为1x t x=-，化为210x tx -+=，设此一元二次方程的两根为α与β.当αβ=时，若2t =，则1112i i i a a a +--=-，111111i i a a +=---，2019111201811a a =---，矛盾. 若2t =-，同理可得2019111201811a a =+++，也矛盾. 所以αβ≠，可得1i i i a a t a ααα+--=⋅-，以及1i i i a a t a βββ+--=⋅-， 两式相除得11i i i i a a a a αααβββ++--=--，有2111111i i i i a a a a a a αααααββββ++-⎛⎫--==⋅ ⎪---⎝⎭， 从而40362019120191a a a a αααββ--=⋅--，40361α=， 由对称性，不妨设2018ki e πα=，()40362018k ieπβ-=，其中12018k ≤≤. 另一方面，当12018i j ≤<≤时，由i j a a ≠知，j i j i a a a a ααββ--≠--， 而()21j j t j t a a a a αααββ---=⋅--.所以当12018t ≤<时，21t α≠， 即2220181tki t e πα=≠，即对任意12018t ≤<，tk 都不是2018的倍数， 即(),20181k =，又因为201821009=⨯，所以这样的k 有11201811100821009⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个，所以2cos 2018k t παβ=+=有1008个取值. 3.最少需要按1k n k +-次.不同的密码共有k n 个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍.从第k 次按键开始，每次按动按钮都可以视为一个长为k 的序列末位，故至少需要1k n k +-次.下面给出按动1k n k +-次可以满足要求的存在性证明. 当1k =时结论显然成立，故下设2k ≥.构造图G ，共有1k n -个顶点，每个顶点对应为一个长为1k -的序列.对顶点A ，B ，若点A 所对应序列的后2k -位与点B 所对应序列的前2k -位相同，则在AB 之间连一条由A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边.注意图G 为连通图，且每个顶点的入度和出度均为n ，我们即证明该图中存在欧拉圈.为此给出如下引理：若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈.对图G 的总边数进行归纳证明，若图G 每个顶点出入度为1，且该图中存在圈，再由连通性可得该圈为欧拉圈. 若总边数小于m 时结论成立，考虑总边数等于m 时. 考虑图中的最大有向圈Γ，显然这样的圈存在.若Γ不是欧拉圈，则从图G 中去掉Γ，得到图G '.此时图G '每点的出入度仍相同（但可以为0）.取G '中的一条边，使其一个顶点在Γ中，沿该边前进，可以得到图G '中的圈'Γ.注意Γ和'Γ没有公共边，故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与Γ的最大性矛盾，故此时结论成立. 综上，引理得证.由引理，我们即可得到本题存在性证明.4.如图，作BDS ∠的平分线交BJ 于P ，以P 为圆心、点P 到直线BC 的距离为半径作P ，则P 与直线AB 、BD 、DS 均相切.过A 作P 的异于直线AB 的切线，交直线DS 于S '，则P 与四边形ABDS '的各边所在直线均相切，由“切线长相等”可得AB BD AS DS ''+=+，又已知AS DS AE AF AB BD +===+，因此AS DS AS DS ''+=+，故SS AS AS ''=-，由“三角形两边之差小于第三边”可知 S '与S 重合，所以P 与四边形ABDS 的各边所在的直线都相切. 作CDS ∠的平分线交CJ 于Q ，以Q 为圆心、点Q 到直线BC 的距离为半径作Q ，类似可证Q 与折四边形ACDS 的各边所在的直线都相切.从而AS 、DS 都与P 和Q 相切，故S 是P 和Q 的内位似中心.故S 、P 、Q 三点共线.下面证明//PQ BC .用反证法.假设直线PQ 与直线BC 相交于T ，因DP 、DQ 分别平分SDT ∠或SDT ∠的邻补角，所以DP 、DQ 、DS 、DT 是调和线束，该线束与直线PQ 截得4点P 、Q 、S 、T 是调和点列，故JP 、JQ 、JS 、JT 是调和线束，该线束再与直线BC 截得4点B 、C 、M 、T 是调和点列，但M 是BC 的中点，矛盾，所以//PQ BC .设PQ 与JD 相交于H .由DP 、DQ 分别平分BDS ∠及其邻补角得DP DQ ⊥，再结合//PQ BC 得PQ DH ⊥，所以 PH QH MS DH PH QH BD CD BD CD SJ HJ HJ HJ JD JD ⋅⋅====⋅=.。
2018年北京大学金秋营数学试题(部分含答案)
2018年北京大学金秋营数学试题
1、设△ABC 的垂心为H ，中点三角形的内切圆为T ，圆心为S 。
直线l ‖AB ，m‖AC ，且都与T 相切（AB,l ；AC,m 分别在S 同侧），l 与m 交于T 。
射线AT 上一点N 满足AN=2AT ，Q 是优弧（BAC ）的中点，点R 让四边形AHRQ 成为平行四边形。
证明：HR ⊥RN 。
2、给定整数k ＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+34
3k ⎢⎥+⎢⎥
⎣
⎦+1组整数解（m, n, r ）.
3、给定正整数k. A,B,C 三个人玩一个游戏（A 一边,B 和C 一边）：A 先从集合{1，2，…，n}中取k 个数交给B ，B 从这k 个数中选择k-1个有序地给C ，若C 能够确定B 没给C 的数是什么，则B,C 赢了，求最大的正整数n ，使B,C 有必胜策略。
4、确定全部f ∈Z[x](deg f≤2),使存在g ∈Z[x],满足x 3-1|f(x)g(x)-1.
6、平面上是否存在某个有限点集A 和某个有限直线集B ，满足A 中的每个点恰好在B 中三条直线上，且B 中每条直线恰好经过A 中的三个点。
8、设k∈Z+, S={(m+1
k ,n)|m,n∈Z},T={(m+ ,n)|m+
2
k, n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k, 使得存在
a,b,c,d∈R及映射
F:R2→R2, F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.
【部分试题参考解答】
第1题参考解答
第2题参考解答
第5题参考解答。
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，且这些自然数的和为2018．请问这个学生写出的这17个自然数中，最小的数是多少？（请给出详细解题过程）解：设这17个自然数分别为a1,a2,…,a17，则有：a1+a2+…+a17=2018由于每个自然数的个位数码只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的个位数字之和一定是45，即这17个自然数的个位数字之和为765．设b1,b2,…,b17分别为这17个自然数的十位数字，则有：b1+b2+…+b17=765由于每个自然数的十位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的十位数字之和一定是45，即这17个自然数的十位数字之和为765．设c1,c2,…,c17分别为这17个自然数的百位数字，则有：c1+c2+…+c17=765由于每个自然数的百位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的百位数字之和一定是45，即这17个自然数的百位数字之和为765．由此可得，这17个自然数中最小的数为100+10+1=111．一、1.A在1到100这100个自然数中，有25个质数，分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因此，质数在这100个自然数中所占的百分比是25%。
2.C将10分拆成三个正整数之和，共有8种情况：1+1+8、1+2+7、1+3+6、1+4+5、2+2+6、2+3+5、2+4+4、3+3+4.根据“三角形两边之和大于第三边”的原则，只有（2，4，4）和（3，3，4）两组可以构成三角形。
由于等腰三角形的两个底角都是锐角，因此以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角。
以3、3、4为边的等腰三角形中，由3的平方加3的平方大于4的平方可知顶角也是锐角。
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北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题
2018年6月23日
本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.
1.已知a、b、c为整数，且对任意正整数m、n，存在整数x满足如下关系：
2
ax bx c 三m mod n .
求所有满足要求的三元整数组a,b,c .
、，1
2.已知头数a1,a2,11 （, a2018两两不同，存在t满足a i t （i = 1,2,11丨,2018，并规定
a i
a2019 =印）.求实数t的可能取值的个数.
3.给定正整数n、k.有一个密码锁，它有n个按钮，编号分别为1L n.打开该锁的密码是长度为k的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k个按钮时，密码锁会被打开.（例如n=3 ,
k =2，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？
4.如图，AABC中AB = AC .点A所对应的旁切圆圆J分别与直线BC、CA、AB相切于
点D、E、F .点M是线段BC的中点.点S在线段JM上，且满足AS D^ AE.求证:
MS BD CD
SJ 一JD
本试卷共4题
1.设f x = ax 2 bx c ，注意f x 三f x • n mod n ，故本题只需对任意正整数
n ,
f 0 ,f 1 n -1组成模n 的完全剩余系.
下证 a =0, b 二「1 或 1.
若 a +b 式0, ±1，取 n = |a +b ，则 f （0）三 f （1modn ），矛盾• 若a • b = 0，则f x 二ax 2 - ax • c ，此时f 0二f 1，这也不可能• 故 a • b = -1 或 1.
当 a+b=1 时，a^0，贝U 16a+4b|z12a —4a + bK12 — 4= 8. 取 n = 16a 4b ，则 f 0 三 f 4 mod n ，矛盾.故 a = 0. 类似当a b - -1时，取n = 16a 4b ，可得a = 0. 故 a,b 二 0,1 或 0,-1 .
注意对任意正整数 m 、n ，同余方程 x • c 三m mod n 和- x • c 三m mod n 显然有解.
故（a,b, c ）=（0,1, k 或 （0,—1,k ）, " Z .
1 一 、 1 2
2.由已知有a i 1
,不动点方程为x
,化为x - tx ■ 1 = 0 ,设此一元二次方程的
tp
t —x
两根为：•与1
. 当，--时，
所以「= 1 ,可得 a ： 1 _「=「，以及 ai
■ aL ^-
试卷答案
1
a i -1
1
a 2019 - 1
2018，矛盾.
6 T
若t 二-2，同理可得
—-2018，也矛盾.
a 「1
若 t = 2，则 a i ,
2 p
1
a 2019
1
a ： —a a —ct 另一方面，当1叮门空2018
时，由a=a j 知，」
虫
aj _ P a - P
而 a ^ = /2 .1.所以当仁— 2018 时，〉2t "，
a j -】 4——
2「tki
即：.2t 乂罰 -1，即对任意1 <t :: 2018，tk 都不是2018的倍数， 即 k,2018 =1，又因为 2018=2 1009，
f 1 \ f 1 、 kr 所以这样的 k 有 2018 汇 1—— 1x11— --- 1(=1008 个，所以 t =a+P=2cos ——有 1008
V 2 八 1009 丿 2018
个取值.
3.最少需要按n k k -1次.
不同的密码共有n k 个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍
.从第k 次按键开始，每次按动 按
钮都可以视为一个长为 k 的序列末位，故至少需要 n k k -1次. 下面给出按动n k k -1次可以满足要求的存在性证明 . 当k =1时结论显然成立，故下设 k _ 2.
构造图G ，共有n k ‘个顶点，每个顶点对应为一个长为 k-1的序列.
对顶点A ，B ，若点A 所对应序列的后k-2位与点B 所对应序列的前k-2位相同，则在AB 之间连一条由 A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边 .注意 图G 为连通图，且每个顶点的入度和出度均为 n ，我们即证明该图中存在欧拉圈 . 为此给出如下引理：
若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈 对图G 的总边数进行归纳证明，若图 G 每个顶点出入度为1，且该图中存在圈，再由连通性
可得该圈为欧拉圈.
两式相除得「7
- ai ■'
，有 ai 1 _ -
q …. 2i a-i -:- ---------------------- —=a ------ -----------------------------
a i 1 —
从而 a2019 ■-
4036 =a
a 2019 -'
4036 ‘ : =1,
由对称性，不妨设〉二e 翻，［二
二 4036 _k i
，其中1 Ek 乞2018.。