控制系统的瞬态响应分析

2
( s)
K Tm S 2 S K
n －自然频率（或无阻尼振荡频率）
n
2
K Tm
n
K Tm

－阻尼比（相对阻尼系数）
1 2 n Tm

1 2 Tm K
n C ( s) ( s) 2 R( s) S 2 n n 2
2
（3-18）
R(s)
c(t ) t T (1 e
因为 e(t ) r (t ) c(t ) T (1 e 所以一阶系统跟踪单 位斜坡信号的稳态误差为
1 t T
1 t T
) t T Te
r(t) c(t)
1 t T
)
) r(t
c(t)
e ss lim e(t ) T
t d 0.69T
t r 2.20T t s 3T (5%误差带） t p 和％不存在
二、 单位脉冲响应Unit-impulse response of first-order systems
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的 拉氏变换与系统的传递函数相同，即
1 C (s) TS 1
2
－衰减系数
左 半 平 面 ξ>0
j d d n 1
1 R( s) S
ξ=0 jω jωn
右 半 平 面 ξ<0
－阻尼振荡频率
2
0<ξ<1
ξ=1 两个相等根
ωd=ωn β
0
n C ( s) ( s) 2 R( s) S 2 n n 2
二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。 二阶系统瞬态响应具有典型性，动态性能指标是根据二姐系统 的瞬态响应来定义的。工程中，一定条件下，一个高阶系统 可近似为二阶系统处理。
一、 二阶系统的标准形式
n C ( s) ( s) 2 R( s) S 2 n n 2
_
ωn2 S(S+2ξωn)
C(s)
n

－自然频率（或无阻尼振荡频率） －阻尼比（相对阻尼系数）
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示
二阶系统的动态特性，可以用 和 n 加以描述,二阶系统的特征方程：
S 2 2 n S n 0
2
1(t ) , t 0
t , t0 1 2 （单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线 t , t 0 2
（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度 （单位）脉冲函数（Impulse function）
(t ) , t 0
正弦函数（Simusoidal function）Asinut ， 当输入作用具有周期性变化时。
S1, 2 n j n 1
2
ξ=1 两个相等根
ωd=ωn β
0
σ
ξ=0
ξ>1 jωn 两个不等根 图 3-9 二 阶 系 统 极 点 分 布
(1)欠阻尼(0 1 )二阶系统的单位阶跃响应
S1, 2 n j n 1 2
令
n
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
d
h(t ) 1 e 1
nt
[cos d t
2

n n d d d n 1 2 1 2
1 1
1
2
sin d t ]
1
e
nt
sin( d t )
arctg

四、 单位加速度响应 1 2 1 r (t ) t R(s) 3 2 S
1 1 A B C C ( s) ( s) R( s) ( ) 3 3 2 TS 1 S S S S
1 T 1 S T
1 T T2 T2 1 S3 S2 1 S S S T T D
t
0
t
图 3-5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应
c(t ) t T (1 e
1 t T
) t T Te
1 t T
1 t T
r(t) c(t)
e(t ) r (t ) c(t ) T (1 e
) r(t
)
0
c(t)
e ss lim e(t ) T
－临界阻尼系数，
1 时，阻尼系数
0
0 1
两个正实部的特征根
发散
1
，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，欠阻尼系统 ，为两个相等的根 ，两个不相等的根 ，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
左 半 平 面 ξ>0
1
0
ξ=0 jω jωn
右 半 平 面 ξ<0
0<ξ<1
n2 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 S 2 n S n S
S n n 1 2 2 S (S n ) d (S n ) 2 d 2
σ
ξ=0
ξ>1 jωn 两个不等根 图 3-9二 阶 系 统 极 点 分 布
（ b） 方 块 图
当初使条件为零时，其传递函数为
R(s)
（ c） 等 效 方 块 图
C(s)
C (s) 1 (s) R( s) TS 1
这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
一、 单位阶跃响应（Unit-Step Response of First-order System）
t 0
1
2

1 2
稳态分量
瞬态分量

arccos
稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差， 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为 d －阻尼振荡频率
包络线 1 e nt
1
2
决定收敛速度
0 时， h(t ) 1 sin n t
1 因为单位阶跃函数的拉氏变换为 R( s ) ，则系统的输出为 S C (s) 1 1 1 1 1 (s) C ( s) ( s) R( s) R( s) TS 1 TS 1 S S TS 1
对上式取拉氏反变换，得
c(t ) 1 e

t T
t 0
（3-23）
这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率 n 为由系统本身的结构参数确定－故称为无阻尼振荡频率
(2)临界阻尼( 1 )
1 r (t ) 1(t ) , R ( s ) S
n 2 n 1 1 1 C ( s) (S n ) 2 S S (S n ) 2 S n
1 2 c(t ) t Tt 2
1 t T 2 (1 e T )
(t 0)
e(t ) r (t ) c(t ) Tt
1 t T 2 (1 e T )
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限 大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
微 分
相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，
所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能· 立即 跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为 瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前， 它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。——称动态 过程。
6.1 一阶系统的瞬态响应
+
r(t)
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
微 分
传递函数 (t )来自11 S 1 S2
1 T e T
t
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e

t T
t0
t T
t T Te
t 0
t T
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e 2
) t0
1 TS 1
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输 入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应 的积分；积分常数由零初始条件确定。
6.2 二阶系统的时域分析
Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems
第六章 控制系统的瞬态响应分析
第一节 一阶系统的瞬态响应
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节
二阶系统的瞬态响应
瞬态响应指标及其与系统参数的关系 具有零点的二阶系统的瞬态响应 高阶系统的瞬态响应 瞬态响应指标与频率响应指标的关系
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很
难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的， 可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的 例子。
S1, 2 n n 2 1
二、单位阶跃响应
Unit-Step Response of Second-Order Systems
阻尼比 是实际阻尼系数F与临界阻尼系数 FC 的比值

1 2 Tm K 1 2 JK F 1 2 J K1 F 2 F 2 JK1 F FC
这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为
g (t ) L1[G(s)] ,其表达式为
1 T c(t ) e T
t
t0
三、单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems 1 1 1 T T2 1 2 2 当 R(s) S 2 C ( s) ( s) R( s) TS 1 S 1 TS S S 对上式求拉氏反变换，得：