第5章 瞬态响应和稳态响应分析
第五章 汽车转向系统动力学,
第五章汽车转向系统动力学问题的提出汽车转向系统动力学是研究驾驶员给系统以转向指令后汽车在曲线行驶中的运动学和动力学特性。
这一特性影响到汽车操纵的方便性和稳定性，所以也是汽车安全性的重要因素之一，因而成为汽车系统动力学中重要研究内容之一。
汽车操纵稳定性是与汽车的车速密不可分的，早期的低速汽车还谈不上稳定性的问题，最早出现稳定性的问题，是在具有较高车速的轿车上或赛车上，目前，随着车速的不断提高，轿车、大客车、载货汽车的设计都离不开汽车操纵稳定性的研究。
近年来，有许多学者研究这一问题，并取得很多成果。
操纵性不好的汽车的主要表现：1.“飘” －有时驾驶员并没有发出转向的指令，而汽车开始自己改编本方向，使人感到汽车漂浮2.“贼”－有时汽车像受惊的马，忽东忽西，汽车不听驾驶员的指令；3.“反应迟钝”－驾驶员虽然发出指令。
但是汽车还没有转向反映，转向过程反应较慢；4.“晃”－驾驶员发出了稳定的转型指令，可使汽车左右摇摆，行驶方向难以稳定，当汽车受到路面不平，或者是侧向风扰动时，汽车就会出现左右摇摆；5.“丧失路感”－正常汽车转弯的程度，会通过转向盘在驾驶员的手上产生相应的感觉，有些汽车操纵性不好的汽车，特别是在汽车车速较高时，或转向急剧时会丧失这种感觉，这会增加驾驶员操纵困难，或影响驾驶员的正确判断6.“失去控制”－某些汽车的车速超过一个临界值以后，驾驶员已经不能控制器行驶的方向。
汽车的操纵稳定性：在驾驶者不感到过分紧张、疲劳的条件下，汽车能遵循驾驶者通过转向系及转向车轮给定的方向行驶，且当遭遇外界干扰时，汽车能抵抗干扰而保持稳定行驶的能力。
汽车的操纵性：汽车能及时而准确的反映驾驶员主观操作的能力，也就是按照驾驶员的愿望维持或改变原来的行驶路线的能力。
汽车的稳定性：汽车在外力干扰下，仍能保持或很快恢复原来行驶状态和方向，而不致丧失控制、发生侧滑或翻车的能力。
101两者的关系：操纵性的丧失常导致侧滑、回转、甚至翻车；而稳定性的破坏也往往使汽车失去操纵性，处于危险状态。
控制系统的瞬态响应及其稳定性分析
控制系统的瞬态响应及其稳定性分析控制系统的瞬态响应及其稳定性分析是控制理论的重要内容之一、瞬态响应描述了一个控制系统在输入信号改变时的响应情况，稳定性分析则是评估系统响应的稳定性和可靠性。
下面将从瞬态响应和稳定性分析两个方面进行探讨。
一、瞬态响应分析瞬态响应指的是一个控制系统在输入信号发生改变时，系统在一定时间范围内达到稳态的过程。
常见的瞬态响应包括过渡过程和超调量等指标。
1.过渡过程：在一个控制系统中，当输入信号发生改变时，系统输出信号不会立即达到稳定状态，而是经历一个从初值到最终稳定状态的过渡过程。
过渡过程的主要指标有上升时间、峰值时间和调整时间。
-上升时间（Tr）：指的是信号从初始值开始，达到其最终稳定值之间的时间间隔。
上升时间越短，系统的响应越快速。
-峰值时间（Tp）：指的是信号首次超过最终稳定值所需的时间。
峰值时间越短，响应越快。
-调整时间（Ts）：指的是信号从初始值到最终值之间的时间。
调整时间越短，系统的响应越快。
2.超调量：超调量是指在过渡过程中系统输出信号超过最终稳定状态的幅度。
超调量的大小可以直接反映系统的稳定性。
一般来说，超调量越小，系统的稳定性越好。
瞬态响应分析是评估系统性能的重要工具。
通过对瞬态响应的分析，可以了解系统的响应速度、稳定性和鲁棒性，并对系统进行优化和改进。
稳定性分析是评估控制系统稳态响应和稳定性的重要方法。
一个稳定的控制系统应该满足输入信号的变化不会引起系统输出信号的不稳定或震荡。
常见的稳定性分析方法有频域分析法和时域分析法。
1.频域分析法：频域分析主要利用系统的频率特性来分析系统的稳定性。
通过绘制系统的频率响应曲线，可以得到系统的增益和相位特性。
稳定性条件为系统的增益在截止频率处不为负值，即系统的增益曲线应该位于0dB线以上。
2.时域分析法：时域分析主要关注系统的时间响应曲线。
稳定性条件为系统在有限时间内达到并保持在稳定状态。
稳定性分析是评估控制系统性能的关键环节，它不仅可以帮助设计者理解系统的稳定性和鲁棒性，还可以为系统的优化和改进提供指导。
控制系统的时间响应
低阶系统G1的单位阶跃响应（用红色表示）：
一对共轭复根(左 半平面）
衰减振荡
一对负实重根 单调上升
两个互异负实根 单调上升
一对共轭复根(右 半平面）
发散振荡
两个互异正实根 单调发散
负 负
正 正
正
结论 :
①二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性
➢ξ<0时 ， 阶跃响应发散，
统不稳定。
➢ξ=0时 ，等幅振荡。 ➢0<ξ<1时 ，有振荡 ， ξ愈
0
T 2T 3T 4T t
特点 （ 1）一阶惯性系统总是稳定的 ，无振荡。
（2）经过时间T， 曲线上升到0.632的高度 。反过来， 如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间， 即是惯性环节的时间常数。
（3）经过时间3T～4T， 响应曲线达稳定值的95%~ 98％ ，可以认为其调整过程已经完成 ，故一般取调 整时间(3～4)T。
（3） 加速度函数 (Parabolic function)
表示在t =0时刻开始 ， 以恒定加速度随时间变 化的函数 ， 也称为抛物线函数。
当a= 1/2的加速度函数 ，称为单位加速度函数
。
（4）脉冲函数 (Impulse function)
当a=1时的脉冲函数 ，称为单位脉冲函数,记为
δ(t )。
（4）在t ＝0处 ， 响应曲线的切线斜率为1/T。
（5） ln[1-xo (t )] 与时间t 成线性关系
一 阶惯性环节识别曲线
其中
为常数。
判别系统是否为惯性环节 测量惯性环节的时间常数
5.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入为 输出为
单位脉冲响应为
T
一阶系统的瞬态响应
详细描述
在欠阻尼瞬态响应中，一阶系统的输出呈现衰减振荡的特点，其幅度随着时间的推移逐渐减小，直到 达到稳定状态。这种响应通常出现在系统具有一定的阻尼效应，但不足以阻止振动的发生。
过阻尼瞬态响应
总结词
过阻尼瞬态响应是一种一阶系统的瞬态响应形式，其特点是系统在激励作用下立即达到 稳态值，不发生振动。
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在控制系统中的重要性
基础性
一阶系统作为最简单的动态系统，是 理解和分析更复杂系统的基础。
实际应用
在实际的工程系统中，许多实际系统 的动态行为可以用一阶系统近似描述 。
瞬态响应与稳态响应的区别
瞬态响应
描述系统在输入信号作用下的动态行为，包括过渡过程和达 到稳态所需的时间。
稳态响应
描述系统在输入信号的长期影响下达到的稳态输出，与时间 无关。
传递函数表示
01
02
03
传递函数定义
一阶系统可以用传递函数 表示，如 $G(s) = frac{b}{as + b}$，其中 $s$ 是复变量。
极点和零点
传递函数的极点和零点决 定了系统的动态响应特性。
稳定性分析
通过极点和零点分析系统 的稳定性。
动态响应分析
时间响应
根据系统的微分方程或传递函数，分析系统的动态响应过程。
02
一阶系统的数学模型
微分方程描述
微分方程描述
一阶系统通常由一个一阶微分方程描述，如 $frac{dx}{dt} = ax(t) + b$，其中 $x(t)$ 是系统状态，$a$ 和 $b$ 是系统参数。
瞬态响应
几乎所有的电子电路都需要一个稳定的电压源，它维持在特定容差范围内，以确保正确运行(典型的 CPU电路只允许电压源与额定电压的最大偏离不超过±3%)。该固定电压由某些种类的稳压器提供。通过电阻分压器自动检测输出电压，误差放大器不断调整电流源从而维持输出电压稳定在额定电压上。
稳压器必须能够在负载电流需求量从零上升到满负荷(大约为20A或更多)时，保持输出电压恒定。当负载电流需求量缓慢变化时很容易做到这一点，但是，如果负载电流“阶跃”足够快的话，稳压器将无法提供完全稳定的输出电压。
稳压器的电流源(IREG)不能立即发生变化，因此在“t = 0+”时刻(也就是负载电流增加到IL2的瞬间)，IREG = IL1。通过简单节点分析得出，此时电流源需要输出电容：
ICOUT＝IL2－IL1
COUT将继续提供电流直到控制环路把IREG提高到IL2为止。在COUT必须提供电流期间，随着电容放电，它两侧的电压将会降低。电容的内部寄生等效串联电阻(ESR)和等效串联电感(ESL)同样也会使COUT两侧的电压降低，如图1所示。
负载降低瞬变的建立时间通常大于负载增加瞬变的建立时间，这是因为前者在COUT把过剩电压放电给负载阶段花费了更多的时间：既然负载电流需求量有所降低，那么电容的放电速度就变得更加缓慢。负载增加瞬变把它的大部分时间都用在使COUT回转上升上，同时稳压器在该模式下提供了最大电流(通常大于额定输出电流)。与向负载放电时的降低相比，当被上述大电流以正方向驱动时，COUT两侧的电压(也就是调节输出电压)将会变化得更快。
在稳压器的电流源被控制环路调整到新值之前的时间间隔内，ESR两侧的分压降低了输出电压(这段时间内COUT放电电荷量也会相应有所减少)。
既然这些因素导致调节后的输出电压降到额定值以下，那么输出电压到误差放大器的反馈量使得电流源IREG充分开启，从而迫使输出电压返回到额定电压。输出电压将上升并过冲超过额定值，此时随着环路继续进行调节，输出电压将被调整下降。这种情况下，环路的行为非常精确地反映了相位裕度(环路稳定度)。一个经过较好补偿且相位裕度大于40°的环路，将产生一个迅速消失的瞬变，而且该瞬变中仅包含一个大的偏移(如图2所示)。相对较小的相位裕度会在环路的建立行为上产生额外的“振铃周期(ring cycle)”。图2中的波形显示了一个稳定性方面的“最佳状况”描述，但它并不典型。
第5章 瞬态响应和稳态响应分析
5.3 二阶系统
将标准闭环传递函数的特征方程进行因式分解， 将标准闭环传递函数的特征方程进行因式分解，得
ωn2 C (s) = R( s) s + ζωn + ωn ζ 2 − 1 s + ζωn − ωn ζ 2 − 1
3、一阶系统的单位脉冲响应 、
单位脉冲响应的函数的拉氏变换为： 单位脉冲响应的函数的拉氏变换为：
R( s) = 1
因此，有 因此，
C ( s) =
其拉氏反变换
1 Ts + 1
1 −t / T c(t ) = e T
），响应速度很大 当t=0时，系统有一个峰值很高的输出响应（脉冲），响应速度很大；然后输 时 系统有一个峰值很高的输出响应（脉冲），响应速度很大； 出响应迅速减小，响应速度也呈快速下降趋势； 出响应迅速减小，响应速度也呈快速下降趋势；当t= ∞ 时，系统输出响应趋近于 稳态值0。 稳态值 。
1 T T2 C (s) = 2 − + s s Ts + 1
c(t ) = t − T + Te −t / T
= r (t ) − c(t )
= T (1 − e − t / T )
误差信号函数： 误差信号函数： e(t )
表明： 表明：当t= ∞ 时，
因而， e− t / T = 0，因而，误差
ζ =1 ζ >1
（临界阻尼） 临界阻尼） （过阻尼） 过阻尼）
5.3 二阶系统
（1）欠阻尼情况（ 0 < ζ < 1 ） ）欠阻尼情况（
2 ωn C (s) = R( s) s + ζωn + ωn ζ 2 − 1 s + ζωn − ωn ζ 2 − 1
汽车系统动力学复习资料5
5车辆操纵稳定性汽车操纵稳定性的定义：在驾驶员不感觉过分紧张、疲劳的条件下，汽车能按照驾驶员通过转向系及转向车轮给定的方向行驶，且当受到外界干扰时，汽车能抵抗干扰而保持稳定行驶的能力。
意义：操纵方便性、高速安全性行驶方向：直线、转弯干扰：路不平、侧风、货物或乘客偏载汽车系统坐标系及运动形式汽车操纵稳定性输入、输出输入：转向盘角度输入。
响应：时域响应、频域响应。
汽车时域响应分为稳态响应和瞬态响应。
1、转向盘角阶跃输入下进入的稳态响应：等速直线行驶，急剧转动转向盘，然后维持转角不变，即对汽车施以转向盘角阶跃输入，汽车经短暂的过渡过程后进入等速圆周行驶工况。
2、转向盘角阶跃输入下的瞬态响应：等速直线行驶和等速圆周行驶两个稳态运动之间的过渡过程所对应的瞬间运动响应。
稳态响应特性分类：不足转向、中性转向、过度转向。
转向盘保持一个固定转角不变，缓慢加速或以不同车速等速行驶时，不足转向的汽车转向半径逐渐增大，中性转向的汽车转向半径不变，而过度转向的汽车转向半径逐渐减小。
驾驶员---汽车闭环系统汽车时域响应：把汽车作为开环控制系统的控制特性。
驾驶员－汽车系统闭环控制系统：在汽车行驶过程中，驾驶员根据需要，操纵转向盘使汽车做转向运动。
路面的凹凸不平、侧风、偏载等干扰因素会影响汽车的行驶。
驾驶员则根据道路、交通等情况，通过眼、手及身体感知的汽车运动状况（输出参数），经过头脑的分析、判断（反馈），修正其对转向盘的操纵。
如此不断地反复循环，使汽车能稳定行驶。
汽车操纵稳定性的评价方法1、客观评价法：通过道路试验，用测试仪器测量转向时的汽车系统的物理参数。
试验项目：(1)、蛇形试验：评价汽车的随动性、收敛性、方向操纵轻便性和事故可避性等。
(2)、响应试验(转向盘转角阶跃输入)转向瞬态：评价汽车的动态特性。
(3)、转向瞬态响应试验(转向盘转角脉冲输入)：评价汽车的动态特性。
(4)、转向回正性能试验：评价汽车从曲线行驶自行回复到直线行驶的过渡过程和能力。
系统的瞬态响应资料课件
瞬态响应还可以用于信号去噪，通过分析信号的瞬态特征，可以识别出噪声成分，从而 进行有效的去噪处理。
在通信系统中的应用
01
调制解调
通信系统的调制解调过程中，瞬态响应用于实现信号的调制和解调，以
实现信号的传输和处理。
02
信号同步
在通信系统中，瞬态响应用于信号的同步处理，通过对接收到的信号进
行瞬态特征分析，可以实现信号的快速同步和稳定传输。
实时仿真技术
发展高精度、高效率的实时仿真技术，以模拟和预测系统的瞬态响 应，为系统的设计和优化提供有力支持。
多学科协同仿真技术
结合多学科知识，发展协同仿真技术，以实现多物理场、多尺度、 多目标优化的系统瞬态响应仿真。
THANKS
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鲁棒性分析
通过比较不同系统在瞬态响应下 的性能差异，可以对系统的鲁棒 性进行分析，从而优化系统设计 。
在信号处理中的应用
信号滤波
瞬态响应在信号处理中可用于实现信号滤波，通过设计适当的滤波器，可以提取出所需 频率范围的信号，抑制噪声和干扰。
信号识别
瞬态响应可以用于信号的识别和分类，通过分析信号的瞬态特征，可以对信号进行分类 和识别，这在语音识别、图像识别等领域有广泛应用。
特点
瞬态响应具有非线性和时变性的 特点，其表现形式包括幅度响应 、相位响应和频率响应等。
瞬态响应的重要性
保证系统稳定性
瞬态响应的好坏直接影响到系统的稳定性，如果 瞬态响应不良，可能导致系统失稳。
提高系统性能
良好的瞬态响应可以提高系统的性能，如快速跟 踪ห้องสมุดไป่ตู้减小超调和震荡等。
保护系统元件
瞬态响应不良可能对系统元件造成过大的冲击， 影响其寿命和可靠性。
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➢ 虽然只有当t趋于无穷大时，响应才达到稳态。 实际计算时，一般以响应曲线达到稳态值的2% 所需时间，或4倍的时间常数T作为适当的响应 时间估计值。
5.2 一阶系统
2、一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡响应的函数的拉氏变换为：R(s)
1 s2
展成部分分式
C(s)
1 s2
T s
T2 Ts 1
，因此，有
C(s)
整个闭环系统的传递函数为：C(s)
K
K/J
R(s) Js2 Bs K s2 (B / J )s (K / J )
传递函数中包含两个极点，称为二阶系统。
5.3 二阶系统
2、二阶系统的阶跃响应
由上述系统的闭环传递函数
C(s)
K
K/J
R(s) Js2 Bs K s2 (B / J )s (K / J )
5.2 一阶系统
1、一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃响应的函数的拉氏变换为：R(s) 1 ，因此，有 C(s) 1 1
s
Ts 1 s
展成部分分式 C(s) 1 T 1 1 s Ts 1 s s 1/ T
拉氏反变换 c(t) 1 et /T
表明：输出的初始响应为零，稳态响应为1。 当t=T（一个响应周期）时
c(t) 1 et /T 1 e1 0.632
即，响应达到了总变化的63.2%。时间常数越小，响应越快。响应速度用斜率 表示，斜率越大，响应越快。
dc
1 et /T
1
dt t0 T
t0 T
dc
1 et /T
0
dt t T
t
5.2 一阶系统
在t=0时，斜率为1/T，t=∞时，降为零。响应曲线的斜率单调下降。
5.2 一阶系统
4、线性定常系统的重要性
系统输入函数
单位斜坡响应函数
F(t) t
单位阶跃响应函数
1(t) 1
单位脉冲响应函数
(t)
系统输出响应
c(t) t T Tet /T
c(t) 1 et /T c(t) 1 et /T
T
➢ 系统对输入信号的响应可通过把系统对原信号响应微分得到。 ➢ 系统对原信号积分的响应等于系统对原信号响应的积分。 ➢ 积分常数由零初始条件确定。 ➢ 这是线性系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统不具备此特性。
5.2 一阶系统
图示为一阶系统：可表示RC电路、也表示热系统等。
简化
系统的输入—输出关系为：
C(s) 1 R(s) Ts 1
下面分析该系统对单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位脉冲函数的响应。同时， 分析过程中，假设初始条件为零。
注意：具有相同传递函数的所有控制系统，对同一输入信号的响应是相同的。 对于任何给定的物理系统，响应的数学表达式具有特定的物理意义。
5.3 二阶系统
1、建立一个二阶系统（伺服系统）
图示为一伺服系统：由比例控制器和负载 元件r 相协调，试建立系统的数学模型。
负载元件的方程 Jc Bc T
零初始条件下，拉氏变换
Js2C(s) BsC(s) T (s)
负载元件的输入与输出传递函数为 C(s) 1 T (s) s(Js B)
1 Ts 1
1 s2
拉氏反变换 c(t) t T Tet /T
误差信号函数：e(t) r(t) c(t)
T (1 et /T )
➢ 表明：当t= ∞ 时， et /T 0，因而，误差
信号趋近于0，即 e() T
➢ 当t充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号的误差等于T。显然，时间常数T越 小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差越小。
5.2 一阶系统
3、一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲响应的函数的拉氏变换为：
R(s) 1
因此，有
C(s) 1 Ts 1
其拉氏反变换 c(t) 1 et /T T
➢ 当t=0时，系统有一个峰值很高的输出响应（脉冲），响应速度很大；然后输 出响应迅速减小，响应速度也呈快速下降趋势；当t= ∞ 时，系统输出响应趋近于 稳态值0。
C(t) Ctr (t) Css (t)
5.1 基本概念
3、绝对稳定、相对稳定、稳态误差
绝对稳定：系统是稳定的还不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或 没有输入信号作用，系统的输出保持在某一状态，则系统处于平衡状态。 如果线性定常系统受到初始条件作用后，其输出量最终能够返回到平衡状态， 系统是稳定的；而输出量无限地偏离其平衡位置，则系统是不稳定的；若输 出量在平衡位置呈现持续不断的振荡过程，系统处于临界稳定状态。
➢ 可以看出，经过1T，指数响应曲线从0上升到 稳态值的63.2%；经过2T，上升到86.5%。当 t=3T，4T，5T，响应曲线分别上升到稳态时的 95%， 98.2%， 99.3%。
dc 1 et /T 1
dt t0 T
t0 T
dc
1 et /T
0
dt t T
t
➢ 因此，当t≥4T时，响应曲线将保持稳态值的 2%以内。
相对稳定和稳态误差：一般物理系统包含储能元件，当输入量作用于系统时， 系统的输出量不能立刻跟踪输入量的变化，而是在系统达到稳态前表现为瞬 态响应过程，通常表现为阻尼振荡过程。 在稳态时，如果系统的输出量与输入量不能完全吻合，则具有稳态误差。它表 示了系统的精确程度。
分析控制系统时，需要研究系统的瞬态响应特性，还要研究其稳态特性。
硕士研究生基础学位课
现代控制工程
主讲教师: 王新华
北京工业大学机电学院
第5章 瞬态响应和稳态响应分析
➢ 在分析和设计控制系统时需要对各控制系统的性能进行比较 ➢ 规定一些特殊的试验信号，比较各种系统对这些输入的响应 ➢ 典型试验信号的响应特性与实际信号的响应特性具有关联性
内容摘要
❖ 基本概念 ❖ 一阶系统 ❖ 二阶系统 ❖ 高阶系统 ❖ 劳斯稳定判据 ❖ 积分和微分控制作用对系统性能的影响 ❖ 单位反馈控制系统中的稳态误差
5.1 基本概念
1、典型试验信号
阶跃函数、斜坡函数、加速度函数、脉冲函数、正弦函数等 简单的时间函数，容易对控制系统进行数学和实验分析 随时间渐变的函数：斜坡函数；突然的扰动量：阶跃函数；冲击输入信号：
脉冲函数 利用试验信号，能在同一基础上比较所有系统的性能
2、瞬态响应和稳态响应
控制系统的响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应 瞬态响应：从初始状态到最终状态的响应过程 稳态响应：时间趋于无穷大时系统的输出状态