数值计算方法答案
数值计算方法答案
L1 ( x)
x 2 .2 x 2 .0 0.6931 0.7885 3.465( x 2.2) 3.9425( x 2.0) 2 .0 2 .2 2 .2 2 .0
ln(2.1) L1 (2.1) 3.465(2.1 2.2) 3.9425(2.1 2.0) 0.7408
1.11600 1.18600 0.28000
f [ xi 3 , xi 2 , xi 1 , xi ]
f xi 4 , xi 3 , xi 2 , xi 1 , xi
0.19730
0.03146
0.69675 1.27573 0.88811 1.38410 1.02652 1.25382 1.51533
( x x0 ) 0.7891 . h t (t 1) 2 由前插公式 N 2 ( x ) y0 ty0 y0 得 2 0.7891 (0.7891 1) N 2 (0.57891) 0.47943 0.7891 0.08521 (0.00563) 0.54714 2
1.已知 ln2.0=0.6931，ln2.2=0.7885，ln2.3=0.8329，试用线性插值和抛物插值计算 ln2.1 的值 并估计误差. 解：1)线性插值 由公式 L1 ( x )
x x0 x x1 y0 y1 ，取点 x0 2.0 ， x1 2.2 ，代入上式得 x0 x1 x1 x0
3 2
3 10
3.分别求满足习题 1 和习题 2 中插值条件的 Newton 插值. 解：1)构造差商表如下：
xi
2.0 2.2 2.3
f [ xi ]
0.6931 0.7885 0.8329
数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）
数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的⽜顿迭代公式112(),0,1,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+-= +=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218，⽽()k k k k k x x x x x 288821821-=-???? ??+=-+ nn k k x x 2122110215.22104185.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11 **1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种⽅法均可得出相对误差限，但第⼀种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成⽴的正确结论，故他对误差限的估计偏⼤，但计算略简单些；⽽第⼆种⽅法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法试题及答案解析
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
e
2
x
数值试题
四、1、（15分）方程x3x10在x不同的等价形式（1）x3对应迭代格式
xn1
1xn
1.5附近有根，把方程写成三种
x1对应迭代格式xn1xn1；(2)
x1
1x
；（3）x
3
x1对应迭代格式xn1xn1。判
出其代数精度：
1xfxdxAfA1f10021
(3) (3) (6分)用幂法求矩阵10A111的模最大的特征值及其
相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距
8
数值试题
离小于0.05，取特征向量的初始近似值为1,0。
T
(4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
y’xfx,yx,axb,yay0
x1
x
(x1)的形式，使计
6
数值试题
(3) (3) (2分)设(4) (4)
则
2
x12x2
fx
xx12
，则f’x
1x2是3次样条函数，
2x3,0x1
Sx3
2
xaxbxc,(3分)设
(5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算0
10
6
1
edx
x
，要求误差不超过
，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
x11.6x21
分)写出求解方程组0.4x1x22的
(6) (6) (6
代公式
Gauss-Seidel迭
，为此迭代法是否收敛。
5A
4
43
迭代矩阵
(7) (7) (4分)设
数值计算方法课后习题答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得 （1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈ 解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ= =0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
数值计算方法答案
数值计算方法答案(总71页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+ =210⨯ （2）+（+） 21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯=210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
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1数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，92习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？3解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。
故（B）算得准确些。
（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。
故（A）算得准确些。
（3）（A）中2sin x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。
故（B）算得准确些。
（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。
故（B）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组1515121210102x xx x⎧+=⎨+=⎩假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为1161612111120.100100.100100.10010(1)0.100100.100100.20010(2)x xx x⎧⨯+⨯=⨯⎪⎨⨯+⨯=⨯⎪⎩（1）-（2）得161620.100100.10010x⨯=⨯，即120.10010x=⨯，把2x的值代入（1）得10.000x=；把2x的值代入（2）得110.10010x=⨯4解1110.1001020.00010xx⎧=⨯⎪⎨=⨯⎪⎩不满足（2）式，解1110.1001020.10010xx⎧=⨯⎪⎨=⨯⎪⎩不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数32()331f x x x x=-+-和()((3)3)1 2.19g x x x x x=-+-=在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。
哪个结果较正确？解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1111-⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=f110657.010144.010105.0122-⨯+⨯-⨯==10.16710⨯=)19.2(g110219.0)310219.0)81.0((11-⨯⨯+⨯⨯-110219.010123.011-⨯⨯⨯==10.16910⨯即1()0.16710f x=⨯，1()0.16910g x=⨯而当 2.19x=时32331x x x-+-的精确值为1.6852，故()g x的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）6113ii=∑；(2)1613ii=∑。
解：（1）623456111111113333333ii==+++++∑=0.3330.1110.0370.0120.0040.001+++++489.0=（2）165432611111113333333ii==+++++∑=0.0010.0040.0120.0370.1110.333+++++489.0=9．已知三角形面积1sin2S ab C=，其中02Cπ<<。
证明：()()()()S a b Cδδδδ≤++。
证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：1212112(,,,)((,,,))()(,,,)ni nn ii n ix f x x xf x x x xf x x x xδδ=∂≈∂∑。
得(,,)(,,)(,,) ((,,))()()() (,,)(,,)(,,)a S ab C b S a b C C S a b CS a b C a b C S a b C a S a b C b S a b C Cδδδδ∂∂∂=++∂∂∂()sin()sin()cos()sin sin sina b CS b C a a C b ab C Cab C ab C ab Cδδδδ=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅5=()()()Ca b CtgCδδδ++()()()a b Cδδδ≤++（当02Cπ<<时，C tgC<），命题得证。
习题二1．找出下列方程在0x=附近的含根区间。
6（1）cos0x x+=；（2）3cos0x x-=；（3）sin()0xx e--=；（4）20xx e--=；解：（1）设()cosf x x x=+，则(0)1f=，(1)-0.4597f-=，由()f x的连续性知在[]1,0x∈-内，()f x=0有根。
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为[]0,1；0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；[]0,1 2．用二分法求方程sin10x x-=在[]0,2内的根的近似值并分析误差。
解：令()sin1f x x x=-，则有(0)10f=-<，(2)0.81860f=>，'()sin cos0f x x x x=+>，[]0,2x∈所以函数()f x在()0，2上严格单调增且有唯一实根x*。
本题中求根使得误差不超过410-，则由误差估计式12||+-≤-kkabxα，所需迭代次数k满足411022-+<-k，即取28.13≥k便可，因此取14=k。
用二分法计算结果列表如下：7由上表可知原方程的根7343751.1141967714=≈xα该问题得精确解为08711.11415714=α，故实际误差为0000396.03．判断用等价方程()x xφ=建立的求解的非线性方程32()10f x x x=--=在1.5附近的根的简单迭代法1()k kx xφ+=的收敛性，其中（A）2()11/x xφ=+；（B）()xφ=；（C）()xφ=解：取1.5附近区间[]1.3,1.6来考察。
（A）21()1xxφ=+，显然当0x>时，()xϕ单调递减，而(1.3) 1.59171596φ=，(1.6) 1.390625φ=，因此，当[]1.3,1.6x∈时，[]() 1.3,1.6xφ∈。
又当[]1.3,1.6x∈时，3322'()0.9211.3xxφ=-≤<<，由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x∈，迭代格式1211kkxx+=+，(0,1,2,)k =收敛。
（B）132()(1)x xφ=+，则(1.3) 1.390755416φ=，(1.6) 1.526921344φ=，22312'()03(1)xxxφ=>+(0)x>，所以当[]1.3,1.6x∈时，[]() 1.3,1.6xφ∈。
又当[]1.3,1.6x∈时，22223322 1.6'()0.552133(1)(1 1.3)xxxφ=≤<<++，由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x∈，迭代格式1231(1)k kx x+=+，(0,1,2,)k =收敛。
（C）()xφ=[]1.3,1.6x∈时，有332211'() 1.07582870612(1)2(1.61)xxφ-=≥=>--，所以对任意初值[]1.3,1.6x∈（原方程的根除外），迭代格式1kx+=(0,1,2,)k =发散。
84．确定()x xφ=的简单迭代法1()k kx xφ+=的收敛区间[],a b。
如果收敛，试估计使精度达到410-时所需的迭代次数并进行计算。
（A）22()3xe xxφ-+=；（B）25()2xxφ=+；（C）sin cos()2x xxφ+=解：（A）方程为0322=-+-xxe x，设xxexf x32)(2-+-=，则01)0(>=f，-0.8987)5.0(<=f，故有根区间为]5.0,0[，题中22()3xe xxφ-+=，3333.0|32||32||)('|=-⨯≤-=eexxxφ故迭代公式22()3xe xxφ-+=在含根区间]5.0,0[内收敛。
（B）方程为05223=--xx，设52)(23--=xxxf，则0-1.875)5.2(<=f，04)3(>=f，故有根区间为]3,5.2[，题中25()2xxφ=+，10.64|5.210||10||)('|33<=≤-=xxφ故迭代公式25()2xxφ=+在含根区间]3,5.2[内收敛。
（C）方程为02cossin=-+xxx，设xxxxf2cossin)(-+=，则01)0(>=f，-0.6182)1(<=f，故有含根区间]1,0[，题中sin cos()2x xxφ+=，15.0|2sincos||2sincos||)('|<=-≤-=xxxφ5．对下点列用埃特金方法加速。