材料力学：第10章：应力状态分析_强度理论
材料力学强度理论
材料力学强度理论
材料力学强度理论是材料力学的一个重要分支，它研究材料在外力作用下的强
度和变形特性。
材料的强度是指材料抵抗破坏的能力，而变形特性则是指材料在外力作用下的形变行为。
强度理论的研究对于材料的设计、制备和应用具有重要意义。
首先，强度理论可以帮助我们了解材料的破坏机制。
材料在外力作用下会发生
破坏，而不同的材料在受力时表现出不同的破坏模式，比如拉伸、压缩、剪切等。
强度理论可以通过实验和理论分析，揭示材料在受力时的破坏机制，为材料的设计和选用提供依据。
其次，强度理论可以指导材料的合理使用。
在工程实践中，我们需要根据材料
的强度特性来选择合适的材料，并确定合理的使用条件。
强度理论可以帮助我们评估材料在特定工况下的承载能力，从而保证材料的安全可靠使用。
此外，强度理论还可以为材料的改进和优化提供指导。
通过对材料强度特性的
研究，我们可以发现材料的强度局限性，并提出改进的方案。
比如，可以通过合金化、热处理等手段来提高材料的强度，或者通过结构设计来减小应力集中，提高材料的抗破坏能力。
综上所述，材料力学强度理论是材料科学中的重要内容，它不仅可以帮助我们
了解材料的破坏机制，指导材料的合理使用，还可以为材料的改进和优化提供指导。
在未来的研究和工程实践中，我们需要进一步深入研究强度理论，不断提高材料的强度和可靠性，为社会发展和科技进步做出贡献。
材料力学四个强度理论
四大强度准则理论：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
τmax=τ0。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
发生塑性破坏的条件为：所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]。
材料力学强度理论
9 强度理论1、 脆性断裂和塑性屈服脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
塑性屈服:材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
2、四种强度理论(1)最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,即：01σσ= (2)最大伸长拉应变理论（第二强度理论）：无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达 到极限值导致的,即： 01εε=(3)最大切应力理论（第三强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了某一极限 值,即： 0max ττ=(4)形状改变比能理论（第四强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值,即：u u 0dd =强度准则的统一形式 [] σσ≤*其相当应力: r11σ=σr2123()σ=σ-μσ+σ r313σ=σ-σ222r41223311()()()2⎡⎤σ=σ-σ+σ-σ+σ-σ⎣⎦ 3、摩尔强度理论的概念与应用； 4、双剪强度理论概念与应用。
9.1图9.1所示的两个单元体，已知正应力σ =165MPa ，切应力τ=110MPa 。
试求两个单元体的第三、第四强度理论表达式。
图9.1[解] （1）图9.1（a ）所示单元体的为空间应力状态。
注意到外法线为y 及－y 的两个界面上没有切应力，因而y 方向是一个主方向，σ是主应力。
显然，主应力σ 对与y 轴平行的斜截面上的应力没有影响，因此在xoz 坐标平面内可以按照平面应力状态问题对待。
外法线为x 、z 轴两对平面上只有切应力τ，为纯剪切状态，可知其最大和最小正应力绝对值均为τ,则图9.1（a ）所示单元体的三个主应力为：τστσσσ-===321、、,第三强度理论的相当应力为解题范例r4σ=()eq313165110275a σσσστ=-=+=+=MPa第四强度理论的相当应力为：()eq4a σ==252.0== MPa(2)图9.1(b)所示单元体,其主应力为第三强度理论的相当应力为：()eq31322055275b σσσ=-=+=MPa第四强度理论的相当应力为：()eq4a σ=252.0==MPa9.2一岩石试件的抗压强度为[]σ=14OMPa,E=55GPa, μ=0.25, 承受三向压缩。
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学应力状态分析强度理论
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。
材料力学 第10章 强度理论习题集
B点的主应力为
1
y
pD
2
2
x
pD
4
3 p
33
对于薄壁圆筒，p与
pD 2
和
pD
4
相比很小，可忽略不计。则只
考虑外表面的应力状态即可。
采用第三强度理论
r3
1 3
pD
2
强度条件为
pD
2
[
]
采用第四强度理论
r4
1 2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
3 pD
4
强度条件为
3 pD
4
[
]
max
T Wp
max
Ø弯曲
max
M Wz
max
[ ]
复杂应力状态下强度条件如何规定？
简 单 应 力 状 态
3
复杂应力状态下的强度条件是以强度理论为基础的。 本章介绍几个工程中常用的强度理论以及对应的强度条件。 进一步理解强度的涵义：强度是构件抵抗破坏的能力。 在载荷作用下，构件不能满足强度条件的情况可统称为强 度失效。
为什么β>45° ？
14
库仑（1773年）认为截面上的切应力τ与摩擦力ƒσ（正应力 与摩擦因数之积）的差达到某极限值时材料沿该截面破坏。
用公式表示为 f C
在不同的应力状态下，破坏面上的正应力σ与切应力τ在 坐 标系中确定了一条曲线，称为极限曲线。
曲线上的点必为破坏时三向应力圆中外圆上的点。
1
1 E
1
2
3
u
b
E
强度条件为
1
2
3
b
n
对于石料、混凝土、铸铁等脆性材料，应力
材料力学强度理论
纵截面裂开，这与第
二强度理论旳论述
基本一致。
例6、填空题
危险点接近于三向均匀受拉旳塑性材
料，应选用 第一 强度理论进行计算，
因为此时材料旳破坏形式
为
脆性断。裂
例8、圆轴直径为d，材料旳弹性模量为E，泊松比为 ，为了测得轴端旳力偶m之值，但只有一枚电阻片。 （1）试设计电阻片粘贴旳位置和方向； （2） 若按照你所定旳位置和方向，已测得线应变为
（一）、有关脆断旳强度理论
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
假定：不论材料内各点旳应力状态怎样， 只要有一点旳主应力σ1 到达单向拉伸断裂时旳 极限应力σu，材料即破坏。
在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
失效条件可写为 σ1 ≥ σb
第一强度理论强度条件：
1 [ ]
[ ] b
n
第一强度理论—最大拉应力理论
（二）强度校核 先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。
C截面
a．正应力强度校核（K1）点
max
k1
MC WZ
32 103 237 106
135Mpa 150Mpa
b．剪应力强度校核(K2)点
C截面
max
k2
FS hb
(200
100 103 22.8) 103 7 103
1 , 2 0, 3
第三强度理论旳强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
由此得： [ ]
2
剪切强度条件为： [ ]
按第三强度理论可求得： [ ] [ ]
2
第四强度理论旳强度条件为：
1
2
( 1 2 )2
( 2
3)2
( 3
1)2
3 [ ]
第12章 应力状态分析和强度理论—《材料力学》课程PTT精华版
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
1 cos2α 2
σy
1 cos2α 2
τ xy sin 2α
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
同理，由 Ft = 0 得：
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
一点的应力状态有三个主应力，
s2
s1
按其代数值排列：
σ1 σ2 σ3
4. 应力状态分类
s3
（1）单向应力状态：三个主应力中，有两个等于零，一
个不等于零的应力状态。
s
ss
s
F
F
12.1 引言
（2）二向应力状态：三个主应力中，有一个等于零，另 外两个不等于零的应力状态。
F
A
sx txy
z
B
sz
t zx t zy
2
s
A
2 Ax
CDE σ
Ay
2α
sx
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τxysin2α
=
σα
同理可以证明：
Aα D
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
=
τα
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
4. 应力圆的特点
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
s
t
A
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y
§10-3 平面应力状态主应力及最大剪应力
( x , x )
( y , y )
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。 单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
x 80MPa, x 60MPa, x y
y 40MPa = 30 x y
cos 2 x sin 2
2 2 102 MPa x y sin 2 x cos 2 2 22.0MPa
max x y 105 x y max x y x y 2 105 MPa 2 x 65 MPa 2 2 x min 2 2 min 65 1 105MPa, 2 0, 3 65MPa 1 105MPa, 2 0, 3 65MPa 2 x tan 2 0 2 x 1 tan 2 0 x y 1 max 105 x y 0 22.5 0 22.5 或112.5 0 22.5态的概念
P
P
m
m
P
A B C D E
A D
B E
C
• 主平面 ：剪应力为零的平面
• 主应力 ：主平面上的正应力 • 主方向 ：主平面的法线方向
• 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定
存在三个互相垂直的主平面。 • 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值 大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
2
应力圆
莫尔(Mohr)圆
下面根据已知单元体上的应力 σx、 σy 、τx画应 力圆
y
y
x
y
( x , x )
x
y
x
x x
( y , y )
y
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力
y
y
x
y
n
( , )
x
2
( x , x )
x
y
x x
平面，分别作用着最大和最小剪应力
max min
x y 2 x 2
2
2 x tan 2 0 x y
x y tan 2 1 2 x
1 tan 2 1 ctg 2 0 tan 2 0
2 1 2 0 90 即 1 0 45
用完全相似的方法可确定剪应力的极值 x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
x y tan 2 1 2 x
1 、 1 90 , 它们确定两个互相垂直的
应力状态的分类：
• 单向应力状态：三个主应力中只有一个不等
于零
• 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应
力不等于零
• 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应
力皆不等于零
• 单向应力状态也称为简单应力状态
• 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承
受内力p作用
§10-2
y y
平面应力状态下的应力分析 y
yx xy
y y
x
x
x
x x
一、解析法
y
y
x
y
n
x
x
y
x x
y
x
x
y
y
n
A Acos
Asin
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α ：逆时针转动为正
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
2
x y x y 2 2 x 2 2
x y x y 2 2 x 2 2
2 2
x y 圆心坐标为 ， 0 2 x y 2 半径为 x 2
p
pD 2t pD 4t
pD 1 2t pD 2 4t
p
3 0
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。
p
N 4 Dt A pD 4t
p
D
2
pD 1 2 4t 3 0
圆杆受扭转和拉伸共同作用
m
P
P m
N 4P 2 A d 16 m T Wt d 3
即：最大和最小剪应力所在平面与 主平面的夹角为45
二、图解法
xx yy
2 2 x y
x y
2
cos 2 x sin 2
(1)
2
2
2
sin 2 x cos 2
( 2)
(1) (2) , 得
2
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2
x y d 2 sin 2 x cos 2 d 2 d 若 0 时，能使 0 d x y sin 2 0 x cos 2 0 0 2
x y x y cos 2 x sin 2 和 都是的函数。利用上式便可确 2 2 定正应力和剪应力的极值 x y sin 2 x cos 2 2
2 x tan 2 0 x y
0 、 0 90 , 它们确定两个互相垂直
的平面，其中一个是最大正应力所在 平面，另一个是最小正应力所在平面
max min
x y
2
x y 2 x 2
2
d ( x y ) cos 2 2 x sin 2 d d 若 1 时，能使 0 d ( x y ) cos 2 1 2 x sin 2 1 0