数字电路、圈卡诺图、最大项最小项
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数字逻辑基础2
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 F1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 F2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 F AB C A C D BC D 子 的 反 F AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
A B C D
& ≥1 F
与或非门的逻辑符号
5、同或运算：逻辑表达式为：
F AB AB AB
A B 同或门的逻辑符号
A 0 0 1 1
B F 0 1 1 0 0 0 1 1 真值表
=
F
L=A+B
2.2.3逻辑函数及其表示法
一、逻辑函数的建立： 1、逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连 接起来所构成的式子。 输入逻辑变量：等式右边的字母A、B、C、D 输出逻辑变量：等式左边的字母F 原变量，反变量。 2、逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、… 的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称 F是A、B、C、…的逻辑函数。记为 F f ( A, B, C,) 注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变 量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两 种不同的状态，没有数量的含义。
数字电路、圈卡诺图、最大项最小项
逻辑函数表达式的转换
最大项表达式 真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个 函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最 大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些 最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F(A, B,C) AC ABC 转换为最大项表达式。
AB C
0
1
00
01
11
10
1
0
0
1
0
1
1
0
ABC ABC BC
ABC ABC BC
逻辑函数化简—卡诺图化简
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项， 可以合并为一项，并消去2个变量。
AB
C
00
01
11
10
ABC ABC ABC ABC
0
1
1
1
1 (AB AB AB AB)C
① 表达式中的与项最少； ② 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并 且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。
（1）并项法
利用公式 AB AB A 将两个与项合并成一个与
逻辑函数化简—卡诺图化简
下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相 应的最小项mi。
三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个 相邻最小项：m0、m3 、m6
AB
C
00 01 11 10
0 m0 m2 m6 m4 1 m1 m3 m7 m5
数字电路ch3补充：最大项、最小项、无关项
四.最简或与表达式
F ( A B)( A B)
__ __
__
__
五.最简或-与非表达式 F ( A B)( A B)
【例1】: 将逻辑函数
Y AB C BC BD 化成与非-与非形式。
解： 首先将Y化成标准的与-或式
Y ABC BC BD
再利用德-摩根定律即得到
可写成：
ABC ABC ABC ABC ABC 0
约束项：恒等于0的最小项
2)、 任意项
有时还会遇到另外一种情况，就是 在输入变量的某些取值下函数值是1还 是0皆可，并不影响电路的功能。
任意项：在这些变量取值下，其值等于1的那 些最小项称为任意项。
3)、无关项
约束项和任意项统称为无关项 。
强化： 逻辑函数的公式化简法
1 逻辑函数的最简形式
乘积项最少；每个乘积项里的因子也最少 一. 最简与-或式 二. 最简与非-与非式等
_ _
F AB A B
F AB A B
__________ ______ ____ __ __
三.最简与或非表达式
F AB AB
__________ ___ __ __
( ABD ABD) ( ACD ACD) AD AD
【例3】 化简具有约束的逻辑函数
Y ABCD ABCD ABCD
给定约束条件为
ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD 0
解：采用卡诺图化简法
AD
Y AD AD
变量的各组取值 对应的最大项及其编号 最大项 编 号 A B C
0 0 0 0 1 1 1 1
《数字电子技术》课后习题答案
第1单元能力训练检测题（共100分，120分钟）一、填空题：（每空0.5分，共20分）1、由二值变量所构成的因果关系称为逻辑关系。
能够反映和处理逻辑关系的数学工具称为逻辑代数。
2、在正逻辑的约定下，“1”表示高电平，“0”表示低电平。
3、数字电路中，输入信号和输出信号之间的关系是逻辑关系，所以数字电路也称为逻辑电路。
在逻辑关系中，最基本的关系是与逻辑、或逻辑和非逻辑。
4、用来表示各种计数制数码个数的数称为基数，同一数码在不同数位所代表的权不同。
十进制计数各位的基数是10，位权是10的幂。
5、8421 BCD码和2421码是有权码；余3码和格雷码是无权码。
6、进位计数制是表示数值大小的各种方法的统称。
一般都是按照进位方式来实现计数的，简称为数制。
任意进制数转换为十进制数时，均采用按位权展开求和的方法。
7、十进制整数转换成二进制时采用除2取余法；十进制小数转换成二进制时采用乘2取整法。
8、十进制数转换为八进制和十六进制时，应先转换成二进制，然后再根据转换的二进数，按照三个数码一组转换成八进制；按四个数码一组转换成十六进制。
9、逻辑代数的基本定律有交换律、结合律、分配律、反演律和非非律。
10、最简与或表达式是指在表达式中与项中的变量最少，且或项也最少。
13、卡诺图是将代表最小项的小方格按相邻原则排列而构成的方块图。
卡诺图的画图规则：任意两个几何位置相邻的最小项之间，只允许一位变量的取值不同。
14、在化简的过程中，约束项可以根据需要看作1或0。
二、判断正误题（每小题1分，共10分）1、奇偶校验码是最基本的检错码，用来使用PCM方法传送讯号时避免出错。
（对）2、异或函数与同或函数在逻辑上互为反函数。
（对）3、8421BCD码、2421BCD码和余3码都属于有权码。
（错）4、二进制计数中各位的基是2，不同数位的权是2的幂。
（对）3、每个最小项都是各变量相“与”构成的，即n个变量的最小项含有n个因子。
（对）4、因为逻辑表达式A+B+AB=A+B成立，所以AB=0成立。
数字电子技术教案第3章 逻辑代数基础
重点难点：重点：逻辑函数的表达式描述方法。
难点：任意项和非完全描述函数。
方法步骤：理论讲授、例题讲解、课堂练习、课堂提问。
器材保障：多媒体电脑、投影仪、扩音设备。
教学内容与时间安排：
首先，在黑板上简单举例说明逻辑函数常见的两种描述方式——真值表、表达式，或者叫做“表现形式”。
一、描述方式之一——真值表
本次课小结：
本次课，首先学习了逻辑函数的两种描述方式——真值表和表达式，在 “表达式描述方式”这一部分内容中，又包括表达式的类型、标准的表达式；然后了解了不同描述方式之间的相互转换的方法；最后学习了非完全描述的逻辑函数和任意项。
至此，本课程的第一部分内容已经结束。对这一部分的知识结构、主要内容及学习要求做一个简单的梳理和总结。
(三) 逻辑关系、逻辑函数与数字电路
通过幻灯片上的表格说明三者之间的一一对应关系。
二、常见的逻辑运算
注意强调逻辑关系、逻辑运算和逻辑门之间的联系；注意指出三种逻辑关系、逻辑运算和逻辑门的特点；再次强调逻辑运算与普通代数运算的区别；三种逻辑运算的优先级不同；要求学生认识逻辑门的三套符号，使用国标符号。
1和0的概念是真与假、高与低、导通与截止等对应。
注意三个域之间的对应：逻辑关系、逻辑运算、逻辑门。
注意总结每种逻辑门的特点。
基本定理是等式证明、公式变换的依据。
三条规则熟练掌握应用。
总结知识点，提示知识预习。
内容
备注
《数字电子技术》课程教案
讲课题目：第05讲 逻辑代数（2） —逻辑函数的描述方式
目的要求：1、掌握逻辑函数的两种描述方式——真值表、表达式；2、理解最小项、最大项和任意项的概念。
前面提到，在逻辑函数的真值表中，自变量的每一组取值组合都代表着一个最大项和最小项。如果自变量的某个取值组合令函数值为1，则这个取值组合所代表的最小项就会出现在函数的最小项表达式中；如果自变量的某个取值组合令函数值为0，则这个取值组合所代表的最大项就会出现在函数的最大项表达式中。
难点：任意项和非完全描述函数。
方法步骤：理论讲授、例题讲解、课堂练习、课堂提问。
器材保障：多媒体电脑、投影仪、扩音设备。
教学内容与时间安排：
首先，在黑板上简单举例说明逻辑函数常见的两种描述方式——真值表、表达式，或者叫做“表现形式”。
一、描述方式之一——真值表
本次课小结：
本次课，首先学习了逻辑函数的两种描述方式——真值表和表达式，在 “表达式描述方式”这一部分内容中，又包括表达式的类型、标准的表达式；然后了解了不同描述方式之间的相互转换的方法；最后学习了非完全描述的逻辑函数和任意项。
至此，本课程的第一部分内容已经结束。对这一部分的知识结构、主要内容及学习要求做一个简单的梳理和总结。
(三) 逻辑关系、逻辑函数与数字电路
通过幻灯片上的表格说明三者之间的一一对应关系。
二、常见的逻辑运算
注意强调逻辑关系、逻辑运算和逻辑门之间的联系；注意指出三种逻辑关系、逻辑运算和逻辑门的特点；再次强调逻辑运算与普通代数运算的区别；三种逻辑运算的优先级不同；要求学生认识逻辑门的三套符号，使用国标符号。
1和0的概念是真与假、高与低、导通与截止等对应。
注意三个域之间的对应：逻辑关系、逻辑运算、逻辑门。
注意总结每种逻辑门的特点。
基本定理是等式证明、公式变换的依据。
三条规则熟练掌握应用。
总结知识点，提示知识预习。
内容
备注
《数字电子技术》课程教案
讲课题目：第05讲 逻辑代数（2） —逻辑函数的描述方式
目的要求：1、掌握逻辑函数的两种描述方式——真值表、表达式；2、理解最小项、最大项和任意项的概念。
前面提到，在逻辑函数的真值表中，自变量的每一组取值组合都代表着一个最大项和最小项。如果自变量的某个取值组合令函数值为1，则这个取值组合所代表的最小项就会出现在函数的最小项表达式中；如果自变量的某个取值组合令函数值为0，则这个取值组合所代表的最大项就会出现在函数的最大项表达式中。
卡诺图最小项
I 卡诺图化简法1 卡诺图2 逻辑函数如何填入卡诺图3 卡诺图化简步骤1.1卡诺图的构成卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占有一个小方格。
因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n，则最小项的数目为2n。
二个变量的卡诺图见下图所示。
图中第一行表示，第二行表示A；第一列表示，第二列表示B。
这样四个小方格就代表四个最小项，行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。
A BA BABA B A BA B A B( )a1100011011( )bAB01231 卡诺图000111100132675412131514891110A BCD000111100000010011001000001001101110101000110111111110110001010111011001对四变量卡诺图，表格第四行的“AB ”标为“10”，应记为，第二列的“CD ”标为“01”，记为。
B A DC 掌握卡诺图的构成特点，就可以从印在表格旁边的AB 、CD 的“0”、“1”值直接写出最小项的文字符号的内容。
例如在四变量卡诺图中，第四行第二列相交的小方格。
所以该小格为。
DC B A 10000111( )b10BCA 00000110011010001111110101326754( )a A A BCBCBCBCA BC A A A BC BC BC A BC A BC A BC A BC这是三变量卡诺图1.2邻接与化简的关系卡诺图为什么可以用来化简？这与最小项的排列满足邻接关系有关。
因为相邻最小项相加时，就可消去一个变量。
以四变量为例，m 12与m 13相邻接，则m 12+m 13为：CAB D D C AB D C AB D C AB =+=+)(000111100132675412131514891110A BCD000111100000010011001000001001101110101000110111111110110001010111011001卡诺图的是按邻接规律构建的，在几何位置上相邻的小格是邻接的。
数字电路卡诺图课件
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(二) 由卡诺图写出逻辑函数
例：卡诺图为：
BC A 00 01 11 10
00 0出原函数表达式为：(由1组成的项)
Y AB'C'AB'C ABC
反函数表达式为：(由0组成的项)
Y' A'B'C'A'B'C A'BC A'BC'ABC'
0
１
B'C(A'A) B'C
1
1
CD AB
00
01
11
10
00
１
01
11
10
１
CD AB
00
01
11
10
00
01
11 １
１
10
Y A'B'CD'AB'CD'
B'CD'(A'A) B'CD'
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Y ABC'D'ABCD' ABD'(C'C) ABD'
②先将函数变换为与或表达式（不必变换为 最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个 乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些 最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
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第7页/共28页
③分项看： Y=A'BC'＋C'D+BD
A'BC'项少D，则在A=0，B=1，
00 １ １
数电
第2章 逻辑代数及其简化
逻辑函数描述具有二元状态的事件之间的 逻辑关系，逻辑函数随逻辑变量变化而变 化，但自变量、函数取值都为0和1。
数字电路的输入、输出具备二元关系， 因此可以用数字电路来实现逻辑函数。
第2章 逻辑代数及其简化
2.1.2 三种基本逻辑函数
1. 与运算(逻辑乘) 与运算(逻辑乘)表示：只有当决定一 事件结果的所有条件同时具备时，结果 才能发生。 与逻辑可以用逻辑表达式（范例）表示为 F=A· B 意义：输入都为一时，输出才为一。
第2章 逻辑代数及其简化
② “长”非号不变，里面的表达式作变化。
F m(2,3,6,7)
一个逻辑关系的原函数的最大 项表达式和反函数的最小项表 达式是等价的（包含相同输入 组合）。
第2章 逻辑代数及其简化
2.1.4
逻辑函数与逻辑图的相互转化
用逻辑符号及其连线表示基本单元 电路及其组合称为逻辑图。逻辑图也是 逻辑函数的一种表示方式。
用逻辑符号及其连线来代替逻辑函 数中的逻辑运算，就可得到函数的逻辑 图。
2n 1 i 0
M
i
0
② n变量的任意两个不同的最大项的逻辑 和必等于1，即
Mi M j 1(i j)
第2章 逻辑代数及其简化
3. 最大项表达式—— 在一个或与式中，如果所有的或项均 为最大项，则称这种表达式为最大项表达 式，或称为标准或与式、标准和之积表达 式。 将真值表中函数为0所对应的所有最大 项相与便可由真值表得到该函数的最大项 表达式。它表明那些输入组合使函数为0。
第2章 逻辑代数及其简化
图 2-2 与门的逻辑符号
第2章 逻辑代数及其简化
2. 或运算(逻辑加) 当决定一事件结果的一个或几个条 件具备时，结果发生。这种因果关系称 为逻辑加（或）。 或逻辑可以用逻辑表达式表示为
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A B C A BC ABC AB C ( A B A B AB AB )C C
A BC A BC ABC ABC ( A C A C AC AC) B B
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逻辑函数化简—卡诺图化简
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照循环码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
所谓循环码，即相邻的两个码只有一位取不同的值。 例如，两位码的循环码依次为：00、01、11、10，
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逻辑函数化简—卡诺图化简
下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相 应的最小项mi。 三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个 相邻最小项：m0、m3 、m6
4 变量卡诺图
相一 的 同 邻行 最 一 的的 小 列 最项最 小与上 项最面 也下一 是面行
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逻辑函数化简—卡诺图化简
2、逻辑函数在卡诺图中的表示 （1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺 图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。例
F ( A, B, C ) m(1,2， 3,7)
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逻辑函数化简—卡诺图化简
例如 与项AB对应AB=11一列所覆盖的4个格子里填1；
AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 1 01 0 0 0 0 11 1 1 1 1 10 0 0 1 0
与项AB覆盖的4个格子
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逻辑函数化简—卡诺图化简
3、卡诺图上最小项的合并规律 （1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
M0 A B C
M2 A BC M5 A BC M6 A BC M7 A BC
F M0 M2
M5 M6 M 7
M (0,2,5,6,7)
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逻辑函数表达式的转换
一个逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式之间有互 补的关系。
F ( A, B, C) m(2,4,5,6) M (0,1,3,7)
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逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它 的电路越简单，电路工作越稳定可靠。 1、与-或表达式的化简 最简与-或式应满足两个条件： ① ② 表达式中的与项最少； 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并 且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
m 2 AB C m 4 A BC m 5 A BC m 6 AB C
F ( A, B, C) m2 m4 m5 m6 m(2,4,5,6)
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逻辑函数表达式的转换
最大项表达式 真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个 函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最 大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些 最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
冗余项
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逻辑函数化简—代数化简
思考题 化简
F AB AC BC BC BD B D ADE
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逻辑函数化简—代数化简
2、或-与表达式的化简
最简或-与式应满足两个条件： ① ② 表达式中的或项最少； 在满足①的条件下，每个或项中的变量个数最少。
实现最简或-与式逻辑功能对应的电路所需要的或门最 少，并且或门的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
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逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F ( A, B, C ) AB BC 转换为最小项表达式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 1 0 1 1 1 0
最小项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
M (0,5,7)
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逻辑函数表达式的转换
1、 代数转换法
利用逻辑代数公理、定理和三大规则进行逻辑 变换将逻辑函数转变为其标准形式。 将逻辑函数转变为最小项表达式的步骤分为两步：
（1）将函数转变为与-或表达式；
（2）反复使用公式X=X · （Y+Y）= XY+XY
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逻辑函数表达式的转换
真值表？
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逻辑函数表达式的标准形式
最小项性质 a) 任意一个最小项，只有一组变量取值使其为1 。 b) 任意两个不同的最小项之积必为0 。 c) n个变量所有最小项之和为1。 d) n个变量构成的每一个最小项都有n个相邻最小项。
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逻辑函数表达式的标准形式
（2）最大项
n个变量可以构成2n个最大项。例如，3个变量A、B、C可 组成8个最大项：
ＢＤ
BD
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逻辑函数化简—卡诺图化简
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为 一项，并消去3个变量。
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1 0
Ｄ1
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逻辑函数化简—卡诺图化简
AB CD 00 01 11 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1
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逻辑函数化简—代数化简
（3）消去法
利用公式 （4）配项法
A AB A B
，消去多余的项。
利用公式 A 1 A及A A 1 化简。
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逻辑函数化简—代数化简
例 化简
并项 吸收 消去
F AD AD AB AC BD BE DE A AB AC BD BE DE A AC BD BE DE A C BD BE
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逻辑函数化简—代数化简
例 化简
F ( A B)( A B)( B C )( B C D) ( A B)( A B)( B C ) A( B C )
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逻辑函数化简—卡诺图化简
也称为图形化简法，是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用 卡诺图来化简逻辑函数。 1、卡诺图的构成
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逻辑函数表达式的标准形式
（3）最小项与最大项之间的互补关系
mi= Mi
或者
mi = Mi
例如： m3 = ABC = A+B+C = M3 M3 = A+B+C = ABC = m3
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逻辑函数表达式的标准形式
2、 逻辑函数表达式的标准形式
（1）标准与-或表达式 由若干个最小项相或构成的,也称为最小项表达式。任何一 个逻辑函数都可以表示成唯一的最小项表达式。 例如，F（A，B，C）=AB C+ABC+ABC+ A B C 最小项表达式可以简写为 例如上式可以
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逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。 （1）并项法 利用公式 AB A B A 将两个与项合并成一个与 项，合并后可以消去一个变量。 （2）吸收法 利用公式 A AB A ，消去多余的项。 例如： AB ABC D( E F ) AB
A B C 、A B C、A B C 、A B C、A B C 、A B C、A B C 、A B C
通常用符号Mi来表示最大项。
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逻辑函数表达式的标准形式
最大项性质 a) 任意一个最大项，只有一组变量取值使其为0 。 b) 任意两个不同的最大项之和必为1。 c) n个变量所有最大项之积为0。 d) n个变量构成的每一个最大项都有n个相邻最大项。
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逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F ( A, B, C ) AC ABC 转换为最大项表达式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 1 0 1 1 0 0 0
最大项 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
第2章 数字电路基础
本节主要内容
1、逻辑函数表达式 基本形式：与-或，或-与 标准形式：最小项，最大项 2、逻辑函数的转换 代数法和真值表法 3、逻辑函数的化简 代数法和卡诺图法 卡诺图：构成、表示、合并规律、步骤
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逻辑函数表达式的标准形式
1、 最小项与最大项 （1）最小项 n个变量可以构成2n个最小项。例如，3个变量A、B、C可 组成？个最小项：
m（）形式。
m（1,2,4,7）
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逻辑函数表达式的标准形式
（2）标准或-与表达式 由若干个最大项相与构成的，也称为最大项表达式。任 何一个逻辑函数都可以表示成唯一的最大项表达式。例如 F（A，B，C）=（A+ B+C）（A+B+ C）（A+B+C） 例如上式可以 写成为F（A，B，C）= M0M5M7 =
可以简写为： F（A，B，C）=m0+m1+m3+m6+m7
=∑m（0，1，3，6，7）
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逻辑函数表达式的转换
2、 真值表转换法
最小项表达式 真值表中每一个对应函数值为1的输入变量实际上就是一个