第一讲椭圆中常用的结论及解法技巧(教师版)

第一讲椭圆中常用结论及解法技巧

【知识要点】

一．椭圆三大定义

定义 1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．

定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率 e ．定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆．

几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22

b -．

二．椭圆经典结论汇总

1．AB 是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则

22a b k k AB

OM -=?，即 0

2y a x b k AB -=．

等价形式：21,A A 是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其

它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22

21a

b k k B

A B A -=?．

2．椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F

则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2

tan 22

θb S PF F =?．

3．过椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于

C B ,两点，则直线BC 有定向且0

2y a x b k BC

= （常数）． 4．P 为椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则

||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立．

5．已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，

（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ?的

最小值是22

a b a b +．

6．椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的焦半径公式：

)),(),0,(),0,((,||,||00210201y x M c F c F ex a MF ex a MF --=+=

7．若),(000y x P 在椭圆122

22=+b

y a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是

2202020b

y a x b y y a x x +=+． 8．若),(000y x P 在椭圆122

22=+b

y a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是

20202222b

y a x x b y a x +=+． 9．若),(000y x P 在椭圆122

22=+b y a x 上，则过0P 的椭圆的切线方程是12020=+b y y a x x ．

10．若),(000y x P 在椭圆122

22=+b

y a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ，则切点弦

21P P 的直线方程是

12020=+b

y a x x ． 11．设椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于长轴端点）为椭圆上任意一

点，在21F PF ?中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+．

12．若P 为椭圆()0122

22>>=+b a b y a x 上异于长轴端点的任一点，21,F F 是焦点，

12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则2tan 2tan β

α=+-c a c a ．

13．设B A ,是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=，

PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是椭圆的半焦距离心率，则有

(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-； (2)2

tan tan 1e αβ=-；(3) 222

2cot PAB a b S b a

γ?=-． 14．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e ．

15．椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点

θ=∠21PF F ，椭圆的焦点角形的内心为I ，P I y e e y +=1，c a PI -=2

cos ||θ

．

16．点P 处的切线PT 平分21F PF ?在点P 处的外角．

17．若椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，左准线为l ，则当1

20-≤

时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项．

18．过椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点F 作直线交该椭圆右支于N M ,两点，弦MN 的

垂直平分线交x 轴于P ，则2||||e

MN PF =．

19．已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴

相交于点0(,0)P x ，则2222

0a b a b x a a

---<<． 20．椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的两个顶点为()()0,,0,21a A a A -，与y 轴平行的直线交椭圆

于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是122

22=-b

y a x ．

【例题解析】

【例1】已知21,F F 分别是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，

且0)(11=+?→

→

OP OF PF （O 为坐标原点），若||2||21→

→

=PF PF ，则椭圆的离心率为（） A ．36- B ．

236- C ．56- D ．2

【例2】已知定圆1)5(:221=++y x C ，225)5(:222=+-y x C ，定点)1,4(M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则||||1CC CM +的最大值为（）

A ．216+

B ．216-

C ．316+

D ．316-

【例3】过原点的一条直线与椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 交于B A ,两点，以线段AB 为直

径的圆过该椭圆的右焦点2F ，若]4

,12[2π

π∈∠ABF ，则该椭圆离心率的取值范围为（）

A ．)1,22[

B ．]36,22[

C ．)1,36[

D ．]2

3,22[

【例4】已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，

若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]4

,6[π

πα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）

A ．]13,22[

- B ．)1,22[ C ．]23,22[ D ．]3

6,33[

【例5】已知21,F F 是椭圆13422=+y x 的左右焦点，点M 的坐标为)2

,1(-，则21MF F ∠的

角平分线所在直线的斜率为( )

A ．2-

B ．1-

C ．3-

D ．2-

【例6】已知椭圆：()0122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上的一点，

2PF 与椭圆交于Q 。若Q PF 1?的内切圆与线段1PF 在其中点处相切，与PQ 切于2F ，则椭

圆的离心率为( ) A ．

22 B ．23 C ．32 D ．3

【例7】如图，已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左，右焦点分别为21,F F ，10||21=F F ，

P 是y 轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于A ，若12PF AF ⊥，且2APF ?的内切圆半径为

，则椭圆的离心率为（ )

A ．

45 B ．35 C ．410 D ．415

【例8】已知P 是椭圆142

2=+m

y x 上任意一个点，N M ,是椭圆上关于原点对称的两个点，

且直线PN PM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若||||21k k +的最小值为1，则实数m 的取值为（）

A ．1

B ．2

C ．1或16

D ．2或8

【例9】设椭圆()0122

22>>=+b a b y a x 的焦点为21,F F ，P 是椭圆上一点，且3

21π=∠PF F ，

若21PF F ?的外接圆和内切圆的半径分别为r R ,，当时r R 4=，椭圆的离心率为（） A ．

54 B ．32 C ．21 D ．5

【例10】在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆14

2=+y x 上的一个动点，

点()1,1A ，()1,0-B ，则||||PB PA +的最大值为（ )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【例11】设椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的一个焦点()0,2F ，点()1,2-A 为椭圆E 内一

点，若椭圆E 上存在一点P ，使得8||||=+PF PA ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）

A ．]74,94[

B ．)74,94(

C ．)72,92[

D ．]7

2,92[

【例12】已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x ，且AD AB ,斜率之积的

范围为)3

,43(--，则椭圆离心率的取值范围是（）

A ．)33,21(

B ．)22,33(

C ．)33,41(

D ．)3

1,41(

【例13】已知O 为坐标原点，平行四边形ABCD 内接于椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x ，点F E ,，

分别为AD AB ,的中点，且OF OE ,的斜率之积为4

-，则椭圆的离心率为（）

A ．

21 B ．22 C ．43 D ．5

【例14】设21,F F 分别是椭圆:E ()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭

圆E 于B A ,两点，||3||11BF AF =，若5

cos 2=∠B AF ，则椭圆E 的离心率为（）

A ．

21 B ．3

C ．23

D ．22

【例15】已知21,F F 分别是椭圆:C ()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，若椭圆C 上存在点

A ，满足a AF AF =-||3||221，则椭圆的离心率取值范围是（）

A ．)1,21

( B ．)1,51[ C ．)1,52( D ．)1,5

【例16】已知椭圆12

2=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，直线m kx y l +=:与椭圆相切，

记21,F F 到直线l 的距离分别为21,d d ，则21d d 的值是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【例17】已知定点)0,3(),0,3(B A -，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积为9

-，记动点M 的轨迹为曲线C ．

（1）求曲线C 的方程；

（2）过点)0,1(T 的直线l 与曲线C 交于Q P ,两点，是否存在定点)0,(0x S ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由．

【例18】已知椭圆()01:22

22>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，且

经过点)2

,3(A ．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点)0,4(B 作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于Q P ,两点，记点P 关于x 轴对

称的点为'P ，若直线Q P '与x 轴相交于点D ，求DPQ ?面积的最大值．

【课后作业】

【1】已知椭圆)30(1922

2<<=+b b

y x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 直线交椭圆与B A ,两

点，若||||22→

→

+AF BF 的最大值为8，则b 的值是（）

A ．22

B ．2

C ．3

D ．6

【2】已知21,F F 为椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，

21212

1→→→≥?F F BF BF ，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A ．]21,0(

B ．)22,

0( C ．)23,0( D ．)1,2

【3】已知B A ,是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 长轴的两个端点，N M ,是椭圆上关于x 轴对称

的两点，且直线BN AM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若椭圆的离心率为2

，则||||21k k +的最小值为（）

A ．1

B ．2

C ．

D ．3

【4】设21,F F 分别是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点，过21,F F 作x 轴的垂线交椭圆

四点构成正方形，则椭圆的离心率为（）

A ．

213- B ．215- C ．22 D ．2

【5】AB 为过椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 中心的弦，)0,(c F 为椭圆的右焦点，则AFB ?面积

的最大值为（）

A ．2b

B ．ab

C ．ac

D ．bc

【6】已知直线l 交椭圆12

2=+y x 与B A ,两点，且线段AB 的中点为)1,1(，则l 的斜率为

（）

A ．2-

B ．21-

C ．2

D ．2

【答案】 B

【7】已知椭圆12:22

=+y x C ，若一组斜率为4

1的平行直线被椭圆C 所截线段的中点均在

直线l 上，则l 的斜率为（）

A ．2-

B ．2

C ．21-

D ．2

【8】已知21,F F 为椭圆14

2=+y x 的左、

右焦点，P 是椭圆上一点，若421=?PF F S ，则21PF F ∠等于（）

A ．030

B ．045

C ．060

D ．090

【9】椭圆14

2=+y x 的左焦点为F ，直线a x =与椭圆相交于点N M ,，当FMN ?的周长

最大时，FMN ?的面积是（）

A ．

55 B ．556 C ．558 D ．5

【10】设椭圆C 的两个焦点是21,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于Q P ,，若||||212F F PF =，且

||6||511Q F PF =，则椭圆的离心率为（）

A ．

35 B ．137 C ．1362 D ．11

【11】已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P 使得

21PF F ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是____________．

【12】已知椭圆()09:222>=+m m y x C ，直线l 不过原点O 且不平行与坐标轴，l 与C 有两个交点B A ,，线段AB 的中点为M ，若l 过点),3

(

m m

，延长线段OM 与C 交于点P ，且四边形OAPB 为平行四边形，则直线l 的斜率为____________．

【13】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()01:22

22>>=+b a b

y a x C 与不过坐标原点O 的

直线m kx y l +=:相交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，若OM AB ,的斜率之积为4

-，

则椭圆C 的离心率为____________．

【14】已知P 为椭圆4422=+y x 上的点，O 为原点，则||OP 的取值范围是____________．

【15】已知椭圆15

922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的

中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是____________．

【16】已知椭圆()01:22

22>>=+b a b

y a x E 过点)2,0(，且离心率为22．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设直线()R m my x ∈-=,1交椭圆E 与B A ,两点，判断点)0,4

9(-G 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【19】在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知椭圆12

:22

=+y x C ，Q P ,为椭圆上

两个不同的动点，直线PQ OQ OP ,,的斜率分别为k k k ,,21，且221k k k =，则2

2||1

||1OQ OP +

的最小值为____________．

【17】已知),0(),0,(00y B x A 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1||=AB ，若动点),(y x P 满足→

→

+=OB OA OP 32．

（1）求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；

（2）直线1:+=ty x l 与曲线C 相交于B A ,两点，)0,1(-E ，试问：当t 变化时，是否存在一直线l ，使得ABE ?面积为32？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．

【18】已知21,F F 为椭圆()01:22

22>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，点)2

3,1(P 为椭圆上一点，

且4||||21=+PF PF ．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若圆O 是以21F F 为直径的圆，直线m kx y l -=:与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点B A ,，且2

3-=?→

→

OB OA ，求k 的值．

椭圆常见结论求解离心率

椭圆离心率a c e =的求法 1.椭圆方程()01:22 22>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为60°，FB AF 2=,求椭圆的离心率？（焦半径公式11ex a PF +=， 22ex a PF -=的应用左加右减，弦长公式为直线的斜率k x x k d ,1212-+=） 2.椭圆方程()01:22 22>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆的离心率的范围？（焦准距c b 2 的应用） 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于c a ,的二元二次方程02 2 =++pc nac ma 解法）

4.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴上的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ,且 FD BF 2=,则C 的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例的应用） 5.过椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的左焦点F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用） 6.过椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点，若?=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积)(2 tan 212 PF F b S ∠==θθ ） 7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质2 2 2 c b a +=的应用） 8.椭圆142 2=+y x 的离心率为?（椭圆基本性质2 2 2 c b a +=的应用） 9.椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的焦点为21,F F ，两条准线与x 轴的交点为N M ,，若 212F F MN ≤，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质222c b a +=的应用）

椭圆常结论及其结论(完全版)

、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）匚=a ex 0,（右焦半径）r 2二a - ex 0,其中e 是离心率，焦点在y 轴 MF i =a+ey °, MF 2 =a —ey 。其中F i ’F ?分别是椭圆的下上焦点- 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 .可以记为：左加右减，上减下加? PF 1 _a-c, PF 2 _a-c 推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点 P x o , y o ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，?匸旦=e ， PM 、椭圆的第二定义+： 2椭圆常用结论一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）内常数e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数左对左，右对右） e 就是离心率.（点与线成对出现, 2 2 对于?爲=1，左准线h : x a b a 2 2 2 对于与二药，下准线h : y a b 2 —；上准线12 ： y - C C 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 2 焦点到准线的距离 p = ’ - C C 2 2 . 2 a - c b 宀厶" （焦参数） c B i 则 Ph =ePM |=e x 0 f 2、 f 2 > f 2 \ c 丄a c 丄a =e x ° +_ x° + ’ c z / < c 丿 a < c 丿 =a ex 。

2 2 四、若P 是椭圆：冷■存=1上的点? F 1,F 2为焦点，若/F 1PF^ <1，则.■PF 1F 2的面积为 a b PF I PF)2 -2|PF i| PF 2 -4c 2 2PF d'i PF 2| 4a 2-2|PF 1 PF 2 -4c 2 2 PF 1I PF 2 4b 2 -2PF i PF 2 2|PFj ]PF 2「推导： 1 如图 S ZP F 1F ^-PF 1 PF 2 sinT 根据余弦定理，得 b tan 2 PF|2+|PF|2|F i F 2 2 同理可得 PF 2 =a - ex o 三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在弦AB x 轴为例, b 2 ，B bT c,- 一 c,—— I a 丿 I a J 弦AB 长度: AB 2b 2 a COS ：= 2PF i PF ? 得PF 1 PF 2 2b 2 1 COS- 1 , 1 S PF 1F 2 =?PF i PF 2 sinr =- 2 b 2 1 cos- sin r = b 2 -^^=b 2 tan- 1 cos^ 2 坐标: A

椭圆常结论及其结论(完全版)

2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 2 2:= 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2 222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=- 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加() c a PF c a PF -≥-≥21, 推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义， e PM PF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=???? ??+=???? ??+=???? ? ????? ??--==

同理可得0 2ex a PF -= 三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例，弦AB 坐标：???? ??-a b c A 2,，??? ? ??a b c B 2, 弦AB 长度： a b AB 2 2= 四、若P 是椭圆：12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b . 推导：如图θsin 2 12121??= ?PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos = 2 12 2 12 2 2PF PF F F PF PF ?-+ = 2 12 2121242)PF PF c PF PF PF PF ?-?-+ = 2 12 2122424PF PF c PF PF a ?-?- = 2 12 12224PF PF PF PF b ??- 得θ cos 122 21+=?b PF PF θsin 212 121??=?PF PF S F PF =θθsin cos 12212?+?b =θθcos 1sin 2+?b =2 tan 2θb

史上最全椭圆二级结论大全

专题 —史上最全椭圆二级结论大全 1.12 2PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2 时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 22 11A B a b +=+ ;(2) L =17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意

椭圆常用结论及其应用

高考数学椭圆中重要结论及其应用一椭圆中的一些不等关系（1）设椭圆（22221(0)x y a b a b +=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点， 12,F F 为椭圆的两个焦点，则： ①0a x a -≤≤，0b y b -≤≤例已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，P 是椭圆上的一点且212PF PF c = ，则此椭圆离心率的范围是______.,]32②b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远）③122PF PF c -≤. 例若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心率的取值范围是______.1[,1) 3 ④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点. 例已知椭圆2222:1(0)x y C a b c a b +=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为 T ，且PT 的最小值不小于()2 a c -，则椭圆的离心率取值范围为 ______.3 [,52④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 22二椭圆焦点三角形的结论

（1）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θb S PF F =?例已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3练习椭圆22194 x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为_______.3535(,55 -（2）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若12PF PF 最大，则点P 为椭圆短轴的端点，且最大值为2a . 例已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得2122PF PF b = ，则椭圆的离心率e 的取值范围 _________.,1)2（3）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点例已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得1290F PF ?∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围 _________.,1)2（4）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则. 21cos 2e -≥θ

椭圆中的重要结论

椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等一?焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 2 2 例1椭圆 ? 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2 的形状. 16 12 性质一： 2 2 已知椭圆方程为笃?爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2 ,设焦点三角形 a b PF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。性质三： h 厶过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2 已知椭圆方程为务?每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a b 2 PF 1F 2 中 FfF 2 - V,则 COST 一1 — 2e . 2 2 一 x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上 a b 存在一点P,使得三F 1PF 2二12。0,求椭圆的离心率e 的取值范围。二 b 2 tan —。 2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+ 着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为 F 1, F 2,设焦点三角

例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| I F1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.

高考中圆锥曲线常见结论

高考中解析几何有用的经典结论一、椭圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线

椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

椭圆与双曲线常见题型归纳题型一：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为

22 211(,)22k k k --。线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。

史上椭圆二级结论大全

专题118—史上最全椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1 与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)

椭圆的经典知识总结

椭圆知识总结班级姓名椭圆的定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：1 2 2 2 2 =+ b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12 2 2 2=+b x a y ) 0(>>b a ，其中2 22 b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12 2 22 =+b y a x )0(>> b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12 222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12 2 2 2=+ b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆12 2 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e ==22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<>b a 的区别和联系标准方程 1222 2=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221=

圆锥曲线常用结论

圆锥曲线常用结论（自己选择）一、椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

椭圆知识点总结

椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在 y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、 y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ， ),0(1b B -，),0(2b B

椭圆拓展知识常用结论(应该掌握)

椭圆常用结论一、椭圆的第一定义: 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．（口诀：看到左焦点，想到右焦点）二、椭圆的第二定义: 1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:= 对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 2 1:-=；上准线c y l 22:= 2、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=- 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加( )c a PF c a PF -≥-≥21,椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值。二、椭圆的第三定义: 在椭圆()22 22C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于原点对称的两点， P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2=1=PA PB b k k e a ?-- 证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO ，PA MO k k =，由点差法结论： 2 2 2=1=MO PB b k k e a ?--知此结论成立。三、椭圆的焦点三角形: 1、通径： x O F 1 F 2 P y A 2 A 1 B 1 B 2

椭圆常见题型总结(精.选)

椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α ?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为22 1Ax By +=；

椭圆与双曲线必备经典结论

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为 122t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于 M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则 MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即0 202y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-.

第一讲椭圆中常用的结论及解法技巧(学生版)

第一讲椭圆中常用结论及解法技巧【知识要点】一．椭圆三大定义定义 1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率 e ．定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22 a b -．二．椭圆经典结论汇总 1．AB 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则 22a b k k AB OM -=?，即 0 20 2y a x b k AB -=．等价形式：21,A A 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22 21a b k k B A B A -=?． 2．椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2 tan 22 1 θb S PF F =?． 3．过椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 C B ,两点，则直线BC 有定向且0 20 2y a x b k BC = （常数）． 4．P 为椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 ||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立． 5．已知椭圆()0122 22>>=+b a b y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ?的最小值是22 22 a b a b +．

第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(教师版)

椭圆常见结论求解离心率

椭圆常结论及其结论(完全版)

椭圆常结论及其结论(完全版)

史上最全椭圆二级结论大全

椭圆常用结论及其应用

椭圆中的重要结论

高考中圆锥曲线常见结论

椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

史上椭圆二级结论大全

椭圆的经典知识总结

最新椭圆常用结论及其推导过程资料

圆锥曲线常用结论

椭圆知识点总结

椭圆拓展知识常用结论(应该掌握)

椭圆常见题型总结(精.选)

椭圆与双曲线必备经典结论

第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(学生版)

第一讲椭圆中常用的结论及解法技巧(教师版)

第一讲椭圆中常用的结论及解法技巧(学生版)