函数定义域和值域

3.若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋b 的值为_－__92_.
解析;函数f (x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集.不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集为{x|1≤x≤2}，
a<0， 所以1＋2＝－b，
1×2＝ba，
解得a＝－32， b＝－3，
所以 a＋b＝－23－3＝－92.
4.若函数 f(x)＝ ax－2 021在[2 021，＋∞)上有意义，则实数 a 的取值范围为 _[_1_，__＋__∞__)__.
解析 由于函数 f (x)＝ ax－2 021在[2 021，＋∞)上有意义，
即 ax－2 021≥0 在[2 021，＋∞)上恒成立，
可得函数的值域为185，＋∞.
问题：如何求函数 y＝ x＋1－ x－1的值域.
解 函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝ x＋1与 y＝ x－1在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝ x＋1＋ x－1在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴当 x＝1 时，ymin＝ 2，即函数的值域为[ 2，＋∞).
(5)y＝2x22－x－x＋1 1x>12. 换元 原函数的值域为 2＋21，＋∞.
8.(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x)＝ln(－x－x2)，则函数f (2x＋1)的定义域为_－__1_，__－. 12
解析：由题意知，－x－x2>0，∴－1<x<0，即f(x)的定义域为(－1,0). ∴－1<2x＋1<0，则－1<x<－21.
9.若函数f (2x)的定义域是[－1,1]，则f (log2x)的定义域为[__2_，__4_]__. 解析：对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2.
则对于函数y＝f(log2x)，2－1≤log2x≤2，∴ 2≤x≤4. 故 y＝f(log2x)的定义域为[ 2，4].
10.定义在[-2，2]上的偶函数 f x 在区间[0，2]上单调递减，若 f 1 m f m,求实数 m 的取值范围．
11.已知函数 f x 对任意实数 x 、y 均有 f x y 2 f x f y，且当 x 0时，f x 2 ，f 3 5 ，
1.函数的定义域：使函数有意义的自变量的集合；定义域必须写成集合
1.求下列函数的定义域：
(1)y＝ 1 ＋ x2－1； 2－|x|
(2)y＝ 25－x2＋lg cos x；
解 由2x2－－|x1|≥≠00，， 得xx≠ ≤±－21，或x≥1.
所以函数的定义域为{x|x≤－1或x≥1且x≠±2}.
解
由2co5s－xx>20≥，0，
∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2).
(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据 是使解析式有意义，①分式的分母不等于零；
解
由l2oxg－0.55x≠－02>0，
2<x<3， 得x≠52，
∴函数的定义域为2，25∪25，3.
②偶次根式的被开方数为非负数；③零指数幂 的底数不为零；④对数的真数大于零且底数为 不等于1的正数；⑤三角函数的定义域.
3.抽象函数：不给出具体解析式、只给出函数的特殊条件或特征 在抽象函数中，（1）求具体值：赋值； （2）求范围：用单调性；
6.设函数 y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f (x)＋f (y)，若 f(8)＝3，则 f( 2) 1
＝___2_____.
解析：因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2) ＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.
即
a≥2
0x21在[2
021，＋∞)上恒成立，
而
2 0<
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0x21≤1，故
a≥1.
5.已知函数f (x)＝12(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝__3___.
解析 f(x)＝12(x－1)2＋1，x∈[1，b]且 b>1，
则 f(1)＝1，f(b)＝12(b－1)2＋1， ∵f(x)在[1，b]上为增函数， ∴函数值域为1，12b－12＋1. 由已知得12(b－1)2＋1＝b，解得 b＝3 或 b＝1(舍).
解 (分离常数法)y＝2xx－＋31＝2x－x－33＋7＝2＋x－7 3， 显然x－7 3≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
另解：数形结合
(3)y＝2x－ x－1；
(4)y＝ x＋1＋ x－1.
解 (换元法)设 t＝ x－1，则 x＝t2＋1，且 t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185， 由 t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，
因为 f(2)＝f( 2× 2)＝f( 2)＋f( 2)＝2f( 2)， 所以 2f( 2)＝1，所以 f( 2)＝12.
7.设函数 f (x)的定义域为 R，对于任意实数 x1，x2，都有 f (x1)＋f (x2)＝2f x1＋2 x2·
f x1－2 x2，f (π)＝－1，则 f (0)＝___1_____. 解析：令x1＝x2＝π，则f(π)＋f(π)＝2f(π)f (0)，∴f(0)＝1.
求不等式 f (a 2 2a 2) 3 的解.
12.若 f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又 f(－3)=0,则 xf(x)<0 的解集为_________．
(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题.在 解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且 要注意端点值或边界值.
2.函数的值域：取得到的函数值的集合；值域必须写成集合
2.求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
（1）数形结合 值域为[2,6)
2x＋1 (2)y＝ ；
x－3
－5≤x≤5， 得2kπ－π2<x<2kπ＋π2k∈Z.
所以函数的定义域为－5，－32π∪－π2，π2∪32π，5.
x－1 (3)y＝ 2x －log2(4－x2)；
(4)y＝
1
＋(2x－5)0.
log0.5x－2
解 要使函数有意义，必须xx－≠2x10≥，0， 解得－2<x<0或1≤x<2，
4－x2>0，