江苏省盐城市2021届高三第一学期期中考试数学试卷
【数学】江苏省盐城市2021届高三上学期期中考试数学试卷+含答案
12
3
值为 1 ；③函数 f (x) 的一条对称轴为 x＝ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题
2
12
中，并完成解答．
已知函数 f (x) 满足
，在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
若 a＜b， f (A) f (B) ．试问：这样的锐角△ABC 是否存在，若存在，求角 C；若不存在，
（2）若 x (0， )， f (x) ＞0 恒成立，求 m 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
设 f (x) sin(x ) ，其中 为正整数， ，当 ＝0 时，函数 f (x) 在[ ，
2
5
]单调递增且在[ ， ]不单调．
5
33
（1）求正整数 的值；
（2）在①函数 f (x) 向右平移 个单位得到奇函数；②函数 f (x) 在[0， ]上的最小
．
43
2
14．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线，若 b＝4c＝
4
且
AB
AD
2
AB
，则
cosA＝
；中线 AD 的长为
．
15．若an 是单调递增的等差数列，且 aan 4an ，则数列an 的前 10 项和为
．
16．若函数 f (x) 1 x2 b ln x ax 在(1，2)上存在两个极值点，则 b(3a＋b＋9)的取值范围 2
A．376
B．382
C．749
D．766
8．设 x，y (0， )，若 sin(sinx)＝cos(cosy)，则 cos(sinx)与 sin(cosy)的大小关系为
A．＝
江苏省盐城四县2020-2021学年高一上学期期中联考试题 数学
2020-2021学年第一学期高一年级期中考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝{−1，0，1，2，3}，A ＝{0，1}，B ＝{1，2，3}，则（∁U A ）∩B ＝（ ）A.{1}B.{2，3}C.{1，2，3}D.{﹣1，0，2，3} 2.设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0≤x 20，则命题p 的否定为( ) A.∀x ∈(0，＋∞)，2x ≥x 2 B.∀x ∈(0，＋∞)，2x ≤x 2C.∀x ∈(0，＋∞)，2x ＞x 2D.∀x ∈(0，＋∞)，2x ＜x 2 3.已知m =a 2−a+1a （a ＞0），n ＝x +1（x ＜0），则m 、n 之间的大小关系是（ ）A.m ＞nB.m ＜nC.m ＝nD.m ≤n 4.设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2，或x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |－2≤x <1}B.{x |－2≤x ≤2}C.{x |1<x ≤2}D.{x |x <2}5.已知不等式x 2+bx −c ＜0的解集为{x |3＜x ＜6}，则不等式−bx 2+（c +1）x −2＞0的解集为（ ）A.{x |x ＜19，或x ＞2} B.{x |19＜x ＜2} C.{x |x ＜−19，或x ＞2} D.{x |−19＜x ＜2} 6.已知函数f (12x −1)＝2x −5，且f (a )＝6，则a ＝( )A. 74 B .－74 C. 43 D .－437.已知函数f （x ）＝−x |x |+2x ，则下列结论正确的是（ ）A.增区间是（0，+∞）B.减区间是(−∞,−1)C.增区间是 (−∞,1)D.增区间是(−1,1)8.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x =52，lg 2＝0.3010，则x 的值约为（ ）A ．1.322B.1.410C.1.507D.1.669二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{−1,1,2,4}，N＝{1,2,4,16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A.y＝2xB.y＝x+2C.y＝2|x|D.y＝x210.下列命题正确的是()A.已知全集U=R,A={x|x2−1>0,}则∁U A={x|−1<x<1}B."b<a<0"是"1a <1b"的充分不必要条件C.不等式x2＋m x＋m2＞0恒成立的条件是0＜m＜2D.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是－2<a<211.在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（）A.(−x)0.5=−√x(x≠0)B.√y26=y13C.(xy )−34=√(yx)34(xy≠0) D.x−13=−√x312.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]＝−4，[2.1]＝2．已知函数f(x)= [x],g(x)=x−[x]，则关于函数f（x）和g（x）的叙述中正确的是（）A．f(−0.9)=−1B．g(1.5)=0.5C．g(x)在R为增函数D．方程f(g(x))=0的解集为R三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x＞0，y＞0，x+3y=1，则1x +1y的最小值是________．14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(3)=．15.已知函数f(x)是定义在R的奇函数，且当x>0时f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式．16.若集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2－a<0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①A={x|x2−2x−3<0}②A={x|2x−2x+1<1}③A={x| |x−1|<2}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题.设全集RU ，___________，B=[0,4).求A∩B,(C U A)∪B.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.18.(12分)（1）计算√(−4)2−1614+√614−0.008−13.（2）计算log142+2log62+log632+e ln2.19.(12分)已知p：t∈A={t|∀x∈R，x2+tx+t＞0恒成立}，q：t∈B={ t|2a−1＜t＜a+1}．（1）求集合A；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．20.(12分)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，w＝4－3x+1，且投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时w=−116x2+x+116．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．（1）求利润L(x)的函数解析式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？21.(12分)已知函数f(x)=ax2−(2a+3)x+6(a∈R).（1）当a=1时，求函数y=f(x)的零点；（2）解关于x的不等式f(x)<0（a>0）；（3）当a=1时，函数f(x)≤−(m+5)x+3+m在[−2,2]有解，求实数m的取值范围.22.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=x|x|+1．（1）判断并证明该函数在区间[0,+∞)上的单调性；（2）若对任意的t∈[3,+∞)，不等式f(2t2+t+4)+ f(−t2−kt)>0恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若关于x√2x2−x−3t√2x2−x−3t+1√x−tx−t+1=0有且仅有一个实数解，求实数t的取值范围.。
江苏省盐城市2021届高三上学期期中考试数学试卷
江苏省盐城市2021届高三数学上学期期中试题2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．命题“∀x ∈(0，1)，x 2﹣x ＜0”的否定是A ．∃x ∉(0，1)，x 2﹣x ≥0B ．∃x ∈(0，1)，x 2﹣x ≥0C ．∀x ∉ (0，1)，x 2﹣x ＜0 D ．∀x ∈(0，1)，x 2﹣x ≥0 答案：B解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变为存在量词，其次否定结论，故选B ．2．已知集合A ＝{}ln(1)x y x =-，集合B ＝1(), 22x y y x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB ＝A ．∅B ．[1，4)C ．(1，4)D ．(4，+∞) 答案：C解析：A ＝(1，+∞)，B ＝(0，4)，故A B ＝(1，4)．3．已知向量a ，b 满足a b =，且a ，b 的夹角为3π，则b 与a b -的夹角为 A ．3π B ．2πC ．34πD ．23π答案：D解析：2221()cos32b a b a b b a b b a π⋅-=⋅-=-=-， 222()2a b a b a a b b a -=-=-⋅+=，cos<b ，a b ->＝221()122ab a b b a ba-⋅-==--．故选D ． 4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：B 解析：12n n a -=，21nn S =-，11()2n n b -=，112()2n n T -=-，112()12n n n n n P S T -=+=-+，51333316P =-<，61653332P =->．5．函数()sin xf x x x=-(x ∈[π-，π])的图像大致是答案：B 解析：()()sin()sin x xf x f x x x x x--===----，sin 1sin sin x x x x x x =+--，x →+∞，sin 11sin xx x+→-． 6．要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物的体内都含有微量的发射性14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变．经科学测定，14C 的半衰期为5730年（设14C 的原始量为1，经过x 年后，14C 的含量()xf x a =即1(5730)2f =），现有一古物，测得其14C 的原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（参考数据：310.79372≈，573010.99982≈） A ．1910 B ．3581 C ．9168 D ．17190答案：A 解析：573012a=，157303()0.7937a =，0.79371910x a x =⇒=． 7．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则8i i 1a =∑＝A ．376B ．382C ．749D ．766 答案：C解析：32212()a a a a -=-，1132n n n a a -+-=⋅，1322n n a -=⋅-，3232n n S n =⋅--，8749S =．8．设x ，y ∈(0，π)，若sin(sin x )＝cos(cos y )，则cos(sin x )与sin(cos y )的大小关系为 A ．＝ B ．＞ C ．＜ D ．以上均不对 答案：D解析：由题意知0＜sin x ≤1，﹣1＜cos y ＜1，1rad ≈57°，因为sin()cos 2παα+=，sin()cos 2παα-=， 所以sin cos 2x y π-=或sin cos 2x y π+=，cos(sin )cos(cos )sin(cos )2x y y π=+=-或cos(sin )cos(cos )sin(cos )2x y y π=-=，故选D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．设函数()5xf x =，2()g x ax x =-(a ∈R)，若[(1)]f g ＝5，则a ＝A ．1B ．2C ．3D ．0 答案：BD 解析：1[(1)]55112, 0a f g a a -==⇒-=±⇒=．10．函数21()(2)2ln 2f x ax a x x =-++单调递增的必要不充分条件有 A ．a ≥2 B ．a ＝2 C ．a ≥1 D ．a ＞2 答案：AC解析：2(2)(1)()(2)2ax x f x ax a a x x--'=-++=⇒=． 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋bc ，则角A 可为 A ．34π B ．4πC ．712πD ．23π 答案：BC解析：22221122cos A cos A A 2223c a b bc b c bc b π=+=+-⇒=->-⇒<． 12．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n ≥N ，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列．下列关于收敛数列正确的有 A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比q ∈(﹣1，1]C ．若数列{}n x 满足sin()cos()22n x n n ππ=，则{}n x 是收敛数列D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为n S (n S ≠0)，则数列1nS 一定是收敛数列 答案：BCD解析：对于A ，令n x ＝1，则存在a ＝1，使0n x a r -=<，故A 错；对于B ，11n n x x q-=⋅，若1q >，则对任意正数r ，当n ＞11log ()1q r x ++时，n x ＞r ＋1，所以此时不存在正整数N 使得定义式成立； 若q ＝1，显然符合，若q ＝﹣1为摆动数列11(1)n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；q ∈(﹣1，1)时，取a ＝0，N ＝[11log ()q r x +]＋1，当n ＞N 时，11110n n rx x q x r x --=<=，故B 正确； 对于C ，1sin()cos()sin()0222n x n n n πππ===，符合； 对于D ，1(1)n x x n d =+-，21()22n d dS n x n =+-，当d ＞0时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n＞＝N 时，110n nr S S -=<，d ＜0同 理，所以D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．若2sin()43πα-=，则sin 2α＝ ． 答案：19解析：21sin 2sin[2()]cos[2()]12sin ()42449ππππαααα=-+=-=--=． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的中线，若b ＝4c ＝4且2AB AD AB ⋅=，则cosA ＝ ；中线AD 的长为 ．答案：2解析：1AD (AB AC)2=+， 则2221AB AD AB AB (AB AC)=AB AB AC=AB B 22π⋅=⇒⋅+⇒⋅⇒=，2AB AD AB ⋅=，由投影可易知DB ⊥AB ，即B 2π=，b ＝4，c ＝1，则15a =，1cos A 4=，2219AD ()22a c =+=．15．若{}n a 是单调递增的等差数列，且4n a n a a =，则数列{}n a 的前10项和为 ． 答案：220解析：设(0)n a kn b k =+>，4()4()n a n a a k kn b b kn b =⇒++=+，则24404k k k b kb b b =⎧=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，则4n a n =，则10(440)102202S +⨯==． 16．若函数21()ln 2f x x b x ax =++在(1，2)上存在两个极值点，则b (3a ＋b ＋9)的取值范围 是 ． 答案：(4，8116) 解析：2()x ax b f x x++'=，则2()g x x ax b =++在(1，2)上有两个不同的零点1x ，2x ，则1212x x ax x b+=-⎧⎨=⎩，则222212121212112239()3()9(3)(3)b ab b x x x x x x x x x x x x ++=-++=--，1x ∈(1，2)，2113x x -∈[94-，﹣2)，同理2223x x -∈[94-，﹣2)，由于12x x ≠， 221122(3)(3)x x x x --∈(4，8116)．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）设函数()cos 2sin f x x m x =+，x ∈(0，π)． （1）若函数()f x 在x ＝2π处的切线方程为y ＝1，求m 的值； （2）若x ∀∈(0，π)，()f x ＞0恒成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意知：，得：m ＝2；（2）令，则时，，递增；时，，递减，故，因此m ＞1．18．（本小题满分12分）设()sin()f x x ωϕ=+，其中ω为正整数，2πϕ<，当ϕ＝0时，函数()f x 在[5π-，5π]单调递增且在[3π-，3π]不单调．（1）求正整数ω的值；（2）在①函数()f x 向右平移12π个单位得到奇函数；②函数()f x 在[0，3π]上的最小值为12-；③函数()f x 的一条对称轴为x ＝12π-这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成解答．已知函数()f x 满足 ，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＜b ，(A)(B)f f =．试问：这样的锐角△ABC 是否存在，若存在，求角C ；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）ϕ＝0时，()sin()f x x ω=，N ω*∈由题意知：又N ω*∈，故ω＝2； （2）选③：关于对称 则，又，故，，即或，即：或，又A ，B 为△ABC 内角，且a ＜b ，故因此，这样的△ABC 存在，且C ＝．19．（本小题满分12分）设函数()()e xf x a x =-． （1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的x ∈[0，+∞)，不等式()f x ≤x ＋2恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）时，；时，故()f x 递增区间为(，)，递减区间为(，)；（2），不等式恒成立即，，令，x ≥0，则，令，，故在递增，则，即因此在递增，所以，所以，a ≤2． 20．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，DC ＝2，∠BAD ＝6π． （1）若23AD AB AC 55=+，且角B ＝6π，求AC 的长； （2）若BD ＝3，且角C ＝3π，求角B 的大小．解：（1）因为23AD AB AC 55=+，则又CD ＝2，则CB ＝5，BD ＝3，又∠BAD ＝∠B ＝6π，故AD ＝BD ＝3，且∠ADC ＝3π在△ACD 中，由余弦定理：AC 2＝AD 2＋CD 2﹣2AD·CD cos ∠ADC ＝7，故AC ＝；（2）设，则，在△ABD 中，由正弦定理：在△ACD 中，由正弦定理：，即由上述两式得：又，故，即，即．21．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332S a =，4424S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令22n n nna b S +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n T ＜2．解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意知：故；（2）由（1）知：，则，故． 22．（本小题满分12分）设函数()e sin 1xf x a x =--． （1）当x ∈(2π-，2π)时，()0f x '>，求实数a 的取值范围； （2）求证：存在正实数a ，使得()0xf x ≥总成立．解：（1）， 即，，令，，则时，，时，故在递减，在递增因此，所以，；（2）取，则，令，，则在R上递增又，故x＜0时，，即；x＞0时，，即①x＞0时，，令，x≥0，故在递增，因此所以，x＞0时，，即()0xf x>；②时，，即()0xf x>；③时，由（1）知：，则在递增因此，即()0xf x≥；因此，12a=时，()0xf x≥总成立，即题意得证．。
1_盐城市2021届高三年级第一学期期中考试
盐城市2021届高三年级第一学期期中考试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项 1．命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ）A ．2(0,1),0x x x ∃∉-≥B ．2(0,1),0x x x ∃∈-≥C ．2(0,1),0x x x ∀∉-<D ．2(0,1),0x x x ∀∈-≥2．已知集合{}|ln(1)A x y x ==-，集合1|(),22x B y y x ⎧⎫==>-⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．∅B ．[1,4)C ．(1,4)D ．(4,)+∞3．已知向量,a b 满足a b =，且,a b 的夹角为3π，则b 与a b -的夹角为（ ） A ．3π B ．2πC ．34πD ．23π4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．函数[]()(,)sin xf x x x x ππ=∈--的图象大致是（ ）6．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变.经科学测定，14C 的半衰期为5730年（设14C 的原始量为1，经过x 年后，14C 的含量()x f x a =，即1(5730)2f =）.现有一古物，测得其14C 为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？0.7937≈，0.9998≈） A ．1910 B ．3581 C ．9168 D ．471907．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81i i a ==∑（ ）A ．376B ．382C ．749D ．7668．设,(0,)x y π∈，若sin(sin )cos(cos )x y =，则cos(sin )x 与sin(cos )y 的大小关系为（ ） A ．= B ．> C ．< D ．以上均不对 二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）9．设函数()5x f x =，2()()g x ax x a R =-∈，若[](1)5f g =，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．0 10．函数21()(2)2ln 2f x ax a x x =-++单调递增的必要不充分条件 有（ ）A ．2a >B ．2a =C ．1a ≥D ．2<a 11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b bc =+，则角A 可为（ ） A ．34πB ．4π C ．712π D ．23π 12．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ） A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(1,1]q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin()cos()22n x n n ππ=，则{}n x 是收敛数列D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为(0)n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.请把答案写在答题纸的指定位置上）13．若2sin()43πα-=，则sin2α=__________.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，若44b c ==且2AB AD AB ⋅=，则cos A =__________，中线AD 的长为__________.（本题第一空2分，第二空3分.）15．若{}n a 是单调递增的等差数列，且4n a n a a =，则数列{}n a 的前10项和为__________. 16．若函数21()ln 2f x x b x ax =++在(1,2)上存在两个极值点，则(39)b a b ++的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17．（10分）设函数()cos 2sin ,(0,)f x x m x x π=+∈. （1）若函数()f x 在2x π=处的切线方程为1y =，求m 的值；（2）若(0,)x π∀∈，()0f x >恒成立，求m 的取值范围. 18．（12分）设()sin()f x x ωϕ=+，其中ω为正整数，2πϕ<.当0ϕ=时，函数()f x 在[,]55ππ-单调递增且在[,]33ππ-不单调.（1）求正整数ω的值；（2）在①函数()f x 向右平移12π个单位得到奇函数；②函数()f x 在[0,]3π上的最小值为12-；③函数()f x 的一条对称轴为12x π=-这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成解答.已知函数()f x 满足__________，在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a b <，()()f A f B =.试问：这样的锐角ABC ∆是否存在，若存在，求角C ；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19．（12分）设函数()()x f x a x e =-. （1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的[0,)x ∈+∞，不等式()2f x x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 20．（12分）在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，2DC =，6BAD π∠=.（1）若2355AD AB AC =+，且角6B π=，求AC 的长；（2）若BD =，且角3C π=，求角B 的大小.21．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332S a =，4424S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令22n n nna b S +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：2n T <. 22．（12分）设函数()sin 1x f x e a x =--. （1）当(,)22x ππ∈-时，()0f x '>，求实数a 的取值范围；（2）求证：存在正实数a ，使得()0xf x ≥总成立.。
江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题Word含答案
盐城市2023届高三年级第一学期期中考试数学试题(本试卷满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z ＝1－i ，则|z 2|＝A ．2 2B ．4C ． 2D ．22．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x ||x －3|＜2}，则A ∩B ＝A ．(3，5)B ．(1，3)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．在△ABC 中，“cos A ＞cos B ”是“A ＜B ”的 条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要4．函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)e x ＋e －x的图象大致是5．1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆(Sundaram)发现了“正方形筛子”如下图，则其第10行第11列的数为A ．220B ．241C ．262D ．2646．设α、β∈(0，π2)，且tan α＝1－sin βcos β，则 A ．2α＋β＝π2 B ．β－2α＝π2 C ．α－2β＝π2 D ．α＋2β＝π27．函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x 2，则f (x )在下列区间上为单调递增函数的是 A ．(－π3，π3) B ．(－π3，0) C ．(0，π3) D ．(π3，2π3) 8．已知点A (2cos15°，2sin15°)，B (2cos75°，2sin75°)，及圆x 2＋y 2＝4上的两个动点C 、D ，且|CD |＝2，则→CA ·→CB ＋→DA ·→DB 的最大值是A ．6B ．12C ．24D ．32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于任意复数z 1，z 2，下列说法中正确的有A ．若z 1＝―z 1，则z 1∈RB ．若z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2C ．(z 1＋z 2)2＝|z 1＋z 2|2D ．若|z 1|＝1，则z 1＋1z 1∈R 10．某企业决定对某产品分两次提价现有三种提价方案：①第一次提价p %，第二次提价q %；②第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q 2%；③第一次提价pq %，第二次提价pq %．其中p ＞q ＞0，比较上述三种方案，下列说法中正确的有A ．方案①提价比方案②多B ．方案②提价比方案③多C ．方案②提价比方案①多D ．方案①提价比方案③多11．数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ＋6n ，n ∈N *，则A ．{a n －2}是等比数列B ．{a n }是单调数列C ．{a 2n －1－a 2n }是单调数列D ．{S n }是单调递增数列12．对于函数f (x )，若在区间I 上存在x 0，使得f (x 0)＝x 0，则称f (x )是区间I 上的“Φ函数”．下列函数中，是区间I 上的“Φ函数”的有A ．f (x )＝e x －1，I ＝(0，＋∞)B ．f (x )＝ln(x ＋1)，I ＝(－1，＋∞)C ．f (x )＝sin x ，I ＝(0，＋∞)D ．f (x )＝lg(sin x )，I ＝(－2π，－π)第II 卷 (非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．△ABC 中，→BD ＝2→DC ，若→AD ＝x →AB ＋y →AC ，则x －y ＝ ．14．半径为2的球的内接圆柱的侧面积的最大值是 ．15．若圆E ：x 2＋(6－m )2＝4与函数y ＝2x的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则m ＝ ．16．△ABC 中，sin(2A ＋B )＝2sin B ，则tan A ＋tan C ＋2tan B 的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知O 为坐标原点，→OA ＝(1，3)，→OB ＝(cos α，sin α)．(1)若α＝π3，求|→OA ＋→OB |； (2)若α∈[0，π2]，求→OA ·→OB 的取值范围．18．(本小题12分)首项为4的等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，其中S 5、S 4、S 6成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1log 2|a 2n －1|·log 2|a 2n ＋1|，求∑=1001i i b ．19．(本小题12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2cos A (b cos C ＋c cos B )＋a ＝0．(1)求角A 的大小；(2)若a ＝37，△ABC 的面积是33，求△ABC 的周长．20．(本小题12分)设函数f (x )＝12x 2＋a x－3lnx ，a ∈R ． (1)若函数f (x )是增函数，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a，使得x＝1是f(x)的极值点?若存在，求出a；若不存在，请说明理由．21．(本小题12分)数列{a n}中，a1＝2，a n＋a n＋1＝2n＋1，n∈N*．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝a2n－1 2a2n，n∈N*，求{b n}的前n项和．22．(本小题12分)设函数f(x)＝e x－ln(x＋a)，a∈R．(1)当a＝0时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成三角形的面积；(2)当x∈(－a，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的最大值．。
2021-2022学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.集合M=[−1,1]，N={x|x2−2x≤0}，则M∪N=()A. [−1,1]B. [0,1]C. [−1,2]D. [−1,0]2.设f(x)=x+9x(x∈R)，则“x>0”是“f(x)>6”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3.若复数z=a+bi(a,b∈R)满足z⋅z−=z2，则()A. a=0，b≠0B. a≠0，b=0C. a=0D. b=04.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n4，则a6的值为()A. 220B. 224C. 21024D. 240965.下列向量一定与向量a⃗|a⃗ |−b⃗|b⃗|垂直的是()A. a⃗|a⃗ |+b⃗|b⃗|B. a⃗|b⃗|−b⃗|a⃗ |C. a⃗+b⃗D. a⃗−b⃗6.已知sin(2θ−π6)=−13，θ∈(0,π2)，则sin(θ+π6)=()A. √63B. √33C. √23D. 137.若函数y=sin2x与y=sin(2x+φ)在(0,π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0,2π)，则φ的取值范围是()A. [π,2π)B. [π2,π] C. (π,2π) D. [π2,π)8.函数f(x)=lnx−m(x−1)x+1的零点最多有()个A. 4B. 3C. 2D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列数列一定是等比数列的有()A. a1+a2，a2+a3，a3+a4，…B. a1+a3，a3+a5，a5+a7，…C. S2，S4−S2，S6−S4，…D. S3，S6−S3，S9−S6，…10. 如图，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，点P 是圆O 上第一象限内的动点，将点P 绕原点O 逆时针旋转π3至点Q ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值可能为( )A. −1B. −√32C. −√22D. −1211. 已知函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ，下列说法正确的有( )A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最小正周期为2πC. 函数f(x)的值域为(1,2]D. 函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π212. 若正实数x ，y 满足lny −lnx >y −x >siny −sinx ，则下列不等式可能成立的有( )A. 0<x <1<yB. y >x >1C. 0<y <x <1D. 0<x <y <1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x ，则g(2)+g(−2)=______． 14. 试写出一个先减后增的数列{a n }的通项公式：a n =______．15. 若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c)，则该三角形的面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，这就是著名的“秦九韶−海伦公式”，若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为______．16. 函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程为______.由导数的几何意义可知，当x无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1.于是，当x 无限接近于+∞时，(1+2x )x 的值无限接近于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象Γ与y 轴交点的纵坐标为√32，Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[0,π2]上的值域．18.已知数列{a n}是首项为1−2i(i为虚数单位)的等差数列，a1，√5，a3成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设{a n}的前n项和为S n，求|S10|.19.在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，AC=AD=√10，CD=2．(1)求sin∠BAC的值；(2)求边AB的长．20.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1={2n+1(a n+1),n=2k−1,k∈N∗a n2n+1,n=2k,k∈N∗．(1)求证：a2n+1−a2n−1=2；(2)设b n=a2n−1+a2n，求{b n}的前n项和S n．2n21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=cosB，b=cosA．(1)求证：存在△ABC，使得c=1；(2)求△ABC面积S的最大值．22.设函数f(x)=e x−x2+mln(x+2)−2．(1)求证：当m=0时，f(x)>0在x∈(2,+∞)上总成立；(2)求证：不论m为何值，函数f(x)总存在零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合M=[−1,1]，N={x|x2−2x≤0}=[0,2]，∴M∪N=[−1,2]．故选：C．求出集合N，由此能求出M∪N．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：x>0，则f(x)=x+9x ≥2√x⋅9x=6，当且仅当x=3时取等号．∴“x>0”是“f(x)>6”的必要不充分条件，故选：B．利用基本不等式、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．本题考查了基本不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵z=a+bi，∴z−=a−bi，z2=(a+bi)2=a2−b2+2abi，∴z⋅z−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，∵z⋅z−=z2，∴{2b2=02ab=0，解得b=0，a∈R．故选：D．根据已知条件，结合复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，即可求解．本题主要考查复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n 4，则a 2=24，a 3=a 24=216， a 4=a 34=264，a 5=a 44=2256，a 6=a 54=21024， 故选：C ．利用数列的递推关系式，依次求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵a⃗ |a ⃗ |和b⃗ |b ⃗ | 都是单位向量，(a ⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b⃗ | )⋅(a ⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b⃗ | )=(a⃗ |a ⃗ |)2−(b⃗ |b ⃗ |)2=1−1=0，故与向量a⃗ |a ⃗ |−b ⃗ |b⃗ |垂直的是a⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b⃗ |， 而其它向量与向量a⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b⃗ |的乘积不等于零， 故选：A ．由题意利用两个向量垂直的性质，单位向量的定义和性质，得出结论． 本题主要两个向量垂直的性质，单位向量的定义和性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵0<θ<π2，∴−π6<2θ−π6<5π6，又∵sin(2θ−π6)=−13<0， ∴−π6<2θ−π6<0，∴0<θ<π12，∴π6<θ+π6<π4， ∴cos(2θ−π6)=2√23， sin2(θ+π6)=sin(2θ+π3)=sin(2θ−π6+π2)=cos(2θ−π6)=2√23， 即2sin(θ+π6)⋅cos(θ+π6)=2√23，sin(θ+π6)⋅√1−sin2(θ+π6)=√23，解得：sin(θ+π6)=√33，故选：B．根据θ的范围和已知条件，找出2θ−π6的范围，再求出cos(2θ−π6)值，再求解sin(θ+π6)的值．本题考查了三角函数之间的关系及整体思想，计算较复杂属于中档题．7.【答案】A【解析】解：∵函数y=sin2x与y=sin(2x+φ)在(0,π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0,2π)，由2x∈(0,π2)，可得sin2x∈(0,1)，∴2x+φ∈(φ,π2+φ)，sin(2x+φ)∈[−1,0]，∴π+2kπ≤φ≤2kπ+2π，k∈Z．结合φ∈(0,2π)，令k=0，求得π≤φ≤2π．综上，π≤φ<2π，故选：A．由题意利用正弦函数的图象、正弦函数的定义域和值域，求得φ的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由f(x)=lnx−m(x−1)x+1，∴x∈(0,+∞)，f′(x)=x2+(2−2m)x+1x(x+1)2，令g(x)=x2+(2−2m)x+1，①则m≤1时，因为x∈(0,+∞)，g(x)=x2+(2−2m)x+1>0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，又∵f(1)=0，∴f(x)在R上有且只有一个零点，②当m∈(1,2]时，Δ=4m2−8m=4m(m−2)≤0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，又∵f(1)=0，∴f(x)在R上有且只有一个零点，③当m>2时，x2+(2−2m)x+1=0有两个正根，x1=m−1−√m2−2m，x2=m−1+√m2−2m，由x1x2=1，∴0<x1<1，x2>1，当0<x<x1时，g(x)>0，f(x)>0，f′(x)单调递增，当x1<x<x2，g(x)<0，f(x)>0，f′(x)单调递减，当x>x2时，g(x)>0，f(x)>0，f′(x)单调递增，∵1∈(x1,x2)，f(1)=0，∴f(x)在(x1,x2)上有一个零点，且f(x1)>0，f(x2)<0，又∵e m>1，0<e−m<1，且f(e m)=m−m(e m−1)e m+1=2me m+1>0，f(e−m)=−m−m(e−m−1)e−m+1=−2me−m+1<0，∴f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上各有一个零点，综上所述：当m<2时，f(x)有且只有1个零点，当m>2时，f(x)有3个零点．∴f(x)最多有3个零点．故选：B．由题意对函数求导，建立新的函数，再讨论m的范围，得零点个数．本题考查函数的零点与方程的关系，属于难题．9.【答案】BD【解析】解：若等比数列{a n}的公比q=−1，则a1+a2=0，所以此时a1+a2，a2+a3，a3+a4，…不能构成等比数列，选项A错误；同理可得q=−1时，S2=0，选项C错误；而a1+a3，a3+a5，a5+a7，…是以q2为公比的等比数列，S3，S6−S3，S9−S6，…也是以q2为公比的等比数列，其首项均不等于0，所以选项BD正确．故选：BD．考虑{a n}公比为−1的情况，对选项进行逐项判断即可．本题考查等比数列的性质，解题的关键在于考虑{a n}公比为−1的情况，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，OA =OP =OQ =1，∠POQ =π3， 设∠AOP =θ(0<θ<π2)，则∠AOQ =θ+π3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos(θ+π3)−1×1×cosθ=cos(θ+π3)−cosθ=cosθcos π3−sinθsin π3−cosθ=−12cosθ−√32sinθ=−sin(θ+π6)，∵0<θ<π2，∴π6<θ+π6<2π3，∴sin(θ+π6)∈(12,1]，即−sin(θ+π6)∈[−1,−12), ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )∈[−1,−12)， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值可能为−1，−√32，−√22， 故选：ABC ．设∠AOP =θ(0<θ<π2)，则∠AOQ =θ+π3，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12cosθ−√32sinθ=−sin(θ+π6)，结合θ的范围求出−sin(θ+π6)的范围，从而判断出正确选项．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了考查了两角和的正弦函数和余弦函数，同时考查了向量数量积的运算，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ， 所以f(x)≥0，则[f(x)]2=1+cosx +1−cosx +2√(1+cosx)(1−cosx)=2+2|sinx|>0， 所以f(x)=√2+2|sinx|，对于A ，因为f(x)的定义域为R ，关于原点对称， 又f(−x)=√2+2|sin(−x)|=√2+2|sinx|=f(x)， 所以函数f(x)为偶函数， 故选项A 正确；对于B ，因为函数y =|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)=√2+2|sinx|的最小正周期为π，故选项B错误；对于C，因为−1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，所以2≤2+2|sinx|≤4，故√2≤√2+2|sinx|≤2，所以函数f(x)的值域为[√2,2]，故选项C错误；对于D，因为函数f(x)的最小值正周期为π，又函数f(x)的对称轴方程为x=kπ2,k∈Z，故函数f(x)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2，故选项D正确．故选：AD．先将函数f(x)的解析式进行化简变形，利用偶函数的定义，即可判断选项A，利用三角函数的周期性，即可判断选项B，利用正弦函数的有界性，即可判断选项C，由周期性以及正弦函数的对称性，求出对称轴方程，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的周期性、对称性、奇偶性以及值域的求解，涉及了三角函数图象与性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：x>0，y>0，lny−lnx>y−x>siny−sinx，∴lny−y>lnx−x，①且y−siny>x−sinx②．令f(x)=lnx−x(x>0)，g(x)=x−sinx(x>0)，则f′(x)=1x −1=1−xx，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴当0<x<y<1，或1<y<x时①成立，故D正确，C错误，B错误，A可能正确，也可能错误；③又∀x∈(0,+∞)，g′(x)=1−cosx≥0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴当y >x >0时，②成立，故D 正确，A 正确；④ 综合③④，得以上不等式可能成立的有AD ， 故选：AD ．由已知得lny −y >lnx −x ，且y −siny >x −sinx ，分别构造函数f(x)=lnx −x(x >0)，g(x)=x −sinx(x >0)，求导，研究两个函数的单调情况即可作出正确选择． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查构造法的应用及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】174【解析】解：奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x ， 所以f(−x)+g(−x)=g(x)−f(x)=(12)x ， 联立得，g(x)=2x +(12)x2，则g(2)+g(−2)=174．故答案为：174．结合奇函数与偶函数定义及已知等式可求g(x)，进而可求g(2)+g(−2)． 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题．14.【答案】n 2−4n(答案不唯一)【解析】解：根据题意，若数列{a n }先减后增，结合二次函数的性质分析，数列的通项公式可以为a n =n 2−4n ； 故答案为：n 2−4n(答案不唯一)．由数列的函数特性，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查数列的函数特性以及数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：因为△ABC 的周长为8，c =2，p =12(a +b +c)=4，a +b =6， 所以三角形的面积S =√4(4−a)(4−b)(4−2)=√8ab −64，又6=a +b ≥2√ab ，可得ab ≤9，当且仅当a =b =3时等号成立，所以三角形的面积S =√8ab −64≤√8×9−64=2√2，当且仅当a =b =3时等号成立，故该三角形面积的最大值为2√2． 故答案为：2√2．由题意可求S =√8ab −64，利用基本不等式可求ab ≤9，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】y =x e 2【解析】解：由f(x)=ln(1+x)，得f′(x)=11+x ， 则f′(0)=1，又f(0)=0，∴函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程为y =x ； 当x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1，而(1+2x )x =[(1+2x )x 2]2=[e x 2ln(1+2x )]2=e2(ln(1+2x )2x)，当x 无限接近于+∞时，2x 无限接近于0，则ln(1+2x)2x无限接近于1，∴当x 无限接近于+∞时，(1+2x )x 的值无限接近于e 2． 故答案为：y =x ；e 2．求出函数f(x)=ln(1+x)的导函数，可得f′(0)=1，再由f(0)=0，利用直线方程的斜截式可得函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程；把(1+2x )x 变形，结合x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意知f(0)=√32，即sinφ=√32， ∵0<φ<π2，∴φ=π3， 此时f(x)=sin(ωx +π3)，∵Γ在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．∴由五点对应法得π12ω+π3=π2，∴π12ω=π6，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x+π3).(2)当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，∴2x+π3∈[π3,4π3]，则当2x+π3=4π3时，f(x)取得最小值此时f(x)=sin4π3=−√32，当2x+π3=π2时，f(x)取得最大值此时f(x)=sinπ2=1，即函数的值域为[−√32,1]．【解析】(1)根据条件求出ω和φ的值即可．(2)求出角的范围，利用三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的有界性是解决本题的关键，是中档题．18.【答案】解：(1)设等差数列公差为d，因为a1，√5，a3成等比数列，所以a1a3=5，所以(1−2i)(1+2d−2i)=5，若d为实数，则{2d−3=5−4i−4id=0，无解；若d为虚数，则{2d−4i=0−3−4id=5，解得d=2i，所以a n=1−2i+(n−1)×2i=1+2(n−2)i，即a n=1+2(n−2)i；(2)|S10|=|a1+(a2+a10)×92|=|1−2i+1+1+(10−2)2i2×9|=|10+70i|=√102+702=50√2．【解析】(1)设公差为d，由条件可得(1−2i)(1+2d−2i)=5，分d为实数和d为虚数两种情况求解；(2)由(1)数列每一项均为复数，所以所求为复数的模，化简S10=10+70i，代入模长公式计算．本题考查了等差等比的综合运算，复数的运算，属于综合题．19.【答案】解：(1)设∠DAC=α，△ADC中，由余弦定理得，cosα=10+10−42×√10×√10=45，所以sinα=35，所以sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×45×35=2425；(2)过A作AE⊥CD，垂足为E，设AB=x，由角平分线性质得，ABAC =BDCD，所以x√10=BD2，所以BD=√105x，Rt△ACE中，CE=1，AC=√10，AE=3，Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，即x2=9+(1+√105x)2，整理得，3x2−2√10x−50=0，解得AB=x=5√103．【解析】(1)由已知结合余弦定理先求cos∠DAC，然后结合同角平方关系及二倍角正弦公式可求；(2)设AB=x，结合角平分线性质先表示BD，然后结合勾股定理可求AB．本题主要考查了余弦定理，同角平方关系，二倍角公式，还考查了角平分线性质，属于中档题．20.【答案】证明：(1)由题设有a2k=22k(a2k−1+1)，a2k+1=a2k22k+1，故a2k22k=a2k−1+1，所以a2k+1=a2k−1+1+1，即a2n+1−a2n−1=2，解：(2)由(1)可得{a2n−1}为等差数列且首项为a1=1，公差为2，故a2n−1=1+(n−1)×2=2n−1，故a2k=22k(a2k−1)=2k×22k=k⋅22k+1，故b n=2n−1+n×22n−12n=2n−1+4n，故S n=n(1+2n−1)2+4(1−4n)1−4=n2+4n+1−43．【解析】(1)由题设有a2k=22k(a2k−1+1)，a2k+1=a2k22k+1，化简后可得所需证明的递推关系，(2)利用(1)的结果可得b n=2n−1+4n，利用分组求和法可求S n．本题考查数列的递推公式，及数列的求和公式，考查学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)证明：因为a=cosB，b=cosA，由正弦定理可得，asinA =bsinB，所以cosBsinA =cosAsinB，则sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，在△ABC中，因为A，B∈(0,π)，且A+B<π，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，当A+B=π2时，C=π2，所以c2=cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，则c=1，故存在△ABC，使得c=1；(2)解：①当A+B=π2时，S△ABC=12cosAcosB=12sinAcosA=14sin2A≤14，所以△ABC面积的最大值为14；②当A=B时，S△ABC=12cos2Asin(π−2A)=12cos2Asin2A=sinAcos3A，故S△ABC2=sin2Acos6A=(1−cos2A)cos6A，令x=cos2A，则x∈(0,1)，所以S△ABC2=f(x)=(1−x)x3，则f′(x)=−x3+3(1−x)x2=x2(3−4x)，令f′(x)=0，解得x=34，当0<x <34时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 当34<x <1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 所以当x =34时，f(x)取得最大值f(34)=3343，即当cos 2A =34，即A =π6时，△ABC 的面积取得最大值3√316．因为3√316>14，故△ABC 面积S 的最大值为3√316．【解析】(1)利用正弦定理结合已知条件，得到cosB sinA =cosAsinB ，利用三角恒等变换得到sin2A =sin2B ，从而得到A =B 或A +B =π2，当A +B =π2时，即可求得c =1，从而证明结论；(2)当A +B =π2时，求出△ABC 的面积的最大值，当A =B 时，表示出△ABC 的面积，令x =cos 2A ，则x ∈(0,1)，构造函数f(x)=(1−x)x 3，利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，比较即可得到答案．本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数最值的应用，解三角的应用，正弦定理以及三角形面积公式的运用，三角恒等变换的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)当m =0时，f(x)=e x −x 2−2，f′(x)=e x −2x ， f″(x)=e x −2，当x ∈(2,+∞)时，f″(x)=e x −2>0恒成立，即f′(x)单增， 又f′(2)=e 2−4>0，则f′(x)>f′(2)>0恒成立，即f(x)单增， 又f(2)=e 2−6>0， 则f(x)>f(2)>0．(2)由题知，f(−l)=e −1−3<0，当m ≥0时，f(2)=e 2−6+mln4>0恒成立， 由零点存在定理知，函数f(x)总存在零点；当m <0时，f′(x)=e x −2x +mx+2，f″(x)=e x−2−m(x+2)2，>0，则f′(x)在[1,+∞)上单增，易知，f″(x)单增，且f″(1)=e−2−m9根据f′(x)的解析式，存在x1∈[x0,+∞)，使f′(x)>0，f(x)单增，根据f(x)的解析式，存在x1→+∞，使f(x1)>0，由零点存在定理知，函数f(x)总存在零点．【解析】(1)当m=0时，f(x)=e x−x2−2，二次求导，根据导数正负情况判断原函数的单调性，从而证得结论；(2)由题知，f(−1)=e−1−3<0，只需证明无论m为何值，函数f(x)总能取到正值，由零点存在定理即可证得结论．本题考查零点存在性定理，导数的综合应用，属于难题．。
2021-2022学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M ＝[﹣1，1]，N ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，则M ∪N ＝（ ） A ．[﹣1，1]B ．[0，1]C ．[﹣1，2]D ．[﹣1，0]2．（5分）设f （x ）＝x +9x （x ∈R ），则“x ＞0”是“f （x ）＞6”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分又不必要3．（5分）若复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）满足z •z =z 2，则（ ） A ．a ＝0，b ≠0B ．a ≠0，b ＝0C ．a ＝0D ．b ＝04．（5分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝a n 4，则a 6的值为（ ） A ．220B ．224C ．21024D ．240965．（5分）下列向量一定与向量a→|a →|−b→|b →|垂直的是（ ）A ．a→|a →|+b→|b →|B ．a→|b →|−b→|a →|C ．a →+b →D ．a →−b →6．（5分）已知sin (2θ−π6)=−13，θ∈(0，π2)，则sin （θ+π6）＝（ ） A ．√63B ．√33C ．√23D ．137．（5分）若函数y ＝sin2x 与y ＝sin （2x +φ）在(0，π4)上的图象没有交点，其中φ∈（0，2π），则φ的取值范围是（ ） A ．[π，2π）B ．[π2，π]C ．（π，2π）D ．[π2，π）8．（5分）函数f(x)=lnx −m(x−1)x+1的零点最多有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列数列一定是等比数列的有（ ） A ．a 1+a 2，a 2+a 3，a 3+a 4，…B ．a 1+a 3，a 3+a 5，a 5+a 7，…C ．S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4，…D ．S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6，…10．（5分）如图，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，点P 是圆O 上第一象限内的动点，将点P 绕原点O 逆时针旋转π3至点Q ，则OA →⋅(OQ →−OP →)的值可能为（ ）A ．﹣1B ．−√32C ．−√22D ．−1211．（5分）已知函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ，下列说法正确的有（ ） A ．函数f （x ）是偶函数B ．函数f （x ）的最小正周期为2πC ．函数f （x ）的值域为（1，2]D ．函数f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π212．（5分）若正实数x ，y 满足lny ﹣lnx ＞y ﹣x ＞sin y ﹣sin x ，则下列不等式可能成立的有（ ） A ．0＜x ＜1＜yB ．y ＞x ＞1C ．0＜y ＜x ＜1D ．0＜x ＜y ＜1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若奇函数f （x ）与偶函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）＝2x ，则g （2）+g （﹣2）＝ ．14．（5分）试写出一个先减后增的数列{a n }的通项公式：a n ＝ ．15．（5分）若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12（a +b +c ），则该三角形的面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，这就是著名的“秦九韶﹣海伦公式”，若△ABC 的周长为8，AB ＝2，则该三角形面积的最大值为 ．16．（5分）函数f （x ）＝ln （1+x ）在x ＝0处的切线方程为 ．由导数的几何意义可知，当x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1．于是，当x 无限接近于+∞时，（1+2x ）x的值无限接近于 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象Γ与y 轴交点的纵坐标为√32，Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12． （1）求f （x ）的解析式； （2）求f （x ）在[0，π2]上的值域．18．（12分）已知数列{a n }是首项为1﹣2i （i 为虚数单位）的等差数列，a 1，√5，a 3成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设{a n }的前n 项和为S n ，求|S 10|．19．（12分）在△ABC 中，点D 在边BC 上，AD 为∠A 的角平分线，AC ＝AD =√10，CD ＝2．（1）求sin ∠BAC 的值； （2）求边AB 的长．20．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1={2n+1(a n +1)，n =2k −1，k ∈N ∗a n 2n +1，n =2k ，k ∈N∗． （1）求证：a 2n +1﹣a 2n ﹣1＝2； （2）设b n =a 2n−1+a 2n2n ，求{b n }的前n 项和S n ． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝cos B ，b ＝cos A ． （1）求证：存在△ABC ，使得c ＝1； （2）求△ABC 面积S 的最大值．22．（12分）设函数f （x ）＝e x ﹣x 2+mln （x +2）﹣2．（1）求证：当m ＝0时，f （x ）＞0在x ∈（2，+∞）上总成立； （2）求证：不论m 为何值，函数f （x ）总存在零点．2021-2022学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M ＝[﹣1，1]，N ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，则M ∪N ＝（ ） A ．[﹣1，1]B ．[0，1]C ．[﹣1，2]D ．[﹣1，0]【解答】解：∵集合M ＝[﹣1，1]， N ＝{x |x 2﹣2x ≤0}＝[0，2]， ∴M ∪N ＝[﹣1，2]． 故选：C ．2．（5分）设f （x ）＝x +9x（x ∈R ），则“x ＞0”是“f （x ）＞6”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分又不必要【解答】解：x ＞0，则f （x ）＝x +9x ≥2√x ⋅9x =6，当且仅当x ＝3时取等号． ∴“x ＞0”是“f （x ）＞6”的必要不充分条件， 故选：B ．3．（5分）若复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）满足z •z =z 2，则（ ） A ．a ＝0，b ≠0B ．a ≠0，b ＝0C ．a ＝0D ．b ＝0【解答】解：∵z ＝a +bi ，∴z =a −bi ，z 2＝（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ， ∴z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2， ∵z •z =z 2，∴{2b 2=02ab =0，解得b ＝0，a ∈R ． 故选：D ．4．（5分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝a n 4，则a 6的值为（ ） A ．220B ．224C ．21024D ．24096【解答】解：数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝a n 4，则a 2＝24，a 3＝a 24＝216， a 4＝a 34＝264，a 5＝a 44＝2256，a 6＝a 54＝21024，故选：C ．5．（5分）下列向量一定与向量a→|a →|−b→|b →|垂直的是（ ）A ．a→|a →|+b→|b →|B ．a→|b →|−b→|a →|C ．a →+b →D ．a →−b →【解答】解：∵a→|a →| 和b →|b →| 都是单位向量，（ a→|a →|+b →|b →| ）•（ a→|a →|−b→|b →| ）=(a →|a →|)2−(b →|b →|)2=1﹣1＝0，故与向量a→|a →|−b→|b →|垂直的是a→|a →|+b→|b →|，而其它向量与向量a→|a →|−b→|b →|的乘积不等于零，故选：A ．6．（5分）已知sin (2θ−π6)=−13，θ∈(0，π2)，则sin （θ+π6）＝（ ） A ．√63B ．√33C ．√23D ．13【解答】解：∵0＜θ＜π2，∴−π6＜2θ−π6＜5π6， 又∵sin (2θ−π6)=−13＜0， ∴−π6＜2θ−π6＜0， ∴0＜θ＜π12，∴π6＜θ+π6＜π4，∴cos （2θ−π6）=2√23，sin2（θ+π6）＝sin （2θ+π3）＝sin （2θ−π6+π2）＝cos （2θ−π6）=2√23， 即2sin （θ+π6）•cos （θ+π6）=2√23， sin （θ+π6）•√1−sin 2(θ+π6)=√23， 解得：sin （θ+π6）=√33， 故选：B ．7．（5分）若函数y ＝sin2x 与y ＝sin （2x +φ）在(0，π4)上的图象没有交点，其中φ∈（0，2π），则φ的取值范围是（ ） A ．[π，2π）B ．[π2，π]C ．（π，2π）D ．[π2，π）【解答】解：∵函数y ＝sin2x 与y ＝sin （2x +φ）在(0，π4)上的图象没有交点，其中φ∈（0，2π），由2x ∈（0，π2），可得 sin2x ∈（0，1），∴2x +φ∈（ φ，π2+φ），sin （2x +φ）∈[﹣1，0]，∴π+2k π≤φ≤2k π+2π，k ∈Z ．结合φ∈（0，2π），令k ＝0，求得 π≤φ≤2π． 综上，π≤φ＜2π， 故选：A ．8．（5分）函数f(x)=lnx −m(x−1)x+1的零点最多有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：由f （x ）＝lnx −m(x−1)x+1， ∴x ∈（0，+∞），f ′（x ）=x 2+(2−2m)x+1x(x+1)2，令g （x ）＝x 2+（2﹣2m ）x +1，①则m ≤1时，因为x ∈（0，+∞），g （x ）＝x 2+（2﹣2m ）x +1＞0，f ′（x ）＞0， 所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，又∵f （1）＝0，∴f （x ）在R 上有且只有一个零点， ②当m ∈（1，2]时，Δ＝4m 2﹣8m ＝4m （m ﹣2）≤0，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，又∵f （1）＝0，∴f （x ）在R 上有且只有一个零点， ③当m ＞2时，x 2+（2﹣2m ）x +1＝0有两个正根，x 1＝m ﹣1−√m 2−2m ，x 2＝m ﹣1+√m 2−2m ，由x 1x 2＝1，∴0＜x 1＜1，x 2＞1，当0＜x ＜x 1时，g （x ）＞0，f （x ）＞0，f ′（x ）单调递增， 当x 1＜x ＜x 2，g （x ）＜0，f （x ）＞0，f ′（x ）单调递减， 当x ＞x 2时，g （x ）＞0，f （x ）＞0，f ′（x ）单调递增， ∵1∈（x 1，x 2），f （1）＝0，∴f （x ）在（x 1，x 2）上有一个零点，且f （x 1）＞0，f （x 2）＜0，又∵e m＞1，0＜e﹣m＜1，且f（e m）＝m−m(e m−1)e m+1=2me m+1＞0，f（e﹣m）＝﹣m−m(e−m−1)e−m+1=−2me−m+1＜0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上各有一个零点，综上所述：当m＜2时，f（x）有且只有1个零点，当m＞2时，f（x）有3个零点．∴f（x）最多有3个零点．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列数列一定是等比数列的有（）A．a1+a2，a2+a3，a3+a4，…B．a1+a3，a3+a5，a5+a7，…C．S2，S4﹣S2，S6﹣S4，…D．S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…【解答】解：若等比数列{a n}的公比q＝﹣1，则a1+a2＝0，所以此时a1+a2，a2+a3，a3+a4，…不能构成等比数列，选项A错误；同理可得q＝﹣1时，S2＝0，选项C错误；而a1+a3，a3+a5，a5+a7，…是以q2为公比的等比数列，S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…也是以q2为公比的等比数列，其首项均不等于0，所以选项BD正确．故选：BD．10．（5分）如图，点A是单位圆O与x轴正半轴的交点，点P是圆O上第一象限内的动点，将点P绕原点O逆时针旋转π3至点Q，则OA→⋅(OQ→−OP→)的值可能为（）A．﹣1B．−√32C．−√22D．−12【解答】解：由题意可知，OA＝OP＝OQ＝1，∠POQ=π3，设∠AOP ＝θ（0＜θ＜π2），则∠AOQ =θ+π3，则OA →⋅(OQ →−OP →)=OA →⋅OQ →−OA →⋅OP →=1×1×cos(θ+π3)−1×1×cos θ=cos(θ+π3)−cos θ=cosθcos π3−sinθsin π3−cos θ=−12cosθ−√32sinθ=−sin （θ+π6）， ∵0＜θ＜π2，∴π6＜θ+π6＜2π3，∴sin(θ+π6)∈(12，1]，即−sin(θ+π6)∈[−1，−12)， ∴OA →⋅(OQ →−OP →)∈[﹣1，−12），∴OA →⋅(OQ →−OP →)的值可能为﹣1，−√32，−√22， 故选：ABC ．11．（5分）已知函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ，下列说法正确的有（ ） A ．函数f （x ）是偶函数B ．函数f （x ）的最小正周期为2πC ．函数f （x ）的值域为（1，2]D ．函数f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2【解答】解：函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ， 所以f （x ）≥0，则[f （x ）]2＝1+cos x +1﹣cos x +2√(1+cosx)(1−cosx)=2+2|sin x |＞0， 所以f （x ）=√2+2|sinx|，对于A ，因为f （x ）的定义域为R ，关于原点对称， 又f （﹣x ）=√2+2|sin(−x)|=√2+2|sinx|=f （x ）， 所以函数f （x ）为偶函数， 故选项A 正确；对于B ，因为函数y ＝|sin x |的最小正周期为π， 所以函数f （x ）=√2+2|sinx|的最小正周期为π， 故选项B 错误；对于C ，因为﹣1≤sin x ≤1， 则0≤|sin x |≤1， 所以2≤2+2|sin x |≤4，故√2≤√2+2|sinx|≤2， 所以函数f （x ）的值域为[√2，2]， 故选项C 错误；对于D ，因为函数f （x ）的最小值正周期为π， 又函数f （x ）的对称轴方程为x =kπ2，k ∈Z ，故函数f （x ）图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2，故选项D 正确． 故选：AD ．12．（5分）若正实数x ，y 满足lny ﹣lnx ＞y ﹣x ＞sin y ﹣sin x ，则下列不等式可能成立的有（ ） A ．0＜x ＜1＜yB ．y ＞x ＞1C ．0＜y ＜x ＜1D ．0＜x ＜y ＜1【解答】解：x ＞0，y ＞0，lny ﹣lnx ＞y ﹣x ＞sin y ﹣sin x ， ∴lny ﹣y ＞lnx ﹣x ，①且y ﹣sin y ＞x ﹣sin x ②． 令f （x ）＝lnx ﹣x （x ＞0），g （x ）＝x ﹣sin x （x ＞0）， 则f ′（x ）=1x −1=1−xx， 当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0， ∴f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当0＜x ＜y ＜1，或1＜y ＜x 时①成立，故D 正确，C 错误，B 错误，A 可能正确，也可能错误；③又∀x ∈（0，+∞），g ′（x ）＝1﹣cos x ≥0恒成立， ∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当y ＞x ＞0时，②成立，故D 正确，A 正确；④ 综合③④，得以上不等式可能成立的有AD ， 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若奇函数f （x ）与偶函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）＝2x ，则g （2）+g （﹣2）＝174．【解答】解：奇函数f （x ）与偶函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）＝2x ， 所以f （﹣x ）+g （﹣x ）＝g （x ）﹣f （x ）＝（12）x ，联立得，g （x ）=2x +(12)x2， 则g （2）+g （﹣2）=174． 故答案为：174．14．（5分）试写出一个先减后增的数列{a n }的通项公式：a n ＝ n 2﹣4n （答案不唯一） ． 【解答】解：根据题意，若数列{a n }先减后增，结合二次函数的性质分析，数列的通项公式可以为a n ＝n 2﹣4n ； 故答案为：n 2﹣4n （答案不唯一）．15．（5分）若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12（a +b +c ），则该三角形的面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，这就是著名的“秦九韶﹣海伦公式”，若△ABC 的周长为8，AB ＝2，则该三角形面积的最大值为 2√2 ．【解答】解：因为△ABC 的周长为8，c ＝2，p =12（a +b +c ）＝4，a +b ＝6， 所以三角形的面积S =√4(4−a)(4−b)(4−2)=√8ab −64， 又6＝a +b ≥2√ab ，可得ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，所以三角形的面积S =√8ab −64≤√8×9−64=2√2，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， 故该三角形面积的最大值为2√2． 故答案为：2√2．16．（5分）函数f （x ）＝ln （1+x ）在x ＝0处的切线方程为 y ＝x ．由导数的几何意义可知，当x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1．于是，当x 无限接近于+∞时，（1+2x ）x 的值无限接近于 e 2 ．【解答】解：由f （x ）＝ln （1+x ），得f ′（x ）=11+x ， 则f ′（0）＝1，又f （0）＝0，∴函数f （x ）＝ln （1+x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝x ； 当x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1，而（1+2x ）x =[(1+2x )x 2]2=[ex 2ln(1+2x )]2=e 2(ln(1+2x )2x )，当x 无限接近于+∞时，2x无限接近于0，则ln(1+2x)2x无限接近于1，∴当x 无限接近于+∞时，（1+2x）x 的值无限接近于e 2． 故答案为：y ＝x ；e 2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象Γ与y 轴交点的纵坐标为√32，Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12． （1）求f （x ）的解析式； （2）求f （x ）在[0，π2]上的值域．【解答】解：（1）由题意知f （0）=√32，即sin φ=√32， ∵0＜φ＜π2，∴φ=π3， 此时f （x ）＝sin （ωx +π3），∵Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．∴由五点对应法得π12ω+π3=π2，∴π12ω=π6，∴ω＝2， ∴f （x ）＝sin （2x +π3）．（2）当x ∈[0，π2]时，2x ∈[0，π]，∴2x +π3∈[π3，4π3]，则当2x +π3=4π3时，f （x ）取得最小值此时f （x ）＝sin 4π3=−√32，当2x +π3=π2时，f （x ）取得最大值此时f （x ）＝sin π2=1，即函数的值域为[−√32，1]．18．（12分）已知数列{a n }是首项为1﹣2i （i 为虚数单位）的等差数列，a 1，√5，a 3成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设{a n }的前n 项和为S n ，求|S 10|． 【解答】解：（1）设等差数列公差为d ， 因为a 1，√5，a 3成等比数列， 所以a 1a 3＝5，所以（1﹣2i ）（1+2d ﹣2i ）＝5，若d 为实数，则{2d −3=5−4i −4id =0，无解；若d 为虚数，则{2d −4i =0−3−4id =5，解得d ＝2i ，所以a n ＝1﹣2i +（n ﹣1）×2i ＝1+2（n ﹣2）i ， 即a n ＝1+2（n ﹣2）i ； （2）|S 10|＝|a 1+(a 2+a 10)×92|＝|1﹣2i +1+1+(10−2)2i2×9|＝|10+70i |=√102+702=50√2． 19．（12分）在△ABC 中，点D 在边BC 上，AD 为∠A 的角平分线，AC ＝AD =√10，CD ＝2．（1）求sin ∠BAC 的值； （2）求边AB 的长．【解答】解：（1）设∠DAC ＝α， △ADC 中，由余弦定理得，cos α=10+10−42×10×10=45，所以sin α=35，所以sin ∠BAC ＝sin2α＝2sin αcos α＝2×45×35=2425； （2）过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，设AB ＝x ， 由角平分线性质得，AB AC=BD CD，所以√10=BD 2，所以BD =√105x ，Rt △ACE 中，CE ＝1，AC =√10，AE ＝3，Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2+BE 2，即x 2＝9+（1+√105x ）2， 整理得，3x 2−2√10x −50=0， 解得AB ＝x =5√103．20．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1={2n+1(a n +1)，n =2k −1，k ∈N ∗a n 2n +1，n =2k ，k ∈N∗． （1）求证：a 2n +1﹣a 2n ﹣1＝2；（2）设b n =a 2n−1+a2n2n ，求{b n }的前n 项和S n ．【解答】证明：（1）由题设有a 2k ＝22k （a 2k ﹣1+1），a 2k +1=a 2k 22k+1，故a 2k 22k=a 2k ﹣1+1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+1+1，即a 2n +1﹣a 2n ﹣1＝2，解：（2）由（1）可得{a 2n ﹣1}为等差数列且首项为a 1＝1，公差为2， 故a 2n ﹣1＝1+（n ﹣1）×2＝2n ﹣1， 故a 2k ＝22k （a 2k ﹣1）＝2k ×22k ＝k •22k +1，故b n ＝2n ﹣1+n×22n−12n=2n ﹣1+4n ，故S n =n(1+2n−1)2+4(1−4n )1−4=n 2+4n+1−43． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝cos B ，b ＝cos A ． （1）求证：存在△ABC ，使得c ＝1； （2）求△ABC 面积S 的最大值．【解答】（1）证明：因为a ＝cos B ，b ＝cos A ， 由正弦定理可得，a sinA=b sinB，所以cosB sinA=cosA sinB，则sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ， 在△ABC 中，因为A ，B ∈（0，π），且A +B ＜π， 所以2A ＝2B 或2A +2B ＝π， 即A ＝B 或A +B =π2， 当A +B =π2时，C =π2，所以c 2＝cos 2A +cos 2B ＝cos 2A +sin 2A ＝1， 则c ＝1，故存在△ABC ，使得c ＝1；（2）解：①当A +B =π2时，S △ABC =12cosAcosB =12sinAcosA =14sin2A ≤14，所以△ABC 面积的最大值为14；②当A ＝B 时，S △ABC =12cos 2Asin(π−2A)=12cos 2Asin2A =sinAcos 3A ，故S △ABC 2=sin 2Acos 6A =(1−cos 2A)cos 6A ，令x ＝cos 2A ，则x ∈（0，1），所以S △ABC 2=f （x ）＝（1﹣x ）x 3，则f '（x ）＝﹣x 3+3（1﹣x ）x 2＝x 2（3﹣4x ）， 令f '（x ）＝0，解得x =34，当0＜x ＜34时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 当34＜x ＜1时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减，所以当x =34时，f （x ）取得最大值f(34)=3343，即当cos 2A =34，即A =π6时，△ABC 的面积取得最大值3√316．因为3√316＞14， 故△ABC 面积S 的最大值为3√316． 22．（12分）设函数f （x ）＝e x ﹣x 2+mln （x +2）﹣2．（1）求证：当m ＝0时，f （x ）＞0在x ∈（2，+∞）上总成立； （2）求证：不论m 为何值，函数f （x ）总存在零点． 【解答】证明：（1）当m ＝0时，f （x ）＝e x ﹣x 2﹣2， f ′（x ）＝e x ﹣2x ， f ″（x ）＝e x ﹣2，当x ∈（2，+∞）时，f ″（x ）＝e x ﹣2＞0恒成立，即f ′（x ）单增， 又f ′（2）＝e 2﹣4＞0，则f ′（x ）＞f ′（2）＞0恒成立，即f （x ）单增， 又f （2）＝e 2﹣6＞0， 则f （x ）＞f （2）＞0．（2）由题知，f （﹣l ）＝e ﹣1﹣3＜0，当m ≥0时，f （2）＝e 2﹣6+mln 4＞0恒成立， 由零点存在定理知，函数f （x ）总存在零点；当m＜0时，f′（x）＝e x﹣2x+mx+2，f″（x）＝ex﹣2−m(x+2)2，易知，f″（x）单增，且f″（1）＝e﹣2−m9＞0，则f′（x）在[1，+∞）上单增，根据f′（x）的解析式，存在x1∈[x0，+∞），使f′（x）＞0，f（x）单增，根据f（x）的解析式，存在x1→+∞，使f（x1）＞0，由零点存在定理知，函数f（x）总存在零点．。
江苏省盐城市2021届高三第一学期期中考试数学试卷(解析版)
（1）求数列an 的通项公式；
（2）令 bn
an2 2n Sn
，设数列
bn
的前 n 项和为Tn ，求证：Tn ＜2．
22．（本小题满分 12 分）
设函数 f (x) ex a sin x 1 ． （1）当 x( ， )时， f (x) 0 ，求实数 a 的取值范围；
22 （2）求证：存在正实数 a，使得 xf (x) 0 总成立．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）
设函数 f (x) cos 2x m sin x ， x(0， )．
（1）若函数 f (x) 在 x＝ 处的切线方程为 y＝1，求 m 的值； 2
12
3
值为 1 ；③函数 f (x) 的一条对称轴为 x＝ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题
2
12
中，并完成解答．
已知函数 f (x) 满足，在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＜b，
f (A) f (B) ．试问：这样的锐角△ABC 是否存在，若存在，求角 C；若不存在，请说明
的半衰期为 5730 年（设 14C 的原始量为 1，经过 x 年后，14C 的含量 f (x) ax 即
f (5730) 1 ），现有一古物，测得其 14C 的原始量的 79.37%，则该古物距今约多少年？ 2
（参考数据： 3 1 0.7937 ， 5730 1 0.9998 ）
2
2
A．1910
＝4
且
AB
AD
2 AB
，则
cosA＝；中线
AD
江苏省盐城四县2020-2021学年高一数学上学期期中联考试题
C.增区间是
D.增区间是
Earlybird
晨鸟教育
8.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用 指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的
发明先于指数，称为历史上的珍闻．若
，lg2＝0.3010，则 x 的值约为（ ）
且不超过 8 百元时
．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x
百元．已知这种水蜜桃的市场售价为 16元/千克(即 16百元/百千克)，且市场需求始终供
不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 L(x)(单位：百元)．
（1）求利润 L(x)的函数解析式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
成从 M 到 N 的函数的是（ ）
A.y＝2x
B.y＝x+2
10.下列命题正确的是( )
C.y＝2|x|
D.y＝x2
A.已知全集
B.
是
的充分不必要条件
C.不等式 x2＋mx＋
＞0 恒成立的条件是 0＜m＜2
D.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围是－2<a<2
知函数
[ ]，则关于函数 f（x）和 g（x）的叙述中正确的是（ ）
Earlybird
晨鸟教育
A．
B．
C．
在 R 为增函数
D．方程 f(g(x))=0的解集为 R
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分.
13.已知 x＞0，y＞0，
，则 的最小值是________．
14.定义在 上的函数 满足
江苏省盐城市2021届高三上学期期中考试数学试卷
A．1B．2C．3D．0
10．函数 单调递增的必要不充分条件有
A． B． C． D．
11．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角 可为
A． B． C． D．
12．设数列 ，若存在常数 ，对任意正数 ，总存在正整数 ，当 ，有 ，则数列 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有
A．等差数列不可能是收敛数列
15．若 是单调递增的等差数列，且 ，则数列 的前10项和为▲.
16．若函数 在 上存在两个极值点，则 的取值范围是
▲.
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17．(10分)
设函数 ， .
（1）若函数 在 处的切线方程为 ，求 的值；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．(12分)
设函数 .
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围
20．(12分)
在 中， 为边 上一点， ， .
（1）若 ，且角 ，求 的长；
（2）若 ，且角 ，求角 的大小.
21．(12分)
设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
盐城市2021届高三年级第一学期期中考试
数学试题
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
第I卷（选择题共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1．命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
2．已知集合 ，集合 ，则 =
（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围．
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满足
xn
=
sin( 2
n) cos( 2
n)
，则xn 是收敛数列
D．设公差不为
0
的等差数列xn 的前
n
项和为 Sn
(
Sn
≠0)，则数列
1 Sn
一定是收敛数列
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上）
13．若 sin( − ) = 2 ，则 sin 2 ＝
（1）若 AD = 2 AB + 3 AC ，且角 B＝ ，求 AC 的长；
A． 3 4
B． 4
C． 7 12
D． 2 3
12．设数列xn ，若存在常数 a，对任意正数 r，总存在正整数 N，当 n≥N，有 xn − a r ，
则数列xn 为收敛数列．下列关于收敛数列正确的有
A．等差数列不可能是收敛数列
B．若等比数列xn 是收敛数列，则公比 q(﹣1，1]
C．若数列 xn
是
．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）
设函数 f (x) = cos 2x + msin x ， x (0， )．
（1）若函数 f (x) 在 x＝ 处的切线方程为 y＝1，求 m 的值； 2
A．5Βιβλιοθήκη B．6C．7D．8
5．函数 f (x) = x (x[ − ， ])的图像大致是 x − sin x
6．要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物的体内都含有微量的发射性 14C，动植 物死亡后，停止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰变．经科学测定，14C
的半衰期为 5730 年（设 14C 的原始量为 1，经过 x 年后，14C 的含量 f (x) = ax 即 f (5730) = 1 ），现有一古物，测得其 14C 的原始量的 79.37%，则该古物距今约多少年？
．
43
14．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线，若 b＝4c＝
2
4
且
AB
AD
=
2
AB
，则
cosA＝
；中线 AD 的长为
．
15．若an 是单调递增的等差数列，且 aan = 4an ，则数列an 的前 10 项和为
．
16．若函数 f (x) = 1 x2 + b ln x + ax 在(1，2)上存在两个极值点，则 b(3a＋b＋9)的取值范围 2
9．设函数 f (x) = 5 x ， g(x) = ax2 − x (aR)，若 f [g(1)] ＝5，则 a＝
A．1
B．2
C．3
D．0
10．函数 f (x) = 1 ax2 − (a + 2)x + 2 ln x 单调递增的必要不充分条件有 2
A．a≥2
B．a＝2
C．a≥1
D．a＞2
11．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2＝b2＋bc，则角 A 可为
请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3
19．（本小题满分 12 分）
设函数 f (x) = (a − x)ex ．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的 x[0， + )，不等式 f (x) ≤x＋2 恒成立，求 a 的取值范围．
20．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，DC＝2，∠BAD＝ ． 6
D．766
8．设 x，y(0， )，若 sin(sinx)＝cos(cosy)，则 cos(sinx)与 sin(cosy)的大小关系为
A．＝
B．＞
C．＜
D．以上均不对
二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项 中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
（2）若 x (0， )， f (x) ＞0 恒成立，求 m 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
设 f (x) = sin(x + ) ，其中 为正整数， ，当 ＝0 时，函数 f (x) 在[ − ，
2
5
]单调递增且在[ − ， ]不单调．
5
33
（1）求正整数 的值；
（2）在①函数 f (x) 向右平移 个单位得到奇函数；②函数 f (x) 在[0， ]上的最小
B． x(0，1)，x2﹣x≥0
C． x (0，1)，x2﹣x＜0
D． x(0，1)，x2﹣x≥0
2．已知集合 A＝
x y = ln(x −1)
，集合
B＝
y
y
= (1)x, 2
x
−2 ，则 A
B＝
A．
B．[1，4)
C．(1，4)
D．(4， + )
3．已知向量 a ， b 满足 a = b ，且 a ， b 的夹角为 ，则 b 与 a − b 的夹角为 3
江苏省盐城市 2021 届高三第一学期期中考试
数学试卷
2020．11
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．命题“ x(0，1)，x2﹣x＜0”的否定是
A． x (0，1)，x2﹣x≥0
2
1
（参考数据： 3 1 0.7937 ， 5730 1 0.9998 ）
2
2
A．1910
B．3581
C．9168
D．17190
8
7．已知数列an 满足 a1 = 1， a2 = 4 ， a3 = 10 ，且 an+1 − an 是等比数列，则 ai ＝ i=1
A．376
B．382
C．749
12
3
值为 − 1 ；③函数 f (x) 的一条对称轴为 x＝ − 这三个条件中任选一个补充在下面的问题
2
12
中，并完成解答．
已知函数 f (x) 满足
，在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
若 a＜b， f (A) = f (B) ．试问：这样的锐角△ABC 是否存在，若存在，求角 C；若不存在，
A． 3
B． 2
C． 3 4
D． 2 3
4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大
鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分
别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减
半，若垣厚 33 尺，则两鼠几日可相逢