量子力学

第十九章 量子物理
ψ (x )
ψ1
ψ2 ψ3
o
a
x
来源于微观粒子的波粒二相性 .
应用 1981年宾尼希和罗雷尔 年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面 原子排列的状况 . 1986年宾尼希又 年宾尼希又 研制了原子力显微镜. 研制了原子力显微镜
量子围栏照片
19 - 8 量子力学简介
第十九章 量子物理 ..
薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家 ）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程 年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学,并建立了量子 为基础的波动力学 并建立了量子 力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 矩阵力学和波动力学 力学和波动 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程 .
∆ E ∝ 1 m ,1 a
2
能级相对间隔 能级相对间隔 相对 当 n → ∞ 时， ∆En (
∆En h2 ≈ 2n En 8ma 2
2 h2 2 = n 2 8ma n
能量视为连续变化. 连续变化 En ) → 0 ，能量视为连续变化
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物理意义
第十九章 量子物理
很大时， 当 n, m , a 很大时，∆E → 0 ，量子效应不 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 连续变化 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 . 例：电子在 a = 1.0 × 10 m 的势阱中 .
可认为它是一平面 平面单色波 意频率和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 . 平面单色波波列无限长 平面单色波波列无限长 ，根据不确定原理 ，粒子在 x方向上的位置完全不确定 . 方向上的位置完全不 完全不确定 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数
v 自由粒子能量 确定的 自由粒子能量 E 和动量 p 是确定的，其德布罗
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若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
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E = Ek + Ep
h ∂ Ψ h ∂Ψ − + E p ( x , t )Ψ = i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ = Ψ( x , t ) 粒子在恒定势场 恒定势场中的运动 粒子在恒定势场中的运动 Ep = Ep (x) (x
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一 波函数 概率密度 1）经典的波与波函数 ） 机械波
第十九章 量子物理
y ( x , t ) = A cos 2π (ν t −
x
λ
)
电磁波
E ( x , t ) = E 0 cos 2π (νt − )
x
λ
H ( x , t ) = H 0 cos 2π (ν t − )
n = 1, 2 ,3 , L
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nπ ψ ( x ) = A sin x a ψn
n =4
2
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2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a 2 ψn
16E1
n =3 n =2
n =1 x =0
a2
9 E1 4 E1
a
x =0
a2
a
E1
Ep = 0
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Ψ d V = ΨΨ d V
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 归一化条件
∫ Ψ dV = 1
2
( 束缚态 )
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二 薛定谔方程（ 薛定谔方程（1925 年） 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数
Ψ( x, y , z , t ) h E λ= ν= p h
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3）波函数的统计意义 ）
第十九章 量子物理
概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率 表示在某处单位体积内粒子出现的概率. 单位体积内粒子出现的概率
Ψ
2
= ψψ
*
正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为 2 *
四
第十九章 量子物理
对应原理 在某些极限的条件下，量子规律可以转化 极限的条件下 转化为经 在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经 典规律 . 2 能量
h En = n , (n = 1,2,3,L) 2 8ma
2
势阱中相邻能级之 势阱中相邻能级之差 能级
h2 ∆E = En+1 − En = (2n + 1) 8ma2
Ep = 0, 0 < x < a
2 2
d ψ 8π mE + ψ =0 2 2 dx h 2 d 2ψ 2 8π mE +k ψ =0 2 k=
h2
∞ Ep ∞
dx
o
a
x
ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx
ψ ( x) = A sin kx
波函数的标准条件：单值、 波函数的标准条件：单值、有限和连续 . 标准条件
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三 一维势阱问题 粒子势能 满足的边界 边界条件 粒子势能 Ep 满足的边界条件
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∞ Ep ∞
0, 0 < x < a Ep = Ep → ∞, x ≤ 0, x ≥ a
意义 1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； ）是固体物理金属中自由电子的简化模型；
一维运动粒子的含时薛定谔方程
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )φ (t ) = ψ 0 ( x ) e
2 2
− i 2 π Et / h
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 运动粒子的定态
d ψ 8π m + ( E − E p )ψ ( x ) = 0 2 2 dx h
o
a
x
2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 ）数学运算简单，量子力学的基本概念、 在其中以简洁的形式表示出来 . 薛定谔方程
d 2ψ 8π 2 mE + ψ ( x) = 0 2 2 dx h
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QEp →∞, x ≤ 0, x ≥ a ∴ψ = 0, (x ≤ 0, x ≥ a)
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上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
∂Ψ 4π p =− Ψ 2 2 ∂x h
2 2 2

自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
第十九章 量子物理
Ep (x)
0, x < 0, x > a Ep (x) = Ep0 , 0 ≤ x ≤ a 粒子的能量 E < Ep 0
隧道效应 从左方射入 的粒子， 的粒子，在各区 域内的波函数
Ep0
o
ψ2 ψ3
a x
ψ (x )
ψ1
o
a
x
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粒子的能量虽不 粒子的能量虽不足以 超越势垒 , 但在势垒中似 乎有一个隧道, 乎有一个隧道 能使少量 粒子穿过而进入 x > a 的区域 , 所以人们形象地 称之为隧道效应 称之为隧道效应 . 隧道效应的本质 :
h E=n 2 8ma
2
h , (n = 1) 基态能量 基态能量 E1 = 2 8ma h2 2 , (n = 2,3,L) 激发态能量 激发态能量 En = n 2 8ma
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 能量
2
o
a
x
第十九章 量子物理 19 - 8 量子力学简介 2 ∂ψ + k 2ψ = 0 ψ ( x ) = A sin kx ∞ Ep ∞ 2 ∂x nπ 量子数
19 - 8 量子力学简介
2 2
第十九章 量子物理
d ψ 8π mE + ψ = 0 ∞ Ep ∞ 波动方程 2 2 dx h
波函数
ψ (x) =
概率密度 能量 量子数
0,
( x ≤ 0, x ≥ a )
2 nπ sin x, (0 < x < a) a a
2
o
a
x
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a h2 2 En = n 8ma2
第十九章 量子物理
不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 波函数的标准条件：单值的， 标准条件 1） ） 2） ） 3） ）
∫− ∞ < x , y , z < ∞ ψ
ψ
2
d x d y d z = 1 可归一化 ;
∂ψ ∂ψ ∂ψ , , 和 连续 ; ∂x ∂y ∂z
为有限的、 ψ ( x, y, z ) 为有限的、单值函数 .
∂ ∂ ∂ ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2
8π 2 m 2 ∇ ψ + 2 ( E − Ep )ψ = 0 h
定态波函数 定态波函数
ψ ( x, y , z )