专题33 两直线位置关系-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)

【高考地位】两直线位置关系，是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.【方法点评】类型一 两条直线的平行与垂直问题使用情景：关于两直线的平行于垂直的问题解题模板：第一步 直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解； 第二步 得出结论.例1. 若直线260ax y ++=和直线2(1)(1)0x a a y a +++-=互相垂直，则a 的值为 A ．1 B ．23- C ．32-或0 D ．0 【答案】C.考点：若两直线垂直，斜率存在时，其乘积为1-．【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线垂直其斜率的乘积等于-1.若斜率不存在时，另一直线的斜率为0也满足条件，这是解决这道题的易错点.例2 如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B考点：两条直线位置关系【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.【变式演练1】已知直线012=-+ay x 与直线02)2(=+--ay x a 平行，则a 的值是（ ） A ．23B ．023或C ．-32D ． 032-或 【答案】A考点：直线平行的判定【变式演练2】设直线1:l 60x y -+=和直线2:l 2230x y -+=，则直线1l 与直线2l 的位置关系为（ ） A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．以上都不是 【答案】A 【解析】考点：两直线位置关系（平行）．【变式演练3】两直线(21)30m x y -+-=与610x my ++=垂直，则m 的值为 A ．0 B ．611 C ．613 D ．6013或 【答案】C考点：平面直线的位置关系.类型二 关于两条直线的交点问题使用情景：两直线相交问题解题模板：第一步 联立两直线的方程并求解； 第二步 其方程组的解即为两直线的交点的坐标； 第三步 得出结论.例3 已知点(1,3),(3,1)A B ，点C 是直线1:3230l x y -+=和直线2:220l x y -+=的交点． （1）求1l 与2l 的交点C 的坐标；（2）求ABC ∆的面积． 【答案】（1）(1,0)C -（2）5.考点：1．直线方程；2．点到直线的距离【点评】（1）求两直线的交点只需将两直线方程联立方程组，方程组的解为交点坐标；（2）由A,B 两点坐标可求出AB 距离及AB 直线方程，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，结合三角形面积公式可求得面积值【变式演练4】已知点(1,2),(3,3)M N -，若直线:210l kx y k ---=与线段MN 相交，则k 的取值范围是A ．[4,)+∞B ．(,1]-∞-C ．(,1][4,)-∞-+∞D ．[1,4]- 【答案】B考点：斜率公式及两直线位置关系．【变式演练5】直线l ：y ＝px （p 是不等于0的整数）与直线y ＝x ＋10的交点恰好是整点．．（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有 （ ） （A ）6条 （B ）7条 （C ）8条 （D ）无数条 【答案】B考点：直线交点【变式演练6】已知三条直线280,4310ax y x y ++=+=和210x y -=中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________． 【答案】－1考点：两条直线的交点坐标.类型三 对称问题使用情景：点与点、点与直线、直线与直线的对称问题解题模板：第一步 确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称； 第二步 运用各自相应的对称模型进行求解； 第三步 得出结论.例4．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．【答案】直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.考点：点关于点的对称；两直线相交问题．【点评】点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足''2,2.x a x y b y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩例5．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．【答案】'334(,)1313A -.考点：点关于直线的对称；两直线相交问题．【点评】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．例6．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 【答案】9x －46y ＋102＝0.【点评】点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.【变式演练7】已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 关于原点O 对称的直线方程． 【答案】（1）220x y ++=；（2）220x y +-=．考点：1．直线的方程；2．直线关于点的对称问题．【变式演练8】光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程． 【答案】10380x y -+=．【高考再现】1.【2015高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5) 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) (A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4) 【答案】D【解析】不妨设直线l ：x ＝ty ＋m ，代入抛物线方程有：y 2－4ty －4m ＝0,则△＝16t 2＋16m ＞0又中点M (2t 2＋m ，2t )，则k MC k l ＝－1,即m ＝3－2t 2,当t ＝0时，若r ≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，若0＜r ＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t 的直线恰有2条即可. 当t ≠0时，将m ＝3－2t 2代入△＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3,又由圆心到直线的距离等于半径， 可得d ＝r==,由0＜t 2＜3，可得r ∈(2，4).选D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.2.【2015高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 【答案】250x y +-=【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+-=；（Ⅱ）1-.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C 的横坐标.【反馈练习】1．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是（ ） A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．2x ＋y －5＝0 【答案】B考点：两条直线位置关系（垂直）2．已知两条直线023)2(:,06:21=++-=++a y x a l ay x l ，若12//l l ，则a =（ ） Ａ．1-或3 Ｂ．1或3 C ．3- D ．1- 【答案】D.【解析】两直线平行，系数满足()()13211262a a a a a ⨯=-⎧⎪∴=-⎨⨯≠⨯-⎪⎩. 考点：两直线平行的判定.3．已知直线013)2(01=+-+=++y x a y ax 与互相垂直，则实数a 等于（ ） A ．-3或1 B ．1或3 C ．-1或-3 D ．-1或3【解析】两直线垂直需满足：()()2130a a ++⨯-=，解得3,1a a =-=，故选择A. 考点：两条直线的位置关系.4．若l 1：x ＋（1＋m ）y ＋（m －2）＝0，l 2：mx ＋2y ＋6＝0的图象是两条平行直线，则m 的值是（ ） A ．m ＝1或m ＝－2 B ．m ＝1 C ．m ＝－2 D ．m 的值不存在 【答案】A5．若直线0132=-+y x 与直线0114=++my x 平行，则它们之间的距离为( )A ．213 B C ．13136 D ．131312【答案】A.考点：平行直线的性质及线线距离公式．6．已知直线1:20l ax y --=与直线21:102l x y --=互相垂直，则实数a 的值是( )A ．2-B ．2C ．0D ．2-或0 【答案】A考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系7．已知直线1:(3)(4)10,l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．1或5 D ．3或5考点：直线的一般式方程与直线的平行关系8．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D考点：圆的方程及直线的交点9．过直线042=+-y x 与直线05=++y x 的交点，且与直线02=-y x 垂直的直线方程是 ． 【答案】82--=x y考点：直线方程10．若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值为( ) A.2 B. 2- C.1 D. 1-【答案】B考点：点关于直线的对称点，考查数形结合思想、转化思想。